भूमिका और रैखिक समीकरण युग्म

दो चर वाला रैखिक समीकरण क्या है?

आइए किसी परिचित बात से शुरू करें। $2x + 3y = 12$ जैसे समीकरण में दो अज्ञात, $x$ और $y$, होते हैं। यह एक दो चर वाला रैखिक समीकरण है — 'रैखिक' क्योंकि प्रत्येक चर घात 1 में आता है, और 'दो चर' क्योंकि दो अज्ञात हैं।

सामान्य रूप है:

$$ax + by + c = 0$$

जहाँ $a$, $b$, $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं (अर्थात् $a^2 + b^2 \neq 0$)।

मुख्य बिंदु: दो चर वाले एक रैखिक समीकरण के अनंत हल होते हैं — प्रत्येक हल एक युग्म $(x, y)$ है। उदाहरण के लिए, $(0, 4)$, $(6, 0)$, $(3, 2)$ सभी $2x + 3y = 12$ को संतुष्ट करते हैं।

ऐसे समझिए: दो अज्ञात परंतु केवल एक समीकरण के साथ, एक ही उत्तर तय करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं होती — अनेक युग्म काम करते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल उसके सरल-रेखा ग्राफ पर एक बिंदु से मेल खाता है। इसीलिए एक रेखा पर अनंत बिंदु होते हैं।

रैखिक समीकरणों का युग्म (निकाय)

एक अद्वितीय उत्तर तय करने के लिए, हमें आमतौर पर दो समीकरण एक साथ चाहिए होते हैं। समान दो चरों वाले दो रैखिक समीकरण एक रैखिक समीकरण युग्म (जिसे निकाय भी कहते हैं) बनाते हैं:

$$a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$$ $$a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$$

युग्म का एक हल वह युग्म $(x, y)$ है जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है।

उदाहरण

युग्म लीजिए: $x + y = 10$ और $x - y = 4$। युग्म $(7, 3)$ दोनों में काम करता है ($7+3 = 10$ ✓ और $7-3 = 4$ ✓), अतः $(7, 3)$ हल है।

मुख्य बिंदु: किसी युग्म का हल दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करना चाहिए। यह केवल एक को संतुष्ट करने से कड़ा है, यही कारण है कि एक युग्म का प्रायः एकल हल होता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] पूरा अध्याय वह युग्म $(x, y)$ ज्ञात करने के बारे में है जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करे — ग्राफीय या बीजगणितीय रूप से।

शब्द समस्याओं से समीकरण बनाना

अनेक बोर्ड प्रश्न किसी वास्तविक-जीवन परिस्थिति को शब्दों में वर्णित कर रैखिक समीकरण युग्म बनाने को कहते हैं। कौशल यह है कि अज्ञातों को नाम दें और प्रत्येक वाक्य को एक समीकरण में अनुवादित करें।

हल किया गया उदाहरण

'2 पेन और 3 पेंसिलों का मूल्य ₹16 है, और 4 पेन और 1 पेंसिल का मूल्य ₹22 है।'

1. माना एक पेन का मूल्य ₹$x$ और एक पेंसिल का ₹$y$ है।
2. पहला वाक्य: $2x + 3y = 16$।
3. दूसरा वाक्य: $4x + y = 22$।

ये दो समीकरण अभीष्ट युग्म हैं।

मुख्य बिंदु: सदैव स्पष्ट रूप से बताकर आरंभ करें कि $x$ और $y$ क्या दर्शाते हैं (इकाइयों सहित)। फिर प्रत्येक शर्त को एक समीकरण में बदलें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक सामान्य भूल यह है कि कौन-सी राशि $x$ है और कौन-सी $y$ — इसमें भ्रम। पहले 'माना …' कथन लिखें — इससे अंक मिलते हैं और भ्रम टलता है।

हलों के प्रकार — एक झलक

जब हम रैखिक समीकरण युग्म हल करते हैं, तो तीन में से ठीक एक बात होती है। ज्यामितीय रूप से दोनों समीकरण दो सरल रेखाएँ हैं, और वे तीन प्रकार से संबंधित हो सकती हैं:

रेखाएँ	हल	नाम
एक बिंदु पर प्रतिच्छेद	ठीक एक (अद्वितीय)	संगत (स्वतंत्र)
संपाती (एक ही रेखा)	अनंत	संगत (आश्रित)
समांतर (कभी नहीं मिलतीं)	कोई हल नहीं	असंगत

मुख्य बिंदु: एक युग्म संगत है यदि उसका कम-से-कम एक हल हो (एक या अनंत), और असंगत है यदि उसका कोई हल न हो।

हम प्रत्येक स्थिति का विस्तार से अन्वेषण करेंगे — अगले खंड में ग्राफीय रूप से, और बाद में गुणांकों के अनुपातों के माध्यम से।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] शब्दावली याद रखें: 'संगत' = हल है; 'असंगत' = कोई हल नहीं। ये सटीक शब्द बोर्ड प्रश्नों में आते हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: हल की जाँच

क्या $(2, 3)$ युग्म $x + y = 5$ और $2x - y = 1$ का हल है?

हल:

1. पहला समीकरण: $2 + 3 = 5$। ✓
2. दूसरा समीकरण: $2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$। ✓
3. दोनों संतुष्ट हैं।

अंतिम उत्तर: हाँ, $(2, 3)$ एक हल है।

सार: युग्म का हल दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।

उदाहरण 2: एक समीकरण के कुछ हल ज्ञात करना

$3x + y = 9$ के कोई दो हल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x = 0$ रखें: $y = 9$, जिससे $(0, 9)$।
2. $x = 3$ रखें: $9 + y = 9 \Rightarrow y = 0$, जिससे $(3, 0)$।

अंतिम उत्तर: $(0, 9)$ और $(3, 0)$ (अन्य भी संभव)।

सार: $x$ के सुविधाजनक मान चुनें और $y$ के लिए हल करें।

उदाहरण 3: समीकरण बनाना (मूल्य समस्या)

एक युग्म बनाइए: '5 संतरे और 3 सेब का मूल्य ₹35; 2 संतरे और 4 सेब का मूल्य ₹28।'

हल:

1. माना एक संतरे का मूल्य ₹$x$ और एक सेब का ₹$y$ है।
2. $5x + 3y = 35$।
3. $2x + 4y = 28$।

अंतिम उत्तर: $5x + 3y = 35$ और $2x + 4y = 28$।

सार: चर परिभाषित करें, फिर प्रत्येक वाक्य का अनुवाद करें।

उदाहरण 4: समीकरण बनाना (आयु)

समीकरण बनाइए: 'एक पिता और पुत्र की आयु का योग 45 वर्ष है। पाँच वर्ष पहले, पिता पुत्र से छह गुना आयु का था।'

हल:

1. माना पिता की आयु $x$ वर्ष और पुत्र की आयु $y$ वर्ष है।
2. $x + y = 45$।
3. पाँच वर्ष पहले: $(x - 5) = 6(y - 5)$, अर्थात् $x - 6y + 25 = 0$।

अंतिम उत्तर: $x + y = 45$ और $x - 6y + 25 = 0$।

सार: 'वर्ष पहले' के लिए, संबंध बनाने से पहले दोनों आयुओं में से घटाएँ।

उदाहरण 5: सामान्य-रूप गुणांक पहचानना

$2x = 5 - 3y$ को $ax + by + c = 0$ रूप में लिखकर $a$, $b$, $c$ बताइए।

हल:

1. सभी पद एक ओर ले जाएँ: $2x + 3y - 5 = 0$।
2. अतः $a = 2$, $b = 3$, $c = -5$।

अंतिम उत्तर: $a = 2, b = 3, c = -5$।

सार: गुणांक पढ़ने से पहले मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करें।

उदाहरण 6: एक समीकरण के कितने हल होते हैं?

एकल समीकरण $x + 2y = 6$ के कितने हल हैं?

हल:

1. $x$ के प्रत्येक मान के लिए, $y$ का एक मान होता है (जैसे $(0,3), (2,2), (6,0)$)।
2. ऐसे अनंत युग्म हैं।

अंतिम उत्तर: अनंत हल।

सार: दो चर वाले एक रैखिक समीकरण के अनंत हल होते हैं।

उदाहरण 7: समीकरण बनाना (दो-अंकीय संख्या)

समीकरण बनाइए: 'एक दो-अंकीय संख्या के अंकों का योग 9 है। अंकों को पलटने पर, नई संख्या मूल से 27 अधिक है।'

हल:

1. माना दहाई का अंक $x$ और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $= 10x + y$।
2. अंक योग: $x + y = 9$।
3. पलटी संख्या $= 10y + x$; शर्त: $(10y + x) - (10x + y) = 27 \Rightarrow 9y - 9x = 27 \Rightarrow y - x = 3$।

अंतिम उत्तर: $x + y = 9$ और $y - x = 3$।

सार: दहाई अंक $x$ और इकाई अंक $y$ वाली दो-अंकीय संख्या $10x + y$ होती है।

उदाहरण 8: संगत या नहीं (निरीक्षण से)

युग्म $x + y = 5$ और $x + y = 8$ — क्या इसका कोई हल है?

हल:

1. दोनों $x + y$ को एक साथ दो भिन्न संख्याओं (5 और 8) के बराबर माँगते हैं।
2. यह असंभव है, अतः कोई हल नहीं।

अंतिम उत्तर: कोई हल नहीं — युग्म असंगत है।

सार: यदि दो समीकरण विरोधाभासी मान माँगें, तो निकाय असंगत है।

उदाहरण 9: समीकरण बनाना (भिन्न समस्या)

समीकरण बनाइए: 'अंश में से 1 घटाने पर एक भिन्न $\dfrac{1}{2}$ बन जाती है, और हर में 8 जोड़ने पर $\dfrac{1}{3}$ बन जाती है।'

हल:

1. माना भिन्न $\dfrac{x}{y}$ है।
2. $\dfrac{x - 1}{y} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2(x-1) = y \Rightarrow 2x - y = 2$।
3. $\dfrac{x}{y + 8} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow 3x = y + 8 \Rightarrow 3x - y = 8$।

अंतिम उत्तर: $2x - y = 2$ और $3x - y = 8$।

सार: हर हटाने हेतु प्रत्येक भिन्न शर्त का तिर्यक-गुणन करें।

उदाहरण 10: दोनों समीकरणों से सत्यापन

सत्यापित कीजिए कि क्या $(4, 1)$, $x + y = 5$ और $x - y = 3$ को हल करता है।

हल:

1. $x + y = 4 + 1 = 5$। ✓
2. $x - y = 4 - 1 = 3$। ✓
3. दोनों सत्य हैं।

अंतिम उत्तर: हाँ, $(4, 1)$ हल है।

सार: पुष्टि हेतु उम्मीदवार युग्म को दोनों समीकरणों में प्रतिस्थापित करें।