वज्र-गुणन, संगति की शर्तें और समानीत समीकरण

वज्र-गुणन विधि

युग्म $$a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$$ $$a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$$ के लिए हल का एक सीधा सूत्र है, जिसे वज्र-गुणन विधि (cross-multiplication) कहते हैं:

$$\frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1} = \frac{y}{c_1 a_2 - c_2 a_1} = \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$

इससे: $$x = \frac{b_1 c_2 - b_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{c_1 a_2 - c_2 a_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$

मुख्य बिंदु: सूत्र लगाने से पहले दोनों समीकरण $ax + by + c = 0$ रूप में (सब कुछ एक ओर) होने चाहिए। अद्वितीय हल तब होता है जब हर $a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यह विधि कई राज्य बोर्ड पाठ्यक्रमों में है (युक्तिसंगत CBSE से हटा दी गई)। यह विशेष रूप से तेज़ है जब आपको केवल $x$ या केवल $y$ चाहिए।

वज्र-गुणन के लिए स्मरण विन्यास

सूत्र को तिर्यक-आरेख (criss-cross) से याद रखना आसान है। गुणांकों को दो पंक्तियों में लिखें, क्रॉस पैटर्न बनाने हेतु $b$ और $c$ स्तंभों को दोहराते हुए:

$$\begin{array}{cccc} b_1 & c_1 & a_1 & b_1 \\ b_2 & c_2 & a_2 & b_2 \end{array}$$

• $x$ के लिए: पहले खंड का वज्र-गुणन $(b_1 c_2 - b_2 c_1)$।
• $y$ के लिए: मध्य खंड का वज्र-गुणन $(c_1 a_2 - c_2 a_1)$।
• $1$ के लिए: अंतिम खंड का वज्र-गुणन $(a_1 b_2 - a_2 b_1)$।

मुख्य बिंदु: प्रत्येक अंश एक 'क्रॉस' अंतर है: नीचे-गुणनफल घटा ऊपर-गुणनफल। स्तंभों को $b, c, a, b$ क्रम में रखने से तीनों सही मिलते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] विन्यास का कुछ बार अभ्यास करें — एक बार याद होने पर, वज्र-गुणन एक ही बार में $x$ और $y$ दोनों तक का सबसे तेज़ मार्ग है।

संगति की शर्तें (अनुपात परीक्षण)

गुणांकों के अनुपात हमें हल किए बिना बताते हैं कि किसी युग्म के कितने हल हैं। यह ग्राफीय खंड की सभी बातों को जोड़ता है।

शर्त	रेखाएँ	हल	प्रकार
$\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$	प्रतिच्छेदी	अद्वितीय	संगत
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$	संपाती	अनंत	संगत (आश्रित)
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$	समांतर	कोई नहीं	असंगत

मुख्य बिंदु: दोनों समीकरणों को पहले $ax + by + c = 0$ रूप में लिखें, फिर तीनों अनुपातों की तुलना करें। 'कितने हल?' या 'किस … हल हेतु $k$ ज्ञात करें' प्रश्नों का उत्तर देने का यह सबसे तेज़ तरीका है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] 'किस $k$ के मान के लिए युग्म का कोई हल नहीं / अनंत हल है' लगभग हर वर्ष पूछा जाता है। अनुपात शर्तों का सीधे उपयोग करें।

रैखिक रूप में समानीत किए जा सकने वाले समीकरण

कुछ समीकरण रैखिक नहीं दिखते परंतु एक चतुर प्रतिस्थापन के बाद रैखिक बन जाते हैं। उत्कृष्ट प्रकार में $\dfrac{1}{x}$ और $\dfrac{1}{y}$ होते हैं।

तरकीब

एक युग्म जैसे $$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 13, \qquad \frac{5}{x} - \frac{4}{y} = -2,$$ के लिए माना $u = \dfrac{1}{x}$ और $v = \dfrac{1}{y}$। युग्म बन जाता है $$2u + 3v = 13, \qquad 5u - 4v = -2,$$ जो एक साधारण रैखिक युग्म है। $u, v$ के लिए हल करें, फिर $x = \dfrac{1}{u}$, $y = \dfrac{1}{v}$ पुनः प्राप्त करें।

मुख्य बिंदु: $u = 1/x$, $v = 1/y$ (या समान) प्रतिस्थापित करने से एक गैर-रैखिक-दिखने वाला युग्म रैखिक बन जाता है। अंत में वापस बदलना न भूलें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] सदैव अपना प्रतिस्थापन स्पष्ट रूप से बताएँ ('माना $u = 1/x$…') और अंत में मूल चर $x$ और $y$ ज्ञात करना याद रखें — अंक गँवाने का एक सामान्य स्थान।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: वज्र-गुणन

वज्र-गुणन से हल करें: $2x + 3y - 7 = 0$ और $3x - y - 5 = 0$।

हल:

1. यहाँ $a_1=2, b_1=3, c_1=-7$; $a_2=3, b_2=-1, c_2=-5$।
2. $a_1 b_2 - a_2 b_1 = (2)(-1) - (3)(3) = -2 - 9 = -11$।
3. $x = \dfrac{b_1 c_2 - b_2 c_1}{-11} = \dfrac{(3)(-5) - (-1)(-7)}{-11} = \dfrac{-15 - 7}{-11} = 2$।
4. $y = \dfrac{c_1 a_2 - c_2 a_1}{-11} = \dfrac{(-7)(3) - (-5)(2)}{-11} = \dfrac{-21 + 10}{-11} = 1$।

अंतिम उत्तर: $x = 2$, $y = 1$।

सार: चिह्नों सहित वज्र-गुणन सूत्र में सावधानी से रखें।

उदाहरण 2: अद्वितीय हल जाँच

क्या $3x + 2y = 5$ और $2x - 3y = 7$ का अद्वितीय हल है?

हल:

1. $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{3}{2}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{2}{-3}$।
2. चूँकि $\dfrac{3}{2} \neq \dfrac{2}{-3}$, अनुपात भिन्न हैं।

अंतिम उत्तर: हाँ, अद्वितीय हल।

सार: $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$ ⇒ अद्वितीय हल।

उदाहरण 3: कोई हल न होने हेतु $k$ ज्ञात करना

$k$ ज्ञात कीजिए ताकि $3x + ky = 7$ और $6x + 10y = 11$ का कोई हल न हो।

हल:

1. कोई हल न होने के लिए $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$।
2. $\dfrac{3}{6} = \dfrac{k}{10} \Rightarrow k = 5$।
3. $\dfrac{c_1}{c_2}$ जाँचें: $\dfrac{-7}{-11} = \dfrac{7}{11} \neq \dfrac{1}{2}$। ✓ (भिन्न)

अंतिम उत्तर: $k = 5$।

सार: $k$ हेतु पहले दो अनुपात मिलाएँ; पुष्टि करें कि तीसरा भिन्न है।

उदाहरण 4: अनंत हल हेतु $k$ ज्ञात करना

$k$ ज्ञात कीजिए ताकि $2x + 3y = 7$ और $(k-1)x + (k+2)y = 3k$ के अनंत हल हों।

हल:

1. आवश्यक $\dfrac{2}{k-1} = \dfrac{3}{k+2} = \dfrac{7}{3k}$।
2. पहले दो से: $2(k+2) = 3(k-1) \Rightarrow 2k + 4 = 3k - 3 \Rightarrow k = 7$।
3. तीसरे से जाँचें: $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ और $\dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}$। ✓

अंतिम उत्तर: $k = 7$।

सार: एक अनुपात युग्म से हल करें, फिर शेष को सत्यापित करें।

उदाहरण 5: समानीत — मूल

हल करें: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 5$ और $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1$।

हल:

1. माना $u = \dfrac{1}{x}$, $v = \dfrac{1}{y}$: $u + v = 5$, $u - v = 1$।
2. जोड़ें: $2u = 6 \Rightarrow u = 3$; घटाएँ: $2v = 4 \Rightarrow v = 2$।
3. अतः $x = \dfrac{1}{3}$, $y = \dfrac{1}{2}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{1}{3}$, $y = \dfrac{1}{2}$।

सार: $u = 1/x$, $v = 1/y$ प्रतिस्थापित करें, हल करें, फिर व्युत्क्रम लें।

उदाहरण 6: समानीत — कठिन

हल करें: $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = 13$ और $\dfrac{5}{x} - \dfrac{4}{y} = -2$।

हल:

1. माना $u = \dfrac{1}{x}$, $v = \dfrac{1}{y}$: $2u + 3v = 13$, $5u - 4v = -2$।
2. $u$ का विलोपन: पहले को 5 से, दूसरे को 2 से गुणा करें: $10u + 15v = 65$, $10u - 8v = -4$। घटाएँ: $23v = 69 \Rightarrow v = 3$।
3. $2u + 9 = 13 \Rightarrow u = 2$। अतः $x = \dfrac{1}{2}$, $y = \dfrac{1}{3}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{1}{2}$, $y = \dfrac{1}{3}$।

सार: प्रतिस्थापन के बाद, सामान्य रूप से विलोपन का उपयोग करें, फिर $u, v$ का व्युत्क्रम लें।

उदाहरण 7: संगति वर्गीकरण

$5x - 4y + 8 = 0$ और $7x + 6y - 9 = 0$ को वर्गीकृत कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{5}{7}$, $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3}$।
2. चूँकि $\dfrac{5}{7} \neq -\dfrac{2}{3}$, रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

अंतिम उत्तर: अद्वितीय हल; संगत।

सार: पहले दो अनुपात भिन्न ⇒ अद्वितीय हल के साथ संगत।

उदाहरण 8: अद्वितीय हल हेतु $k$ ज्ञात करना

$k$ के किस मान के लिए $kx + 3y = k - 3$ और $12x + ky = k$ का अद्वितीय हल है?

हल:

1. अद्वितीय हल के लिए $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$: $\dfrac{k}{12} \neq \dfrac{3}{k}$।
2. $k^2 \neq 36 \Rightarrow k \neq \pm 6$।

अंतिम उत्तर: $k = 6$ और $k = -6$ को छोड़कर सभी $k$।

सार: बहिष्कृत मान ज्ञात करने हेतु असमिका का वज्र-गुणन करें।

उदाहरण 9: दोनों पदों पर अचर सहित समानीत

हल करें: $\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = 12$ और $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = 13$।

हल:

1. माना $u = 1/x$, $v = 1/y$: $3u + 2v = 12$, $2u + 3v = 13$।
2. पहले को 3 से, दूसरे को 2 से गुणा करें: $9u + 6v = 36$, $4u + 6v = 26$। घटाएँ: $5u = 10 \Rightarrow u = 2$।
3. $3(2) + 2v = 12 \Rightarrow v = 3$। अतः $x = \dfrac{1}{2}$, $y = \dfrac{1}{3}$।

अंतिम उत्तर: $x = \dfrac{1}{2}$, $y = \dfrac{1}{3}$।

सार: वही प्रतिस्थापन तरकीब तब काम करती है जब केवल $1/x$ और $1/y$ आएँ।

उदाहरण 10: शब्द-व्यवस्था हेतु वज्र-गुणन

वज्र-गुणन से हल करें: $x + y - 5 = 0$ और $2x - y - 1 = 0$।

हल:

1. $a_1=1, b_1=1, c_1=-5$; $a_2=2, b_2=-1, c_2=-1$।
2. $a_1 b_2 - a_2 b_1 = (1)(-1) - (2)(1) = -3$।
3. $x = \dfrac{(1)(-1) - (-1)(-5)}{-3} = \dfrac{-1 - 5}{-3} = 2$।
4. $y = \dfrac{(-5)(2) - (-1)(1)}{-3} = \dfrac{-10 + 1}{-3} = 3$।

अंतिम उत्तर: $x = 2$, $y = 3$।

सार: वज्र-गुणन गुणांकों से सीधे दोनों चर देता है।