अपरिमेय संख्याओं पर पुनर्विचार

कोई संख्या अपरिमेय किससे बनती है?

खंड 1 से याद कीजिए: कोई संख्या अपरिमेय होती है यदि उसे $\dfrac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं तथा $q \neq 0$। उसका दशमलव प्रसार बिना किसी आवर्ती खंड में स्थिर हुए सदैव चलता रहता है।

परिचित उदाहरण हैं $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, और $\pi$। इस खंड में हम केवल यह मानते नहीं कि ये अपरिमेय हैं — हम इसे सिद्ध करते हैं, विरोधाभास द्वारा उपपत्ति नामक एक शक्तिशाली तकनीक का उपयोग करके।

मुख्य बिंदु: किसी संख्या को अपरिमेय सिद्ध करने के लिए, हम विपरीत मानते हैं (कि वह परिमेय है), और फिर दिखाते हैं कि यह मान्यता किसी असंभव बात की ओर ले जाती है। चूँकि मान्यता टूटती है, अतः संख्या अपरिमेय होनी चाहिए।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] 'सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है' (और इसी प्रकार के) सबसे अधिक दोहराए जाने वाले बोर्ड प्रश्नों में से एक है। मानक उपपत्ति संरचना को भली-भाँति सीखें — यह 2 से 3 अंक का होता है और चरण सदैव वही रहते हैं।

जिस मुख्य प्रमेय का हम उपयोग करेंगे

अपरिमेयता की उपपत्तियाँ एक महत्वपूर्ण प्रमेय पर टिकी हैं जो अंकगणित की आधारभूत प्रमेय से निकलती है।

प्रमेय: माना $p$ एक अभाज्य संख्या है। यदि $p$, $a^2$ को विभाजित करता है (जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है), तो $p$, $a$ को विभाजित करता है।

यह सत्य क्यों है (विचार)

यदि $p$, $a^2$ को विभाजित करता है, तो $p$ को $a^2$ के अभाज्य गुणनखंडन में आना चाहिए। परंतु $a^2$ के अभाज्य ठीक $a$ के ही अभाज्य हैं, प्रत्येक दुगुनी बार आता है। अतः यदि $p$, $a^2$ का गुणनखंड है, तो वह पहले से ही $a$ का गुणनखंड होना चाहिए।

उदाहरण

चूँकि $2$, $a^2$ को विभाजित करता है, इससे निकलता है कि $2$, $a$ को विभाजित करता है। इसी प्रकार, यदि $3 \mid a^2$ तो $3 \mid a$, और यदि $5 \mid a^2$ तो $5 \mid a$।

मुख्य बिंदु: यह प्रमेय इस अध्याय की प्रत्येक अपरिमेयता उपपत्ति के पीछे का इंजन है। परीक्षा में उपयोग से पहले इसे लिखें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] प्रमेय के लिए $p$ का अभाज्य होना आवश्यक है। यह अनभाज्यों के लिए विफल हो सकती है — उदाहरण के लिए $4 \mid 6^2 = 36$, परंतु $4 \nmid 6$।

उपपत्ति कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है

यह आदर्श उपपत्ति है। इसकी संरचना सीख लें और आप इसे $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, और अनेक अन्य के लिए अनुकूलित कर सकते हैं।

सिद्ध करना है: $\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

उपपत्ति (विरोधाभास द्वारा):

1. विपरीत मानें: माना $\sqrt{2}$ परिमेय है। तब हम $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$ लिख सकते हैं, जहाँ $a$ और $b$ सहअभाज्य पूर्णांक हैं (1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं) और $b \neq 0$।
2. पुनर्व्यवस्थित कर वर्ग करें: $\sqrt{2}\, b = a \Rightarrow 2b^2 = a^2$।
3. प्रमेय लगाएँ: चूँकि $2$, $a^2$ को विभाजित करता है, प्रमेय द्वारा $2$, $a$ को विभाजित करता है। अतः किसी पूर्णांक $c$ के लिए $a = 2c$ लिखें।
4. वापस प्रतिस्थापित करें: $2b^2 = (2c)^2 = 4c^2 \Rightarrow b^2 = 2c^2$। अतः $2$, $b^2$ को विभाजित करता है, और इसलिए $2$, $b$ को विभाजित करता है।
5. विरोधाभास: अब $2$, $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करता है। परंतु हमने माना था कि $a$ और $b$ सहअभाज्य हैं (कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं)। यह असंभव है।
6. निष्कर्ष: हमारी मान्यता गलत थी, अतः $\sqrt{2}$ अपरिमेय है। $\blacksquare$

परीक्षा सुझाव: विरोधाभास सदैव सहअभाज्यता मानने और फिर एक साझा गुणनखंड मिलने से आता है। सदैव '$a$ और $b$ सहअभाज्य हैं' लिखकर आरंभ करें।

योग और गुणनफल की अपरिमेयता

एक बार जब हम जान लेते हैं कि $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ अपरिमेय हैं, तो हम सिद्ध कर सकते हैं कि $5 - \sqrt{3}$ या $3\sqrt{2}$ जैसी संयोजन भी अपरिमेय हैं। ये उपपत्तियाँ छोटी होती हैं और खंड 1 में मिले दो तथ्यों का उपयोग करती हैं:

• (परिमेय) ± (अपरिमेय) = अपरिमेय
• (अशून्य परिमेय) × (अपरिमेय) = अपरिमेय

विधि (विरोधाभास द्वारा)

मान लीजिए, $5 - \sqrt{3}$ को अपरिमेय सिद्ध करना है:

1. मानें कि $5 - \sqrt{3}$ परिमेय है, माना $= r$।
2. तब $\sqrt{3} = 5 - r$। दायाँ पक्ष दो परिमेय संख्याओं का अंतर है → परिमेय।
3. अतः $\sqrt{3}$ परिमेय होगा — परंतु हम जानते हैं कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है। विरोधाभास।
4. अतः $5 - \sqrt{3}$ अपरिमेय है।

मुख्य बिंदु: तरकीब सदैव ज्ञात अपरिमेय (जैसे $\sqrt{3}$) को एक ओर अलग करने की है। यदि दूसरा पक्ष परिमेय होने को बाध्य हो, तो आपको विरोधाभास मिल गया।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] स्पष्ट रूप से बताएँ कि आप किस ज्ञात परिणाम का उपयोग कर रहे हैं (जैसे '$\sqrt{3}$ अपरिमेय है')। परीक्षक अपेक्षा करते हैं कि आप तथ्य का नाम लें, केवल मान न लें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $\sqrt{3} = \dfrac{a}{b}$ जहाँ $a, b$ सहअभाज्य, $b \neq 0$।
2. तब $3b^2 = a^2$, अतः $3$, $a^2$ को विभाजित करता है, इसलिए (प्रमेय, $p=3$) $3$, $a$ को विभाजित करता है। $a = 3c$ लिखें।
3. प्रतिस्थापित करें: $3b^2 = 9c^2 \Rightarrow b^2 = 3c^2$, अतः $3$, $b^2$ को विभाजित करता है, इसलिए $3$, $b$ को विभाजित करता है।
4. तब 3, $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करता है — सहअभाज्यता का खंडन।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

सार: $\sqrt{2}$ की उपपत्ति के समान संरचना, 2 के स्थान पर 3।

उदाहरण 2: सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $\sqrt{5} = \dfrac{a}{b}$, $a, b$ सहअभाज्य, $b \neq 0$।
2. $5b^2 = a^2 \Rightarrow 5 \mid a^2 \Rightarrow 5 \mid a$। $a = 5c$ लिखें।
3. $5b^2 = 25c^2 \Rightarrow b^2 = 5c^2 \Rightarrow 5 \mid b^2 \Rightarrow 5 \mid b$।
4. अतः 5, $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करता है — विरोधाभास।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{5}$ अपरिमेय है।

सार: किसी भी अभाज्य संख्या के वर्गमूल के लिए काम करता है।

उदाहरण 3: सिद्ध कीजिए कि $5 - \sqrt{3}$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $5 - \sqrt{3}$ परिमेय है, माना $= r$।
2. तब $\sqrt{3} = 5 - r$। चूँकि 5 और $r$ परिमेय हैं, $5 - r$ परिमेय है।
3. अतः $\sqrt{3}$ परिमेय होगा — इस ज्ञात तथ्य का खंडन कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

अंतिम उत्तर: $5 - \sqrt{3}$ अपरिमेय है।

सार: $\sqrt{3}$ को अलग करें; शेष परिमेय होना चाहिए, जिससे विरोधाभास मिलता है।

उदाहरण 4: सिद्ध कीजिए कि $3\sqrt{2}$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $3\sqrt{2}$ परिमेय है, माना $= r$।
2. तब $\sqrt{2} = \dfrac{r}{3}$। दायाँ पक्ष एक परिमेय को एक अशून्य परिमेय से भाग देने पर → परिमेय।
3. अतः $\sqrt{2}$ परिमेय होगा — इस तथ्य का खंडन कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

अंतिम उत्तर: $3\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

सार: एक अशून्य परिमेय और एक अपरिमेय का गुणनफल सदैव अपरिमेय होता है।

उदाहरण 5: सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ अपरिमेय है

हल:

1. ध्यान दें $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (परिमेयकरण)।
2. मानें $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ परिमेय है, माना $= r$। तब $\sqrt{2} = 2r$, जो परिमेय है।
3. यह $\sqrt{2}$ के अपरिमेय होने का खंडन करता है।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ अपरिमेय है।

सार: यदि सहायक हो तो पहले परिमेयकरण करें, फिर ज्ञात अपरिमेय को अलग करें।

उदाहरण 6: सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$ (परिमेय)।
2. दोनों पक्षों का वर्ग करें: $2 + 2\sqrt{6} + 3 = r^2 \Rightarrow 2\sqrt{6} = r^2 - 5$।
3. अतः $\sqrt{6} = \dfrac{r^2 - 5}{2}$, जो परिमेय होगा।
4. परंतु $\sqrt{6}$ अपरिमेय है (6 पूर्ण वर्ग नहीं)। विरोधाभास।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ अपरिमेय है।

सार: वर्ग करना करणियों के योग को एकल करणी में बदल सकता है, जिसे हम फिर अपरिमेय दिखाते हैं।

उदाहरण 7: सिद्ध कीजिए कि $7\sqrt{5}$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $7\sqrt{5} = r$ (परिमेय)।
2. तब $\sqrt{5} = \dfrac{r}{7}$, एक परिमेय को एक अशून्य परिमेय से भाग देने पर → परिमेय।
3. यह $\sqrt{5}$ के अपरिमेय होने का खंडन करता है।

अंतिम उत्तर: $7\sqrt{5}$ अपरिमेय है।

सार: $3\sqrt{2}$ जैसा ही एक-पंक्ति का विचार — परिमेय गुणांक को भाग देकर हटाएँ।

उदाहरण 8: सिद्ध कीजिए कि $2 + 3\sqrt{5}$ अपरिमेय है

हल:

1. मानें $2 + 3\sqrt{5} = r$ (परिमेय)।
2. तब $3\sqrt{5} = r - 2$, अतः $\sqrt{5} = \dfrac{r - 2}{3}$, जो परिमेय है।
3. यह $\sqrt{5}$ के अपरिमेय होने का खंडन करता है।

अंतिम उत्तर: $2 + 3\sqrt{5}$ अपरिमेय है।

सार: पहले परिमेय घटाएँ, फिर गुणांक से भाग दें, ताकि $\sqrt{5}$ अलग हो जाए।

उदाहरण 9: क्या $\sqrt{6}$ अपरिमेय है?

हल:

1. मानें $\sqrt{6} = \dfrac{a}{b}$, $a, b$ सहअभाज्य।
2. $6b^2 = a^2$, अतः $6 \mid a^2$, जिसका अर्थ है $2 \mid a^2$ और $3 \mid a^2$; इसलिए $2 \mid a$ और $3 \mid a$, अतः $6 \mid a$। $a = 6c$ लिखें।
3. $6b^2 = 36c^2 \Rightarrow b^2 = 6c^2$, अतः $6 \mid b$ भी।
4. तब 6, $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करता है — विरोधाभास।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{6}$ अपरिमेय है।

सार: किसी भी अपूर्ण-वर्ग धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल अपरिमेय होता है।

उदाहरण 10: दो अपरिमेयों का योग/अंतर परिमेय हो सकता है

एक उदाहरण द्वारा दिखाइए कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग परिमेय हो सकता है।

हल:

1. दो अपरिमेय संख्याएँ $\sqrt{2}$ और $-\sqrt{2}$ लें (दूसरी अपरिमेय है क्योंकि यह $-1 \times$ एक अपरिमेय है)।
2. इनका योग $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ है, जो परिमेय है।

अंतिम उत्तर: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ परिमेय है।

सार: (परिमेय)+(अपरिमेय) के विपरीत, दो अपरिमेयों का योग सदैव अपरिमेय नहीं होता — यह संख्याओं पर निर्भर करता है।