भूमिका और बहुपदों के प्रकार

बहुपद क्या है?

आइए सरल से शुरू करें। आप पहले ही $2x + 3$, $x^2 - 5x + 6$, और $4x^3 + x$ जैसे व्यंजकों के साथ काम कर चुके हैं। ये सब एक परिवार से संबंध रखते हैं जिसे बहुपद कहते हैं।

एक चर $x$ वाला बहुपद निम्न रूप का एक व्यंजक होता है

$$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$

जहाँ $a_0, a_1, \dots, a_n$ वास्तविक संख्याएँ हैं (गुणांक), $a_n \neq 0$, और $x$ की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं (0, 1, 2, …)।

मुख्य बिंदु: बहुपद में चर की घातें ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए। अतः $x^2 + 3x + 1$ एक बहुपद है, परंतु $x^{-1} + 2$ या $\sqrt{x} + 1$ (अर्थात् $x^{1/2}+1$) बहुपद नहीं हैं।

ऐसे समझिए: बहुपद एक 'स्वच्छ' बीजीय व्यंजक है — हर में कोई चर नहीं, चर का कोई मूल नहीं, कोई ऋणात्मक घात नहीं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक पसंदीदा जाल: $\dfrac{1}{x} + x$ बहुपद नहीं है क्योंकि $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$ में ऋणात्मक घात है।

पद, गुणांक और घात

आइए $p(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 5$ का उपयोग कर बहुपद के भागों को समझें।

पद (Terms)

• या − चिह्नों से अलग किए गए भाग: $4x^3$, $-2x^2$, $7x$, और $-5$ चार पद हैं।

गुणांक (Coefficients)

$x$ की प्रत्येक घात को गुणा करने वाली संख्या। यहाँ $x^3$ का गुणांक 4, $x^2$ का $-2$, $x$ का 7, और अचर पद $-5$ है।

घात (Degree)

बहुपद की घात चर की उपस्थित सबसे बड़ी घात होती है (अशून्य गुणांक के साथ)। $p(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 5$ के लिए, घात 3 है।

मुख्य बिंदु: घात बहुपद के बारे में लगभग सब कुछ तय करती है — उसका नाम, उसके ग्राफ का आकार, और उसके शून्यकों की अधिकतम संख्या।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] $p(x) = 5$ जैसे अचर बहुपद की घात 0 होती है। शून्य बहुपद $p(x) = 0$ की घात परिभाषित नहीं होती।

घात के अनुसार बहुपदों के प्रकार

हम बहुपदों को उनकी घात के अनुसार नाम देते हैं। ये तीन कक्षा 10 के मुख्य पात्र हैं।

घात	नाम	सामान्य रूप	उदाहरण
1	रैखिक	$ax + b,\ a\neq 0$	$2x + 3$
2	द्विघात	$ax^2 + bx + c,\ a\neq 0$	$x^2 - 5x + 6$
3	त्रिघात	$ax^3 + bx^2 + cx + d,\ a\neq 0$	$x^3 - 1$

मुख्य बिंदु: एक रैखिक बहुपद के अधिक-से-अधिक 1 शून्यक, द्विघात के अधिक-से-अधिक 2 शून्यक, और त्रिघात के अधिक-से-अधिक 3 शून्यक होते हैं। सामान्यतः, घात $n$ के बहुपद के अधिक-से-अधिक $n$ शून्यक होते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] आप पदों की संख्या से भी वर्गीकृत कर सकते हैं: एकपदी (1 पद), द्विपदी (2 पद), त्रिपदी (3 पद)। परंतु इस अध्याय के लिए घात-आधारित नामकरण कहीं अधिक महत्वपूर्ण है।

बहुपद का मान और शून्यक

यह विचार पूरे अध्याय का हृदय है।

बहुपद का मान

$x = k$ पर $p(x)$ का मान वह संख्या है जो $x = k$ प्रतिस्थापित करने पर मिलती है, जिसे $p(k)$ लिखते हैं।

$p(x) = x^2 - 5x + 6$ के लिए: $p(2) = (2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$।

बहुपद का शून्यक

एक वास्तविक संख्या $k$, $p(x)$ का शून्यक है यदि $p(k) = 0$। अतः $x = 2$, $x^2 - 5x + 6$ का शून्यक है क्योंकि $p(2) = 0$।

मुख्य बिंदु: शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है $p(x) = 0$ हल करना। बहुपद के शून्यक ठीक समीकरण $p(x) = 0$ के हल (मूल) होते हैं।

रैखिक बहुपद का शून्यक

$p(x) = ax + b$ के लिए, $ax + b = 0$ रखने पर एकमात्र शून्यक $x = -\dfrac{b}{a}$ मिलता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] 'बहुपद के शून्यक' ($x$ का वह मान जो $p(x)=0$ बनाता है) को 'संख्या शून्य' से भ्रमित न करें। ये एक ही नाम वाले अलग विचार हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: क्या यह बहुपद है?

इनमें से कौन बहुपद हैं: (i) $3x^2 - 4x + 1$, (ii) $x + \dfrac{1}{x}$, (iii) $\sqrt{x} + 2$?

हल:

1. (i) $x$ की घातें 2, 1, 0 — सभी पूर्ण संख्याएँ → बहुपद।
2. (ii) $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$ में ऋणात्मक घात → बहुपद नहीं।
3. (iii) $\sqrt{x} = x^{1/2}$ में भिन्नात्मक घात → बहुपद नहीं।

अंतिम उत्तर: केवल (i) बहुपद है।

सार: जाँचें कि $x$ की प्रत्येक घात ऋणेतर पूर्णांक हो।

उदाहरण 2: घात ज्ञात करना

$p(x) = 7 - 3x + 5x^4 - x^2$ की घात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $x$ की सभी घातें पहचानें: $x^4$, $x^2$, $x^1$, $x^0$।
2. अशून्य गुणांक वाली सबसे बड़ी घात $x^4$ है।

अंतिम उत्तर: घात $= 4$।

सार: क्रम मायने नहीं रखता — उपस्थित सबसे बड़ी घात खोजें।

उदाहरण 3: घात के अनुसार वर्गीकरण

रैखिक, द्विघात या त्रिघात के रूप में वर्गीकृत करें: (i) $5x + 2$, (ii) $3x^2 - 7$, (iii) $x^3 + 2x - 1$।

हल:

1. (i) घात 1 → रैखिक।
2. (ii) घात 2 → द्विघात।
3. (iii) घात 3 → त्रिघात।

अंतिम उत्तर: क्रमशः रैखिक, द्विघात, त्रिघात।

सार: घात 1 = रैखिक, 2 = द्विघात, 3 = त्रिघात।

उदाहरण 4: मान ज्ञात करना

यदि $p(x) = 2x^2 - 3x + 1$, तो $p(1)$ और $p(-2)$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $p(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$।
2. $p(-2) = 2(-2)^2 - 3(-2) + 1 = 2(4) + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$।

अंतिम उत्तर: $p(1) = 0$, $p(-2) = 15$।

सार: सावधानी से प्रतिस्थापित करें — ऋणात्मक मान पर चिह्नों का ध्यान रखें।

उदाहरण 5: जाँचें कि कोई संख्या शून्यक है या नहीं

क्या $x = 3$, $p(x) = x^2 - 2x - 3$ का शून्यक है?

हल:

1. $p(3) = (3)^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$ गणना करें।
2. चूँकि $p(3) = 0$, हाँ, 3 एक शून्यक है।

अंतिम उत्तर: हाँ, $x = 3$ एक शून्यक है।

सार: कोई संख्या शून्यक है यदि उसे प्रतिस्थापित करने पर 0 मिले।

उदाहरण 6: रैखिक बहुपद का शून्यक

$p(x) = 3x - 12$ का शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $p(x) = 0$ रखें: $3x - 12 = 0$।
2. $3x = 12 \Rightarrow x = 4$।

अंतिम उत्तर: शून्यक $x = 4$ है।

सार: $ax + b$ के लिए शून्यक $x = -b/a$; यहाँ $-(-12)/3 = 4$।

उदाहरण 7: गुणनखंडन द्वारा द्विघात के शून्यक

$p(x) = x^2 - 5x + 6$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:

1. गुणनखंडन करें: दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल $6$ और योग $-5$ हो: वे $-2$ और $-3$ हैं।
2. $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$।
3. प्रत्येक गुणनखंड को 0 रखें: $x = 2$ या $x = 3$।

अंतिम उत्तर: शून्यक 2 और 3 हैं।

सार: गुणनखंडन करें, फिर प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें।

उदाहरण 8: गुणांक और अचर पद

$p(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 7$ के लिए, $x^2$ का गुणांक, $x$ का गुणांक, और अचर पद बताइए।

हल:

1. $x^2$ का गुणांक $4$ है।
2. $x$ का गुणांक $-1$ है।
3. अचर पद $7$ है।

अंतिम उत्तर: क्रमशः $4$, $-1$, और $7$।

सार: गुणांकों को उनके चिह्नों सहित पढ़ें।

उदाहरण 9: घात से शून्यकों की संख्या

(i) रैखिक, (ii) द्विघात, (iii) त्रिघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक होते हैं?

हल:

1. घात-$n$ बहुपद के अधिक-से-अधिक $n$ शून्यक होते हैं।
2. (i) रैखिक (घात 1) → अधिक-से-अधिक 1 शून्यक।
3. (ii) द्विघात (घात 2) → अधिक-से-अधिक 2 शून्यक।
4. (iii) त्रिघात (घात 3) → अधिक-से-अधिक 3 शून्यक।

अंतिम उत्तर: क्रमशः 1, 2, और 3।

सार: अधिकतम शून्यक = बहुपद की घात।

उदाहरण 10: दिए गए शून्यक का सत्यापन

सत्यापित कीजिए कि $x = -1$, $p(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ का शून्यक है।

हल:

1. $p(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) - 2$।
2. $= -1 + 2(1) + 1 - 2 = -1 + 2 + 1 - 2 = 0$।
3. चूँकि $p(-1) = 0$, $x = -1$ एक शून्यक है।

अंतिम उत्तर: हाँ, $x = -1$ एक शून्यक है।

सार: ऋणात्मक का सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापन: $(-1)^3 = -1$ और $(-1)^2 = 1$।