हल किए गए उदाहरण

इस खंड का उपयोग कैसे करें

यह रैखिक समीकरण युग्म के लिए आपका अभ्यास-शक्तिगृह है। नीचे पूरे अध्याय को समेटते 30+ पूर्णतः हल किए गए प्रश्न हैं — हल जाँचना, ग्राफीय तर्क, प्रतिस्थापन, विलोपन, वज्र-गुणन, संगति शर्तें, समानीत समीकरण, और शब्द समस्याएँ — मोटे तौर पर सरल से कठिन क्रम में।

कैसे पढ़ें: प्रत्येक प्रश्न को हल ढककर स्वयं हल करने का प्रयास करें, फिर चरण जाँचें। बोर्ड परीक्षा में अंक चरण-दर-चरण मिलते हैं — पूर्ण हल लिखने और शब्द-समस्या उत्तर शब्दों में बताने का अभ्यास करें।

ये साथ रखें:

• अनुपात: अद्वितीय $\dfrac{a_1}{a_2}\neq\dfrac{b_1}{b_2}$; अनंत सभी समान; कोई नहीं $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\neq\dfrac{c_1}{c_2}$।
• प्रतिस्थापन, विलोपन, और वज्र-गुणन सभी समान हल देते हैं।
• समानीत: माना $u = 1/x$, $v = 1/y$।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: प्रतिस्थापन से हल करें

हल करें: $x + y = 8$, $x - y = 2$।

हल:

1. $x = 8 - y$; प्रतिस्थापित करें: $(8 - y) - y = 2 \Rightarrow 8 - 2y = 2 \Rightarrow y = 3$।
2. $x = 5$।

अंतिम उत्तर: $x = 5$, $y = 3$।

सार: अलग करें और प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 2: विलोपन से हल करें

हल करें: $3x + 4y = 10$, $2x - 2y = 2$।

हल:

1. दूसरे को सरल करें: $x - y = 1 \Rightarrow x = y + 1$।
2. पहले में प्रतिस्थापित करें: $3(y+1) + 4y = 10 \Rightarrow 7y = 7 \Rightarrow y = 1$, $x = 2$।

अंतिम उत्तर: $x = 2$, $y = 1$।

सार: हल करने से पहले समीकरण सरल करें।

उदाहरण 3: अनुपातों से वर्गीकरण

$x + 2y = 5$ और $2x + 4y = 10$ को वर्गीकृत कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$।
2. सभी अनुपात समान ⇒ संपाती।

अंतिम उत्तर: अनंत हल।

सार: तीनों अनुपात समान ⇒ अनंत हल।

उदाहरण 4: वज्र-गुणन

हल करें: $2x + y - 5 = 0$, $3x + 2y - 8 = 0$।

हल:

1. $a_1b_2 - a_2b_1 = (2)(2) - (3)(1) = 1$।
2. $x = \dfrac{(1)(-8) - (2)(-5)}{1} = -8 + 10 = 2$।
3. $y = \dfrac{(-5)(3) - (-8)(2)}{1} = -15 + 16 = 1$।

अंतिम उत्तर: $x = 2$, $y = 1$।

सार: वज्र-गुणन एक बार में दोनों देता है।

उदाहरण 5: दो संख्याएँ

दो संख्याओं का योग 35 और उनका अंतर 13 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x + y = 35$, $x - y = 13$।
2. जोड़ें: $2x = 48 \Rightarrow x = 24$; घटाएँ: $2y = 22 \Rightarrow y = 11$।

अंतिम उत्तर: 24 और 11।

सार: योग/अंतर समस्याएँ जोड़/घटाव से तुरंत हल होती हैं।

उदाहरण 6: $k$ ज्ञात करना — अनंत

$k$ ज्ञात कीजिए: $2x + 3y = 2$ और $(k+1)x + 9y = 6$ के अनंत हल हैं।

हल:

1. आवश्यक $\dfrac{2}{k+1} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{2}{6}$।
2. $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$, $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ ✓।
3. $\dfrac{2}{k+1} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow k + 1 = 6 \Rightarrow k = 5$।

अंतिम उत्तर: $k = 5$।

सार: सभी अनुपात समान रखें; हल कर सत्यापित करें।

उदाहरण 7: समानीत समीकरण

हल करें: $\dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{3y} = 2$ और $\dfrac{1}{3x} + \dfrac{1}{2y} = \dfrac{13}{6}$।

हल:

1. माना $u = 1/x$, $v = 1/y$: $\dfrac{u}{2} + \dfrac{v}{3} = 2 \Rightarrow 3u + 2v = 12$; $\dfrac{u}{3} + \dfrac{v}{2} = \dfrac{13}{6} \Rightarrow 2u + 3v = 13$।
2. हल करें: $u = 2$, $v = 3$।
3. अतः $x = \dfrac{1}{2}$, $y = \dfrac{1}{3}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{1}{2}$, $y = \dfrac{1}{3}$।

सार: $u, v$ प्रतिस्थापित करने के बाद भिन्न हटाएँ।

उदाहरण 8: अनुपातों से कोई हल नहीं

$x + 2y = 3$ और $2x + 4y = 7$ को वर्गीकृत कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$ परंतु $\dfrac{3}{7} \neq \dfrac{1}{2}$।
2. अतः $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$।

अंतिम उत्तर: कोई हल नहीं (असंगत)।

सार: समान $a, b$ अनुपात परंतु भिन्न $c$ ⇒ कोई हल नहीं।

उदाहरण 9: आयु समस्या

पाँच वर्ष पहले, A, B से तीन गुना आयु का था। दस वर्ष बाद, A, B से दुगनी आयु का होगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना A $= x$, B $= y$। पाँच वर्ष पहले: $x - 5 = 3(y - 5) \Rightarrow x - 3y = -10$।
2. दस वर्ष बाद: $x + 10 = 2(y + 10) \Rightarrow x - 2y = 10$।
3. घटाएँ: $-y = -20 \Rightarrow y = 20$; फिर $x = 50$।

अंतिम उत्तर: A 50 वर्ष, B 20 वर्ष।

सार: प्रत्येक समय-शर्त के लिए एक समीकरण बनाएँ।

उदाहरण 10: वस्तुओं की लागत

7 ऑडियो कैसेट और 3 वीडियो कैसेट का मूल्य ₹1110; 5 ऑडियो और 4 वीडियो का मूल्य ₹1350। प्रत्येक का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $7x + 3y = 1110$, $5x + 4y = 1350$।
2. पहले को 4 से, दूसरे को 3 से गुणा करें: $28x + 12y = 4440$, $15x + 12y = 4050$। घटाएँ: $13x = 390 \Rightarrow x = 30$।
3. $7(30) + 3y = 1110 \Rightarrow 3y = 900 \Rightarrow y = 300$।

अंतिम उत्तर: ऑडियो ₹30, वीडियो ₹300।

सार: आसान उभयनिष्ठ गुणज वाले चर का विलोपन करें।

उदाहरण 11: ग्राफीय तर्क

बिना हल किए, $3x - y = 2$ और $6x - 2y = 4$ के हलों की संख्या बताइए।

हल:

1. $\dfrac{3}{6} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$।
2. सभी समान ⇒ संपाती।

अंतिम उत्तर: अनंत हल।

सार: दूसरा समीकरण पहले का दुगुना है।

उदाहरण 12: भिन्न समस्या

यदि अंश और हर दोनों में 2 जोड़ें तो एक भिन्न $\dfrac{9}{11}$ बन जाती है, और दोनों में 3 जोड़ें तो $\dfrac{5}{6}$ बन जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना भिन्न $= \dfrac{x}{y}$। $\dfrac{x+2}{y+2} = \dfrac{9}{11} \Rightarrow 11x - 9y = -4$।
2. $\dfrac{x+3}{y+3} = \dfrac{5}{6} \Rightarrow 6x - 5y = -3$।
3. हल करें: पहले को 5 से, दूसरे को 9 से गुणा करें: $55x - 45y = -20$, $54x - 45y = -27$। घटाएँ: $x = 7$; फिर $y = 9$।

अंतिम उत्तर: भिन्न $\dfrac{7}{9}$ है।

सार: प्रत्येक शर्त का तिर्यक-गुणन करें, फिर हल करें।

उदाहरण 13: नाव की चाल

एक नाव 24 किमी धारा के प्रतिकूल 6 घंटे में और 36 किमी धारा के अनुकूल 6 घंटे में तय करती है। शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. प्रतिकूल चाल $= 24/6 = 4$ किमी/घं $= x - y$; अनुकूल चाल $= 36/6 = 6$ किमी/घं $= x + y$।
2. जोड़ें: $2x = 10 \Rightarrow x = 5$; घटाएँ: $2y = 2 \Rightarrow y = 1$।

अंतिम उत्तर: नाव 5 किमी/घं, धारा 1 किमी/घं।

सार: चाल = दूरी/समय पहले प्रतिकूल/अनुकूल चाल देता है।

उदाहरण 14: अद्वितीय हल हेतु $k$

$k$ के किस मान के लिए $2x + 3y = 4$ और $(k+2)x + 6y = 3k + 2$ का अद्वितीय हल नहीं होगा?

हल:

1. अद्वितीय हल नहीं तब जब $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2}$: $\dfrac{2}{k+2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$।
2. $\dfrac{2}{k+2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow k + 2 = 4 \Rightarrow k = 2$।

अंतिम उत्तर: $k = 2$।

सार: 'अद्वितीय नहीं' वह सीमा है जहाँ पहले दो अनुपात समान हो जाते हैं।

उदाहरण 15: मापन सहित विलोपन

हल करें: $8x + 5y = 9$, $3x + 2y = 4$।

हल:

1. पहले को 2 से, दूसरे को 5 से गुणा करें: $16x + 10y = 18$, $15x + 10y = 20$। घटाएँ: $x = -2$।
2. $3(-2) + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5$।

अंतिम उत्तर: $x = -2$, $y = 5$।

सार: $y$-गुणांक मिलाएँ (ल.स. 10) और घटाएँ।

उदाहरण 16: ज्यामिति — कोण

दो संपूरक कोणों में से बड़ा छोटे से 18° अधिक है। कोण ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना कोण $x$ और $y$ हैं जहाँ $x > y$: $x + y = 180$ और $x - y = 18$।
2. जोड़ें: $2x = 198 \Rightarrow x = 99$; फिर $y = 81$।

अंतिम उत्तर: 99° और 81°।

सार: संपूरक ⇒ योग 180°; 'से अधिक' को अंतर में अनुवादित करें।

उदाहरण 17: प्रतिस्थापन से कोई हल नहीं

हल करें: $3x + 2y = 4$, $9x + 6y = 7$।

हल:

1. पहले से: $y = \dfrac{4 - 3x}{2}$। प्रतिस्थापित करें: $9x + 6\cdot\dfrac{4 - 3x}{2} = 7 \Rightarrow 9x + 12 - 9x = 7 \Rightarrow 12 = 7$ (असत्य)।

अंतिम उत्तर: कोई हल नहीं।

सार: एक विरोधाभास समांतर रेखाओं की पुष्टि करता है।

उदाहरण 18: सिक्कों की समस्या

एक गुल्लक में ₹2 और ₹5 के सिक्के हैं, कुल 25 सिक्के, मूल्य ₹80। प्रत्येक कितने?

हल:

1. माना ₹2 सिक्के $= x$, ₹5 सिक्के $= y$: $x + y = 25$, $2x + 5y = 80$।
2. पहले से $x = 25 - y$; प्रतिस्थापित करें: $2(25 - y) + 5y = 80 \Rightarrow 50 + 3y = 80 \Rightarrow y = 10$, $x = 15$।

अंतिम उत्तर: 15 दो-रुपये और 10 पाँच-रुपये के सिक्के।

सार: संख्या के लिए एक समीकरण, मूल्य के लिए एक।

उदाहरण 19: समानीत — पहले हर हटाएँ

हल करें: $\dfrac{5}{x-1} + \dfrac{1}{y-2} = 2$ और $\dfrac{6}{x-1} - \dfrac{3}{y-2} = 1$।

हल:

1. माना $u = \dfrac{1}{x-1}$, $v = \dfrac{1}{y-2}$: $5u + v = 2$, $6u - 3v = 1$।
2. पहले से $v = 2 - 5u$; प्रतिस्थापित करें: $6u - 3(2 - 5u) = 1 \Rightarrow 21u = 7 \Rightarrow u = \dfrac{1}{3}$, $v = \dfrac{1}{3}$।
3. $x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4$; $y - 2 = 3 \Rightarrow y = 5$।

अंतिम उत्तर: $x = 4$, $y = 5$।

सार: पूरे व्युत्क्रम व्यंजक के लिए प्रतिस्थापित करें, फिर वापस बदलें।

उदाहरण 20: दूरी, दो कारें

दो कारें 100 किमी दूर स्थानों से चलती हैं। एक-दूसरे की ओर चलने पर वे 1 घंटे में मिलती हैं; एक ही दिशा में तेज़ कार 5 घंटे में पकड़ लेती है। उनकी चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना चाल $x > y$ किमी/घं। एक-दूसरे की ओर: $x + y = 100$। एक ही दिशा: $x - y = 20$ (क्योंकि $100/5 = 20$)।
2. जोड़ें: $2x = 120 \Rightarrow x = 60$; $y = 40$।

अंतिम उत्तर: 60 किमी/घं और 40 किमी/घं।

सार: एक-दूसरे की ओर ⇒ चालों का योग; एक ही दिशा ⇒ अंतर।

उदाहरण 21: दोनों अज्ञात अचर ज्ञात करना

$a$ और $b$ के किन मानों के लिए $2x + 3y = 7$ और $(a-b)x + (a+b)y = 3a + b - 2$ के अनंत हल हैं?

हल:

1. आवश्यक $\dfrac{2}{a-b} = \dfrac{3}{a+b} = \dfrac{7}{3a+b-2}$।
2. पहले दो से: $2(a+b) = 3(a-b) \Rightarrow a = 5b$।
3. $a = 5b$ के साथ $\dfrac{3}{a+b} = \dfrac{7}{3a+b-2}$ से: $\dfrac{3}{6b} = \dfrac{7}{16b - 2} \Rightarrow 3(16b-2) = 42b \Rightarrow 48b - 6 = 42b \Rightarrow b = 1$, $a = 5$।

अंतिम उत्तर: $a = 5$, $b = 1$।

सार: दो अज्ञातों के लिए अनुपात समीकरण चरण-दर-चरण हल करें।

उदाहरण 22: भिन्न देने वाला विलोपन

हल करें: $4x + 3y = 7$, $2x - y = 1$।

हल:

1. दूसरे से: $y = 2x - 1$। प्रतिस्थापित करें: $4x + 3(2x - 1) = 7 \Rightarrow 10x = 10 \Rightarrow x = 1$, $y = 1$।

अंतिम उत्तर: $x = 1$, $y = 1$।

सार: जब एक गुणांक 1 हो तो प्रतिस्थापन तेज़ हो सकता है।

उदाहरण 23: दो-अंकीय संख्या (योग शर्त)

एक दो-अंकीय संख्या और उसके अंक पलटने से बनी संख्या का योग 66 है। यदि अंकों में 2 का अंतर हो, तो संख्या(एँ) ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $(10x + y) + (10y + x) = 66 \Rightarrow 11(x + y) = 66 \Rightarrow x + y = 6$।
2. $x - y = 2$ (या $y - x = 2$)। $x - y = 2$ के साथ: $x = 4, y = 2$, संख्या 42।
3. $y - x = 2$ के साथ: $x = 2, y = 4$, संख्या 24।

अंतिम उत्तर: 42 या 24।

सार: '2 का अंतर' दो स्थितियाँ देता है; दोनों बताएँ।

उदाहरण 24: संगत और आश्रित

दिखाइए कि $2x + 3y = 9$ और $4x + 6y = 18$ संगत हैं और कोई दो हल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{9}{18} = \dfrac{1}{2}$ ⇒ संपाती ⇒ संगत (आश्रित)।
2. $2x + 3y = 9$ के हल: $(0, 3)$ और $(3, 1)$।

अंतिम उत्तर: संगत; जैसे $(0,3)$ और $(3,1)$।

सार: आश्रित निकाय उभयनिष्ठ रेखा के हर बिंदु को साझा करते हैं।

उदाहरण 25: ज्यामिति — परिमाप

एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 मी अधिक है। यदि परिमाप 50 मी है, तो विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना लंबाई $= x$, चौड़ाई $= y$: $x - y = 5$ और $2(x + y) = 50 \Rightarrow x + y = 25$।
2. जोड़ें: $2x = 30 \Rightarrow x = 15$; $y = 10$।

अंतिम उत्तर: लंबाई 15 मी, चौड़ाई 10 मी।

सार: परिमाप $= 2(l + b)$ एक समीकरण देता है।

उदाहरण 26: अचर पद सहित समानीत

हल करें: $\dfrac{4}{x} + 3y = 14$ और $\dfrac{3}{x} - 4y = 23$।

हल:

1. माना $u = 1/x$: $4u + 3y = 14$, $3u - 4y = 23$।
2. पहले को 4 से, दूसरे को 3 से गुणा करें: $16u + 12y = 56$, $9u - 12y = 69$। जोड़ें: $25u = 125 \Rightarrow u = 5$।
3. $4(5) + 3y = 14 \Rightarrow 3y = -6 \Rightarrow y = -2$। अतः $x = \dfrac{1}{5}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{1}{5}$, $y = -2$।

सार: केवल $1/x$ भाग को प्रतिस्थापन चाहिए; $y$ वैसा ही रहता है।

उदाहरण 27: हल कर सत्यापित करें (स्वच्छ पूर्णांक)

हल करें: $x - y = 3$, $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 6$।

हल:

1. दूसरे में भिन्न हटाएँ: 6 से गुणा करें: $2x + 3y = 36$।
2. पहले से $x = y + 3$; प्रतिस्थापित करें: $2(y+3) + 3y = 36 \Rightarrow 5y = 30 \Rightarrow y = 6$, $x = 9$।

अंतिम उत्तर: $x = 9$, $y = 6$।

सार: पहले हरों के ल.स. से गुणा कर भिन्न हटाएँ।

उदाहरण 28: ऋणात्मक सहित वज्र-गुणन

वज्र-गुणन से हल करें: $3x - 5y - 11 = 0$, $5x + 2y - 7 = 0$।

हल:

1. $a_1b_2 - a_2b_1 = (3)(2) - (5)(-5) = 6 + 25 = 31$।
2. $x = \dfrac{(-5)(-7) - (2)(-11)}{31} = \dfrac{35 + 22}{31} = \dfrac{57}{31}$।
3. $y = \dfrac{(-11)(5) - (-7)(3)}{31} = \dfrac{-55 + 21}{31} = \dfrac{-34}{31}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{57}{31}$, $y = -\dfrac{34}{31}$।

सार: चिह्न सावधानी से रखें; अपूर्णांक उत्तर ठीक हैं।

उदाहरण 29: समय और कार्य जैसा मिश्रण

2 पुरुष और 5 स्त्रियाँ एक कार्य को 4 दिन में, जबकि 3 पुरुष और 6 स्त्रियाँ उसे 3 दिन में समाप्त करते हैं। यदि एक पुरुष का एक दिन का कार्य $x$ और एक स्त्री का $y$ है, तो $4(2x + 5y) = 1$ और $3(3x + 6y) = 1$। $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $8x + 20y = 1$ और $9x + 18y = 1$।
2. पहले को 9 से, दूसरे को 8 से गुणा करें: $72x + 180y = 9$, $72x + 144y = 8$। घटाएँ: $36y = 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{36}$।
3. $8x + 20\cdot\dfrac{1}{36} = 1 \Rightarrow 8x = 1 - \dfrac{5}{9} = \dfrac{4}{9} \Rightarrow x = \dfrac{1}{18}$।

अंतिम उत्तर: पुरुष $\dfrac{1}{18}$/दिन, स्त्री $\dfrac{1}{36}$/दिन।

सार: दर समस्याएँ प्रति-दिन कार्य चरों में रैखिक बन जाती हैं।

उदाहरण 30: तीन स्थितियों हेतु संगति निर्धारण

$x + 2y = 1$ के लिए, वह दूसरा समीकरण बताइए जो युग्म को (a) असंगत, (b) आश्रित बनाए।

हल:

1. (a) असंगत: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2}$ रखें परंतु $c$ बदलें: जैसे $2x + 4y = 5$ (क्योंकि $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} \neq \dfrac{1}{5}$)।
2. (b) आश्रित: सभी अनुपात समान: जैसे $2x + 4y = 2$।

अंतिम उत्तर: (a) $2x + 4y = 5$; (b) $2x + 4y = 2$।

सार: कोई-हल-नहीं और अनंत के बीच बदलने हेतु $c$-अनुपात नियंत्रित करें।

उदाहरण 31: मिश्रित बहु-चरण

एक भिन्न के अंश और हर का योग 12 है। यदि हर में 3 की वृद्धि की जाए, तो भिन्न $\dfrac{1}{2}$ बन जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना भिन्न $= \dfrac{x}{y}$: $x + y = 12$ और $\dfrac{x}{y+3} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x = y + 3$।
2. पहले से $y = 12 - x$; प्रतिस्थापित करें: $2x = (12 - x) + 3 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$, $y = 7$।

अंतिम उत्तर: भिन्न $\dfrac{5}{7}$ है।

सार: दोनों शर्तों का अनुवाद करें, फिर प्रतिस्थापन से हल करें।