बोर्ड के पिछले वर्षों के प्रश्न (Board PYQs)

बोर्ड PYQs को कैसे हल करें

यह खंड वास्तविक संख्याओं पर उन प्रकार के प्रश्नों को एकत्र करता है जो CBSE और राज्य बोर्ड परीक्षाओं में बार-बार आए हैं, पूर्ण चरणबद्ध हल सहित। इन 26 प्रश्नों को हल करना यह अनुमान लगाने का सबसे अच्छा तरीका है कि आपकी परीक्षा क्या पूछेगी।

परीक्षक इस अध्याय में क्या पसंद करते हैं:

1. सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{p}$ अपरिमेय है (2–3 अंक) — लगभग हर वर्ष।
2. अभाज्य गुणनखंडन से म.स. व ल.स., तथा संबंध $\text{म.स.}\times\text{ल.स.} = a\times b$ (1–3 अंक)।
3. हर से सांत / असांत का निर्णय (1 अंक बहुविकल्पीय)।
4. म.स. (सबसे बड़ा आकार) और ल.स. (अगली बार एक साथ) पर शब्द समस्याएँ।

टैग नोट: नीचे के प्रश्न परीक्षा द्वारा टैग किए गए हैं (जैसे [CBSE Board])। जहाँ किसी विशिष्ट प्रश्न का सटीक वर्ष पुष्ट नहीं किया जा सका, वहाँ केवल परीक्षा का नाम दिया गया है — इससे विषय-वस्तु विश्वसनीय बनी रहती है।

परीक्षा सुझाव: सदैव अभाज्य गुणनखंडन या प्रत्येक भाग चरण दिखाएँ। बोर्ड परीक्षक अंतिम संख्या में छोटी चूक होने पर भी विधि के अंक देते हैं।

हल किए गए पिछले वर्षों के प्रश्न

PYQ 1: अपरिमेयता सिद्ध करना (2 अंक)

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। [CBSE Board]

हल:

1. मानें $\sqrt{5} = \dfrac{a}{b}$, जहाँ $a, b$ सहअभाज्य पूर्णांक, $b \neq 0$।
2. वर्ग करने पर: $5b^2 = a^2$, अतः $5 \mid a^2 \Rightarrow 5 \mid a$। माना $a = 5c$।
3. तब $5b^2 = 25c^2 \Rightarrow b^2 = 5c^2 \Rightarrow 5 \mid b$।
4. अतः 5, $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करता है, सहअभाज्यता का खंडन।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{5}$ अपरिमेय है। $\blacksquare$

सार: आरंभ में 'सहअभाज्य' लिखें — विरोधाभास इसी पर निर्भर है।

PYQ 2: म.स. और ल.स. (3 अंक)

404 और 96 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि म.स. × ल.स. = दोनों संख्याओं का गुणनफल। [CBSE Board]

हल:

1. $404 = 2^2 \times 101$; $96 = 2^5 \times 3$।
2. म.स. $= 2^2 = 4$ (उभयनिष्ठ अभाज्य 2 की न्यूनतम घात)।
3. ल.स. $= 2^5 \times 3 \times 101 = 9696$।
4. सत्यापन: म.स. × ल.स. $= 4 \times 9696 = 38784$, और $404 \times 96 = 38784$। ✓

अंतिम उत्तर: म.स. = 4, ल.स. = 9696; संबंध सत्यापित।

सार: जब प्रश्न माँगे तो सदैव सत्यापन चरण करें — इसके अंक होते हैं।

PYQ 3: सांत दशमलव (1 अंक)

वास्तविक भाग दिए बिना बताइए कि $\dfrac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं। [CBSE Board]

हल:

1. $3125 = 5^5 = 2^0 \times 5^5$।
2. हर में केवल अभाज्य 5 है, अर्थात् यह $2^n \times 5^m$ रूप का है।
3. अतः दशमलव सांत है।

अंतिम उत्तर: सांत।

सार: (सरलीकृत) हर में केवल 2 और 5 ⇒ सांत।

PYQ 4: म.स. शब्द समस्या (3 अंक)

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 2053 और 967 को विभाजित करने पर क्रमशः शेषफल 5 और 7 छोड़ती है। [CBSE Board]

हल:

1. शेषफल घटाएँ: $2053 - 5 = 2048$, $967 - 7 = 960$।
2. अभीष्ट = म.स.(2048, 960)। $2048 = 2^{11}$, $960 = 2^6 \times 3 \times 5$।
3. उभयनिष्ठ न्यूनतम घात: $2^6 = 64$।

अंतिम उत्तर: 64।

सार: शेषफलों से घटाएँ, फिर म.स. लें।

PYQ 5: संयोजन को अपरिमेय सिद्ध करना (3 अंक)

यह दिया है कि $\sqrt{5}$ अपरिमेय है, सिद्ध कीजिए कि $3 + 2\sqrt{5}$ अपरिमेय है। [CBSE Board]

हल:

1. मानें $3 + 2\sqrt{5}$ परिमेय है, माना $= r$।
2. तब $2\sqrt{5} = r - 3$, अतः $\sqrt{5} = \dfrac{r-3}{2}$।
3. दायाँ पक्ष परिमेय है (परिमेयों पर संक्रियाएँ), अतः $\sqrt{5}$ परिमेय होगा।
4. यह इस दिए तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{5}$ अपरिमेय है।

अंतिम उत्तर: $3 + 2\sqrt{5}$ अपरिमेय है। $\blacksquare$

सार: दिए गए अपरिमेय परिणाम का स्पष्ट उपयोग करें — उपपत्ति इसी पर टिकी है।

PYQ 6: ल.स. शब्द समस्या (3 अंक)

तीन घंटियाँ 4, 7 और 14 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। तीनों प्रातः 6 बजे एक साथ बजीं। वे अगली बार एक साथ कब बजेंगी? [CBSE Board]

हल:

1. अगली बार एक साथ = ल.स.(4, 7, 14) मिनट बाद।
2. $4 = 2^2$, $7 = 7$, $14 = 2 \times 7$। ल.स. $= 2^2 \times 7 = 28$ मिनट।
3. प्रातः $6{:}00$ + 28 मिनट = प्रातः $6{:}28$।

अंतिम उत्तर: प्रातः 6:28।

सार: 'पुनः एक साथ' अंतरालों का ल.स. उपयोग करता है।

PYQ 7: म.स. और ल.स. की वैधता (2 अंक)

दो संख्याओं का म.स. 18 और ल.स. 760 है। क्या यह संभव है? औचित्य दीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. किन्हीं दो संख्याओं के लिए, म.स. को सदैव ल.स. को विभाजित करना चाहिए।
2. यहाँ, क्या 18, 760 को विभाजित करता है? $760 \div 18 = 42.2\dots$ — पूर्णांक नहीं।
3. अतः 18, 760 को विभाजित नहीं करता, जो असंभव है।

अंतिम उत्तर: नहीं, यह संभव नहीं है (म.स. को ल.स. को विभाजित करना चाहिए)।

सार: एक त्वरित वैधता जाँच: म.स. सदैव ल.स. को विभाजित करता है।

PYQ 8: भाज्य संख्या तर्क (2 अंक)

समझाइए कि $7 \times 11 \times 13 + 13$ और $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5$ भाज्य संख्याएँ क्यों हैं। [CBSE Board]

हल:

1. $7 \times 11 \times 13 + 13 = 13(7 \times 11 + 1) = 13 \times 78$ — इसमें गुणनखंड 13 है, अतः भाज्य।
2. $7! + 5 = 5040 + 5 = 5045$। 5 उभयनिष्ठ लें: $5(7\times6\times4\times3\times2\times1 + 1) = 5 \times 1009$ — इसमें गुणनखंड 5 है, अतः भाज्य।

अंतिम उत्तर: दोनों भाज्य हैं (प्रत्येक में 1 और स्वयं के अतिरिक्त एक गुणनखंड है)।

सार: भाज्यता दिखाने के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंड पहचानें।

PYQ 9: अधिकतम ढेर आकार (3 अंक)

अंग्रेज़ी, हिंदी और गणित की पुस्तकों के तीन समूह ढेर लगाने हैं: 96 अंग्रेज़ी, 240 हिंदी और 336 गणित। प्रत्येक ढेर में अधिकतम कितनी पुस्तकें हों ताकि प्रत्येक ढेर में समान संख्या और केवल एक ही विषय की पुस्तकें हों? [CBSE Board]

हल:

1. प्रति ढेर अधिकतम = म.स.(96, 240, 336)।
2. $96 = 2^5 \times 3$; $240 = 2^4 \times 3 \times 5$; $336 = 2^4 \times 3 \times 7$।
3. उभयनिष्ठ न्यूनतम घात: $2^4 \times 3 = 48$।

अंतिम उत्तर: प्रति ढेर 48 पुस्तकें।

सार: 'समान संख्या, प्रति समूह अधिकतम' → म.स.।

PYQ 10: दशमलव प्रसार वर्गीकरण (2 अंक)

$\dfrac{43}{2^4 \times 5^3}$ का दशमलव प्रसार कितने दशमलव स्थानों के बाद सांत होगा? [CBSE Board]

हल:

1. हर $2^4 \times 5^3$ है, अतः $n = 4$, $m = 3$।
2. दशमलव स्थानों की संख्या $= \max(n, m) = \max(4, 3) = 4$।

अंतिम उत्तर: 4 दशमलव स्थानों के बाद।

सार: हर $2^n 5^m$ के लिए दशमलव स्थान $= \max(n, m)$।

PYQ 11: गुणनखंड वृक्ष से म.स. व ल.स. (3 अंक)

26 और 91 का म.स. और ल.स. ज्ञात कर सत्यापित कीजिए कि म.स. × ल.स. = संख्याओं का गुणनफल। [CBSE Board]

हल:

1. $26 = 2 \times 13$; $91 = 7 \times 13$।
2. म.स. $= 13$ (उभयनिष्ठ अभाज्य)।
3. ल.स. $= 2 \times 7 \times 13 = 182$।
4. सत्यापन: $13 \times 182 = 2366$ और $26 \times 91 = 2366$। ✓

अंतिम उत्तर: म.स. = 13, ल.स. = 182; सत्यापित।

सार: एक ही अभाज्य साझा करने वाली दो संख्याओं का म.स. वही अभाज्य होता है।

PYQ 12: सिद्ध कीजिए $\sqrt{2}$ अपरिमेय है (3 अंक)

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है। [CBSE Board]

हल:

1. मानें $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$ जहाँ $a, b$ सहअभाज्य, $b \neq 0$।
2. $2b^2 = a^2 \Rightarrow 2 \mid a^2 \Rightarrow 2 \mid a$। माना $a = 2c$।
3. $2b^2 = 4c^2 \Rightarrow b^2 = 2c^2 \Rightarrow 2 \mid b$।
4. अतः 2, $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करता है — विरोधाभास।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{2}$ अपरिमेय है। $\blacksquare$

सार: अध्याय की सबसे अधिक पूछी जाने वाली उपपत्ति — छह चरण याद रखें।

PYQ 13: सबसे छोटी संख्या समस्या (3 अंक)

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें 17 जोड़ने पर वह 520 और 468 दोनों से पूर्णतः विभाज्य हो जाए। [CBSE Board]

हल:

1. संख्या + 17, 520 और 468 का उभयनिष्ठ गुणज होना चाहिए, अतः ल.स. लें।
2. $520 = 2^3 \times 5 \times 13$; $468 = 2^2 \times 3^2 \times 13$। ल.स. $= 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 13 = 4680$।
3. अतः संख्या + 17 = 4680 ⇒ संख्या $= 4680 - 17 = 4663$।

अंतिम उत्तर: 4663।

सार: 'k जोड़ने पर सभी से विभाज्य' ⇒ ल.स. − k।

PYQ 14: सांकेतिक रूप में म.स. और ल.स. (2 अंक)

यदि दो धनात्मक पूर्णांक $p$ और $q$ को $p = a^2 b^3$ और $q = a^3 b$ लिखा जाए, जहाँ $a, b$ अभाज्य संख्याएँ हैं, तो म.स.$(p, q)$ और ल.स.$(p, q)$ ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. म.स. = न्यूनतम घातों का गुणनफल: $a^{\min(2,3)} b^{\min(3,1)} = a^2 b$।
2. ल.स. = अधिकतम घातों का गुणनफल: $a^{\max(2,3)} b^{\max(3,1)} = a^3 b^3$।

अंतिम उत्तर: म.स. $= a^2 b$, ल.स. $= a^3 b^3$।

सार: सांकेतिक अभाज्य घातों के साथ, प्रत्येक घातांक के लिए म.स. हेतु न्यूनतम और ल.स. हेतु अधिकतम लें।

PYQ 15: सिद्ध कीजिए $\sqrt{3}$ अपरिमेय है (3 अंक)

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। [CBSE Board]

हल:

1. मानें $\sqrt{3} = \dfrac{a}{b}$ जहाँ $a, b$ सहअभाज्य, $b \neq 0$।
2. $3b^2 = a^2 \Rightarrow 3 \mid a^2 \Rightarrow 3 \mid a$। माना $a = 3c$।
3. $3b^2 = 9c^2 \Rightarrow b^2 = 3c^2 \Rightarrow 3 \mid b$।
4. अतः 3, $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करता है — विरोधाभास।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{3}$ अपरिमेय है। $\blacksquare$

सार: $\sqrt2$ जैसा ही टेम्पलेट, अभाज्य 3 के साथ।

PYQ 16: यूक्लिड एल्गोरिथ्म द्वारा म.स. (2 अंक)

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग कर 96 और 404 का म.स. ज्ञात कीजिए। [State Board]

हल:

1. $404 = 96 \times 4 + 20$।
2. $96 = 20 \times 4 + 16$।
3. $20 = 16 \times 1 + 4$।
4. $16 = 4 \times 4 + 0$। अंतिम भाजक = 4।

अंतिम उत्तर: म.स. $= 4$।

सार: प्रमेयिका बार-बार लगाएँ; अंतिम अशून्य शेषफल ही म.स. है।

PYQ 17: सिद्ध कीजिए $5 - \sqrt{3}$ अपरिमेय है (3 अंक)

यह दिया है कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है, सिद्ध कीजिए कि $5 - \sqrt{3}$ अपरिमेय है। [CBSE Board]

हल:

1. मानें $5 - \sqrt{3} = r$ (परिमेय)।
2. तब $\sqrt{3} = 5 - r$, परिमेयों का अंतर → परिमेय।
3. यह इस दिए तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

अंतिम उत्तर: $5 - \sqrt{3}$ अपरिमेय है। $\blacksquare$

सार: करणी को अलग करें; शेष परिमेय होना चाहिए, जिससे विरोधाभास मिलता है।

PYQ 18: दिए गए शेषफल वाली सबसे बड़ी संख्या (3 अंक)

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 245 और 1029 को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 छोड़ती है। [CBSE Board]

हल:

1. शेषफल घटाएँ: $245 - 5 = 240$, $1029 - 5 = 1024$।
2. अभीष्ट = म.स.(240, 1024)। $240 = 2^4 \times 3 \times 5$, $1024 = 2^{10}$।
3. उभयनिष्ठ न्यूनतम घात: $2^4 = 16$।

अंतिम उत्तर: 16।

सार: 'समान शेषफल छोड़ती है' → उसे घटाएँ, फिर म.स. लें।

PYQ 19: दूसरी संख्या ज्ञात करना (2 अंक)

दो संख्याओं का म.स. 9 और ल.स. 360 है। यदि एक संख्या 45 है, तो दूसरी ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $\text{म.स.} \times \text{ल.स.} = a \times b$ का उपयोग करें।
2. $9 \times 360 = 45 \times b \Rightarrow b = \dfrac{3240}{45} = 72$।

अंतिम उत्तर: दूसरी संख्या 72 है।

सार: गुणनफल संबंध तुरंत चौथी राशि देता है (दो संख्याओं के लिए मान्य)।

PYQ 20: विषम पूर्णांक का रूप (3 अंक)

दिखाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $4q + 1$ या $4q + 3$ रूप का होता है, जहाँ $q$ कोई पूर्णांक है। [CBSE Board]

हल:

1. भाजक 4 के साथ यूक्लिड प्रमेयिका द्वारा, कोई भी पूर्णांक $4q$, $4q+1$, $4q+2$, या $4q+3$ है।
2. $4q$ और $4q+2$ सम हैं (2 के गुणज)।
3. अतः कोई विषम पूर्णांक $4q+1$ या $4q+3$ होना चाहिए।

अंतिम उत्तर: प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक $4q+1$ या $4q+3$ है। $\blacksquare$

सार: शेषफल मामले सूचीबद्ध करें, फिर सम वालों को हटा दें।

PYQ 21: तीन संख्याओं का म.स. और ल.स. (3 अंक)

अभाज्य गुणनखंडन विधि से 12, 15 और 21 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. $12 = 2^2 \times 3$; $15 = 3 \times 5$; $21 = 3 \times 7$।
2. म.स.: केवल अभाज्य 3 सभी में उभयनिष्ठ है → म.स. $= 3$।
3. ल.स.: सभी अभाज्य अधिकतम घात तक $= 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$।

अंतिम उत्तर: म.स. = 3, ल.स. = 420।

सार: तीन संख्याओं के म.स. के लिए, अभाज्य का तीनों में आना आवश्यक है।

PYQ 22: सिद्ध कीजिए $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ अपरिमेय है (3 अंक)

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ अपरिमेय है। [CBSE Board]

हल:

1. मानें $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$ (परिमेय)।
2. वर्ग करें: $2 + 2\sqrt{6} + 3 = r^2 \Rightarrow 2\sqrt{6} = r^2 - 5$।
3. अतः $\sqrt{6} = \dfrac{r^2 - 5}{2}$, जो परिमेय होगा।
4. परंतु $\sqrt{6}$ अपरिमेय है (6 पूर्ण वर्ग नहीं)। विरोधाभास।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ अपरिमेय है। $\blacksquare$

सार: वर्ग करना करणियों के योग को एकल करणी में बदल देता है जिसे अपरिमेय दिखाया जा सकता है।

PYQ 23: दशमलव प्रसार वर्गीकृत करना (2 अंक)

भाग दिए बिना बताइए कि $\dfrac{3}{8}$, $\dfrac{13}{125}$ और $\dfrac{7}{12}$ में से किनके दशमलव प्रसार सांत हैं। [CBSE Board]

हल:

1. $\dfrac{3}{8}$: $8 = 2^3$ → केवल 2 → सांत।
2. $\dfrac{13}{125}$: $125 = 5^3$ → केवल 5 → सांत।
3. $\dfrac{7}{12}$: $12 = 2^2 \times 3$ → 3 शामिल → असांत आवर्ती।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{3}{8}$ और $\dfrac{13}{125}$ सांत; $\dfrac{7}{12}$ नहीं।

सार: हर का गुणनखंडन करें; 2 या 5 के अतिरिक्त अभाज्य आवर्तन को बाध्य करता है।

PYQ 24: सेना परेड (म.स.) (3 अंक)

616 सदस्यों की एक सेना टुकड़ी 32 सदस्यों के एक बैंड के पीछे मार्च करती है। दोनों समूह समान संख्या में स्तंभों में मार्च करते हैं। अधिकतम स्तंभों की संख्या ज्ञात कीजिए। [CBSE Board]

हल:

1. अधिकतम स्तंभ = म.स.(616, 32)।
2. $616 = 2^3 \times 7 \times 11$; $32 = 2^5$।
3. उभयनिष्ठ न्यूनतम घात: $2^3 = 8$।

अंतिम उत्तर: 8 स्तंभ।

सार: 'दो राशियों से अधिकतम समान समूह' → म.स.।

PYQ 25: सिद्ध कीजिए $6 + \sqrt{2}$ अपरिमेय है (2 अंक)

यह दिया है कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है, सिद्ध कीजिए कि $6 + \sqrt{2}$ अपरिमेय है। [CBSE Board]

हल:

1. मानें $6 + \sqrt{2} = r$ (परिमेय)।
2. तब $\sqrt{2} = r - 6$, परिमेयों का अंतर → परिमेय।
3. यह $\sqrt{2}$ के अपरिमेय होने का खंडन करता है।

अंतिम उत्तर: $6 + \sqrt{2}$ अपरिमेय है। $\blacksquare$

सार: परिमेय + अपरिमेय सदैव अपरिमेय होता है।

PYQ 26: सबसे बड़ा 3-अंकीय गुणज (3 अंक)

वह सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जो 8, 10 और 12 से पूर्णतः विभाज्य हो। [CBSE Board]

हल:

1. संख्या ल.स.(8, 10, 12) का गुणज होनी चाहिए।
2. $8 = 2^3$, $10 = 2 \times 5$, $12 = 2^2 \times 3$। ल.स. $= 2^3 \times 3 \times 5 = 120$।
3. 120 का सबसे बड़ा 3-अंकीय गुणज: $120 \times 8 = 960$ (क्योंकि $120 \times 9 = 1080 > 999$)।

अंतिम उत्तर: 960।

सार: ल.स. ज्ञात करें, फिर अभीष्ट परास में सबसे बड़ा गुणज।