सारांश और त्वरित पुनरावृत्ति

अध्याय एक नज़र में

यहाँ पूरे बहुपद एक पृष्ठ पर हैं — परीक्षा से एक रात पहले के लिए उत्तम।

मूल बातें

• एक बहुपद में चर की केवल ऋणेतर पूर्णांक घातें होती हैं। $\dfrac{1}{x}$, $\sqrt{x}$ अनुमत नहीं हैं।
• घात = उपस्थित सबसे बड़ी घात। रैखिक (1), द्विघात (2), त्रिघात (3)।
• $p(x)$ का शून्यक वह मान $k$ है जिसके लिए $p(k) = 0$।
• घात $n$ के बहुपद के अधिक-से-अधिक $n$ शून्यक होते हैं।

याद रखें: $p(x)$ के शून्यक वे x-निर्देशांक हैं जहाँ ग्राफ $y = p(x)$ x-अक्ष को मिलता है।

ग्राफ और शून्यक

बहुपद	ग्राफ आकार	अधिकतम वास्तविक शून्यक
रैखिक $ax+b$	सरल रेखा	1
द्विघात $ax^2+bx+c$	परवलय	2
त्रिघात $ax^3+\dots$	2 मोड़ तक वाला वक्र	3

• परवलय $a > 0$ पर ऊपर, $a < 0$ पर नीचे खुलता है।
• x-अक्ष को 2 बिंदुओं पर काटता है → 2 शून्यक; स्पर्श → समान शून्यक; नहीं मिलता → कोई वास्तविक शून्यक नहीं।

मुख्य बिंदु: वास्तविक शून्यकों की संख्या = वे बिंदु जहाँ ग्राफ x-अक्ष को मिलता है।

शून्यक–गुणांक संबंध (अवश्य याद रखें)

द्विघात $ax^2 + bx + c$ (शून्यक $\alpha, \beta$)

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}$$

त्रिघात $ax^3 + bx^2 + cx + d$ (शून्यक $\alpha, \beta, \gamma$)

$$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a}, \quad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$$

मुख्य बिंदु: चिह्न $-, +, -$ क्रम में बदलते हैं। शून्यकों का योग सदैव ऋण चिह्न रखता है।

उपयोगी सर्वसमिकाएँ

• $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$
• $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$
• $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$
• $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$

बहुपद बनाना और विभाजन

शून्यकों से बनाना

• द्विघात: $x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})$।
• त्रिघात: $x^3 - S_1 x^2 + S_2 x - S_3$, जहाँ $S_1, S_2, S_3$ शून्यकों का योग, जोड़ी-योग, और गुणनफल हैं।

विभाजन एल्गोरिथ्म

$$p(x) = g(x)\,q(x) + r(x), \quad r(x) = 0 \text{ या } \deg r < \deg g$$

• $\deg q = \deg p - \deg g$।
• शेषफल प्रमेय: $(x-a)$ से भाग देने पर शेषफल $p(a)$ होता है।
• गुणनखंड प्रमेय: $(x-a)$ गुणनखंड है ⇔ $p(a) = 0$।

मुख्य बिंदु: कुछ शून्यक ज्ञात होने पर सभी ज्ञात करने हेतु, संगत गुणनखंड से भाग दें और भागफल हल करें।

अंतिम-क्षण सुझाव और सामान्य जाल

• शून्यकों का योग $-b/a$ है — ऋण चिह्न न भूलें (सबसे सामान्य एकल त्रुटि)।
• शून्यकों का युग्म $\pm\sqrt{k}$ गुणनखंड $x^2 - k$ देता है; उच्च-घात बहुपदों को घटाने हेतु इसका उपयोग करें।
• x-अक्ष को 'स्पर्श' करना ⇒ समान (दोहराए) शून्यक, 'कोई शून्यक नहीं' नहीं।
• 'शून्यकों से बहुपद बनाने' के लिए, टेम्पलेट चिह्न याद रखें: $x^2 - Sx + P$।
• भाग देते समय, सदैव घटती घातों में व्यवस्थित करें और लुप्त पदों के लिए $0x$ रखें।
• विभाजन को सत्यापित करें: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल।

अंतिम बात: बहुपद एक अधिक अंक दिलाने वाला अध्याय है। शून्यक–गुणांक संबंध, बनाने के टेम्पलेट, और बहुपद विभाजन में महारत हासिल कर लें, तो अधिकांश अंक सुरक्षित हैं। शुभकामनाएँ!