सारांश और त्वरित पुनरावृत्ति

अध्याय एक नज़र में

यहाँ पूरा रैखिक समीकरण युग्म एक पृष्ठ पर है — परीक्षा से एक रात पहले के लिए उत्तम।

मूल बातें

• दो चर वाला रैखिक समीकरण: $ax + by + c = 0$ ($a, b$ दोनों शून्य नहीं)।
• ऐसे एक समीकरण के अनंत हल होते हैं (बिंदुओं की एक सरल रेखा)।
• एक युग्म का उभयनिष्ठ हल वहाँ होता है जहाँ दोनों रेखाएँ मिलती हैं।
• संगत = हल है (एक या अनंत); असंगत = कोई हल नहीं।

याद रखें: युग्म का हल दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करना चाहिए।

अनुपात शर्तें (सबसे महत्वपूर्ण)

$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए:

शर्त	रेखाएँ	हल	प्रकार
$\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$	प्रतिच्छेदी	अद्वितीय	संगत
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$	संपाती	अनंत	संगत (आश्रित)
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$	समांतर	कोई नहीं	असंगत

मुख्य बिंदु: दोनों समीकरणों को पहले $ax + by + c = 0$ रूप में लिखें, फिर तीनों अनुपातों की तुलना करें। यह लगभग सभी 'कितने हल' और '$k$ ज्ञात करें' प्रश्नों का उत्तर देता है।

चार विधियाँ

1. ग्राफीय

दोनों रेखाएँ खींचें; प्रतिच्छेदन बिंदु हल है। प्रतिच्छेदी → अद्वितीय, संपाती → अनंत, समांतर → कोई नहीं।

2. प्रतिस्थापन

एक समीकरण से एक चर अलग करें; दूसरे में प्रतिस्थापित करें।

3. विलोपन

एक चर के गुणांक समान बनाएँ; उसे हटाने हेतु जोड़ें (विपरीत चिह्न) या घटाएँ (समान चिह्न)।

4. वज्र-गुणन

$$\frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1} = \frac{y}{c_1 a_2 - c_2 a_1} = \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$

मुख्य बिंदु: प्रतिस्थापन/विलोपन में, एक असत्य बचा हुआ कथन ($0 = 5$) कोई हल नहीं दर्शाता है; एक सत्य बचा हुआ ($0 = 0$) अनंत हल।

समानीत समीकरण और शब्द-समस्या संकेत

रैखिक रूप में समानीत

$\dfrac{1}{x}$ और $\dfrac{1}{y}$ वाले समीकरणों के लिए, $u = \dfrac{1}{x}$, $v = \dfrac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करें, रैखिक युग्म हल करें, फिर वापस बदलें ($x = 1/u$, $y = 1/v$)।

शब्द-समस्या संकेत

• दहाई अंक $x$, इकाई $y$ वाली दो-अंकीय संख्या: मान $= 10x + y$; पलटी $= 10y + x$।
• नाव: अनुकूल चाल $= x + y$, प्रतिकूल $= x - y$।
• दो कारें एक-दूसरे की ओर ⇒ चालों का योग; एक ही दिशा ⇒ अंतर।
• 'नियत + परिवर्ती' लागत ⇒ $x + ny =$ कुल।

मुख्य बिंदु: सदैव चर इकाइयों सहित परिभाषित करें और अंतिम उत्तर शब्दों में बताएँ।

अंतिम-क्षण सुझाव और सामान्य जाल

• अनुपात या वज्र-गुणन का उपयोग करने से पहले समीकरणों को $ax + by + c = 0$ रूप में रखें।
• 'कोई हल नहीं' के लिए $c$-अनुपात भिन्न होना चाहिए; 'अनंत' के लिए तीनों समान — सदैव तीसरा अनुपात जाँचें।
• समानीत समस्याओं में, $u, v$ को वापस $x, y$ में बदलना न भूलें।
• '$k$ ज्ञात करें' प्रश्नों के लिए, अभीष्ट स्थिति की सटीक अनुपात शर्त लिखें, फिर हल करें।
• अपने हल को दोनों मूल समीकरणों में सत्यापित करें।

अंतिम बात: यह एक अधिक अंक दिलाने वाला, विधिपूर्ण अध्याय है। अनुपात तालिका, चार हल विधियाँ, और समानीत-समीकरण तरकीब में महारत हासिल कर लें, तो अधिकांश अंक सुरक्षित हैं। शुभकामनाएँ!