हल किए गए उदाहरण

इस खंड का उपयोग कैसे करें

यह वास्तविक संख्याओं के लिए आपका अभ्यास-शक्तिगृह है। नीचे पूरे अध्याय को समेटते 30+ पूर्णतः हल किए गए प्रश्न हैं — संख्या वर्गीकरण, यूक्लिड एल्गोरिथ्म, अभाज्य गुणनखंडन, म.स. व ल.स., अपरिमेयता की उपपत्तियाँ, और दशमलव प्रसार, मोटे तौर पर सरल से कठिन क्रम में।

कैसे पढ़ें: पहले प्रत्येक प्रश्न को हल ढककर स्वयं हल करने का प्रयास करें। फिर चरण जाँचें। लक्ष्य केवल उत्तर नहीं, बल्कि विधि है — बोर्ड परीक्षा में अंक चरण-दर-चरण मिलते हैं।

काम करते समय ये सूत्र साथ रखें:

• यूक्लिड प्रमेयिका: $a = bq + r,\ 0 \le r < b$
• $\text{म.स.}(a,b) \times \text{ल.स.}(a,b) = a \times b$ (केवल दो संख्याएँ)
• म.स. = उभयनिष्ठ अभाज्यों की न्यूनतम घातों का गुणनफल; ल.स. = सभी अभाज्यों की अधिकतम घातों का गुणनफल
• सांत दशमलव ⇔ हर (निम्नतम पदों) $= 2^n \times 5^m$

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: संख्या का वर्गीकरण

क्या $\dfrac{15}{1600}$ परिमेय है, और क्या यह सांत है?

हल:

1. सरल करें: $\dfrac{15}{1600} = \dfrac{3}{320}$।
2. $320 = 2^6 \times 5$। केवल अभाज्य 2 और 5।
3. अतः यह सांत दशमलव वाली परिमेय संख्या है।

अंतिम उत्तर: परिमेय, सांत।

सार: सरल करें, फिर हर के अभाज्य जाँचें।

उदाहरण 2: यूक्लिड एल्गोरिथ्म द्वारा म.स.

म.स.(4052, 12576) ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $12576 = 4052 \times 3 + 420$।
2. $4052 = 420 \times 9 + 272$।
3. $420 = 272 \times 1 + 148$।
4. $272 = 148 \times 1 + 124$; $148 = 124 \times 1 + 24$; $124 = 24 \times 5 + 4$; $24 = 4 \times 6 + 0$।
5. अंतिम भाजक = 4।

अंतिम उत्तर: म.स. $= 4$।

सार: प्रमेयिका बार-बार लगाएँ; अंतिम अशून्य शेषफल ही म.स. है।

उदाहरण 3: गुणनखंडन द्वारा म.स. और ल.स.

510 और 92 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$; $92 = 2^2 \times 23$।
2. म.स. = उभयनिष्ठ अभाज्य न्यूनतम घात तक = $2^1 = 2$।
3. ल.स. = सभी अभाज्य अधिकतम घात तक = $2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$।

अंतिम उत्तर: म.स. $= 2$, ल.स. $= 23460$।

सार: जाँच: $2 \times 23460 = 46920 = 510 \times 92$। ✓

उदाहरण 4: लुप्त संख्या ज्ञात करना

दो संख्याओं का ल.स. और म.स. क्रमशः 180 और 6 है। यदि एक संख्या 36 है, तो दूसरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\text{म.स.}\times\text{ल.स.} = a \times b \Rightarrow 6 \times 180 = 36 \times b$।
2. $b = \dfrac{1080}{36} = 30$।

अंतिम उत्तर: दूसरी संख्या 30 है।

सार: गुणनफल संबंध तुरंत चौथी राशि दे देता है।

उदाहरण 5: पूर्णतः विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 70 और 125 को विभाजित करने पर क्रमशः शेषफल 5 और 8 छोड़ती है।

हल:

1. शेषफल घटाएँ: $70 - 5 = 65$, $125 - 8 = 117$।
2. अभीष्ट = म.स.(65, 117)। $117 = 65\times1 + 52$; $65 = 52\times1 + 13$; $52 = 13\times4 + 0$।
3. म.स. = 13।

अंतिम उत्तर: 13।

सार: पहले शेषफल घटाएँ, फिर म.स. लें।

उदाहरण 6: घंटियाँ एक साथ बजना

तीन घंटियाँ 6, 12 और 18 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे प्रातः 6 बजे एक साथ बजती हैं, तो अगली बार एक साथ कब बजेंगी?

हल:

1. अगली बार = ल.स.(6, 12, 18) मिनट बाद।
2. $6 = 2\times3$, $12 = 2^2\times3$, $18 = 2\times3^2$। ल.स. $= 2^2\times3^2 = 36$ मिनट।
3. प्रातः $6{:}00$ + 36 मिनट = प्रातः $6{:}36$।

अंतिम उत्तर: प्रातः 6:36।

सार: 'पुनः एक साथ' → ल.स.।

उदाहरण 7: सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{7}$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $\sqrt{7} = \dfrac{a}{b}$, $a,b$ सहअभाज्य।
2. $7b^2 = a^2 \Rightarrow 7 \mid a^2 \Rightarrow 7 \mid a$। $a = 7c$ लिखें।
3. $7b^2 = 49c^2 \Rightarrow b^2 = 7c^2 \Rightarrow 7 \mid b$।
4. अतः 7, $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करता है — विरोधाभास।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{7}$ अपरिमेय है।

सार: वही टेम्पलेट; यहाँ अभाज्य 7 है।

उदाहरण 8: सांतता की जाँच

भाग दिए बिना, बताइए कि $\dfrac{23}{8}$ सांत है या नहीं और इसे ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $8 = 2^3$ → केवल 2 → सांत।
2. $5^3$ से गुणा करें: $\dfrac{23 \times 125}{1000} = \dfrac{2875}{1000} = 2.875$।

अंतिम उत्तर: सांत, $2.875$।

सार: 10-की-घात तरकीब सीधे दशमलव देती है।

उदाहरण 9: भाज्य संख्या की जाँच

दिखाइए कि $5 \times 11 \times 13 + 11$ भाज्य है।

हल:

1. 11 उभयनिष्ठ लें: $5\times11\times13 + 11 = 11(5\times13 + 1) = 11 \times 66$।
2. यह $11 \times 66$ के रूप में गुणनखंडित होता है, दोनों 1 से बड़े।

अंतिम उत्तर: भाज्य (726 के बराबर)।

सार: एक उभयनिष्ठ गुणनखंड तुरंत भाज्यता प्रकट करता है।

उदाहरण 10: प्रति पंक्ति अधिकतम विद्यार्थी

44 लड़के और 32 लड़कियाँ पंक्तियों में बैठाई जानी हैं, प्रति पंक्ति केवल एक लिंग और प्रति पंक्ति समान संख्या। पंक्तियों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. प्रति पंक्ति अधिकतम विद्यार्थी = म.स.(44, 32)। $44 = 2^2\times11$, $32 = 2^5$। म.स. $= 2^2 = 4$।
2. लड़कों की पंक्तियाँ $= 44/4 = 11$; लड़कियों की $= 32/4 = 8$।
3. न्यूनतम पंक्तियाँ $= 11 + 8 = 19$।

अंतिम उत्तर: 19 पंक्तियाँ।

सार: सबसे बड़ा समान समूह → म.स.; फिर संख्याएँ जोड़ें।

उदाहरण 11: सिद्ध कीजिए कि $2 - \sqrt{5}$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $2 - \sqrt{5} = r$ (परिमेय)।
2. तब $\sqrt{5} = 2 - r$, परिमेयों का अंतर → परिमेय।
3. $\sqrt{5}$ के अपरिमेय होने का खंडन।

अंतिम उत्तर: $2 - \sqrt{5}$ अपरिमेय है।

सार: करणी को अलग करें; शेष परिमेय होना चाहिए।

उदाहरण 12: म.स. को गुणनखंडन से सत्यापित करना

म.स.(196, 38220) ज्ञात कर गुणनखंडन से सत्यापित कीजिए।

हल:

1. यूक्लिड: $38220 = 196 \times 195 + 0$, अतः म.स. = 196।
2. गुणनखंडन: $196 = 2^2 \times 7^2$; $38220 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7^2 \times 13$।
3. उभयनिष्ठ न्यूनतम घात तक: $2^2 \times 7^2 = 196$। ✓

अंतिम उत्तर: म.स. $= 196$।

सार: दो विधियाँ, वही उत्तर — स्व-जाँच का अच्छा तरीका।

उदाहरण 13: 8, 9, 10 से विभाज्य सबसे छोटी संख्या

8, 9 और 10 से विभाज्य सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. ल.स.(8, 9, 10)। $8 = 2^3$, $9 = 3^2$, $10 = 2\times5$।
2. ल.स. $= 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$।

अंतिम उत्तर: 360।

सार: सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज → ल.स.।

उदाहरण 14: दशमलव स्थान

$\dfrac{14587}{2^4 \times 5^3}$ में कितने दशमलव स्थान होंगे?

हल:

1. हर $= 2^4 \times 5^3$, अतः $n=4$, $m=3$।
2. स्थान $= \max(4,3) = 4$।

अंतिम उत्तर: 4 दशमलव स्थान।

सार: स्थान $= \max(n, m)$।

उदाहरण 15: $6^n$ का इकाई अंक

क्या किसी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $6^n$ अंक 5 पर समाप्त हो सकता है?

हल:

1. $6^n = 2^n \times 3^n$ — सदैव सम, अतः सम अंक पर समाप्त होता है।
2. अंक 5 विषम है, अतः $6^n$ कभी 5 पर समाप्त नहीं हो सकता।

अंतिम उत्तर: नहीं।

सार: सम संख्या केवल 0, 2, 4, 6, या 8 पर समाप्त हो सकती है।

उदाहरण 16: म.स. वाली शब्द समस्या

64 मी और 80 मी लंबाई की दो रस्सियों को अधिकतम समान लंबाई के टुकड़ों में काटना है। वह लंबाई और टुकड़ों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. अधिकतम लंबाई = म.स.(64, 80)। $64 = 2^6$, $80 = 2^4\times5$। म.स. $= 2^4 = 16$ मी।
2. टुकड़े $= 64/16 + 80/16 = 4 + 5 = 9$।

अंतिम उत्तर: प्रत्येक 16 मी; 9 टुकड़े।

सार: अधिकतम समान टुकड़ा लंबाई → म.स.; भाग देकर टुकड़े गिनें।

उदाहरण 17: सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2} + 5$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $\sqrt{2} + 5 = r$ (परिमेय)।
2. तब $\sqrt{2} = r - 5$, परिमेय।
3. विरोधाभास, क्योंकि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{2} + 5$ अपरिमेय है।

सार: परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय।

उदाहरण 18: दिए गए शेषफलों वाली सबसे बड़ी संख्या

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 1251, 9377 और 15628 को विभाजित करने पर क्रमशः शेषफल 1, 2 और 3 छोड़ती है।

हल:

1. शेषफल घटाएँ: $1251-1 = 1250$, $9377-2 = 9375$, $15628-3 = 15625$।
2. अभीष्ट = म.स.(1250, 9375, 15625)। $1250 = 2\times5^4$, $9375 = 3\times5^5$, $15625 = 5^6$।
3. उभयनिष्ठ न्यूनतम घात: $5^4 = 625$।

अंतिम उत्तर: 625।

सार: प्रत्येक शेषफल घटाएँ, फिर सभी घटी संख्याओं का म.स. लें।

उदाहरण 19: ल.स. शब्द समस्या (वृत्ताकार पथ)

दो धावक एक पथ का एक चक्कर क्रमशः 18 और 12 मिनट में पूरा करते हैं। यदि वे एक साथ आरंभ करें, तो कितनी देर बाद वे प्रारंभ बिंदु पर पुनः मिलेंगे?

हल:

1. वे ल.स.(18, 12) मिनट बाद प्रारंभ पर मिलेंगे।
2. $18 = 2\times3^2$, $12 = 2^2\times3$। ल.स. $= 2^2\times3^2 = 36$ मिनट।

अंतिम उत्तर: 36 मिनट बाद।

सार: प्रारंभ पर पुनः मिलना → चक्कर समयों का ल.स.।

उदाहरण 20: पूर्णांक का रूप

दिखाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m$, $9m+1$, या $9m+8$ रूप का होता है।

हल:

1. कोई भी पूर्णांक $3q$, $3q+1$, या $3q+2$ है।
2. $(3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$।
3. $(3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9m + 1$।
4. $(3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9m + 8$।

अंतिम उत्तर: घन $9m$, $9m+1$, या $9m+8$ है।

सार: तीन शेष-मामलों का परीक्षण कर प्रसार करें।

उदाहरण 21: सहअभाज्यता की जाँच

क्या 847 और 2160 सहअभाज्य हैं?

हल:

1. $847 = 7 \times 11^2$; $2160 = 2^4 \times 3^3 \times 5$।
2. इनमें कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं।
3. अतः म.स. = 1।

अंतिम उत्तर: हाँ, वे सहअभाज्य हैं।

सार: कोई साझा अभाज्य नहीं ⇒ म.स. 1 ⇒ सहअभाज्य।

उदाहरण 22: सिद्ध कीजिए कि $3 + 2\sqrt{5}$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $3 + 2\sqrt{5} = r$ (परिमेय)।
2. $2\sqrt{5} = r - 3 \Rightarrow \sqrt{5} = \dfrac{r-3}{2}$, परिमेय।
3. $\sqrt{5}$ के अपरिमेय होने का खंडन।

अंतिम उत्तर: $3 + 2\sqrt{5}$ अपरिमेय है।

सार: परिमेय घटाएँ, गुणांक से भाग दें, करणी अलग करें।

उदाहरण 23: दशमलव स्थानों की संख्या व मान

$\dfrac{7}{80}$ को दशमलव के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:

1. $80 = 2^4 \times 5$। केवल 2 और 5 → सांत।
2. संतुलित करें: अंश-हर को $5^3$ से गुणा करें: $\dfrac{7 \times 125}{10000} = \dfrac{875}{10000} = 0.0875$।

अंतिम उत्तर: $0.0875$।

सार: $\max(4,1)=4$ स्थान, 0.0875 से मेल खाता है।

उदाहरण 24: पुस्तकें ढेर लगाना

96 गणित, 240 भौतिकी और 336 रसायन की पुस्तकें हैं। इन्हें इस प्रकार ढेर में लगाया जाता है कि प्रत्येक ढेर में एक ही विषय की पुस्तकें हों और सभी ढेरों की ऊँचाई (पुस्तकों की संख्या) समान हो। प्रति ढेर अधिकतम पुस्तकें और ढेरों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. प्रति ढेर अधिकतम = म.स.(96, 240, 336)। $96 = 2^5\times3$, $240 = 2^4\times3\times5$, $336 = 2^4\times3\times7$।
2. उभयनिष्ठ न्यूनतम घात: $2^4\times3 = 48$।
3. ढेर $= 96/48 + 240/48 + 336/48 = 2 + 5 + 7 = 14$।

अंतिम उत्तर: प्रति ढेर 48 पुस्तकें; 14 ढेर।

सार: समान ऊँचाई के ढेर → म.स.; प्रति विषय ढेर संख्याएँ जोड़ें।

उदाहरण 25: सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $\dfrac{\sqrt{3}}{5} = r$ (परिमेय)।
2. तब $\sqrt{3} = 5r$, परिमेय।
3. $\sqrt{3}$ के अपरिमेय होने का खंडन।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$ अपरिमेय है।

सार: अपरिमेय को अशून्य परिमेय से भाग देने पर भी अपरिमेय रहता है।

उदाहरण 26: शेषफल छोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 15 और 18 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 बचे।

हल:

1. अभीष्ट = ल.स.(6, 15, 18) + 5।
2. $6 = 2\times3$, $15 = 3\times5$, $18 = 2\times3^2$। ल.स. $= 2\times3^2\times5 = 90$।
3. अभीष्ट $= 90 + 5 = 95$।

अंतिम उत्तर: 95।

सार: कई भाजकों पर समान शेषफल → ल.स. + शेषफल।

उदाहरण 27: अनेक में से सांत पहचानना

$\dfrac{13}{125}$, $\dfrac{17}{210}$, $\dfrac{15}{1600}$ में से कौन सांत हैं?

हल:

1. $125 = 5^3$ → T।
2. $210 = 2\times3\times5\times7$ → 3, 7 शामिल → NT।
3. $1600 = 2^6\times5^2$ → T।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{13}{125}$ और $\dfrac{15}{1600}$ सांत; $\dfrac{17}{210}$ नहीं।

सार: प्रत्येक हर का गुणनखंडन कर भटके अभाज्यों की तलाश करें।

उदाहरण 28: ल.स. ज्ञात करने हेतु म.स.-ल.स. संबंध

96 और 404 का म.स. 4 है। उनका ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\text{ल.स.} = \dfrac{a \times b}{\text{म.स.}} = \dfrac{96 \times 404}{4}$।
2. $= \dfrac{38784}{4} = 9696$।

अंतिम उत्तर: ल.स. $= 9696$।

सार: गुणनफल संबंध को पुनर्व्यवस्थित करने पर ल.स. शीघ्र मिलता है।

उदाहरण 29: सिद्ध कीजिए कि $7 - 3\sqrt{2}$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $7 - 3\sqrt{2} = r$ (परिमेय)।
2. $3\sqrt{2} = 7 - r \Rightarrow \sqrt{2} = \dfrac{7-r}{3}$, परिमेय।
3. $\sqrt{2}$ के अपरिमेय होने का खंडन।

अंतिम उत्तर: $7 - 3\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

सार: घटाकर और भाग देकर $\sqrt2$ अलग करें; परिणाम की परिमेयता विरोधाभास देती है।

उदाहरण 30: मिश्रित बहु-चरण समस्या

दो संख्याओं का म.स. 16 है और उनका गुणनफल 3072 है। उनका ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\text{म.स.} \times \text{ल.स.} =$ संख्याओं का गुणनफल $= 3072$।
2. $\text{ल.स.} = \dfrac{3072}{16} = 192$।

अंतिम उत्तर: ल.स. $= 192$।

सार: संख्याओं का गुणनफल ÷ म.स. = ल.स.।

उदाहरण 31: 8, 10, 12 से विभाज्य सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या

8, 10 और 12 से पूर्णतः विभाज्य सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

1. ल.स.(8, 10, 12): $8 = 2^3$, $10 = 2\times5$, $12 = 2^2\times3$। ल.स. $= 2^3\times3\times5 = 120$।
2. 120 का सबसे बड़ा 3-अंकीय गुणज: $120 \times 8 = 960$ (क्योंकि $120\times9 = 1080 > 999$)।

अंतिम उत्तर: 960।

सार: ल.स. ज्ञात करें, फिर अभीष्ट परास में सबसे बड़ा गुणज।