भूमिका और संख्या पद्धति का पुनरावलोकन

भूमिका — वास्तविक संख्याएँ क्यों पढ़ें?

आइए एक सरल विचार से शुरू करते हैं। आपने अब तक जितनी भी संख्याओं का उपयोग किया है — कंचे गिनते समय, अपनी लंबाई मापते समय, पिज़्ज़ा बाँटते समय, या शून्य से नीचे का तापमान देखते समय — वे सब एक बड़े परिवार से संबंध रखती हैं जिसे वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।

पिछली कक्षाओं में आप प्राकृत संख्याओं, पूर्ण संख्याओं, पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं से मिल चुके हैं, तथा $\sqrt{2}$ और $\pi$ जैसी अपरिमेय संख्याओं की झलक भी पा चुके हैं। इस अध्याय में हम इन सबको आपस में जोड़ते हैं और दो शक्तिशाली विचारों को गहराई से देखते हैं:

1. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय, जो कहती है कि प्रत्येक भाज्य संख्या ठीक एक ही तरीके से अभाज्य संख्याओं से बनती है — जैसे एक अद्वितीय अंगुली-छाप (fingerprint)।
2. अपरिमेय संख्याओं का व्यवहार तथा परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार।

मुख्य बिंदु: वास्तविक संख्याएँ = सभी परिमेय संख्याएँ + सभी अपरिमेय संख्याएँ। संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या है, और प्रत्येक वास्तविक संख्या रेखा पर ठीक एक बिंदु पर स्थित होती है।

ऐसे समझिए: संख्या रेखा में कोई रिक्त स्थान नहीं है। आप पेंसिल की नोक जहाँ भी रखें, वहाँ एक वास्तविक संख्या ही मिलेगी।

संख्या पद्धति — एक त्वरित पुनरावलोकन

गहराई में जाने से पहले, आइए उन संख्या-परिवारों को दोहरा लें जिन्हें आप पहले से जानते हैं। हर परिवार अगले बड़े परिवार के अंदर स्थित है।

प्राकृत संख्याएँ (N)

गिनती की संख्याएँ: $1, 2, 3, 4, \dots$ — ये 1 से शुरू होती हैं और कभी समाप्त नहीं होतीं।

पूर्ण संख्याएँ (W)

प्राकृत संख्याएँ तथा 0: $0, 1, 2, 3, \dots$

पूर्णांक (Z)

पूर्ण संख्याएँ तथा ऋणात्मक संख्याएँ: $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$

परिमेय संख्याएँ (Q)

वह कोई भी संख्या जिसे $\dfrac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं तथा $q \neq 0$। उदाहरण: $\dfrac{3}{4}$, $-\dfrac{7}{2}$, $5$ (क्योंकि $5 = \dfrac{5}{1}$), तथा $0.75$।

अपरिमेय संख्याएँ

वे संख्याएँ जिन्हें $\dfrac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इनका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती होता है। उदाहरण: $\sqrt{2} = 1.41421356\dots$, $\sqrt{3}$, तथा $\pi$।

मुख्य बिंदु: अंतर्ग्रहण की श्रृंखला है $N \subset W \subset Z \subset Q \subset R$। प्रत्येक प्राकृत संख्या एक वास्तविक संख्या है, परंतु प्रत्येक वास्तविक संख्या प्राकृत संख्या नहीं होती।

सब कुछ एक साथ — वास्तविक संख्याएँ

जब हम सभी परिमेय संख्याओं और सभी अपरिमेय संख्याओं को मिलाते हैं, तो हमें वास्तविक संख्याओं का समुच्चय प्राप्त होता है, जिसे $R$ से दर्शाते हैं।

$$R = \{\text{परिमेय संख्याएँ}\} \cup \{\text{अपरिमेय संख्याएँ}\}$$

पूरी पद्धति को चित्र रूप में देखने का एक सुंदर तरीका:

समुच्चय	संकेत	इसमें शामिल
प्राकृत संख्याएँ	$N$	$1, 2, 3, \dots$
पूर्ण संख्याएँ	$W$	$0, 1, 2, 3, \dots$
पूर्णांक	$Z$	$\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
परिमेय संख्याएँ	$Q$	भिन्न $\frac{p}{q}$, $q \neq 0$
अपरिमेय संख्याएँ	—	$\sqrt{2}, \pi, \dots$ (असांत, अनावर्ती)
वास्तविक संख्याएँ	$R$	ऊपर की सभी मिलाकर

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक सामान्य 1-अंक का प्रश्न किसी संख्या को परिमेय या अपरिमेय बताने को कहता है। तरकीब: यदि उसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके (या उसका दशमलव सांत/आवर्ती हो), तो वह परिमेय है; अन्यथा अपरिमेय।

सामान्य भूल: $\sqrt{4}$ अपरिमेय नहीं है। चूँकि $\sqrt{4} = 2$, यह एक प्राकृत संख्या है। केवल उन्हीं संख्याओं के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

आगे क्या पढ़ेंगे — एक झलक

यह अध्याय कुछ परस्पर जुड़े विचारों के माध्यम से वास्तविक संख्याओं का अन्वेषण करता है। यहाँ एक रूपरेखा दी गई है ताकि आपको पता रहे कि हम किस ओर बढ़ रहे हैं:

1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका और एल्गोरिथ्म

बार-बार भाग देकर दो संख्याओं का म.स. (HCF) ज्ञात करने की एक स्वच्छ और विश्वसनीय विधि। (खंड 2)

2. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

प्रत्येक भाज्य संख्या ठीक एक ही तरीके से अभाज्य संख्याओं में टूटती है। इसका उपयोग कर हम अभाज्य गुणनखंडन से म.स. और ल.स. ज्ञात करेंगे। (खंड 3)

3. अपरिमेय संख्याएँ

हम केवल दावा नहीं करेंगे बल्कि सिद्ध करेंगे कि $\sqrt{2}$ और $\sqrt{3}$ जैसी संख्याएँ अपरिमेय हैं। (खंड 4)

4. दशमलव प्रसार

हम एक त्वरित नियम खोजेंगे जिससे — बिना भाग दिए — यह बता सकें कि कोई भिन्न सांत दशमलव देगी या असांत आवर्ती। (खंड 5)

परीक्षा सुझाव: वास्तविक संख्याएँ एक अधिक अंक दिलाने वाला अध्याय है। अपरिमेयता की उपपत्तियाँ तथा म.स.–ल.स. संबंध लगभग हर वर्ष पूछे जाते हैं। मानक चरणों में महारत हासिल कर लें और आसान अंक सुनिश्चित करें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: संख्याओं का वर्गीकरण

निम्नलिखित में से प्रत्येक को परिमेय या अपरिमेय बताइए: $\dfrac{2}{7}$, $\sqrt{9}$, $\sqrt{5}$, $0.333\dots$

हल:

1. $\dfrac{2}{7}$ पहले से ही $\dfrac{p}{q}$ रूप में है, $p=2$, $q=7$ पूर्णांक → परिमेय।
2. $\sqrt{9} = 3 = \dfrac{3}{1}$ → परिमेय (9 एक पूर्ण वर्ग है)।
3. $\sqrt{5} = 2.2360679\dots$ असांत, अनावर्ती है → अपरिमेय।
4. $0.333\dots = \dfrac{1}{3}$, एक आवर्ती दशमलव → परिमेय।

सार: किसी वर्गमूल तभी अपरिमेय होता है जब मूल के अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग न हो।

उदाहरण 2: क्या संख्या पूर्ण संख्या है?

बताइए कि $-7$, $0$, $\dfrac{5}{1}$ और $\dfrac{3}{2}$ पूर्ण संख्याएँ हैं या नहीं।

हल:

• $-7$ एक पूर्णांक है परंतु पूर्ण संख्या नहीं (पूर्ण संख्याएँ $0, 1, 2, \dots$ हैं — कोई ऋणात्मक नहीं)।
• $0$ एक पूर्ण संख्या है।
• $\dfrac{5}{1} = 5$ एक पूर्ण संख्या है।
• $\dfrac{3}{2} = 1.5$ परिमेय है परंतु पूर्ण संख्या नहीं।

सार: पहले सरल कीजिए। $\dfrac{5}{1}$ में एक पूर्ण संख्या छिपी है; $\dfrac{3}{2}$ में नहीं।

उदाहरण 3: दो संख्याओं के बीच परिमेय संख्या

$\dfrac{1}{4}$ और $\dfrac{1}{2}$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. एक सुरक्षित विधि है दोनों संख्याओं का औसत लेना।
2. औसत $= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}$।
3. जाँच: $\dfrac{1}{4} = 0.25$, $\dfrac{3}{8} = 0.375$, $\dfrac{1}{2} = 0.5$। वास्तव में $0.25 < 0.375 < 0.5$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{3}{8}$, $\dfrac{1}{4}$ और $\dfrac{1}{2}$ के बीच स्थित है।

सार: किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनगिनत परिमेय संख्याएँ होती हैं — औसत वाली तरकीब हमेशा एक खोज देती है।

उदाहरण 4: सबसे छोटा समुच्चय पहचानिए

$\sqrt{16}$ किस सबसे छोटे समुच्चय से संबंध रखती है: प्राकृत, पूर्ण, पूर्णांक, या परिमेय?

हल:

1. सरल कीजिए: $\sqrt{16} = 4$।
2. $4$ एक गिनती की संख्या है, अतः यह पहले से ही प्राकृत संख्याओं $N$ से संबंध रखती है — हमारी श्रृंखला का सबसे छोटा समुच्चय।

अंतिम उत्तर: प्राकृत संख्याएँ।

सार: यह तय करने से पहले कि संख्या किस समुच्चय की है, व्यंजक को सरल कीजिए — कभी भी रूप देखकर निर्णय न लें।

उदाहरण 5: एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग

क्या $3 + \sqrt{2}$ परिमेय है या अपरिमेय?

हल:

1. विरोधाभास के लिए मान लीजिए कि $3 + \sqrt{2}$ परिमेय है, माना यह $r$ के बराबर है।
2. तब $\sqrt{2} = r - 3$। दायाँ पक्ष दो परिमेय संख्याओं का अंतर है, अतः परिमेय।
3. परंतु $\sqrt{2}$ अपरिमेय है — यह एक विरोधाभास है।
4. अतः हमारी मान्यता गलत है।

अंतिम उत्तर: $3 + \sqrt{2}$ अपरिमेय है।

सार: (परिमेय) + (अपरिमेय) सदैव अपरिमेय होता है। यह विचार खंड 4 की उपपत्तियों में लौटेगा।

उदाहरण 6: दशमलव रूप से प्रकार का पता

बिना कैलकुलेटर के बताइए कि $0.101001000100001\dots$ (जहाँ 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है) परिमेय है या अपरिमेय।

हल:

1. किसी परिमेय संख्या का दशमलव या तो सांत होता है या एक निश्चित खंड को हमेशा दोहराता है।
2. यहाँ शून्यों का पैटर्न बदलता रहता है (1 शून्य, फिर 2, फिर 3, …), अतः कोई खंड नहीं दोहराता।
3. दशमलव असांत और अनावर्ती है।

अंतिम उत्तर: अपरिमेय।

सार: 'एक पैटर्न है' और 'एक निश्चित खंड दोहराता है' एक बात नहीं हैं। केवल दोहराता हुआ खंड ही दशमलव को परिमेय बनाता है।

उदाहरण 7: गुणनफल जो परिमेय निकले

गुणनफल $\sqrt{8} \times \sqrt{2}$ ज्ञात कीजिए और बताइए कि यह परिमेय है या नहीं।

हल:

1. $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ का उपयोग कीजिए।
2. $\sqrt{8} \times \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$।
3. $4$ एक पूर्णांक है, अतः परिमेय।

अंतिम उत्तर: गुणनफल $4$ है, जो परिमेय है।

सार: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। यह न मानें कि अपरिमेय × अपरिमेय हमेशा अपरिमेय रहता है।

उदाहरण 8: दो पूर्णांकों के बीच दो अपरिमेय संख्याएँ

$2$ और $3$ के बीच कोई दो अपरिमेय संख्याएँ लिखिए।

हल:

1. हमें 2 और 3 के बीच असांत, अनावर्ती दशमलव चाहिए।
2. $\sqrt{5} \approx 2.236\dots$, 2 और 3 के बीच स्थित है (क्योंकि $4 < 5 < 9$)।
3. $\sqrt{7} \approx 2.645\dots$ भी 2 और 3 के बीच स्थित है।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{5}$ और $\sqrt{7}$ (अन्य सही उत्तर भी संभव हैं, जैसे $2.1010010001\dots$)।

सार: $n^2$ और $(n+1)^2$ के बीच आने वाली अपूर्ण-वर्ग संख्याओं के वर्गमूल उपयोगी अपरिमेय संख्याएँ हैं।

उदाहरण 9: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलना

$0.\overline{4}$ (अर्थात् $0.444\dots$) को $\dfrac{p}{q}$ रूप की परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:

1. माना $x = 0.444\dots$
2. दोनों पक्षों को 10 से गुणा कीजिए: $10x = 4.444\dots$
3. दूसरे समीकरण में से पहला घटाइए: $10x - x = 4.444\dots - 0.444\dots$, अतः $9x = 4$।
4. इसलिए $x = \dfrac{4}{9}$।

अंतिम उत्तर: $0.\overline{4} = \dfrac{4}{9}$।

सार: प्रत्येक आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। तरकीब यह है कि 10 की उपयुक्त घात से गुणा कर आवर्ती खंड को मिलाएँ, फिर घटाएँ।

उदाहरण 10: अलग वाली संख्या पहचानिए

इनमें से तीन परिमेय हैं और एक अपरिमेय। अपरिमेय संख्या पहचानिए: $\dfrac{22}{7}$, $\sqrt{2}$, $1.75$, $0.\overline{27}$।

हल:

1. $\dfrac{22}{7}$ पूर्णांकों की भिन्न है → परिमेय (ध्यान दें: यह $\pi$ का सन्निकट मान है, परंतु भिन्न स्वयं परिमेय है)।
2. $1.75 = \dfrac{7}{4}$ → सांत → परिमेय।
3. $0.\overline{27} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$ → आवर्ती → परिमेय।
4. $\sqrt{2} = 1.41421\dots$ → असांत, अनावर्ती → अपरिमेय।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{2}$ अपरिमेय संख्या है।

सार: $\dfrac{22}{7}$ को $\pi$ के साथ भ्रमित न करें। $\dfrac{22}{7}$ परिमेय है; $\pi$ अपरिमेय है।