हल किए गए उदाहरण

इस खंड का उपयोग कैसे करें

यह बहुपदों के लिए आपका अभ्यास-शक्तिगृह है। नीचे पूरे अध्याय को समेटते 30+ पूर्णतः हल किए गए प्रश्न हैं — बहुपद पहचानना, शून्यक ज्ञात करना, द्विघात व त्रिघात के शून्यक–गुणांक संबंध, बहुपद बनाना, और बहुपद विभाजन — मोटे तौर पर सरल से कठिन क्रम में।

कैसे पढ़ें: प्रत्येक प्रश्न को हल ढककर स्वयं हल करने का प्रयास करें, फिर चरण जाँचें। बोर्ड परीक्षा में अंक चरण-दर-चरण मिलते हैं, अतः पूर्ण हल लिखने का अभ्यास करें।

ये सूत्र साथ रखें:

• द्विघात $ax^2+bx+c$: शून्यकों का योग $=-\dfrac{b}{a}$, गुणनफल $=\dfrac{c}{a}$।
• त्रिघात $ax^3+bx^2+cx+d$: $\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$, $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$।
• शून्यकों से द्विघात: $x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})$।
• $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$।
• विभाजन: $p(x) = g(x)q(x) + r(x)$।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: घात और प्रकार

$p(x) = 5 - 2x + 3x^2$ की घात और प्रकार बताइए।

हल:

1. $x$ की सबसे बड़ी घात $x^2$ है, अतः घात $= 2$।
2. घात 2 ⇒ द्विघात।

अंतिम उत्तर: घात 2, द्विघात।

सार: पहले सबसे बड़ी घात पहचानें।

उदाहरण 2: गुणनखंडन द्वारा शून्यक

$p(x) = x^2 - 2x - 8$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:

1. गुणनखंडन: $x^2 - 4x + 2x - 8 = x(x-4) + 2(x-4) = (x+2)(x-4)$।
2. शून्यक: $x = -2$ और $x = 4$।

अंतिम उत्तर: $-2$ और $4$।

सार: गुणनखंडन हेतु मध्य पद विभाजित करें।

उदाहरण 3: योग और गुणनफल जाँच

$p(x) = x^2 - 2x - 8$ के लिए शून्यक–गुणांक संबंध सत्यापित कीजिए।

हल:

1. शून्यक (उदाहरण 2 से): $-2, 4$। योग $= 2$, गुणनफल $= -8$।
2. $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-2}{1} = 2$। ✓
3. $\dfrac{c}{a} = \dfrac{-8}{1} = -8$। ✓

अंतिम उत्तर: दोनों संबंध सत्यापित।

सार: परिकलित योग/गुणनफल की $-b/a$ और $c/a$ से तुलना करें।

उदाहरण 4: $4x^2 - 9$ के शून्यक

$p(x) = 4x^2 - 9$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:

1. यह वर्गों का अंतर है: $4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)$।
2. शून्यक: $x = \dfrac{3}{2}$ और $x = -\dfrac{3}{2}$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{3}{2}$ और $-\dfrac{3}{2}$।

सार: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ पहचानें।

उदाहरण 5: योग और गुणनफल से द्विघात

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग 5 और गुणनफल 6 है।

हल:

1. $p(x) = x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})$।
2. $= x^2 - 5x + 6$।

अंतिम उत्तर: $x^2 - 5x + 6$।

सार: मानक टेम्पलेट सीधे उपयोग करें।

उदाहरण 6: $\alpha^2 + \beta^2$ ज्ञात करना

यदि $\alpha, \beta$, $x^2 - 4x + 3$ के शून्यक हैं, तो $\alpha^2 + \beta^2$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. योग $= 4$, गुणनफल $= 3$।
2. $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 16 - 6 = 10$।

अंतिम उत्तर: 10।

सार: योग और गुणनफल में बदलें।

उदाहरण 7: दिए गए शून्यक से $k$ ज्ञात करना

यदि $x = 2$, $p(x) = x^2 + kx - 6$ का शून्यक है, तो $k$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $p(2) = 0$: $4 + 2k - 6 = 0$।
2. $2k - 2 = 0 \Rightarrow k = 1$।

अंतिम उत्तर: $k = 1$।

सार: शून्यक प्रतिस्थापित कर अज्ञात के लिए हल करें।

उदाहरण 8: अपरिमेय शून्यकों से द्विघात

एक द्विघात बनाइए जिसके शून्यक $3 + \sqrt{5}$ और $3 - \sqrt{5}$ हैं।

हल:

1. योग $= 6$, गुणनफल $= 9 - 5 = 4$।
2. $p(x) = x^2 - 6x + 4$।

अंतिम उत्तर: $x^2 - 6x + 4$।

सार: संयुग्मी करणियाँ परिमेय योग और गुणनफल देती हैं।

उदाहरण 9: $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$ ज्ञात करना

यदि $\alpha, \beta$, $3x^2 - 5x - 2$ के शून्यक हैं, तो $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. योग $= \dfrac{5}{3}$, गुणनफल $= -\dfrac{2}{3}$।
2. $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \dfrac{5/3}{-2/3} = -\dfrac{5}{2}$।

अंतिम उत्तर: $-\dfrac{5}{2}$।

सार: $\dfrac{\text{योग}}{\text{गुणनफल}}$ व्युत्क्रमों का योग देता है।

उदाहरण 10: $6x^2 - x - 2$ के शून्यक

$p(x) = 6x^2 - x - 2$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:

1. विभाजित करें: $6x^2 - 4x + 3x - 2 = 2x(3x-2) + 1(3x-2) = (2x+1)(3x-2)$।
2. शून्यक: $x = -\dfrac{1}{2}$ और $x = \dfrac{2}{3}$।

अंतिम उत्तर: $-\dfrac{1}{2}$ और $\dfrac{2}{3}$।

सार: $a\cdot c = -12$, $-1$ को $-4 + 3$ में विभाजित करें।

उदाहरण 11: दिए गए शून्यकों से द्विघात

$-3$ और 5 शून्यकों वाला द्विघात बनाइए।

हल:

1. योग $= 2$, गुणनफल $= -15$।
2. $p(x) = x^2 - 2x - 15$।

अंतिम उत्तर: $x^2 - 2x - 15$।

सार: टेम्पलेट $x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})$।

उदाहरण 12: त्रिघात संबंध — शून्यकों का योग

$p(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x - 1$ के शून्यकों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

1. योग $= -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{2} = 3$।

अंतिम उत्तर: 3।

सार: त्रिघात के शून्यकों का योग $= -b/a$।

उदाहरण 13: त्रिघात — शून्यकों का गुणनफल

$p(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$ के शून्यकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. गुणनफल $= -\dfrac{d}{a} = -\dfrac{-2}{1} = 2$।

अंतिम उत्तर: 2।

सार: त्रिघात के शून्यकों का गुणनफल $= -d/a$।

उदाहरण 14: शून्यकों से त्रिघात बनाना

एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक 0, 2, और $-3$ हैं।

हल:

1. $S_1 = 0 + 2 + (-3) = -1$।
2. $S_2 = (0)(2) + (2)(-3) + (-3)(0) = -6$।
3. $S_3 = 0 \cdot 2 \cdot (-3) = 0$।
4. $p(x) = x^3 - (-1)x^2 + (-6)x - 0 = x^3 + x^2 - 6x$।

अंतिम उत्तर: $x^3 + x^2 - 6x$।

सार: 0 शून्यक होने पर अचर पद 0 हो जाता है।

उदाहरण 15: तीसरा शून्यक ज्ञात करना

यदि $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ के दो शून्यक 1 और 2 हैं, तो तीसरा ज्ञात कीजिए।

हल:

1. शून्यकों का योग $= -\dfrac{-6}{1} = 6$।
2. तीसरा शून्यक $= 6 - (1 + 2) = 3$।

अंतिम उत्तर: 3।

सार: लुप्त शून्यक पुनः प्राप्त करने हेतु योग संबंध का उपयोग करें।

उदाहरण 16: बहुपद विभाजन (रैखिक भाजक)

$p(x) = x^2 + 4x + 4$ को $x + 2$ से भाग दीजिए।

हल:

1. $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 = (x+2)(x+2)$।
2. भागफल $x + 2$, शेषफल 0।

अंतिम उत्तर: भागफल $x + 2$, शेषफल 0।

सार: एक पूर्ण वर्ग त्रिपद पूर्णतः विभाजित होता है।

उदाहरण 17: शेषफल सहित विभाजन

$p(x) = 2x^3 + 3x^2 - x + 1$ को $x + 1$ से भाग देने पर शेषफल शेषफल प्रमेय से ज्ञात कीजिए।

हल:

1. शेषफल $= p(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - (-1) + 1$।
2. $= -2 + 3 + 1 + 1 = 3$।

अंतिम उत्तर: शेषफल $= 3$।

सार: $(x - a)$ से भाग देने पर शेषफल $p(a)$ होता है; यहाँ $a = -1$।

उदाहरण 18: दो शून्यक दिए होने पर सभी ज्ञात करना

$p(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यह दिया है कि $1$ और $-1$ शून्यक हैं।

हल:

1. $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ एक गुणनखंड है।
2. भाग देने पर भागफल $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$।
3. अतः शेष शून्यक $3$ और $-2$ हैं।

अंतिम उत्तर: $1, -1, 3, -2$।

सार: ज्ञात गुणनखंड से भाग दें, फिर भागफल का गुणनखंडन करें।

उदाहरण 19: $k$ ज्ञात करना ताकि कोई संख्या शून्यक हो

$k$ ज्ञात कीजिए यदि $-2$, $p(x) = 2x^3 + x^2 + kx + 2$ का शून्यक है।

हल:

1. $p(-2) = 0$: $2(-8) + 4 - 2k + 2 = 0$।
2. $-16 + 4 - 2k + 2 = 0 \Rightarrow -10 - 2k = 0 \Rightarrow k = -5$।

अंतिम उत्तर: $k = -5$।

सार: शून्यक प्रतिस्थापित कर प्राचल के लिए हल करें।

उदाहरण 20: $\alpha^3 + \beta^3$

यदि $\alpha, \beta$, $x^2 - 3x + 1$ के शून्यक हैं, तो $\alpha^3 + \beta^3$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. योग $= 3$, गुणनफल $= 1$।
2. $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = 27 - 3(1)(3) = 27 - 9 = 18$।

अंतिम उत्तर: 18।

सार: $\alpha^3+\beta^3 = s^3 - 3ps$ का उपयोग करें।

उदाहरण 21: योग और गुणनफल की वर्णित शर्त

$x^2 - (k+6)x + 2(2k-1)$ में $k$ ज्ञात कीजिए यदि शून्यकों का योग गुणनफल का आधा हो।

हल:

1. योग $= k + 6$; गुणनफल $= 2(2k-1) = 4k - 2$।
2. शर्त: योग $= \dfrac{1}{2}\times$ गुणनफल ⇒ $k + 6 = \dfrac{1}{2}(4k - 2) = 2k - 1$।
3. $6 + 1 = 2k - k \Rightarrow k = 7$।

अंतिम उत्तर: $k = 7$।

सार: वर्णित संबंध को योग और गुणनफल में एक समीकरण में बदलें।

उदाहरण 22: विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित करना

$p(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ को $x + 1$ से भाग देकर सत्यापित कीजिए।

हल:

1. समूहन: $x^2(x+1) + 1(x+1) = (x+1)(x^2 + 1)$।
2. अतः भागफल $= x^2 + 1$, शेषफल 0।
3. जाँच: $(x+1)(x^2+1) = x^3 + x^2 + x + 1$। ✓

अंतिम उत्तर: भागफल $x^2 + 1$, शेषफल 0।

सार: संभव हो तो समूहन से गुणनखंडन करें, फिर सत्यापित करें।

उदाहरण 23: ग्राफ से शून्यकों की संख्या

एक द्विघात बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करता है। इसके कितने भिन्न शून्यक हैं, और यह शून्यकों के बारे में क्या कहता है?

हल:

1. एक बिंदु पर स्पर्श ⇒ एक भिन्न शून्यक।
2. दोनों शून्यक समान हैं (एक दोहराया/द्विक मूल)।

अंतिम उत्तर: एक भिन्न शून्यक; शून्यक समान हैं।

सार: अक्ष को स्पर्श करना = समान शून्यक।

उदाहरण 24: समान शून्यकों वाला द्विघात — $k$ ज्ञात करना

$k$ के किस मान के लिए $x^2 - kx + 9$ के समान शून्यक होते हैं (स्पर्श करता परवलय)?

हल:

1. समान शून्यक का अर्थ है दोनों शून्यक समान, माना $\alpha$। तब गुणनफल $= \alpha^2 = 9$, अतः $\alpha = \pm 3$।
2. योग $= 2\alpha = k$। अतः $k = 6$ ($\alpha = 3$ के लिए) या $k = -6$ ($\alpha = -3$ के लिए)।

अंतिम उत्तर: $k = 6$ या $k = -6$।

सार: समान शून्यक ⇒ गुणनफल दोहराए मूल का पूर्ण वर्ग; योग उसका दुगुना।

उदाहरण 25: शून्यकों को स्थानांतरित करना

यदि $\alpha, \beta$, $x^2 + 5x + 6$ के शून्यक हैं, तो एक बहुपद बनाइए जिसके शून्यक $\alpha + 1$ और $\beta + 1$ हों।

हल:

1. मूल योग $= -5$, गुणनफल $= 6$।
2. नया योग $= (\alpha+1)+(\beta+1) = (\alpha+\beta) + 2 = -5 + 2 = -3$।
3. नया गुणनफल $= (\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta + (\alpha+\beta) + 1 = 6 - 5 + 1 = 2$।
4. बहुपद: $x^2 - (-3)x + 2 = x^2 + 3x + 2$।

अंतिम उत्तर: $x^2 + 3x + 2$।

सार: नया योग और गुणनफल परिकलित कर शून्यकों को स्थानांतरित करें।

उदाहरण 26: निरीक्षण से त्रिघात का शून्यक

दिखाइए कि $x = 1$, $p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ का शून्यक है और शेष ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $p(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$, अतः 1 एक शून्यक है; $(x-1)$ एक गुणनखंड है।
2. भाग दें: भागफल $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$।
3. अन्य शून्यक: 2 और 3।

अंतिम उत्तर: शून्यक $1, 2, 3$।

सार: पहला शून्यक खोजने हेतु छोटे पूर्णांक मान आज़माएँ, फिर गुणनखंडन करें।

उदाहरण 27: दूसरे के ऋणात्मक शून्यकों वाला द्विघात

यदि $\alpha, \beta$, $x^2 - 7x + 10$ के शून्यक हैं, तो एक बहुपद बनाइए जिसके शून्यक $-\alpha$ और $-\beta$ हों।

हल:

1. मूल योग $= 7$, गुणनफल $= 10$।
2. नया योग $= -\alpha - \beta = -(\alpha+\beta) = -7$।
3. नया गुणनफल $= (-\alpha)(-\beta) = \alpha\beta = 10$।
4. बहुपद: $x^2 - (-7)x + 10 = x^2 + 7x + 10$।

अंतिम उत्तर: $x^2 + 7x + 10$।

सार: शून्यकों को ऋणात्मक करने से मध्य पद का चिह्न बदल जाता है।

उदाहरण 28: शेषफल सहित द्विघात से भाग

$p(x) = x^3 + 2x^2 + 3$ को $x^2 + x + 1$ से भाग दीजिए।

हल:

1. $\dfrac{x^3}{x^2} = x$; $x(x^2+x+1) = x^3 + x^2 + x$; घटाएँ: $(x^3 + 2x^2 + 0x) - (x^3+x^2+x) = x^2 - x$। $+3$ नीचे लाएँ: $x^2 - x + 3$।
2. $\dfrac{x^2}{x^2} = 1$; $1(x^2+x+1) = x^2 + x + 1$; घटाएँ: $(x^2 - x + 3) - (x^2 + x + 1) = -2x + 2$।
3. घात 1 < 2, रुकें। भागफल $x + 1$, शेषफल $-2x + 2$।

अंतिम उत्तर: भागफल $x + 1$, शेषफल $-2x + 2$।

सार: भाग देने से पहले लुप्त $x$-पद के लिए $0x$ रखें।

उदाहरण 29: दोनों शून्यकों का संबंध

यदि $x^2 - px + q$ के शून्यक 2 : 3 के अनुपात में हैं, और गुणनफल 24 है, तो शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माना शून्यक $2t$ और $3t$ हैं। गुणनफल $= 6t^2 = 24 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2$ (धनात्मक लेते हुए)।
2. शून्यक $= 4$ और $6$।

अंतिम उत्तर: शून्यक 4 और 6 हैं।

सार: अनुपात से शून्यकों को प्राचलित करें, फिर गुणनफल लगाएँ।

उदाहरण 30: एक शर्त से त्रिघात बनाना

एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक 2, 2, और 3 हैं (दोहराए शून्यक पर ध्यान दें)।

हल:

1. $S_1 = 2 + 2 + 3 = 7$।
2. $S_2 = (2)(2) + (2)(3) + (3)(2) = 4 + 6 + 6 = 16$।
3. $S_3 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$।
4. $p(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$।

अंतिम उत्तर: $x^3 - 7x^2 + 16x - 12$।

सार: दोहराए शून्यक $S_1, S_2, S_3$ में उतनी बार गिने जाते हैं जितनी बार वे आते हैं।

उदाहरण 31: $\alpha - \beta$ (धनात्मक मान) ज्ञात करना

यदि $\alpha, \beta$, $x^2 - 7x + 12$ के शून्यक हैं जहाँ $\alpha > \beta$, तो $\alpha - \beta$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. योग $= 7$, गुणनफल $= 12$।
2. $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = 49 - 48 = 1$।
3. अतः $\alpha - \beta = 1$ (धनात्मक, क्योंकि $\alpha > \beta$)।

अंतिम उत्तर: $\alpha - \beta = 1$।

सार: $(\alpha-\beta)^2$ ज्ञात करें, फिर धनात्मक वर्गमूल लें।