बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

ग्राफ पर शून्यक — मुख्य विचार

पिछले खंड में $p(x)$ का शून्यक वह संख्या $k$ थी जिसके लिए $p(k) = 0$। अब आइए देखें कि ग्राफ पर इसका क्या अर्थ है।

जब हम $y = p(x)$ आलेखित करते हैं, तो हमें एक वक्र मिलता है। $p(x)$ के शून्यक ठीक उन बिंदुओं के x-निर्देशांक होते हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता (या स्पर्श करता) है। ऐसा इसलिए क्योंकि x-अक्ष पर $y = 0$, और $y = p(x) = 0$ ही शून्यक की शर्त है।

मुख्य बिंदु: ज्यामितीय रूप से, बहुपद के शून्यक उसके ग्राफ के x-अंतःखंड होते हैं — वे बिंदु जहाँ $y = 0$।

ऐसे समझिए: $p(x) = 0$ को बीजगणितीय रूप से हल करना और यह ज्ञात करना कि ग्राफ x-अक्ष को कहाँ काटता है — एक ही बात के दो दृष्टिकोण हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक सामान्य 1-अंक का प्रश्न एक ग्राफ दिखाकर शून्यकों की संख्या पूछता है। बस गिनें कि वक्र x-अक्ष को कितनी बार मिलता है।

रैखिक बहुपद — एक सरल रेखा

रैखिक बहुपद $y = ax + b$ का ग्राफ एक सरल रेखा होता है।

• एक सरल रेखा (जो क्षैतिज न हो) x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर काटती है।
• वह बिंदु $\left(-\dfrac{b}{a},\ 0\right)$ है, अतः रैखिक बहुपद का ठीक एक शून्यक होता है।

उदाहरण

$y = 2x - 4$ के लिए, रेखा x-अक्ष को वहाँ मिलती है जहाँ $2x - 4 = 0$, अर्थात् $x = 2$ पर। अतः एकमात्र शून्यक 2 है, जो एक x-अंतःखंड से मेल खाता है।

मुख्य बिंदु: एक अचर-रहित रैखिक बहुपद का सदैव ठीक एक वास्तविक शून्यक होता है — उसका ग्राफ x-अक्ष को एक बार काटता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] $y = 3$ (एक अशून्य अचर) जैसी क्षैतिज रेखा x-अक्ष को कभी नहीं मिलती, अतः उसका कोई शून्यक नहीं — घात-0 बहुपद से संगत।

द्विघात बहुपद — एक परवलय

द्विघात $y = ax^2 + bx + c$ का ग्राफ एक U-आकार का वक्र होता है जिसे परवलय (parabola) कहते हैं।

• यदि $a > 0$, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है (∪)।
• यदि $a < 0$, तो यह नीचे की ओर खुलता है (∩)।

शून्यकों की संख्या इस पर निर्भर करती है कि परवलय x-अक्ष को कैसे मिलता है:

स्थिति	शून्यक
x-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं पर काटता है	2 भिन्न शून्यक
x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है	1 शून्यक (दोहराया/समान)
x-अक्ष को नहीं मिलता	0 वास्तविक शून्यक

मुख्य बिंदु: द्विघात के अधिक-से-अधिक 2 वास्तविक शून्यक होते हैं। अक्ष को 'स्पर्श' करने का अर्थ है दोनों शून्यक संपाती (समान मूल) हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] जब परवलय x-अक्ष को केवल स्पर्श करता है, तो बहुपद के दो समान शून्यक होते हैं — परीक्षक इसे एक भिन्न शून्यक परंतु दो संपाती मूल गिनते हैं। प्रश्न की भाषा ध्यान से पढ़ें।

त्रिघात बहुपद और सामान्य नियम

त्रिघात $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ का ग्राफ एक चिकना वक्र होता है जो दो बार मुड़ सकता है।

• एक त्रिघात x-अक्ष को 3, 2, या 1 बिंदु(ओं) पर मिल सकता है, अतः इसके अधिक-से-अधिक 3 वास्तविक शून्यक होते हैं।
• यह सदैव x-अक्ष को कम-से-कम एक बार मिलता है (अतः त्रिघात का सदैव कम-से-कम एक वास्तविक शून्यक होता है)।

सामान्य सिद्धांत

किसी भी बहुपद के लिए: वास्तविक शून्यकों की संख्या अधिक-से-अधिक उसकी घात के बराबर होती है, क्योंकि उतनी ही अधिकतम बार उसका ग्राफ x-अक्ष को काट सकता है।

मुख्य बिंदु: घात $n$ ⇒ अधिक-से-अधिक $n$ वास्तविक शून्यक ⇒ ग्राफ x-अक्ष को अधिक-से-अधिक $n$ बार मिलता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यदि कोई ग्राफ x-अक्ष को 3 बिंदुओं पर काटता दिखाया जाए, तो बहुपद की न्यूनतम संभव घात 3 है। 'x-अंतःखंडों की संख्या ≤ घात' मुख्य तर्क है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: ग्राफ से शून्यक (गिनती)

एक ग्राफ x-अक्ष को ठीक 2 बिंदुओं पर काटता है। बहुपद के कितने शून्यक हैं?

हल:

1. प्रत्येक x-अंतःखंड एक शून्यक से मेल खाता है।
2. दो अंतःखंड ⇒ दो शून्यक।

अंतिम उत्तर: 2 शून्यक।

सार: शून्यकों की संख्या = ग्राफ के x-अक्ष को मिलने की संख्या।

उदाहरण 2: रैखिक ग्राफ का शून्यक

$y = 2x - 4$ का ग्राफ x-अक्ष को कहाँ काटता है, और शून्यक क्या है?

हल:

1. x-अक्ष पर $y = 0$: $2x - 4 = 0$।
2. $x = 2$, अतः ग्राफ $(2, 0)$ पर काटता है।

अंतिम उत्तर: $(2,0)$ पर काटता है; शून्यक 2 है।

सार: x-अंतःखंड = शून्यक ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखें।

उदाहरण 3: परवलय के खुलने की दिशा

क्या $y = -3x^2 + x + 1$ का ग्राफ ऊपर या नीचे की ओर खुलता है?

हल:

1. $x^2$ का गुणांक $a = -3$ है।
2. चूँकि $a < 0$, परवलय नीचे की ओर खुलता है।

अंतिम उत्तर: नीचे की ओर (∩)।

सार: $a$ का चिह्न दिशा तय करता है: $a>0$ ऊपर, $a<0$ नीचे।

उदाहरण 4: जब परवलय अक्ष को स्पर्श करे तो शून्यकों की संख्या

एक परवलय x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है। द्विघात के कितने शून्यक हैं?

हल:

1. एक बिंदु पर स्पर्श करने का अर्थ है दोनों शून्यक समान (संपाती) हैं।
2. अतः एक भिन्न शून्यक है (एक दोहराया मूल)।

अंतिम उत्तर: एक (दोहराया) शून्यक।

सार: अक्ष को स्पर्श करना = समान/संपाती शून्यक।

उदाहरण 5: कोई वास्तविक शून्यक नहीं

यदि कोई परवलय पूर्णतः x-अक्ष के ऊपर स्थित हो और उसे कभी न मिले, तो द्विघात के कितने वास्तविक शून्यक हैं?

हल:

1. वास्तविक शून्यक x-अंतःखंडों से मेल खाते हैं।
2. ग्राफ x-अक्ष को नहीं मिलता, अतः कोई x-अंतःखंड नहीं।

अंतिम उत्तर: शून्य वास्तविक शून्यक।

सार: कोई अंतःखंड नहीं ⇒ कोई वास्तविक शून्यक नहीं।

उदाहरण 6: ग्राफ से न्यूनतम घात

एक ग्राफ x-अक्ष को 3 भिन्न बिंदुओं पर काटता है। बहुपद की न्यूनतम संभव घात क्या है?

हल:

1. वास्तविक शून्यकों (x-अंतःखंडों) की संख्या = 3।
2. घात शून्यकों की संख्या से कम-से-कम उतनी होनी चाहिए।

अंतिम उत्तर: न्यूनतम घात 3 है।

सार: घात ≥ x-अंतःखंडों की संख्या।

उदाहरण 7: अंतःखंडों से शून्यक पढ़ना

एक द्विघात ग्राफ x-अक्ष को $x = -1$ और $x = 4$ पर काटता है। इसके शून्यक क्या हैं?

हल:

1. शून्यक अंतःखंडों के x-निर्देशांक होते हैं।
2. अतः शून्यक $-1$ और $4$ हैं।

अंतिम उत्तर: $-1$ और $4$।

सार: शून्यकों को सीधे x-अक्ष के काटने वाले बिंदुओं से पढ़ें।

उदाहरण 8: $y = x^2 - 9$ के शून्यक ज्यामितीय रूप से

$y = x^2 - 9$ x-अक्ष को कहाँ मिलता है?

हल:

1. $y = 0$ रखें: $x^2 - 9 = 0$।
2. $x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ या $x = -3$।
3. अतः परवलय x-अक्ष को $(3,0)$ और $(-3,0)$ पर काटता है।

अंतिम उत्तर: $x = 3$ और $x = -3$ पर (दो शून्यक)।

सार: $p(x)=0$ हल करने से x-अंतःखंड मिलते हैं।

उदाहरण 9: रैखिक ग्राफ का आकार

$y = 5x + 1$ के ग्राफ का आकार क्या है, और यह x-अक्ष को कितनी बार काटता है?

हल:

1. घात-1 (रैखिक) बहुपद एक सरल रेखा के रूप में आलेखित होता है।
2. एक अक्षैतिज सरल रेखा x-अक्ष को ठीक एक बार काटती है।

अंतिम उत्तर: एक सरल रेखा; यह x-अक्ष को एक बार काटती है।

सार: रैखिक ⇒ सरल रेखा ⇒ ठीक एक शून्यक।

उदाहरण 10: त्रिघात के अधिकतम शून्यक

एक त्रिघात बहुपद का ग्राफ खींचा गया है। यह x-अक्ष को अधिकतम कितने बिंदुओं पर मिल सकता है?

हल:

1. त्रिघात की घात 3 है।
2. ग्राफ x-अक्ष को अधिक-से-अधिक 3 बार काट सकता है।

अंतिम उत्तर: अधिक-से-अधिक 3 बिंदु।

सार: अधिकतम x-अंतःखंड = घात = त्रिघात के लिए 3।