सारांश और त्वरित पुनरावृत्ति

अध्याय एक नज़र में

यहाँ पूरी वास्तविक संख्याएँ एक पृष्ठ पर हैं। इसे परीक्षा से एक रात पहले उपयोग करें।

संख्या पद्धति

• वास्तविक संख्याएँ $R$ = सभी परिमेय + सभी अपरिमेय संख्याएँ।
• श्रृंखला: $N \subset W \subset Z \subset Q \subset R$।
• परिमेय: $\dfrac{p}{q}$, $q \neq 0$ रूप में लिखी जा सकती है; दशमलव सांत या असांत आवर्ती।
• अपरिमेय: $\dfrac{p}{q}$ रूप में नहीं लिखी जा सकती; दशमलव असांत अनावर्ती (जैसे $\sqrt{2}$, $\pi$)।

याद रखें: (परिमेय) + (अपरिमेय) = अपरिमेय; (अशून्य परिमेय) × (अपरिमेय) = अपरिमेय। परंतु (अपरिमेय) + (अपरिमेय) और (अपरिमेय) × (अपरिमेय) कुछ भी हो सकता है।

मुख्य परिभाषाएँ और प्रमेय

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका

धनात्मक पूर्णांकों $a, b$ के लिए: अद्वितीय $q, r$ विद्यमान हैं जहाँ $$a = bq + r, \quad 0 \le r < b.$$

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (म.स. हेतु)

प्रमेयिका को बार-बार लगाएँ; जब शेषफल 0 हो जाए, तो अंतिम भाजक ही म.स. है।

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

प्रत्येक भाज्य संख्या अभाज्य संख्याओं का एक अद्वितीय गुणनफल होती है (क्रम को छोड़कर)।

अपरिमेयता प्रमेय

किसी अभाज्य $p$ के लिए: यदि $p \mid a^2$ तो $p \mid a$। (सभी अपरिमेयता उपपत्तियों का इंजन।)

परीक्षा नोट: उपयोग से पहले संबंधित प्रमेय लिखें — परीक्षक इसकी अपेक्षा करते हैं।

अवश्य जानने योग्य सूत्र

अभाज्य गुणनखंडन से म.स. और ल.स.

• म.स. = उभयनिष्ठ अभाज्यों की न्यूनतम घातों का गुणनफल।
• ल.स. = सभी अभाज्यों की अधिकतम घातों का गुणनफल।

गुणनफल संबंध (केवल दो संख्याएँ)

$$\text{म.स.}(a,b) \times \text{ल.स.}(a,b) = a \times b$$

• अतः $\text{ल.स.} = \dfrac{a \times b}{\text{म.स.}}$ और $\text{म.स.} = \dfrac{a \times b}{\text{ल.स.}}$।
• म.स. सदैव ल.स. को विभाजित करता है (उपयोगी वैधता जाँच)।

शब्द-समस्या संकेत

• 'सबसे बड़ा / अधिकतम समान आकार' → म.स.।
• 'अगली बार एक साथ / सबसे छोटा उभयनिष्ठ' → ल.स.।
• 'शेषफल $r$ छोड़ती है' (म.स. प्रकार) → $r$ घटाएँ, फिर म.स.।
• 'भाग पर समान शेषफल $r$' (ल.स. प्रकार) → ल.स. $+ r$।

दशमलव प्रसार नियम

निम्नतम पदों में $\dfrac{p}{q}$ के लिए:

हर $q$	दशमलव
$q = 2^n \times 5^m$ (केवल 2 और 5)	सांत
कोई अन्य अभाज्य उपस्थित	असांत आवर्ती

• दशमलव स्थानों की संख्या (सांत होने पर) $= \max(n, m)$।
• बदलने के लिए: हर को 10 की घात बनाने हेतु गायब 2 या 5 जोड़ें।

सामान्य भूल: भिन्न को पहले सरल करें — बिना सरल किया हर भ्रमित कर सकता है (जैसे $\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$ सांत है)।

अंतिम-क्षण सुझाव और सामान्य जाल

• $\sqrt{n}$ अपरिमेय है ठीक तब जब $n$ पूर्ण वर्ग न हो।
• कोई संख्या 0 पर समाप्त होती है ⇔ उसके गुणनखंडन में कम-से-कम एक 2 और एक 5 हो। अतः $2^n$, $4^n$, $6^n$ कभी 0 पर समाप्त नहीं होते।
• गुणनफल संबंध म.स. × ल.स. = $a \times b$ केवल दो संख्याओं के लिए सत्य है — तीन के लिए कभी नहीं।
• अपरिमेयता उपपत्तियों में, सदैव भिन्न को सहअभाज्य रूप में मानकर आरंभ करें; विरोधाभास एक साझा गुणनखंड मिलने से आता है।
• 'असांत' का अर्थ 'अपरिमेय' नहीं है — आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं।

अंतिम बात: वास्तविक संख्याएँ अधिक अंक दिलाने वाला अध्याय है। $\sqrt{p}$ की उपपत्ति, म.स.–ल.स. संबंध, और सांत-दशमलव नियम में महारत हासिल कर लें, तो अध्याय के अधिकांश अंक सुरक्षित हैं। शुभकामनाएँ!