बीजगणितीय विधि — विलोपन

विलोपन का विचार

विलोपन विधि प्रायः युग्म हल करने का सबसे तेज़ तरीका है, विशेषकर जब किसी चर का गुणांक 1 न हो। विचार यह है कि एक चर के गुणांकों को (परिमाण में) समान बनाएँ, फिर समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ ताकि वह चर समाप्त हो जाए।

विचार: समीकरणों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करें ताकि एक चर के गुणांक मेल खाएँ। (विपरीत चिह्न होने पर) जोड़ें या (समान चिह्न होने पर) घटाएँ ताकि उसका विलोपन हो जाए, एक चर वाला एक समीकरण बचे।

ऐसे समझिए: हम एक चर को 'पंक्तिबद्ध' कर उसे हटा देते हैं, हल करने हेतु एक सरल समीकरण छोड़ते हुए।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] विलोपन वह पसंदीदा विधि है जब दोनों समीकरणों के गुणांक असुविधाजनक हों (जैसे $2x + 3y = 8$ और $3x - 2y = 1$)।

विलोपन के चरण

आइए $2x + 3y = 8$ और $3x + 2y = 7$ हल करें।

1. एक चर के गुणांक समान बनाएँ। $x$ का विलोपन करने हेतु, पहले को 3 से और दूसरे को 2 से गुणा करें:

• $6x + 9y = 24$
• $6x + 4y = 14$

1. घटाएँ ($x$ पर समान चिह्न): $(6x + 9y) - (6x + 4y) = 24 - 14 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2$।
2. वापस प्रतिस्थापित करें: $2x + 3(2) = 8 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$।

अतः हल $x = 1$, $y = 2$ है।

मुख्य बिंदु: यदि मेल खाते गुणांकों का समान चिह्न हो, तो घटाएँ; यदि विपरीत चिह्न हों, तो जोड़ें। किसी भी प्रकार लक्षित चर लुप्त हो जाता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] उस चर का विलोपन चुनें जिसके लिए छोटे गुणक चाहिए — इससे गणना स्वच्छ रहती है।

जोड़ें या घटाएँ? एक त्वरित मार्गदर्शिका

सबसे सामान्य चूक है घटाने के स्थान पर जोड़ देना (या इसके विपरीत)। नियम यह है:

• $+6x$ और $+6x$ (समान चिह्न) जैसे गुणांक: समीकरणों को घटाएँ।
• $+6x$ और $-6x$ (विपरीत चिह्न) जैसे गुणांक: समीकरणों को जोड़ें।

सुझाव

कभी-कभी विपरीत चिह्नों की व्यवस्था कर जोड़ना आसान होता है, क्योंकि जोड़ने से चिह्न की त्रुटियाँ टलती हैं। $3x + 2y = 7$ और $2x - 3y = 4$ के लिए, $y$ का विलोपन करने हेतु पहले को 3 से और दूसरे को 2 से गुणा करें: $9x + 6y = 21$ और $4x - 6y = 8$। अब $y$-पद विपरीत हैं, अतः जोड़ें: $13x = 29$।

मुख्य बिंदु: जोड़ने या घटाने का निर्णय लेने से पहले सदैव मेल खाते गुणांकों के चिह्न जाँचें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] संयोजन से पहले दोनों पंक्तिबद्ध समीकरणों को एक के ऊपर एक लिखें — इससे जोड़/घटाव का निर्णय स्पष्ट होता है और त्रुटियाँ घटती हैं।

विशेष स्थितियाँ और शब्द समस्याएँ

प्रतिस्थापन की तरह, विलोपन भी विशेष स्थितियों को प्रकट करता है:

• यदि दोनों चर लुप्त हो जाएँ और एक असत्य कथन मिले (जैसे $0 = 6$) → कोई हल नहीं।
• यदि दोनों लुप्त होकर एक सत्य कथन दें (जैसे $0 = 0$) → अनंत हल।

शब्द-समस्या विधि

1. चर परिभाषित करें, दो समीकरण बनाएँ।
2. एक चर का विलोपन करें।
3. हल करें, वापस प्रतिस्थापित करें, और इकाइयों सहित व्याख्या करें।

मुख्य बिंदु: विलोपन उन शब्द समस्याओं में उत्कृष्ट है जहाँ दोनों समीकरणों की संरचना स्वाभाविक रूप से समान हो, जैसे 'एक वस्तु की $a$ और दूसरी की $b$ की लागत' प्रकार।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] अनेक 3-अंक की शब्द समस्याएँ (लागत, चाल, भिन्न, आयु) या तो प्रतिस्थापन या विलोपन से हल हो सकती हैं — जो स्वच्छ संख्याएँ दे उसे चुनें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: मूल विलोपन (घटाना)

हल करें: $2x + 3y = 8$ और $3x + 2y = 7$।

हल:

1. पहले को 3 से, दूसरे को 2 से गुणा करें: $6x + 9y = 24$ और $6x + 4y = 14$।
2. घटाएँ: $5y = 10 \Rightarrow y = 2$।
3. वापस प्रतिस्थापित करें: $2x + 6 = 8 \Rightarrow x = 1$।

अंतिम उत्तर: $x = 1$, $y = 2$।

सार: गुणांक मिलाएँ, घटाएँ, फिर वापस प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 2: विलोपन (जोड़ना)

हल करें: $3x + 2y = 7$ और $2x - 3y = 4$, $y$ का विलोपन करते हुए।

हल:

1. पहले को 3 से, दूसरे को 2 से गुणा करें: $9x + 6y = 21$ और $4x - 6y = 8$।
2. जोड़ें (विपरीत $y$ चिह्न): $13x = 29 \Rightarrow x = \dfrac{29}{13}$।
3. $3x + 2y = 7$ में वापस प्रतिस्थापित करें: $2y = 7 - 3\cdot\dfrac{29}{13} = 7 - \dfrac{87}{13} = \dfrac{4}{13} \Rightarrow y = \dfrac{2}{13}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{29}{13}$, $y = \dfrac{2}{13}$।

सार: विपरीत चिह्न ⇒ विलोपन हेतु जोड़ें।

उदाहरण 3: सरल जोड़ (तैयार)

हल करें: $x + y = 7$ और $x - y = 3$।

हल:

1. समीकरण जोड़ें: $2x = 10 \Rightarrow x = 5$।
2. घटाएँ: $2y = 4 \Rightarrow y = 2$।

अंतिम उत्तर: $x = 5$, $y = 2$।

सार: जब गुणांक पहले से मेल खाएँ, तो सीधे जोड़ें और घटाएँ।

उदाहरण 4: मापन के बाद विलोपन

हल करें: $4x + 3y = 24$ और $3x - 2y = 8$।

हल:

1. $x$ का विलोपन: पहले को 3 से, दूसरे को 4 से गुणा करें: $12x + 9y = 72$ और $12x - 8y = 32$।
2. घटाएँ: $17y = 40 \Rightarrow y = \dfrac{40}{17}$।
3. वापस प्रतिस्थापित करने पर $x = \dfrac{72}{17}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{72}{17}$, $y = \dfrac{40}{17}$।

सार: सभी निकाय पूर्ण संख्याएँ नहीं देते; भिन्न सावधानी से रखें।

उदाहरण 5: विलोपन से कोई हल नहीं

हल करें: $2x + 3y = 5$ और $4x + 6y = 15$।

हल:

1. पहले को 2 से गुणा करें: $4x + 6y = 10$।
2. दूसरे में से घटाएँ: $(4x + 6y) - (4x + 6y) = 15 - 10 \Rightarrow 0 = 5$ (असत्य)।

अंतिम उत्तर: कोई हल नहीं (असंगत)।

सार: दोनों चर लुप्त होकर असत्य कथन ⇒ कोई हल नहीं।

उदाहरण 6: विलोपन से अनंत हल

हल करें: $x + 2y = 4$ और $3x + 6y = 12$।

हल:

1. पहले को 3 से गुणा करें: $3x + 6y = 12$।
2. दूसरे में से घटाएँ: $0 = 0$ (सत्य)।

अंतिम उत्तर: अनंत हल।

सार: $0 = 0$ ⇒ एक ही रेखा ⇒ अनंत हल।

उदाहरण 7: लागत शब्द समस्या

2 कुर्सियाँ और 3 मेज़ों का मूल्य ₹1300; 3 कुर्सियाँ और 2 मेज़ों का मूल्य ₹1200। प्रत्येक का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना कुर्सी $= x$, मेज़ $= y$: $2x + 3y = 1300$, $3x + 2y = 1200$।
2. पहले को 3 से, दूसरे को 2 से गुणा करें: $6x + 9y = 3900$, $6x + 4y = 2400$। घटाएँ: $5y = 1500 \Rightarrow y = 300$।
3. $2x + 900 = 1300 \Rightarrow x = 200$।

अंतिम उत्तर: कुर्सी ₹200, मेज़ ₹300।

सार: प्रति समीकरण दो वस्तुओं वाली लागत समस्याएँ विलोपन के लिए उपयुक्त हैं।

उदाहरण 8: आय और व्यय

दो व्यक्तियों की आय 9:7 के अनुपात में और व्यय 4:3 के अनुपात में हैं। प्रत्येक ₹2000 बचाता है। यदि आय $9k$ और $7k$ तथा व्यय $4m$ और $3m$ हों, तो $9k - 4m = 2000$ और $7k - 3m = 2000$। $k$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. पहले को 3 से, दूसरे को 4 से गुणा करें: $27k - 12m = 6000$, $28k - 12m = 8000$।
2. घटाएँ: $k = 2000$।

अंतिम उत्तर: $k = 2000$ (अतः आय ₹18000 और ₹14000)।

सार: विलोपन अनुपात-आधारित बचत समस्याओं को साफ़ ढंग से हल करता है।

उदाहरण 9: विलोपन हेतु आसान चर चुनना

हल करें: $x + 4y = 14$ और $7x - 3y = 5$।

हल:

1. $x$ का विलोपन: पहले को 7 से गुणा करें: $7x + 28y = 98$।
2. दूसरे में से घटाएँ: $(7x + 28y) - (7x - 3y) = 98 - 5 \Rightarrow 31y = 93 \Rightarrow y = 3$।
3. $x + 12 = 14 \Rightarrow x = 2$।

अंतिम उत्तर: $x = 2$, $y = 3$।

सार: जब कोई गुणांक 1 हो, तो केवल एक समीकरण को गुणा करना पर्याप्त हो सकता है।

उदाहरण 10: विलोपन से अंक समस्या

एक दो-अंकीय संख्या के अंकों का योग 12 है। संख्या अंकों को पलटने से बनी संख्या से 18 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. दहाई $= x$, इकाई $= y$: $x + y = 12$ और $(10x + y) - (10y + x) = 18 \Rightarrow 9x - 9y = 18 \Rightarrow x - y = 2$।
2. $x + y = 12$ और $x - y = 2$ जोड़ें: $2x = 14 \Rightarrow x = 7$, $y = 5$।
3. संख्या $= 75$।

अंतिम उत्तर: संख्या 75 है।

सार: अंक-योग और अंक-अंतर समीकरण जोड़ने से $y$ तुरंत विलुप्त हो जाता है।