बीजगणितीय विधि — प्रतिस्थापन

बीजगणितीय विधियाँ क्यों?

ग्राफ हल देखने के लिए उत्तम हैं, परंतु वे धीमे और अयथार्थ हैं — विशेषकर जब उत्तर कोई अच्छी पूर्ण संख्या न हो। बीजगणितीय विधियाँ सटीक हल शीघ्र देती हैं। पहली है प्रतिस्थापन विधि।

विचार: एक समीकरण से, एक चर को दूसरे के पदों में व्यक्त करें। फिर उस व्यंजक को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, जिससे वह एक चर वाला एकल समीकरण बन जाए, जिसे आप आसानी से हल कर सकते हैं।

ऐसे समझिए: हम एक समीकरण का उपयोग कर दूसरे में एक चर को 'बदल' देते हैं, दो अज्ञातों को एक में घटाकर।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] प्रतिस्थापन तब सर्वोत्तम है जब किसी चर का गुणांक पहले से ही 1 हो (या अलग करना आसान हो), जैसे $x + 2y = 5$ जहाँ $x = 5 - 2y$ तुरंत मिलता है।

प्रतिस्थापन के चरण

आइए $x + 2y = -1$ और $2x - 3y = 12$ हल करें।

1. एक चर अलग करें। पहले समीकरण से, $x = -1 - 2y$।
2. दूसरे में प्रतिस्थापित करें: $2(-1 - 2y) - 3y = 12$।
3. एक-चर समीकरण हल करें: $-2 - 4y - 3y = 12 \Rightarrow -7y = 14 \Rightarrow y = -2$।
4. दूसरा चर ज्ञात करने हेतु वापस प्रतिस्थापित करें: $x = -1 - 2(-2) = -1 + 4 = 3$।

अतः हल $x = 3$, $y = -2$ है।

मुख्य बिंदु: एक चर ज्ञात करने के बाद, दूसरा ज्ञात करने हेतु सदैव सरलतम समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] $(3, -2)$ को दोनों मूल समीकरणों में रखकर अपना उत्तर सत्यापित करें। यह गणना की चूक पकड़ता है और विश्वास (और कभी-कभी एक अंक) देता है।

यदि कोई हल न हो / अनंत हल हों तो?

प्रतिस्थापन विशेष स्थितियों को भी स्वतः प्रकट कर देता है।

• यदि आप $0 = 5$ जैसे असत्य कथन पर पहुँचें, तो चर समाप्त हो जाता है और समीकरण असंभव है — युग्म का कोई हल नहीं (समांतर रेखाएँ)।
• यदि आप $0 = 0$ जैसे सत्य कथन पर पहुँचें, तो समीकरण सदैव सत्य है — युग्म के अनंत हल (संपाती रेखाएँ)।

उदाहरण (कोई हल नहीं)

$x + y = 3$ और $2x + 2y = 9$। पहले से, $x = 3 - y$। प्रतिस्थापित करें: $2(3 - y) + 2y = 9 \Rightarrow 6 = 9$, जो असत्य है। अतः कोई हल नहीं।

मुख्य बिंदु: विरोधाभास ($0 =$ अशून्य) ⇒ कोई हल नहीं। तत्समक ($0 = 0$) ⇒ अनंत हल।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यदि चर लुप्त हो जाएँ तो घबराएँ नहीं — बचे हुए कथन को पढ़ें। असत्य ⇒ कोई हल नहीं; सत्य ⇒ अनंत हल।

शब्द समस्याओं में प्रतिस्थापन

प्रतिस्थापन की असली शक्ति शब्द समस्याओं में दिखती है। विधि:

1. दोनों चर स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
2. शर्तों से दो समीकरण बनाएँ।
3. प्रतिस्थापन द्वारा हल करें।
4. संदर्भ में उत्तर की व्याख्या करें (इकाइयों सहित), और जाँचें कि यह उचित है।

हल किया गया उदाहरण

'दो संख्याओं का योग 20 है और एक दूसरे से 4 अधिक है।'

• माना संख्याएँ $x$ और $y$ हैं। तब $x + y = 20$ और $x = y + 4$।
• प्रतिस्थापित करें: $(y + 4) + y = 20 \Rightarrow 2y = 16 \Rightarrow y = 8$, अतः $x = 12$।

मुख्य बिंदु: जब एक शर्त सीधे एक चर को दूसरे के पदों में दे दे (जैसे $x = y + 4$), तो प्रतिस्थापन सबसे तेज़ विधि है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] शब्द समस्या को सदैव उत्तर शब्दों में बताकर समाप्त करें: 'दोनों संख्याएँ 12 और 8 हैं।' केवल मान प्रस्तुति का अंक गँवा सकते हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: मूल प्रतिस्थापन

हल करें: $x + y = 14$ और $x - y = 4$।

हल:

1. पहले से: $x = 14 - y$।
2. प्रतिस्थापित करें: $(14 - y) - y = 4 \Rightarrow 14 - 2y = 4 \Rightarrow y = 5$।
3. फिर $x = 14 - 5 = 9$।

अंतिम उत्तर: $x = 9$, $y = 5$।

सार: अलग करें, प्रतिस्थापित करें, हल करें, वापस प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 2: भिन्नों से बचते हुए प्रतिस्थापन

हल करें: $2x + 3y = 11$ और $x - 2y = -12$।

हल:

1. दूसरे से ($x$ का गुणांक 1): $x = 2y - 12$।
2. प्रतिस्थापित करें: $2(2y - 12) + 3y = 11 \Rightarrow 4y - 24 + 3y = 11 \Rightarrow 7y = 35 \Rightarrow y = 5$।
3. $x = 2(5) - 12 = -2$।

अंतिम उत्तर: $x = -2$, $y = 5$।

सार: भिन्न से बचने हेतु गुणांक 1 वाले चर को अलग करें।

उदाहरण 3: कोई हल नहीं स्थिति

हल करें: $x + y = 3$ और $2x + 2y = 9$।

हल:

1. पहले से: $x = 3 - y$।
2. प्रतिस्थापित करें: $2(3 - y) + 2y = 9 \Rightarrow 6 - 2y + 2y = 9 \Rightarrow 6 = 9$ (असत्य)।
3. चर समाप्त होकर असत्य कथन दे गए।

अंतिम उत्तर: कोई हल नहीं (असंगत)।

सार: एक असत्य संख्यात्मक कथन ⇒ कोई हल नहीं।

उदाहरण 4: अनंत हल

हल करें: $x - 2y = 5$ और $2x - 4y = 10$।

हल:

1. पहले से: $x = 5 + 2y$।
2. प्रतिस्थापित करें: $2(5 + 2y) - 4y = 10 \Rightarrow 10 + 4y - 4y = 10 \Rightarrow 10 = 10$ (सत्य)।

अंतिम उत्तर: अनंत हल।

सार: $10 = 10$ जैसा सत्य कथन ⇒ अनंत हल।

उदाहरण 5: दो संख्याओं की शब्द समस्या

दो संख्याओं का योग 20 और उनका अंतर 4 है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना संख्याएँ $x$ और $y$: $x + y = 20$, $x - y = 4$।
2. दूसरे से: $x = y + 4$। प्रतिस्थापित करें: $(y+4) + y = 20 \Rightarrow 2y = 16 \Rightarrow y = 8$।
3. $x = 12$।

अंतिम उत्तर: संख्याएँ 12 और 8 हैं।

सार: अंत में उत्तर शब्दों में बताएँ।

उदाहरण 6: आयु प्रकार समस्या

एक पिता अपने पुत्र से तीन गुना आयु का है। 12 वर्ष बाद, वह दुगनी आयु का होगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना पिता $x$ और पुत्र $y$: $x = 3y$।
2. 12 वर्ष बाद: $x + 12 = 2(y + 12)$।
3. $x = 3y$ प्रतिस्थापित करें: $3y + 12 = 2y + 24 \Rightarrow y = 12$, अतः $x = 36$।

अंतिम उत्तर: पिता 36 वर्ष, पुत्र 12 वर्ष।

सार: सीधे संबंध ($x = 3y$) को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 7: हल कर सत्यापित करें

$3x - y = 3$ और $9x - 3y = 9$ हल कर प्रकार बताइए।

हल:

1. पहले से: $y = 3x - 3$।
2. प्रतिस्थापित करें: $9x - 3(3x - 3) = 9 \Rightarrow 9x - 9x + 9 = 9 \Rightarrow 9 = 9$ (सत्य)।

अंतिम उत्तर: अनंत हल (समीकरण समतुल्य हैं)।

सार: दूसरा समीकरण पहले का केवल 3 गुना है — वे एक ही रेखा हैं।

उदाहरण 8: भिन्नात्मक उत्तर

हल करें: $2x + y = 7$ और $3x - 2y = 0$।

हल:

1. पहले से: $y = 7 - 2x$।
2. प्रतिस्थापित करें: $3x - 2(7 - 2x) = 0 \Rightarrow 3x - 14 + 4x = 0 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2$।
3. $y = 7 - 4 = 3$।

अंतिम उत्तर: $x = 2$, $y = 3$।

सार: प्रतिस्थापन तब भी सुचारु रूप से काम करता है जब दूसरे समीकरण में कोई अचर न हो।

उदाहरण 9: नाव (धारा) शब्द समस्या

एक नाव 30 किमी धारा के अनुकूल और 30 किमी धारा के प्रतिकूल जाती है। यदि शांत जल में चाल $x$ और धारा की चाल $y$ है, तथा अनुकूल चाल $x + y = 15$ किमी/घं और प्रतिकूल चाल $x - y = 9$ किमी/घं है, तो $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. दूसरे से: $x = 9 + y$।
2. प्रतिस्थापित करें: $(9 + y) + y = 15 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$।
3. $x = 12$।

अंतिम उत्तर: शांत जल चाल 12 किमी/घं, धारा 3 किमी/घं।

सार: अनुकूल = $x + y$, प्रतिकूल = $x - y$; प्रतिस्थापन से हल करें।

उदाहरण 10: दो-अंकीय संख्या

एक दो-अंकीय संख्या के अंकों का योग 9 है। यदि संख्या में 9 जोड़ें, तो अंक पलट जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना दहाई अंक $= x$, इकाई $= y$। तब $x + y = 9$ और $(10x + y) + 9 = 10y + x$, अर्थात् $9x - 9y = -9 \Rightarrow x - y = -1$।
2. $x + y = 9$ और $x - y = -1$ से: $x = y - 1$ को पहले में प्रतिस्थापित करें: $(y-1) + y = 9 \Rightarrow y = 5$, $x = 4$।
3. संख्या $= 10(4) + 5 = 45$।

अंतिम उत्तर: संख्या 45 है।

सार: 'अंक पलटना' को सावधानी से $10y + x$ में अनुवादित करें।