बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म

एक बहुपद को दूसरे से भाग देना

जैसे हम पूर्ण संख्याओं को भाग देते हैं (17 ÷ 5 से भागफल 3, शेषफल 2), वैसे ही हम एक बहुपद को दूसरे से भाग दे सकते हैं। यह प्रक्रिया दीर्घ विभाजन (long division) है, जो संख्याओं के समान है।

बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म: यदि $p(x)$ और $g(x)$ कोई दो बहुपद हैं जहाँ $g(x) \neq 0$, तो अद्वितीय बहुपद $q(x)$ (भागफल) और $r(x)$ (शेषफल) इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x),$$ जहाँ या तो $r(x) = 0$ या $\deg r(x) < \deg g(x)$।

यहाँ $p(x)$ भाज्य, $g(x)$ भाजक, $q(x)$ भागफल, और $r(x)$ शेषफल है।

मुख्य बिंदु: शेषफल की घात भाजक की घात से कम होनी चाहिए — तभी भाग देना रुकता है। (संख्याओं के लिए $a = bq + r$ जहाँ $0 \le r < b$ से समानता पर ध्यान दें।)

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] CBSE विद्यार्थियों के लिए नोट: विभाजन एल्गोरिथ्म युक्तिसंगत CBSE पाठ्यपुस्तक से हटा दिया गया है, परंतु यह कई राज्य बोर्ड पाठ्यक्रमों में बना हुआ है और वास्तव में उपयोगी है, अतः हम इसे यहाँ सम्मिलित करते हैं।

दीर्घ विभाजन के चरण

विधि देखने के लिए $p(x) = 3x^2 + x - 2$ को $g(x) = x + 1$ से भाग दें।

1. भाग दें भाज्य के पहले पद को भाजक के पहले पद से: $\dfrac{3x^2}{x} = 3x$। यह भागफल का पहला पद है।
2. भाजक को $3x$ से गुणा करें: $3x(x+1) = 3x^2 + 3x$, और घटाएँ: $(3x^2 + x) - (3x^2 + 3x) = -2x$। $-2$ नीचे लाएँ: अब हमारे पास $-2x - 2$ है।
3. दोहराएँ: $\dfrac{-2x}{x} = -2$। गुणा करें: $-2(x+1) = -2x - 2$। घटाएँ: $(-2x - 2) - (-2x - 2) = 0$।
4. शेषफल 0 है, भागफल $3x - 2$ है।

अतः $3x^2 + x - 2 = (x+1)(3x - 2) + 0$।

मुख्य बिंदु: भाग देने से पहले बहुपदों को सदैव $x$ की घटती घातों में लिखें, और लुप्त घातों के लिए रिक्त स्थान छोड़ें (या $0x$ लिखें)।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] प्रत्येक घटाव पंक्ति स्पष्ट रूप से दिखाएँ। चरण छोड़ना विभाजन प्रश्नों में अंक गँवाने का सबसे सामान्य कारण है।

विभाजन का सत्यापन

भाग देने के बाद, आप विभाजन एल्गोरिथ्म से अपना काम जाँच सकते (और चाहिए):

$$\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$$

यदि गुणा करने पर यह सर्वसमिका सत्य हो, तो आपका विभाजन सही है।

घात जाँच

जब $r(x) \neq 0$ हो तो घातें एक सुंदर नियम का पालन करती हैं: $$\deg p(x) = \deg g(x) + \deg q(x)$$ और $\deg r(x) < \deg g(x)$।

मुख्य बिंदु: सत्यापन का उपयोग गलतियाँ पकड़ने के लिए और इसलिए भी करें क्योंकि कुछ परीक्षा प्रश्न विशेष रूप से विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित करने को कहते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक विशिष्ट 3-अंक का प्रश्न: '$p(x)$ को $g(x)$ से भाग देने पर भागफल और शेषफल ज्ञात किए गए। विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित कीजिए।' बस प्रतिस्थापित कर प्रसार करें।

सभी शून्यक ज्ञात करने में विभाजन का उपयोग

विभाजन एल्गोरिथ्म का एक शक्तिशाली अनुप्रयोग है: यदि आप किसी बहुपद के कुछ शून्यक जानते हैं, तो शेष ज्ञात कर सकते हैं।

विचार

यदि $\alpha$, $p(x)$ का शून्यक है, तो $(x - \alpha)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड है। अतः यदि दो शून्यक ज्ञात हों, माना $\alpha$ और $\beta$, तो $(x - \alpha)(x - \beta)$ एक गुणनखंड है। $p(x)$ को इस गुणनखंड से भाग दें; भागफल शेष शून्यक देता है।

हल किया गया उदाहरण

यह दिया है कि $\sqrt{2}$ और $-\sqrt{2}$, $p(x) = 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2$ के दो शून्यक हैं:

• $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2) = x^2 - 2$ एक गुणनखंड है।
• $p(x)$ को $x^2 - 2$ से भाग देकर भागफल $2x^2 - 3x + 1$ प्राप्त करें।
• $2x^2 - 3x + 1 = 0$ हल करें: $(2x - 1)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = \tfrac{1}{2}, 1$।
• अतः चारों शून्यक $\sqrt2, -\sqrt2, \tfrac{1}{2}, 1$ हैं।

मुख्य बिंदु: ज्ञात शून्यक एक ज्ञात गुणनखंड देते हैं; उससे भाग देना समस्या को एक छोटे (प्रायः द्विघात) बहुपद में बदल देता है जिसे आप हल कर सकते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यह 'कुछ शून्यक दिए होने पर सभी ज्ञात करें' प्रश्न एक उत्कृष्ट 3–4 अंक की समस्या है। $\pm\sqrt{k}$ शून्यकों के युग्म से गुणनखंड सदैव $x^2 - k$ होता है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: मूल विभाजन

$p(x) = x^2 + 3x + 2$ को $g(x) = x + 1$ से भाग दीजिए।

हल:

1. $\dfrac{x^2}{x} = x$; $x(x+1) = x^2 + x$; घटाएँ: $(x^2+3x) - (x^2+x) = 2x$। $+2$ नीचे लाएँ: $2x + 2$।
2. $\dfrac{2x}{x} = 2$; $2(x+1) = 2x+2$; घटाएँ: $0$।
3. भागफल $= x + 2$, शेषफल $= 0$।

अंतिम उत्तर: भागफल $x + 2$, शेषफल 0।

सार: शेषफल 0 का अर्थ है भाजक एक गुणनखंड है।

उदाहरण 2: अशून्य शेषफल वाला विभाजन

$p(x) = x^2 + 2x + 3$ को $g(x) = x - 1$ से भाग दीजिए।

हल:

1. $\dfrac{x^2}{x} = x$; $x(x-1) = x^2 - x$; घटाएँ: $(x^2+2x) - (x^2-x) = 3x$। $+3$ नीचे लाएँ: $3x + 3$।
2. $\dfrac{3x}{x} = 3$; $3(x-1) = 3x - 3$; घटाएँ: $(3x+3)-(3x-3) = 6$।
3. भागफल $= x + 3$, शेषफल $= 6$।

अंतिम उत्तर: भागफल $x + 3$, शेषफल 6।

सार: जब शेषफल की घात भाजक से कम हो जाए तब रुकें।

उदाहरण 3: विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित करना

उदाहरण 2 के लिए सत्यापित कीजिए कि भाज्य $=$ भाजक × भागफल + शेषफल।

हल:

1. भाजक × भागफल $= (x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3$।
2. शेषफल जोड़ें: $x^2 + 2x - 3 + 6 = x^2 + 2x + 3$।
3. यह भाज्य $p(x)$ के बराबर है। ✓

अंतिम उत्तर: सत्यापित: $(x-1)(x+3) + 6 = x^2 + 2x + 3$।

सार: गुणा कर शेषफल जोड़कर पुष्टि करें।

उदाहरण 4: द्विघात से भाग

$p(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 5$ को $g(x) = x^2 + 1$ से भाग दीजिए।

हल:

1. $\dfrac{x^3}{x^2} = x$; $x(x^2+1) = x^3 + x$; घटाएँ: $(x^3 - 3x^2 + 3x) - (x^3 + x) = -3x^2 + 2x$। $-5$ नीचे लाएँ।
2. $\dfrac{-3x^2}{x^2} = -3$; $-3(x^2+1) = -3x^2 - 3$; घटाएँ: $(-3x^2 + 2x - 5) - (-3x^2 - 3) = 2x - 2$।
3. $2x - 2$ की घात (जो 1 है) < भाजक की घात (2), अतः रुकें।

अंतिम उत्तर: भागफल $x - 3$, शेषफल $2x - 2$।

सार: जब शेषफल की घात भाजक की घात से कम हो जाए तब रुकें।

उदाहरण 5: दो शून्यक दिए होने पर सभी ज्ञात करना

$p(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यह दिया है कि 1 और $-1$ उनमें से दो हैं।

हल:

1. चूँकि 1 और $-1$ शून्यक हैं, $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ एक गुणनखंड है।
2. भाग दें: $x^4 - 5x^2 + 4 \div (x^2 - 1)$ से भागफल $x^2 - 4$ (शेषफल 0)।
3. $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2, -2$ हल करें।

अंतिम उत्तर: सभी शून्यक: $1, -1, 2, -2$।

सार: ज्ञात शून्यक → ज्ञात गुणनखंड → भाग दें → भागफल हल करें।

उदाहरण 6: करणी शून्यकों के साथ सभी शून्यक ज्ञात करना

$p(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 6$ के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यह दिया है कि $\sqrt{2}$ और $-\sqrt{2}$ दो शून्यक हैं।

हल:

1. $(x-\sqrt2)(x+\sqrt2) = x^2 - 2$ एक गुणनखंड है।
2. $x^3 + 3x^2 - 2x - 6$ को $x^2 - 2$ से भाग दें: भागफल $x + 3$, शेषफल 0।
3. $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ हल करें।

अंतिम उत्तर: सभी शून्यक: $\sqrt2, -\sqrt2, -3$।

सार: युग्म $\pm\sqrt{k}$ गुणनखंड $x^2 - k$ देता है।

उदाहरण 7: शेषफल शून्य बनाने वाले मान ज्ञात करना

$k$ ज्ञात कीजिए ताकि $x - 2$, $p(x) = x^2 - 3x + k$ का गुणनखंड हो।

हल:

1. यदि $x - 2$ गुणनखंड है, तो $x = 2$ एक शून्यक है, अतः $p(2) = 0$।
2. $p(2) = 4 - 6 + k = -2 + k = 0$।
3. अतः $k = 2$।

अंतिम उत्तर: $k = 2$।

सार: $(x - a)$ गुणनखंड है ⇔ $p(a) = 0$ (गुणनखंड प्रमेय)।

उदाहरण 8: भागफल और शेषफल, फिर सत्यापन

$p(x) = 2x^2 + 3x + 1$ को $g(x) = x + 2$ से भाग देकर सत्यापित कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{2x^2}{x} = 2x$; $2x(x+2) = 2x^2 + 4x$; घटाएँ: $(2x^2 + 3x) - (2x^2 + 4x) = -x$। $+1$ नीचे लाएँ: $-x + 1$।
2. $\dfrac{-x}{x} = -1$; $-1(x+2) = -x - 2$; घटाएँ: $(-x + 1) - (-x - 2) = 3$।
3. भागफल $2x - 1$, शेषफल 3। जाँच: $(x+2)(2x-1) + 3 = 2x^2 + 3x - 2 + 3 = 2x^2 + 3x + 1$। ✓

अंतिम उत्तर: भागफल $2x - 1$, शेषफल 3।

सार: सदैव भाजक × भागफल + शेषफल से सत्यापित करें।

उदाहरण 9: भागफल और शेषफल की घात

यदि एक घात-5 बहुपद को एक घात-2 बहुपद से भाग दिया जाए, तो भागफल की घात और शेषफल की अधिकतम घात क्या होगी?

हल:

1. $\deg q = \deg p - \deg g = 5 - 2 = 3$।
2. शेषफल की घात भाजक से कम होनी चाहिए, अतः अधिक-से-अधिक घात 1।

अंतिम उत्तर: भागफल घात 3; शेषफल घात अधिक-से-अधिक 1।

सार: $\deg q = \deg p - \deg g$; $\deg r < \deg g$।

उदाहरण 10: शेषफल प्रमेय से शेषफल ज्ञात करना

$p(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1$ को $x - 1$ से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. शेषफल प्रमेय से, शेषफल $p(1)$ है।
2. $p(1) = 1 - 2 + 1 + 1 = 1$।

अंतिम उत्तर: शेषफल $= 1$।

सार: $(x - a)$ से भाग देने पर शेषफल $p(a)$ होता है — दीर्घ विभाजन की आवश्यकता नहीं।