अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

अभाज्य संख्याओं से संख्याओं का निर्माण

आइए इसे एक सरल विचार से समझें। जैसे प्रत्येक शब्द अक्षरों से बनता है, वैसे ही प्रत्येक भाज्य संख्या अभाज्य संख्याओं से बनती है। एक अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं — 1 और स्वयं वह संख्या (जैसे 2, 3, 5, 7, 11)। एक भाज्य संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं (जैसे 6, 12, 100)।

12 लीजिए। हम $12 = 2 \times 2 \times 3$ लिख सकते हैं। 100 लीजिए। हम $100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5$ लिख सकते हैं। आप गुणनखंडन कैसे भी शुरू करें, अंत में सदैव वही अभाज्य संख्याएँ मिलती हैं।

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय: प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है, और यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है, उस क्रम को छोड़कर जिसमें अभाज्य गुणनखंड आते हैं।

इसीलिए हम इसे 'आधारभूत' कहते हैं — अभाज्य संख्याएँ सभी संख्याओं की निर्माण-इकाइयाँ हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] 'क्रम को छोड़कर अद्वितीय' का अर्थ है $12 = 2\times2\times3 = 3\times2\times2$ को एक ही गुणनखंडन गिना जाता है। अभाज्य संख्याओं का संग्रह (दो 2 और एक 3) कभी नहीं बदलता।

व्यवहार में अभाज्य गुणनखंडन

किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करने का सामान्य तरीका गुणनखंड वृक्ष (factor tree) या सबसे छोटी संभव अभाज्य संख्या से बार-बार भाग देना है।

उदाहरण: 3825 का गुणनखंडन

• $3825 = 3 \times 1275$
• $1275 = 3 \times 425$
• $425 = 5 \times 85$
• $85 = 5 \times 17$
• 17 अभाज्य है।

सब एकत्र करने पर: $3825 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 = 3^2 \times 5^2 \times 17$।

गुणनखंडन को घातांकों (powers) के साथ लिखना परीक्षा में प्रयुक्त स्वच्छ, मानक रूप है:

$$N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}$$

जहाँ $p_1, p_2, \dots$ भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं।

मुख्य बिंदु: सदैव सबसे छोटी अभाज्य संख्या (2) से भाग देना शुरू करें, फिर 3, फिर 5, इत्यादि। 1 तक पहुँचने तक चलते रहें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] अंतिम उत्तर घातांकीय रूप में लिखें, जैसे $3825 = 3^2 \times 5^2 \times 17$ — यही अपेक्षित प्रस्तुति है और म.स./ल.स. के लिए उपयोग में आसान है।

अभाज्य गुणनखंडन द्वारा म.स. और ल.स. ज्ञात करना

एक बार अभाज्य गुणनखंडन प्राप्त हो जाने पर, म.स. और ल.स. ज्ञात करना तेज़ हो जाता है।

म.स. (महत्तम समापवर्तक)

प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड को, संख्याओं में आने वाली उसकी सबसे छोटी (न्यूनतम) घात तक लें, और गुणा करें।

$$\text{म.स.} = \text{उभयनिष्ठ अभाज्यों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल}$$

ल.स. (लघुत्तम समापवर्त्य)

प्रत्येक आने वाले अभाज्य गुणनखंड को (उभयनिष्ठ हो या न हो), उसकी सबसे बड़ी (अधिकतम) घात तक लें, और गुणा करें।

$$\text{ल.स.} = \text{सभी अभाज्यों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल}$$

उदाहरण: 96 और 404 का म.स. और ल.स.

• $96 = 2^5 \times 3$
• $404 = 2^2 \times 101$
• उभयनिष्ठ अभाज्य: 2, सबसे छोटी घात $2^2$। अतः $\text{म.स.} = 2^2 = 4$।
• सभी अभाज्य अधिकतम घात तक: $2^5 \times 3 \times 101$। अतः $\text{ल.स.} = 32 \times 3 \times 101 = 9696$।

स्मरण सहायक: म.स. → उभयनिष्ठ अभाज्यों की न्यूनतम घातें। ल.स. → सभी अभाज्यों की अधिकतम घातें। (म.स. छोटा होता है, अतः छोटी घातें लेता है।)

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक सुंदर स्व-जाँच: $\text{म.स.} \times \text{ल.स.} = 4 \times 9696 = 38784 = 96 \times 404$। ✓

म.स.–ल.स. संबंध

किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए, एक सुंदर संबंध होता है:

$$\text{म.स.}(a, b) \times \text{ल.स.}(a, b) = a \times b$$

शब्दों में: दो संख्याओं के म.स. और ल.स. का गुणनफल स्वयं उन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

यह अत्यंत उपयोगी है। यदि आप चार राशियों (म.स., ल.स., $a$, $b$) में से कोई तीन जानते हैं, तो चौथी तुरंत ज्ञात कर सकते हैं।

सामान्य भूल: यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सत्य है। तीन या अधिक संख्याओं के लिए, $\text{म.स.} \times \text{ल.स.} \neq$ संख्याओं का गुणनफल। सावधान रहें!

त्वरित अनुप्रयोग

यदि दो संख्याओं का म.स. 9 और ल.स. 360 है, और एक संख्या 45 है, तो दूसरी है: $$\text{दूसरी} = \frac{\text{म.स.} \times \text{ल.स.}}{\text{एक संख्या}} = \frac{9 \times 360}{45} = \frac{3240}{45} = 72.$$

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यह सूत्र लगभग हर वर्ष 1 या 2 अंक के प्रश्न के रूप में आता है। इसे और 'केवल दो संख्याओं' वाली शर्त को याद रखें।

$4^n$ कभी शून्य पर समाप्त क्यों नहीं हो सकता

अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता हमें 'क्या यह संख्या किसी विशेष अंक पर समाप्त हो सकती है?' जैसे प्रश्नों का उत्तर बिना किसी गणना के देने देती है।

किसी संख्या के 0 पर समाप्त होने के लिए, उसे 10 से विभाज्य होना चाहिए, अर्थात् उसके अभाज्य गुणनखंडन में 2 और 5 दोनों होने चाहिए।

उदाहरण तर्क

$4^n$ पर विचार करें जहाँ $n$ एक प्राकृत संख्या है। तब $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$। इसका एकमात्र अभाज्य गुणनखंड 2 है — कोई 5 नहीं। गुणनखंडन की अद्वितीयता के कारण, कोई 5 कभी नहीं आ सकता। अतः $4^n$ कभी अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकता।

मुख्य बिंदु: कोई संख्या 0 पर तभी समाप्त होती है जब उसके अभाज्य गुणनखंडन में कम-से-कम एक 2 और कम-से-कम एक 5 हो। यदि कोई एक भी अनुपस्थित हो, तो वह 0 पर समाप्त नहीं हो सकती।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यह एक उत्कृष्ट परीक्षा प्रश्न है (जैसे 'जाँचिए कि $6^n$ 0 पर समाप्त हो सकता है या नहीं')। $6^n = 2^n \times 3^n$ — इसमें 2 है परंतु 5 नहीं, अतः यह भी कभी 0 पर समाप्त नहीं हो सकता।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: अभाज्य गुणनखंडन

156 को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:

1. $156 = 2 \times 78$।
2. $78 = 2 \times 39$।
3. $39 = 3 \times 13$, और 13 अभाज्य है।
4. अतः $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 = 2^2 \times 3 \times 13$।

अंतिम उत्तर: $156 = 2^2 \times 3 \times 13$।

सार: हर बार सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग दें, और 1 पर रुकें।

उदाहरण 2: अभाज्य गुणनखंडन द्वारा म.स. और ल.स.

अभाज्य गुणनखंडन विधि से 6 और 20 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $6 = 2 \times 3$ और $20 = 2^2 \times 5$।
2. म.स. = उभयनिष्ठ अभाज्यों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल = $2^1 = 2$।
3. ल.स. = सभी अभाज्यों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल = $2^2 \times 3 \times 5 = 60$।

अंतिम उत्तर: म.स. $= 2$, ल.स. $= 60$।

सार: जाँच: $2 \times 60 = 120 = 6 \times 20$। ✓

उदाहरण 3: तीन संख्याओं का म.स. और ल.स.

अभाज्य गुणनखंडन से 6, 72 और 120 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $6 = 2 \times 3$; $72 = 2^3 \times 3^2$; $120 = 2^3 \times 3 \times 5$।
2. म.स.: उभयनिष्ठ अभाज्य 2 और 3, सबसे छोटी घातें $2^1$ और $3^1$। म.स. $= 2 \times 3 = 6$।
3. ल.स.: सभी अभाज्य अधिकतम घात तक $= 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$।

अंतिम उत्तर: म.स. $= 6$, ल.स. $= 360$।

सार: तीन संख्याओं के लिए, किसी अभाज्य को म.स. में गिनने के लिए वह सभी में आना चाहिए।

उदाहरण 4: म.स. × ल.स. संबंध का उपयोग

दो संख्याओं का म.स. 23 और उनका ल.स. 1449 है। यदि एक संख्या 161 है, तो दूसरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\text{म.स.} \times \text{ल.स.} = a \times b$ का उपयोग करें।
2. $23 \times 1449 = 161 \times b$।
3. $b = \dfrac{23 \times 1449}{161} = \dfrac{33327}{161} = 207$।

अंतिम उत्तर: दूसरी संख्या $207$ है।

सार: चार में से तीन राशियाँ ज्ञात होने पर, चौथी गुणनफल संबंध से प्राप्त होती है (दो संख्याओं के लिए मान्य)।

उदाहरण 5: क्या $4^n$ शून्य पर समाप्त हो सकता है?

जाँचिए कि किसी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $4^n$ अंक 0 पर समाप्त हो सकता है या नहीं।

हल:

1. किसी संख्या के 0 पर समाप्त होने के लिए, उसे 10 से विभाज्य होना चाहिए, अर्थात् 2 और 5 दोनों गुणनखंड के रूप में हों।
2. $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$, जिसका एकमात्र अभाज्य गुणनखंड 2 है।
3. अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता से, 5 कभी नहीं आ सकता।
4. अतः $4^n$ कभी 5 से विभाज्य नहीं, अतः कभी 0 पर समाप्त नहीं होता।

अंतिम उत्तर: नहीं, $4^n$ कभी 0 पर समाप्त नहीं हो सकता।

सार: '0 पर समाप्त' ⇔ 10 से विभाज्य ⇔ गुणनखंडन में 2 और 5 दोनों।

उदाहरण 6: घंटियों की समस्या (ल.स.)

तीन घंटियाँ 9, 12 और 15 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे प्रातः 8:00 बजे एक साथ बजती हैं, तो अगली बार एक साथ कब बजेंगी?

हल:

1. वे ल.स.(9, 12, 15) मिनट बाद पुनः एक साथ बजेंगी।
2. $9 = 3^2$; $12 = 2^2 \times 3$; $15 = 3 \times 5$।
3. ल.स. $= 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$ मिनट $= 3$ घंटे।
4. प्रातः $8{:}00$ $+ 3$ घंटे $=$ प्रातः $11{:}00$।

अंतिम उत्तर: वे अगली बार प्रातः $11{:}00$ बजे एक साथ बजेंगी।

सार: 'पुनः एक साथ घटित होना' की समस्याएँ ल.स. का उपयोग करती हैं।

उदाहरण 7: सबसे बड़े समान भाग के रूप में म.स.

दो टैंकरों में 850 लीटर और 680 लीटर पेट्रोल है। उस पात्र की अधिकतम धारिता ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक टैंकर का पेट्रोल पूर्ण संख्या में बार माप सके।

हल:

1. अभीष्ट धारिता $= \text{म.स.}(850, 680)$।
2. $850 = 2 \times 5^2 \times 17$; $680 = 2^3 \times 5 \times 17$।
3. उभयनिष्ठ अभाज्य सबसे छोटी घात तक: $2^1 \times 5^1 \times 17 = 170$।

अंतिम उत्तर: अधिकतम धारिता $170$ लीटर है।

सार: 'सबसे बड़ा पात्र जो दोनों को पूर्णतः मापे' = म.स.।

उदाहरण 8: किसी संख्या के भाज्य होने की उपपत्ति

समझाइए कि $7 \times 11 \times 13 + 13$ एक भाज्य संख्या क्यों है।

हल:

1. उभयनिष्ठ 13 बाहर निकालें: $7 \times 11 \times 13 + 13 = 13 \times (7 \times 11 + 1) = 13 \times 78$।
2. चूँकि व्यंजक $13 \times 78$ के बराबर है, इसके 1 और स्वयं के अतिरिक्त भी गुणनखंड हैं।
3. अतः यह भाज्य है (वास्तव में $13 \times 78 = 1014$)।

अंतिम उत्तर: यह भाज्य है क्योंकि इसे $13 \times 78$ लिखा जा सकता है।

सार: यदि किसी व्यंजक को 1 से बड़े दो पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सके, तो वह भाज्य है।

उदाहरण 9: 1 से 10 तक से विभाज्य सबसे छोटी संख्या

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 से 10 तक की प्रत्येक संख्या से पूर्णतः विभाज्य हो।

हल:

1. अभीष्ट संख्या ल.स.(1, 2, 3, …, 10) है।
2. 10 तक के अभाज्यों की अधिकतम घातें: $2^3$ (8 से), $3^2$ (9 से), $5$ (5 या 10 से), $7$ (7 से)।
3. ल.स. $= 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 2520$।

अंतिम उत्तर: $2520$।

सार: 'इन सभी से विभाज्य' के लिए, परास में प्रत्येक अभाज्य की अधिकतम घात लेकर ल.स. लें।

उदाहरण 10: समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 35, 56 और 91 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 बचे।

हल:

1. प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 छोड़ने वाली संख्या $\text{ल.स.}(35, 56, 91) + 7$ है।
2. $35 = 5 \times 7$; $56 = 2^3 \times 7$; $91 = 7 \times 13$।
3. ल.स. $= 2^3 \times 5 \times 7 \times 13 = 8 \times 5 \times 7 \times 13 = 3640$।
4. अभीष्ट संख्या $= 3640 + 7 = 3647$।

अंतिम उत्तर: $3647$।

सार: 'कई संख्याओं से भाग पर समान शेषफल $r$' = उन संख्याओं का ल.स., जोड़ें $r$।