मुख्य संबंध

यह पूरे अध्याय के सबसे उपयोगी परिणामों में से एक है। एक द्विघात बहुपद

p(x)=ax2+bx+c,a≠0p(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

के लिए, माना इसके दो शून्यक α\alpha (अल्फा) और β\beta (बीटा) हैं। तब:

शून्यकों का योग=α+β=−ba=−x का गुणांकx2 का गुणांक\text{शून्यकों का योग} = \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^2 \text{ का गुणांक}}

शून्यकों का गुणनफल=αβ=ca=अचर पदx2 का गुणांक\text{शून्यकों का गुणनफल} = \alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}}

मुख्य बिंदु: आप शून्यकों का योग और गुणनफल बहुपद को हल किए बिना ज्ञात कर सकते हैं — बस aa, bb, cc पढ़ लें। यह परीक्षा में बहुत समय बचाता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] चिह्न याद रखें: योग −b/a-b/a है (ऋण चिह्न पर ध्यान दें), गुणनफल +c/a+c/a है। योग के चिह्न में गड़बड़ी सबसे सामान्य त्रुटि है।

यह संबंध क्यों काम करता है

आइए देखें कि यह क्यों सत्य है — इसे समझने से याद रखने में मदद मिलती है।

यदि α\alpha और β\beta, ax2+bx+cax^2 + bx + c के शून्यक हैं, तो हम बहुपद को गुणनखंड रूप में लिख सकते हैं:

ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)

दायाँ पक्ष प्रसारित करने पर:

a(x−α)(x−β)=a[x2−(α+β)x+αβ]=ax2−a(α+β)x+aαβa(x - \alpha)(x - \beta) = a\left[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\right] = ax^2 - a(\alpha+\beta)x + a\alpha\beta

अब ax2+bx+cax^2 + bx + c से गुणांकों की तुलना करें:

  • xx का गुणांक: −a(α+β)=b⇒α+β=−ba-a(\alpha + \beta) = b \Rightarrow \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}।
  • अचर पद: aαβ=c⇒αβ=caa\alpha\beta = c \Rightarrow \alpha\beta = \dfrac{c}{a}।

मुख्य बिंदु: संबंध सीधे गुणनखंड रूप के प्रसार और गुणांकों के मिलान से आते हैं। यही विचार आगे त्रिघात के लिए भी प्रयुक्त होता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] कभी-कभी 2–3 अंक का प्रश्न इन संबंधों को व्युत्पन्न करने को कहता है। यह प्रसार दिखाने से पूरे अंक मिलते हैं।

संबंध का उपयोग — सत्यापन

एक बहुत सामान्य परीक्षा कार्य: किसी द्विघात के शून्यक ज्ञात करें, फिर योग और गुणनफल संबंधों को सत्यापित करें।

हल किया गया उदाहरण: p(x)=x2+7x+10p(x) = x^2 + 7x + 10

  1. गुणनखंडन से शून्यक: x2+7x+10=(x+2)(x+5)x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5), अतः α=−2\alpha = -2, β=−5\beta = -5।
  2. योग जाँच: α+β=−2+(−5)=−7\alpha + \beta = -2 + (-5) = -7। और −ba=−71=−7-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{7}{1} = -7। ✓
  3. गुणनफल जाँच: αβ=(−2)(−5)=10\alpha\beta = (-2)(-5) = 10। और ca=101=10\dfrac{c}{a} = \dfrac{10}{1} = 10। ✓

मुख्य बिंदु: सदैव परिकलित मान (वास्तविक शून्यकों से) और सूत्र मान (अaa, bb, cc से) दोनों प्रस्तुत करें, और दिखाएँ कि वे मेल खाते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यदि गुणनखंडन में छोटी चूक भी हो जाए, तो सत्यापन संरचना (सूत्र लिखें, परिकलित करें, तुलना करें) विधि के अंक दिला देती है।

α\alpha और β\beta के साथ उपयोगी सर्वसमिकाएँ

अनेक प्रश्न एक बहुपद देकर उसके शून्यकों में एक व्यंजक माँगते हैं बिना उन्हें अलग-अलग ज्ञात किए। ये सर्वसमिकाएँ प्रश्न को 'योग' और 'गुणनफल' में बदल देती हैं जिन्हें आप पहले से जानते हैं।

  • α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta
  • 1α+1β=α+βαβ\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}
  • (α−β)2=(α+β)2−4αβ(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta
  • α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)

मुख्य बिंदु: अभीष्ट राशि को (α+β)(\alpha + \beta) और αβ\alpha\beta के पदों में व्यक्त करें, फिर −b/a-b/a और c/ac/a प्रतिस्थापित करें। आपको प्रायः वास्तविक शून्यकों की आवश्यकता नहीं होती।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta बहुत बार पूछी जाती है। इसे याद रखें — यह इस खंड की प्रमुख सर्वसमिका है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: हल किए बिना योग और गुणनफल

p(x)=2x2−8x+6p(x) = 2x^2 - 8x + 6 के लिए, शून्यकों का योग और गुणनफल ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. यहाँ a=2a = 2, b=−8b = -8, c=6c = 6।
  2. योग =−ba=−−82=4= -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-8}{2} = 4।
  3. गुणनफल =ca=62=3= \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{2} = 3।

अंतिम उत्तर: योग =4= 4, गुणनफल =3= 3।

सार: aa, bb, cc पढ़ें और सूत्र लगाएँ — हल करने की आवश्यकता नहीं।

उदाहरण 2: शून्यक ज्ञात कर सत्यापित करें

p(x)=x2+7x+10p(x) = x^2 + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कर गुणांकों के साथ संबंध सत्यापित कीजिए।

हल:

  1. गुणनखंडन: (x+2)(x+5)=0⇒x=−2,−5(x + 2)(x + 5) = 0 \Rightarrow x = -2, -5।
  2. योग: −2+(−5)=−7=−71=−ba-2 + (-5) = -7 = -\dfrac{7}{1} = -\dfrac{b}{a}। ✓
  3. गुणनफल: (−2)(−5)=10=101=ca(-2)(-5) = 10 = \dfrac{10}{1} = \dfrac{c}{a}। ✓

अंतिम उत्तर: शून्यक −2,−5-2, -5; संबंध सत्यापित।

सार: परिकलित योग/गुणनफल की −b/a-b/a और c/ac/a से तुलना करें।

उदाहरण 3: x2−3x^2 - 3 के शून्यक

p(x)=x2−3p(x) = x^2 - 3 के शून्यक ज्ञात कर संबंध सत्यापित कीजिए।

हल:

  1. x2−3=0⇒x2=3⇒x=3,−3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3}, -\sqrt{3}।
  2. यहाँ a=1a = 1, b=0b = 0, c=−3c = -3।
  3. योग: 3+(−3)=0=−01\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0 = -\dfrac{0}{1}। ✓
  4. गुणनफल: 3×(−3)=−3=−31\sqrt{3} \times (-\sqrt{3}) = -3 = \dfrac{-3}{1}। ✓

अंतिम उत्तर: शून्यक 3,−3\sqrt{3}, -\sqrt{3}; सत्यापित।

सार: जब b=0b = 0, शून्यक समान परिमाण और विपरीत चिह्न के होते हैं, अतः उनका योग 0 होता है।

उदाहरण 4: 6x2−7x−36x^2 - 7x - 3 के शून्यक

p(x)=6x2−7x−3p(x) = 6x^2 - 7x - 3 के शून्यक ज्ञात कर संबंध सत्यापित कीजिए।

हल:

  1. मध्य पद को विभाजित करें: 6x2−9x+2x−3=3x(2x−3)+1(2x−3)=(3x+1)(2x−3)6x^2 - 9x + 2x - 3 = 3x(2x - 3) + 1(2x - 3) = (3x + 1)(2x - 3)।
  2. शून्यक: x=−13x = -\dfrac{1}{3} और x=32x = \dfrac{3}{2}।
  3. योग =−13+32=−2+96=76=−−76=−ba= -\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{-2 + 9}{6} = \dfrac{7}{6} = -\dfrac{-7}{6} = -\dfrac{b}{a}। ✓
  4. गुणनफल =−13×32=−12=−36=ca= -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2} = \dfrac{-3}{6} = \dfrac{c}{a}। ✓

अंतिम उत्तर: शून्यक −13,32-\dfrac{1}{3}, \dfrac{3}{2}; सत्यापित।

सार: मध्य पद विभाजन a≠1a \neq 1 वाले द्विघात का गुणनखंडन करता है।

उदाहरण 5: α2+β2\alpha^2 + \beta^2 ज्ञात करना

यदि α\alpha और β\beta, x2−5x+6x^2 - 5x + 6 के शून्यक हैं, तो α2+β2\alpha^2 + \beta^2 ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. योग =5= 5, गुणनफल =6= 6 (−b/a-b/a और c/ac/a से)।
  2. α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta का उपयोग करें।
  3. =52−2(6)=25−12=13= 5^2 - 2(6) = 25 - 12 = 13।

अंतिम उत्तर: α2+β2=13\alpha^2 + \beta^2 = 13।

सार: योग और गुणनफल में बदलें, फिर प्रतिस्थापित करें — α\alpha, β\beta ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं।

उदाहरण 6: 1α+1β\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} ज्ञात करना

यदि α,β\alpha, \beta, 2x2−4x+12x^2 - 4x + 1 के शून्यक हैं, तो 1α+1β\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. योग =−−42=2= -\dfrac{-4}{2} = 2; गुणनफल =12= \dfrac{1}{2}।
  2. 1α+1β=α+βαβ=21/2=4\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \dfrac{2}{1/2} = 4।

अंतिम उत्तर: 1α+1β=4\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = 4।

सार: 1α+1β=योगगुणनफल\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\text{योग}}{\text{गुणनफल}}।

उदाहरण 7: एक शून्यक से गुणांक ज्ञात करना

यदि x2−kx+6x^2 - kx + 6 का एक शून्यक 2 है, तो kk और दूसरा शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. शून्यकों का गुणनफल =ca=61=6= \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{1} = 6। यदि एक शून्यक 2 है, तो दूसरा 6/2=36/2 = 3।
  2. शून्यकों का योग =2+3=5=−−k1=k= 2 + 3 = 5 = -\dfrac{-k}{1} = k।

अंतिम उत्तर: k=5k = 5, दूसरा शून्यक =3= 3।

सार: गुणनफल से लुप्त शून्यक ज्ञात करें, फिर योग से kk।

उदाहरण 8: (α−β)2(\alpha - \beta)^2 ज्ञात करना

यदि α,β\alpha, \beta, x2−6x+8x^2 - 6x + 8 के शून्यक हैं, तो (α−β)2(\alpha - \beta)^2 ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. योग =6= 6, गुणनफल =8= 8।
  2. (α−β)2=(α+β)2−4αβ=62−4(8)=36−32=4(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 6^2 - 4(8) = 36 - 32 = 4।

अंतिम उत्तर: (α−β)2=4(\alpha - \beta)^2 = 4।

सार: (α−β)2=(α+β)2−4αβ(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta।

उदाहरण 9: व्युत्क्रमों के वर्गों का योग

यदि α,β\alpha, \beta, x2−5x+6x^2 - 5x + 6 के शून्यक हैं, तो 1α2+1β2\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2} ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. योग =5= 5, गुणनफल =6= 6।
  2. 1α2+1β2=α2+β2(αβ)2\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2} = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2}।
  3. α2+β2=25−12=13\alpha^2 + \beta^2 = 25 - 12 = 13; (αβ)2=36(\alpha\beta)^2 = 36।
  4. अतः मान =1336= \dfrac{13}{36}।

अंतिम उत्तर: 1336\dfrac{13}{36}।

सार: व्यंजक को योग और गुणनफल से चरण-दर-चरण बनाएँ।

उदाहरण 10: शून्यकों के योग से प्राचल ज्ञात करना

यदि 3x2+(2k+1)x−53x^2 + (2k+1)x - 5 के शून्यकों का योग 1 है, तो kk ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. शून्यकों का योग =−ba=−2k+13= -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2k+1}{3}।
  2. 1 के बराबर रखें: −2k+13=1⇒2k+1=−3-\dfrac{2k+1}{3} = 1 \Rightarrow 2k + 1 = -3।
  3. 2k=−4⇒k=−22k = -4 \Rightarrow k = -2।

अंतिम उत्तर: k=−2k = -2।

सार: योग के सूत्र को दिए मान के बराबर रखकर अज्ञात के लिए हल करें।