बोर्ड PYQs को कैसे हल करें
यह खंड बहुपदों पर उन प्रकार के प्रश्नों को एकत्र करता है जो CBSE और राज्य बोर्ड परीक्षाओं में बार-बार आते हैं, पूर्ण चरणबद्ध हल सहित। इन 26 प्रश्नों को हल करना यह अनुमान लगाने का सबसे अच्छा तरीका है कि आपकी परीक्षा क्या पूछेगी।
परीक्षक इस अध्याय में क्या पसंद करते हैं:
शून्यक ज्ञात कर गुणांकों के साथ संबंध सत्यापित करना (2–3 अंक)।दिए गए योग और गुणनफल से, या दिए गए शून्यकों से द्विघात बनाना (2 अंक)।
शून्यकों के योग/गुणनफल से प्राचल k k k (2–3 अंक)।
कुछ शून्यक दिए होने पर विभाजन से किसी त्रिघात/चतुर्घात के सभी शून्यक ज्ञात करना (3–4 अंक)।
टैग नोट: प्रश्न परीक्षा द्वारा टैग किए गए हैं (जैसे [CBSE Board])। जहाँ किसी विशिष्ट प्रश्न का सटीक वर्ष पुष्ट नहीं किया जा सका, वहाँ केवल परीक्षा का नाम दिया गया है, ताकि विषय-वस्तु विश्वसनीय बनी रहे।
परीक्षा सुझाव: सदैव गुणनखंडन या − b / a -b/a − b / a c / a c/a c / a
हल किए गए पिछले वर्षों के प्रश्न
PYQ 1: शून्यक ज्ञात कर सत्यापित करें (3 अंक)
p ( x ) = x 2 − 2 x − 8 p(x) = x^2 - 2x - 8 p ( x ) = x 2 − 2 x − 8
हल:
गुणनखंडन: x 2 − 2 x − 8 = ( x − 4 ) ( x + 2 ) x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2) x 2 − 2 x − 8 = ( x − 4 ) ( x + 2 ) 4 4 4 − 2 -2 − 2
योग = 4 + ( − 2 ) = 2 = − − 2 1 = − b a = 4 + (-2) = 2 = -\dfrac{-2}{1} = -\dfrac{b}{a} = 4 + ( − 2 ) = 2 = − 1 − 2 = − a b
गुणनफल = ( 4 ) ( − 2 ) = − 8 = − 8 1 = c a = (4)(-2) = -8 = \dfrac{-8}{1} = \dfrac{c}{a} = ( 4 ) ( − 2 ) = − 8 = 1 − 8 = a c
अंतिम उत्तर: शून्यक 4 , − 2 4, -2 4 , − 2
सार: सदैव परिकलित और सूत्र दोनों मान प्रस्तुत करें।
PYQ 2: द्विघात बनाना (2 अंक)
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक − 3 -3 − 3 4 4 4
हल:
योग = 1 = 1 = 1 = − 12 = -12 = − 12
p ( x ) = x 2 − x − 12 p(x) = x^2 - x - 12 p ( x ) = x 2 − x − 12
अंतिम उत्तर: x 2 − x − 12 x^2 - x - 12 x 2 − x − 12
सार: टेम्पलेट x 2 − ( योग ) x + ( गुणनफल ) x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल}) x 2 − ( योग ) x + ( गुणनफल )
PYQ 3: शून्यकों का योग और गुणनफल (1 अंक)
यदि α , β \alpha, \beta α , β x 2 − 6 x + 8 x^2 - 6x + 8 x 2 − 6 x + 8 α + β \alpha + \beta α + β α β \alpha\beta α β
हल:
α + β = − − 6 1 = 6 \alpha + \beta = -\dfrac{-6}{1} = 6 α + β = − 1 − 6 = 6 α β = 8 1 = 8 \alpha\beta = \dfrac{8}{1} = 8 α β = 1 8 = 8
अंतिम उत्तर: योग 6, गुणनफल 8।
सार: − b / a -b/a − b / a c / a c/a c / a
PYQ 4: योग और गुणनफल से द्विघात (2 अंक)
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः 1 4 \dfrac{1}{4} 4 1 − 1 -1 − 1
हल:
p ( x ) = x 2 − 1 4 x − 1 p(x) = x^2 - \dfrac{1}{4}x - 1 p ( x ) = x 2 − 4 1 x − 1 4 से गुणा करें: 4 x 2 − x − 4 4x^2 - x - 4 4 x 2 − x − 4
अंतिम उत्तर: 4 x 2 − x − 4 4x^2 - x - 4 4 x 2 − x − 4
सार: स्वच्छ उत्तर हेतु भिन्न हटाने के लिए गुणा करें।
PYQ 5: शून्यक से k k k (2 अंक)
यदि p ( x ) = 3 x 2 + 8 x + k p(x) = 3x^2 + 8x + k p ( x ) = 3 x 2 + 8 x + k k k k
हल:
यदि शून्यक α \alpha α 1 α \dfrac{1}{\alpha} α 1 = α ⋅ 1 α = 1 = \alpha \cdot \dfrac{1}{\alpha} = 1 = α ⋅ α 1 = 1
गुणनफल = c a = k 3 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{k}{3} = a c = 3 k k 3 = 1 ⇒ k = 3 \dfrac{k}{3} = 1 \Rightarrow k = 3 3 k = 1 ⇒ k = 3
अंतिम उत्तर: k = 3 k = 3 k = 3
सार: व्युत्क्रम शून्यक ⇒ गुणनफल = 1।
PYQ 6: α 2 + β 2 \alpha^2 + \beta^2 α 2 + β 2 (2 अंक)
यदि α , β \alpha, \beta α , β x 2 − 7 x + 10 x^2 - 7x + 10 x 2 − 7 x + 10 α 2 + β 2 \alpha^2 + \beta^2 α 2 + β 2
हल:
योग = 7 = 7 = 7 = 10 = 10 = 10
α 2 + β 2 = 7 2 − 2 ( 10 ) = 49 − 20 = 29 \alpha^2+\beta^2 = 7^2 - 2(10) = 49 - 20 = 29 α 2 + β 2 = 7 2 − 2 ( 10 ) = 49 − 20 = 29
अंतिम उत्तर: 29।
सार: ( α + β ) 2 − 2 α β (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta ( α + β ) 2 − 2 α β
PYQ 7: चतुर्घात के सभी शून्यक ज्ञात करना (4 अंक)
p ( x ) = x 4 − 5 x 2 + 4 p(x) = x^4 - 5x^2 + 4 p ( x ) = x 4 − 5 x 2 + 4
हल:
माना y = x 2 y = x^2 y = x 2 y 2 − 5 y + 4 = ( y − 1 ) ( y − 4 ) y^2 - 5y + 4 = (y-1)(y-4) y 2 − 5 y + 4 = ( y − 1 ) ( y − 4 )
अतः x 2 = 1 x^2 = 1 x 2 = 1 x 2 = 4 x^2 = 4 x 2 = 4
शून्यक: x = 1 , − 1 , 2 , − 2 x = 1, -1, 2, -2 x = 1 , − 1 , 2 , − 2
अंतिम उत्तर: 1 , − 1 , 2 , − 2 1, -1, 2, -2 1 , − 1 , 2 , − 2
सार: x 2 x^2 x 2
PYQ 8: त्रिघात संबंध सत्यापित करना (3 अंक)
सत्यापित कीजिए कि 3, − 1 -1 − 1 − 1 3 -\dfrac{1}{3} − 3 1 p ( x ) = 3 x 3 − 5 x 2 − 11 x − 3 p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 11x - 3 p ( x ) = 3 x 3 − 5 x 2 − 11 x − 3
हल:
यहाँ a = 3 , b = − 5 , c = − 11 , d = − 3 a=3, b=-5, c=-11, d=-3 a = 3 , b = − 5 , c = − 11 , d = − 3
योग = 3 − 1 − 1 3 = 5 3 = − − 5 3 = − b a = 3 - 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{3} = -\dfrac{-5}{3} = -\dfrac{b}{a} = 3 − 1 − 3 1 = 3 5 = − 3 − 5 = − a b
जोड़ी-योग = ( 3 ) ( − 1 ) + ( − 1 ) ( − 1 3 ) + ( − 1 3 ) ( 3 ) = − 3 + 1 3 − 1 = − 11 3 = c a = (3)(-1) + (-1)(-\tfrac{1}{3}) + (-\tfrac{1}{3})(3) = -3 + \tfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{11}{3} = \dfrac{c}{a} = ( 3 ) ( − 1 ) + ( − 1 ) ( − 3 1 ) + ( − 3 1 ) ( 3 ) = − 3 + 3 1 − 1 = − 3 11 = a c
गुणनफल = ( 3 ) ( − 1 ) ( − 1 3 ) = 1 = − − 3 3 = − d a = (3)(-1)(-\tfrac{1}{3}) = 1 = -\dfrac{-3}{3} = -\dfrac{d}{a} = ( 3 ) ( − 1 ) ( − 3 1 ) = 1 = − 3 − 3 = − a d
अंतिम उत्तर: तीनों संबंध सत्यापित।
सार: प्रत्येक सममित फलन को − b / a -b/a − b / a c / a c/a c / a − d / a -d/a − d / a
PYQ 9: दो शून्यक दिए होने पर सभी ज्ञात करना (4 अंक)
p ( x ) = 2 x 4 − 3 x 3 − 3 x 2 + 6 x − 2 p(x) = 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2 p ( x ) = 2 x 4 − 3 x 3 − 3 x 2 + 6 x − 2 2 \sqrt{2} 2 − 2 -\sqrt{2} − 2
हल:
( x − 2 ) ( x + 2 ) = x 2 − 2 (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) = x^2 - 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) = x 2 − 2 भाग दें: 2 x 4 − 3 x 3 − 3 x 2 + 6 x − 2 ÷ ( x 2 − 2 ) 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2 \div (x^2 - 2) 2 x 4 − 3 x 3 − 3 x 2 + 6 x − 2 ÷ ( x 2 − 2 ) 2 x 2 − 3 x + 1 2x^2 - 3x + 1 2 x 2 − 3 x + 1
2 x 2 − 3 x + 1 = ( 2 x − 1 ) ( x − 1 ) 2x^2 - 3x + 1 = (2x-1)(x-1) 2 x 2 − 3 x + 1 = ( 2 x − 1 ) ( x − 1 ) 1 2 , 1 \dfrac{1}{2}, 1 2 1 , 1
अंतिम उत्तर: 2 , − 2 , 1 2 , 1 \sqrt2, -\sqrt2, \dfrac{1}{2}, 1 2 , − 2 , 2 1 , 1
सार: ज्ञात द्विघात गुणनखंड से भाग दें, फिर भागफल हल करें।
PYQ 10: शून्यकों के योग से k k k (2 अंक)
यदि p ( x ) = k x 2 − 3 x + 5 p(x) = kx^2 - 3x + 5 p ( x ) = k x 2 − 3 x + 5 k k k
हल:
योग = − b a = − − 3 k = 3 k = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-3}{k} = \dfrac{3}{k} = − a b = − k − 3 = k 3
= 1 = 1 = 1 3 k = 1 ⇒ k = 3 \dfrac{3}{k} = 1 \Rightarrow k = 3 k 3 = 1 ⇒ k = 3
अंतिम उत्तर: k = 3 k = 3 k = 3
सार: योग सूत्र को दिए मान के बराबर रखें।
PYQ 11: 3 x 2 + 10 x + 7 3 \sqrt3 x^2 + 10x + 7\sqrt3 3 x 2 + 10 x + 7 3 (3 अंक)
p ( x ) = 3 x 2 + 10 x + 7 3 p(x) = \sqrt{3}x^2 + 10x + 7\sqrt{3} p ( x ) = 3 x 2 + 10 x + 7 3
हल:
गुणनफल a ⋅ c = 3 ⋅ 7 3 = 21 a \cdot c = \sqrt3 \cdot 7\sqrt3 = 21 a ⋅ c = 3 ⋅ 7 3 = 21 3 + 7 3 + 7 3 + 7
3 x 2 + 3 x + 7 x + 7 3 = 3 x ( x + 3 ) + 7 ( x + 3 ) = ( x + 3 ) ( 3 x + 7 ) \sqrt3 x^2 + 3x + 7x + 7\sqrt3 = \sqrt3 x(x + \sqrt3) + 7(x + \sqrt3) = (x+\sqrt3)(\sqrt3 x + 7) 3 x 2 + 3 x + 7 x + 7 3 = 3 x ( x + 3 ) + 7 ( x + 3 ) = ( x + 3 ) ( 3 x + 7 ) शून्यक: x = − 3 x = -\sqrt3 x = − 3 x = − 7 3 = − 7 3 3 x = -\dfrac{7}{\sqrt3} = -\dfrac{7\sqrt3}{3} x = − 3 7 = − 3 7 3
अंतिम उत्तर: − 3 -\sqrt3 − 3 − 7 3 3 -\dfrac{7\sqrt3}{3} − 3 7 3
सार: गुणांक करणी होने पर भी मध्य पद विभाजित करें।
PYQ 12: दी गई शर्तों से द्विघात (2 अंक)
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक 5 और − 3 -3 − 3
हल:
योग = 2 = 2 = 2 = − 15 = -15 = − 15
p ( x ) = x 2 − 2 x − 15 p(x) = x^2 - 2x - 15 p ( x ) = x 2 − 2 x − 15
अंतिम उत्तर: x 2 − 2 x − 15 x^2 - 2x - 15 x 2 − 2 x − 15
सार: मानक टेम्पलेट लगाएँ।
PYQ 13: व्युत्क्रम-योग प्रश्न (2 अंक)
यदि α , β \alpha, \beta α , β x 2 − 5 x + 4 x^2 - 5x + 4 x 2 − 5 x + 4 1 α + 1 β − 2 α β \dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} - 2\alpha\beta α 1 + β 1 − 2 α β
हल:
योग = 5 = 5 = 5 = 4 = 4 = 4
1 α + 1 β = 5 4 \dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{5}{4} α 1 + β 1 = 4 5 5 4 − 2 ( 4 ) = 5 4 − 8 = − 27 4 \dfrac{5}{4} - 2(4) = \dfrac{5}{4} - 8 = -\dfrac{27}{4} 4 5 − 2 ( 4 ) = 4 5 − 8 = − 4 27
अंतिम उत्तर: − 27 4 -\dfrac{27}{4} − 4 27
सार: प्रत्येक भाग योग और गुणनफल से बनाएँ, फिर जोड़ें।
PYQ 14: त्रिघात के दिए शून्यक से k k k (3 अंक)
यदि x = 2 x = 2 x = 2 p ( x ) = x 3 − 3 x 2 + k x − 2 p(x) = x^3 - 3x^2 + kx - 2 p ( x ) = x 3 − 3 x 2 + k x − 2 k k k
हल:
p ( 2 ) = 8 − 12 + 2 k − 2 = 0 ⇒ 2 k − 6 = 0 ⇒ k = 3 p(2) = 8 - 12 + 2k - 2 = 0 \Rightarrow 2k - 6 = 0 \Rightarrow k = 3 p ( 2 ) = 8 − 12 + 2 k − 2 = 0 ⇒ 2 k − 6 = 0 ⇒ k = 3 अतः p ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 2 p(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2 p ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 2 ( x − 2 ) (x-2) ( x − 2 ) x 2 − x + 1 x^2 - x + 1 x 2 − x + 1
x 2 − x + 1 = 0 x^2 - x + 1 = 0 x 2 − x + 1 = 0 1 − 4 = − 3 < 0 1 - 4 = -3 < 0 1 − 4 = − 3 < 0
अंतिम उत्तर: k = 3 k = 3 k = 3
सार: k k k
PYQ 15: x 2 − ( 3 + 1 ) x + 3 x^2 - (\sqrt3 + 1)x + \sqrt3 x 2 − ( 3 + 1 ) x + 3 (3 अंक)
p ( x ) = x 2 − ( 3 + 1 ) x + 3 p(x) = x^2 - (\sqrt3 + 1)x + \sqrt3 p ( x ) = x 2 − ( 3 + 1 ) x + 3
हल:
विभाजित करें: x 2 − 3 x − x + 3 = x ( x − 3 ) − 1 ( x − 3 ) = ( x − 3 ) ( x − 1 ) x^2 - \sqrt3 x - x + \sqrt3 = x(x - \sqrt3) - 1(x - \sqrt3) = (x-\sqrt3)(x-1) x 2 − 3 x − x + 3 = x ( x − 3 ) − 1 ( x − 3 ) = ( x − 3 ) ( x − 1 )
शून्यक: x = 3 x = \sqrt3 x = 3 x = 1 x = 1 x = 1
अंतिम उत्तर: 3 \sqrt3 3 1 1 1
सार: मध्य पद विभाजित करते समय करणी पदों को एक साथ समूहित करें।
PYQ 16: बहुपद विभाजन (3 अंक)
p ( x ) = 3 x 3 + x 2 + 2 x + 5 p(x) = 3x^3 + x^2 + 2x + 5 p ( x ) = 3 x 3 + x 2 + 2 x + 5 g ( x ) = x 2 + 2 x + 1 g(x) = x^2 + 2x + 1 g ( x ) = x 2 + 2 x + 1
हल:
3 x 3 x 2 = 3 x \dfrac{3x^3}{x^2} = 3x x 2 3 x 3 = 3 x 3 x ( x 2 + 2 x + 1 ) = 3 x 3 + 6 x 2 + 3 x 3x(x^2+2x+1) = 3x^3 + 6x^2 + 3x 3 x ( x 2 + 2 x + 1 ) = 3 x 3 + 6 x 2 + 3 x − 5 x 2 − x + 5 -5x^2 - x + 5 − 5 x 2 − x + 5 − 5 x 2 x 2 = − 5 \dfrac{-5x^2}{x^2} = -5 x 2 − 5 x 2 = − 5 − 5 ( x 2 + 2 x + 1 ) = − 5 x 2 − 10 x − 5 -5(x^2+2x+1) = -5x^2 - 10x - 5 − 5 ( x 2 + 2 x + 1 ) = − 5 x 2 − 10 x − 5 9 x + 10 9x + 10 9 x + 10 घात 1 < 2, रुकें।
अंतिम उत्तर: भागफल 3 x − 5 3x - 5 3 x − 5 9 x + 10 9x + 10 9 x + 10
सार: जब शेषफल की घात भाजक से कम हो जाए तब रुकें।
PYQ 17: द्विघात के दोनों संबंध (2 अंक)
यदि α , β \alpha, \beta α , β 2 x 2 − 4 x + 5 2x^2 - 4x + 5 2 x 2 − 4 x + 5 α 2 + β 2 \alpha^2 + \beta^2 α 2 + β 2
हल:
योग = 4 2 = 2 = \dfrac{4}{2} = 2 = 2 4 = 2 = 5 2 = \dfrac{5}{2} = 2 5
α 2 + β 2 = 2 2 − 2 ⋅ 5 2 = 4 − 5 = − 1 \alpha^2+\beta^2 = 2^2 - 2\cdot\dfrac{5}{2} = 4 - 5 = -1 α 2 + β 2 = 2 2 − 2 ⋅ 2 5 = 4 − 5 = − 1
अंतिम उत्तर: − 1 -1 − 1
सार: यहाँ ऋणात्मक मान दर्शाता है कि शून्यक वास्तविक नहीं — परंतु सर्वसमिका फिर भी α 2 + β 2 \alpha^2 + \beta^2 α 2 + β 2
PYQ 18: स्थानांतरित शून्यकों से बहुपद बनाना (3 अंक)
यदि α , β \alpha, \beta α , β x 2 − 2 x + 3 x^2 - 2x + 3 x 2 − 2 x + 3 α + 2 \alpha + 2 α + 2 β + 2 \beta + 2 β + 2
हल:
योग = 2 = 2 = 2 = 3 = 3 = 3
नया योग = ( α + β ) + 4 = 2 + 4 = 6 = (\alpha + \beta) + 4 = 2 + 4 = 6 = ( α + β ) + 4 = 2 + 4 = 6
नया गुणनफल = α β + 2 ( α + β ) + 4 = 3 + 4 + 4 = 11 = \alpha\beta + 2(\alpha+\beta) + 4 = 3 + 4 + 4 = 11 = α β + 2 ( α + β ) + 4 = 3 + 4 + 4 = 11
बहुपद: x 2 − 6 x + 11 x^2 - 6x + 11 x 2 − 6 x + 11
अंतिम उत्तर: x 2 − 6 x + 11 x^2 - 6x + 11 x 2 − 6 x + 11
सार: स्थानांतरण के बाद नया योग और गुणनफल परिकलित करें।
PYQ 19: a a a b b b (3 अंक)
यदि 1 और − 2 -2 − 2 p ( x ) = x 3 + a x 2 − x + b p(x) = x^3 + ax^2 - x + b p ( x ) = x 3 + a x 2 − x + b a a a b b b
हल:
p ( 1 ) = 1 + a − 1 + b = 0 ⇒ a + b = 0 p(1) = 1 + a - 1 + b = 0 \Rightarrow a + b = 0 p ( 1 ) = 1 + a − 1 + b = 0 ⇒ a + b = 0 p ( − 2 ) = − 8 + 4 a + 2 + b = 0 ⇒ 4 a + b = 6 p(-2) = -8 + 4a + 2 + b = 0 \Rightarrow 4a + b = 6 p ( − 2 ) = − 8 + 4 a + 2 + b = 0 ⇒ 4 a + b = 6 घटाएँ: 3 a = 6 ⇒ a = 2 3a = 6 \Rightarrow a = 2 3 a = 6 ⇒ a = 2 b = − 2 b = -2 b = − 2
अंतिम उत्तर: a = 2 a = 2 a = 2 b = − 2 b = -2 b = − 2
सार: प्रत्येक ज्ञात शून्यक एक समीकरण देता है; निकाय हल करें।
PYQ 20: समान शून्यक शर्त (2 अंक)
k k k x 2 − 4 x + k x^2 - 4x + k x 2 − 4 x + k
हल:
समान शून्यक ⇒ दोनों शून्यक α \alpha α = 2 α = 4 ⇒ α = 2 = 2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha = 2 = 2 α = 4 ⇒ α = 2
गुणनफल = α 2 = 4 = k 1 = \alpha^2 = 4 = \dfrac{k}{1} = α 2 = 4 = 1 k k = 4 k = 4 k = 4
अंतिम उत्तर: k = 4 k = 4 k = 4
सार: समान शून्यक का अर्थ है गुणनफल आधे योग के वर्ग के बराबर।
PYQ 21: गुणनफल और एक प्राचल (3 अंक)
यदि α , β \alpha, \beta α , β x 2 − 6 x + a x^2 - 6x + a x 2 − 6 x + a 3 α + 2 β = 20 3\alpha + 2\beta = 20 3 α + 2 β = 20 a a a
हल:
α + β = 6 \alpha + \beta = 6 α + β = 6 α β = a \alpha\beta = a α β = a 3 α + 2 β = 20 3\alpha + 2\beta = 20 3 α + 2 β = 20 α + β = 6 \alpha + \beta = 6 α + β = 6 2 α + 2 β = 12 2\alpha + 2\beta = 12 2 α + 2 β = 12 α = 8 \alpha = 8 α = 8 β = − 2 \beta = -2 β = − 2 a = α β = ( 8 ) ( − 2 ) = − 16 a = \alpha\beta = (8)(-2) = -16 a = α β = ( 8 ) ( − 2 ) = − 16
अंतिम उत्तर: a = − 16 a = -16 a = − 16
सार: योग संबंध और अतिरिक्त शर्त से प्रत्येक शून्यक ज्ञात करें, फिर गुणनफल।
PYQ 22: 6 x 2 − 7 x − 3 6x^2 - 7x - 3 6 x 2 − 7 x − 3 (3 अंक)
p ( x ) = 6 x 2 − 7 x − 3 p(x) = 6x^2 - 7x - 3 p ( x ) = 6 x 2 − 7 x − 3
हल:
विभाजित करें: 6 x 2 − 9 x + 2 x − 3 = 3 x ( 2 x − 3 ) + 1 ( 2 x − 3 ) = ( 3 x + 1 ) ( 2 x − 3 ) 6x^2 - 9x + 2x - 3 = 3x(2x-3) + 1(2x-3) = (3x+1)(2x-3) 6 x 2 − 9 x + 2 x − 3 = 3 x ( 2 x − 3 ) + 1 ( 2 x − 3 ) = ( 3 x + 1 ) ( 2 x − 3 )
शून्यक: − 1 3 -\dfrac{1}{3} − 3 1 3 2 \dfrac{3}{2} 2 3
योग = 7 6 = − − 7 6 = \dfrac{7}{6} = -\dfrac{-7}{6} = 6 7 = − 6 − 7 = − 1 2 = − 3 6 = -\dfrac{1}{2} = \dfrac{-3}{6} = − 2 1 = 6 − 3
अंतिम उत्तर: शून्यक − 1 3 , 3 2 -\dfrac{1}{3}, \dfrac{3}{2} − 3 1 , 2 3
सार: मध्य पद को विभाजित करें, फिर शून्यक पढ़ें और उन्हें योग व गुणनफल से सत्यापित करें।
PYQ 23: एकल दी गई शर्त से द्विघात (2 अंक)
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक 2 2 2 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1
हल:
योग = 2 + 1 2 = 5 2 = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} = 2 + 2 1 = 2 5 = 2 × 1 2 = 1 = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1 = 2 × 2 1 = 1
p ( x ) = x 2 − 5 2 x + 1 p(x) = x^2 - \dfrac{5}{2}x + 1 p ( x ) = x 2 − 2 5 x + 1 2 x 2 − 5 x + 2 2x^2 - 5x + 2 2 x 2 − 5 x + 2
अंतिम उत्तर: 2 x 2 − 5 x + 2 2x^2 - 5x + 2 2 x 2 − 5 x + 2
सार: भिन्न हटाने हेतु बहुपद को गुणा करें।
PYQ 24: शून्यक शर्तों से बहुपद ज्ञात करना (3 अंक)
एक द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः − 3 -3 − 3 2 2 2
हल:
p ( x ) = x 2 − ( − 3 ) x + 2 = x 2 + 3 x + 2 p(x) = x^2 - (-3)x + 2 = x^2 + 3x + 2 p ( x ) = x 2 − ( − 3 ) x + 2 = x 2 + 3 x + 2 गुणनखंडन: ( x + 1 ) ( x + 2 ) (x+1)(x+2) ( x + 1 ) ( x + 2 ) − 1 -1 − 1 − 2 -2 − 2
अंतिम उत्तर: x 2 + 3 x + 2 x^2 + 3x + 2 x 2 + 3 x + 2 − 1 , − 2 -1, -2 − 1 , − 2
सार: बहुपद बनाएँ, फिर शून्यक पाने हेतु गुणनखंडन करें।
PYQ 25: ज्यामितीय / वैचारिक (1 अंक)
एक बहुपद p ( x ) p(x) p ( x ) p ( x ) p(x) p ( x )
हल:
शून्यकों की संख्या उतनी ही होती है जितने बिंदुओं पर ग्राफ x-अक्ष से मिलता है।
ग्राफ अक्ष से 3 + 2 = 5 3 + 2 = 5 3 + 2 = 5 p ( x ) p(x) p ( x ) 5 5 5
अंतिम उत्तर: 5 शून्यक।
सार: ग्राफ जहाँ-जहाँ x-अक्ष से मिलता है उन सभी बिंदुओं को गिनें — काटना और स्पर्श दोनों।
PYQ 26: एक शून्यक दिए होने पर त्रिघात के सभी शून्यक (4 अंक)
p ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 10 x + 24 p(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24 p ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 10 x + 24 x = 2 x = 2 x = 2
हल:
( x − 2 ) (x - 2) ( x − 2 ) x 2 − x − 12 x^2 - x - 12 x 2 − x − 12 x 2 − x − 12 = ( x − 4 ) ( x + 3 ) x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3) x 2 − x − 12 = ( x − 4 ) ( x + 3 ) 4 4 4 − 3 -3 − 3
अंतिम उत्तर: 2 , 4 , − 3 2, 4, -3 2 , 4 , − 3
सार: दिए शून्यक से त्रिघात को द्विघात में घटाएँ, फिर गुणनखंडन करें।
