हल की ग्राफीय विधि

मुख्य विचार — रेखाएँ और प्रतिच्छेदन

दो चर वाला प्रत्येक रैखिक समीकरण ग्राफ पेपर पर खींचने पर एक सरल रेखा होता है। अतः समीकरणों का एक युग्म दो रेखाएँ हैं। युग्म को ग्राफीय रूप से हल करने का अर्थ है दोनों रेखाएँ खींचना और यह ज्ञात करना कि वे कहाँ मिलती हैं।

प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, अतः वही हल है।

मुख्य बिंदु: रेखा खींचने के लिए, उस पर कम-से-कम दो बिंदु ज्ञात करें (प्रायः x- और y-अंतःखंड), उन्हें आलेखित करें, और रूलर से मिलाएँ। प्रतिच्छेदन के निर्देशांक हल देते हैं।

दो रेखाओं के संबंधित होने के ठीक तीन संभावनाएँ हैं, और प्रत्येक हमें बताती है कि युग्म के कितने हल हैं। आइए तीनों देखें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] परीक्षा में ग्राफ खींचते समय, प्रति रेखा कम-से-कम 2 (अधिमानतः 3) बिंदुओं की स्वच्छ तालिका बनाएँ, और दोनों रेखाओं को स्पष्ट रूप से नामांकित करें।

स्थिति 1: प्रतिच्छेदी रेखाएँ — अद्वितीय हल

यदि दोनों रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर काटें, तो युग्म का ठीक एक हल होता है — उस काटने वाले बिंदु के निर्देशांक।

उदाहरण

$x + y = 4$ और $x - y = 2$। दोनों आलेखित करने पर, वे $(3, 1)$ पर काटती हैं। जाँच: $3 + 1 = 4$ ✓ और $3 - 1 = 2$ ✓। अतः अद्वितीय हल $x = 3$, $y = 1$ है।

यह संगत और स्वतंत्र स्थिति है।

मुख्य बिंदु: प्रतिच्छेदी रेखाएँ ⇒ अद्वितीय हल ⇒ निकाय संगत है (ठीक एक उत्तर के साथ)।

गुणांकों के पदों में, यह तब होता है जब: $$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$$

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] अनुपात परीक्षण $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$ आपको ग्राफ खींचे बिना अद्वितीय हल का अनुमान लगाने देता है।

स्थिति 2 और 3: संपाती और समांतर रेखाएँ

स्थिति 2: संपाती रेखाएँ — अनंत हल

यदि दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं (एक दूसरे के ठीक ऊपर स्थित), तो रेखा का प्रत्येक बिंदु उभयनिष्ठ है, अतः अनंत हल होते हैं। यह संगत और आश्रित स्थिति है। यह तब होती है जब: $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$

स्थिति 3: समांतर रेखाएँ — कोई हल नहीं

यदि दोनों रेखाएँ समांतर हैं (समान ढाल, कभी नहीं मिलतीं), तो कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं, अतः कोई हल नहीं। यह असंगत स्थिति है। यह तब होती है जब: $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$$

मुख्य बिंदु: तीनों अनुपातों $\dfrac{a_1}{a_2}$, $\dfrac{b_1}{b_2}$, $\dfrac{c_1}{c_2}$ की तुलना कर तुरंत हल का प्रकार बताएँ।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] तीनों अनुपात शर्तें याद रखें — ये सीधे पूछी जाती हैं और ग्राफ-खींचने का समय भी बचाती हैं।

तीनों स्थितियों की सारांश तालिका

यहाँ सब कुछ एक स्थान पर है। युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए:

अनुपात तुलना	रेखाएँ	हल	संगति
$\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$	प्रतिच्छेदी	अद्वितीय	संगत
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$	संपाती	अनंत	संगत (आश्रित)
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$	समांतर	कोई नहीं	असंगत

मुख्य बिंदु: अनुपात परिकलित करने से पहले सभी समीकरणों को $ax + by + c = 0$ रूप में लिखें (सब कुछ एक ओर ले जाएँ) — अन्यथा $c$ की तुलना गलत हो जाती है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यह तालिका अध्याय का सबसे उपयोगी सारांश है। यदि आपको केवल एक बात याद रखनी हो, तो यही याद रखें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: अनुपातों से हल का प्रकार

क्या $2x + 3y = 7$ और $4x + 6y = 14$ का अद्वितीय हल, कोई हल नहीं, या अनंत हल है?

हल:

1. $2x + 3y - 7 = 0$ और $4x + 6y - 14 = 0$ लिखें।
2. अनुपात: $\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{-7}{-14} = \dfrac{1}{2}$। सभी समान।
3. अतः रेखाएँ संपाती हैं।

अंतिम उत्तर: अनंत हल।

सार: तीनों अनुपात समान ⇒ अनंत हल।

उदाहरण 2: समांतर रेखाएँ

$x + 2y = 4$ और $2x + 4y = 12$ को वर्गीकृत कीजिए।

हल:

1. $x + 2y - 4 = 0$ और $2x + 4y - 12 = 0$ के रूप में।
2. $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$, परंतु $\dfrac{-4}{-12} = \dfrac{1}{3}$।
3. अतः $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$।

अंतिम उत्तर: कोई हल नहीं (समांतर, असंगत)।

सार: पहले दो अनुपात समान परंतु तीसरा भिन्न ⇒ कोई हल नहीं।

उदाहरण 3: अद्वितीय हल

$x - y = 1$ और $2x + y = 8$ को वर्गीकृत कीजिए।

हल:

1. $x - y - 1 = 0$ और $2x + y - 8 = 0$ के रूप में।
2. $\dfrac{1}{2}$ बनाम $\dfrac{-1}{1} = -1$। चूँकि $\dfrac{1}{2} \neq -1$, अनुपात $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$।

अंतिम उत्तर: अद्वितीय हल (प्रतिच्छेदी, संगत)।

सार: $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$ ⇒ अद्वितीय हल।

उदाहरण 4: ग्राफीय रूप से हल करें (बिंदु ज्ञात करें)

ग्राफीय रूप से हल करें: $x + y = 5$ और $x - y = 1$।

हल:

1. $x + y = 5$ के लिए: बिंदु $(0,5), (5,0)$।
2. $x - y = 1$ के लिए: बिंदु $(0,-1), (1,0), (3,2)$।
3. रेखाएँ $(3, 2)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।

अंतिम उत्तर: $x = 3$, $y = 2$।

सार: प्रति रेखा दो बिंदु आलेखित करें; प्रतिच्छेदन पढ़ें।

उदाहरण 5: ग्राफ हेतु बिंदु ज्ञात करना

रेखा $2x + y = 6$ आलेखित करने हेतु दो बिंदु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x = 0$ रखें: $y = 6$, जिससे $(0, 6)$।
2. $y = 0$ रखें: $2x = 6 \Rightarrow x = 3$, जिससे $(3, 0)$।

अंतिम उत्तर: $(0, 6)$ और $(3, 0)$।

सार: अंतःखंड ($x=0$, फिर $y=0$ रखना) सबसे आसान दो बिंदु हैं।

उदाहरण 6: कोई हल न होने हेतु $k$ ज्ञात करना

$k$ ज्ञात कीजिए ताकि $2x + 3y = 7$ और $6x + ky = 21$ का कोई हल न हो।

हल:

1. कोई हल न होने के लिए: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$।
2. $\dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{k} \Rightarrow 2k = 18 \Rightarrow k = 9$।
3. तीसरा अनुपात जाँचें: $\dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$ — समान, अतः यह अनंत हल होगा, कोई हल नहीं नहीं।
4. पुनर्विचार: $k = 9$ के साथ तीनों अनुपात $\dfrac{1}{3}$ के बराबर, जिससे अनंत हल। अतः यहाँ 'कोई हल नहीं' देने वाला $k$ का कोई मान नहीं है (अचर समानुपाती हैं)।

अंतिम उत्तर: $k$ का कोई मान 'कोई हल नहीं' नहीं देता; $k = 9$ अनंत हल देता है।

सार: सदैव तीसरा अनुपात जाँचें — समानुपाती अचर निष्कर्ष बदल देते हैं।

उदाहरण 7: अनंत हल हेतु $k$ ज्ञात करना

$k$ ज्ञात कीजिए ताकि $x + 2y = 3$ और $5x + ky = 15$ के अनंत हल हों।

हल:

1. आवश्यक $\dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{k} = \dfrac{3}{15}$।
2. $\dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$ ✓ (अचर मेल खाते हैं)।
3. $\dfrac{2}{k} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow k = 10$।

अंतिम उत्तर: $k = 10$।

सार: अनंत हल के लिए, तीनों अनुपात समान होने चाहिए।

उदाहरण 8: अद्वितीय हल हेतु $k$ ज्ञात करना

$k$ के किस मान/मानों के लिए $kx + 2y = 5$ और $3x + y = 1$ का अद्वितीय हल है?

हल:

1. अद्वितीय हल के लिए $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$, अर्थात् $\dfrac{k}{3} \neq \dfrac{2}{1}$।
2. $\dfrac{k}{3} \neq 2 \Rightarrow k \neq 6$।

अंतिम उत्तर: सभी $k \neq 6$।

सार: अद्वितीय हल केवल तब विफल होता है जब पहले दो अनुपात समान हो जाएँ।

उदाहरण 9: अक्षों से होकर रेखाएँ (त्रिभुज बनाना)

रेखाएँ $x = 0$, $y = 0$ और $x + y = 4$ एक त्रिभुज बनाती हैं। इसके शीर्ष ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x = 0$ और $y = 0$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर मिलती हैं।
2. $x + y = 4$, $x = 0$ को $(0, 4)$ पर और $y = 0$ को $(4, 0)$ पर मिलती है।

अंतिम उत्तर: शीर्ष $(0,0)$, $(0,4)$, $(4,0)$।

सार: त्रिभुज के कोने पाने हेतु रेखाओं के प्रत्येक युग्म को प्रतिच्छेदित करें।

उदाहरण 10: विवरण से हल पढ़ना

दो रेखाएँ खींची गईं और समांतर पाई गईं। संगत युग्म के कितने हल हैं, और क्या यह संगत है?

हल:

1. समांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं, अतः कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं।
2. अतः कोई हल नहीं; युग्म असंगत है।

अंतिम उत्तर: कोई हल नहीं; असंगत।

सार: समांतर ⇒ कोई हल नहीं ⇒ असंगत।