दशमलव प्रसार के दो प्रकार

सोचिए कि जब आप किसी भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए भाग देते हैं तो क्या होता है। कभी-कभी भाग समाप्त हो जाता है (सांत), और कभी यह सदैव चलता रहता है, अंकों के एक खंड को दोहराते हुए।

  • 12=0.5\dfrac{1}{2} = 0.5 — सांत (भाग रुक जाता है)।
  • 34=0.75\dfrac{3}{4} = 0.75 — सांत।
  • 13=0.333⋯=0.3‾\dfrac{1}{3} = 0.333\dots = 0.\overline{3} — असांत आवर्ती (अंक 3 दोहराता है)।
  • 211=0.1818⋯=0.18‾\dfrac{2}{11} = 0.1818\dots = 0.\overline{18} — असांत आवर्ती (खंड 18 दोहराता है)।

मुख्य बिंदु: प्रत्येक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत या असांत आवर्ती होता है। यह कभी असांत अनावर्ती नहीं हो सकता (वह अपरिमेय संख्या की पहचान है)।

इस खंड का सुंदर परिणाम: आप केवल हर को देखकर बता सकते हैं कि कोई भिन्न किस प्रकार का देगी — कोई लंबा भाग आवश्यक नहीं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] परीक्षा को 'वास्तव में भाग दिए बिना, बताइए कि 133125\dfrac{13}{3125} का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं' जैसे प्रश्न बहुत पसंद हैं। नीचे दिए हर के नियम में महारत हासिल करें।

सांत दशमलव का नियम

यह इस खंड की केंद्रीय प्रमेय है।

प्रमेय: माना x=pqx = \dfrac{p}{q} एक परिमेय संख्या है जो अपने सरलतम रूप में है (अर्थात् pp और qq सहअभाज्य हैं)। तब xx का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि और केवल यदि हर qq को निम्न रूप में लिखा जा सके q=2n×5mq = 2^n \times 5^m जहाँ nn और mm ऋणेतर पूर्णांक हैं (0, 1, 2, …)।

सरल शब्दों में: भिन्न को सरल करने के बाद, हर के अभाज्य गुणनखंड देखें। यदि केवल 2 और 5 ही अभाज्य हों, तो दशमलव सांत होता है। यदि कोई अन्य अभाज्य (3, 7, 11, …) आता है, तो वह सांत नहीं होता — वह आवर्ती होता है।

22 और 55 ही क्यों?

क्योंकि हमारी संख्या पद्धति आधार 10 की है, और 10=2×510 = 2 \times 5। केवल 2 और 5 से बना हर 10 की घात में बदला जा सकता है, जो एक स्वच्छ सांत दशमलव देता है।

सामान्य भूल: आपको पहले भिन्न को सरल करना अवश्य है। उदाहरण के लिए 615\dfrac{6}{15} का हर 15 = 3 × 5 (असांत) दिखता है, परंतु 615=25\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}, जो सांत है!

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] नियम लगाने से पहले सदैव निम्नतम पदों में लाएँ। यही एक चरण अनेक विद्यार्थियों को भ्रमित करता है।

दस की घात में बदलना

जब कोई भिन्न सांत होती है, तो उसका दशमलव ज्ञात करने का एक सुंदर तरीका है: हर को 10 की घात बनाना।

उदाहरण: 13125\dfrac{13}{125}

  1. 125=53125 = 5^3 (केवल अभाज्य 5 → सांत)।
  2. 5 को संतुलित करने के लिए अंश और हर को 23=82^3 = 8 से गुणा करें: 13125=13×8125×8=1041000\dfrac{13}{125} = \dfrac{13 \times 8}{125 \times 8} = \dfrac{104}{1000}।
  3. अतः 13125=0.104\dfrac{13}{125} = 0.104।

दशमलव स्थानों की गणना

यदि q=2n×5mq = 2^n \times 5^m, तो दशमलव स्थानों की संख्या nn और mm में से बड़े के बराबर होती है (अर्थात् max⁡(n,m)\max(n, m))। 13125=1320×53\dfrac{13}{125} = \dfrac{13}{2^0 \times 5^3} के लिए, max⁡(0,3)=3\max(0, 3) = 3 दशमलव स्थान — और वास्तव में 0.104 में 3 स्थान हैं।

मुख्य बिंदु: बदलने के लिए, 2 या 5 में से जो 'गायब' हो उसे जोड़ें ताकि हर 10 की घात बन जाए।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक तेज़ अंक वाला प्रश्न: '178\dfrac{17}{8} में कितने दशमलव स्थान होंगे?' चूँकि 8=238 = 2^3, उत्तर max⁡(3,0)=3\max(3,0) = 3 स्थान है (178=2.125\dfrac{17}{8} = 2.125)।

असांत आवर्ती स्थिति

यदि, सरल करने के बाद, हर में 2 या 5 के अतिरिक्त कोई भी अभाज्य गुणनखंड हो, तो दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

उदाहरण

  • 13\dfrac{1}{3}: हर 3 → असांत आवर्ती (0.3‾0.\overline{3})।
  • 27\dfrac{2}{7}: हर 7 → असांत आवर्ती (0.285714‾0.\overline{285714})।
  • 29343\dfrac{29}{343}: 343=73343 = 7^3 → असांत आवर्ती।

मुख्य बिंदु: ऐसी संख्या फिर भी परिमेय होती है — वह बस सांत नहीं होती। एक दोहराता हुआ खंड सदैव परिमेय का अर्थ है। 'असांत' को 'अपरिमेय' से भ्रमित न करें; केवल असांत और अनावर्ती ही अपरिमेय है।

सारांश तालिका

हर (निम्नतम पदों में) दशमलव प्रकार
केवल 2 और 5 (2n5m2^n 5^m) सांत
कोई अन्य अभाज्य हो असांत आवर्ती

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक बहुत सामान्य 1-अंक का बहुविकल्पीय प्रश्न: 64455\dfrac{64}{455} को वर्गीकृत करें। चूँकि 455=5×7×13455 = 5 \times 7 \times 13 में 7 और 13 हैं, यह असांत आवर्ती है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: सांत है या नहीं?

भाग दिए बिना, बताइए कि 133125\dfrac{13}{3125} का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं।

हल:

  1. हर का गुणनखंडन करें: 3125=553125 = 5^5।
  2. एकमात्र अभाज्य 5 है, जो 20×552^0 \times 5^5 रूप का है।
  3. अतः भिन्न सांत है।

अंतिम उत्तर: सांत।

सार: हर में केवल 2 और 5 ⇒ सांत।

उदाहरण 2: एक असांत उदाहरण

बताइए कि 64455\dfrac{64}{455} का प्रसार सांत है या असांत आवर्ती।

हल:

  1. हर का गुणनखंडन करें: 455=5×7×13455 = 5 \times 7 \times 13।
  2. 5 के अतिरिक्त अभाज्य 7 और 13 उपस्थित हैं।
  3. चूँकि 2 और 5 के अतिरिक्त अभाज्य आते हैं, यह सांत नहीं होता।

अंतिम उत्तर: असांत आवर्ती।

सार: हर में 2 या 5 के अतिरिक्त कोई भी अभाज्य आवर्तन को बाध्य करता है।

उदाहरण 3: पहले सरल करें!

क्या 615\dfrac{6}{15} का दशमलव प्रसार सांत है?

हल:

  1. सरल करें: 615=25\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} (अंश-हर को 3 से भाग देकर)।
  2. हर 5=20×515 = 2^0 \times 5^1 है — केवल अभाज्य 5।
  3. अतः यह सांत है: 25=0.4\dfrac{2}{5} = 0.4।

अंतिम उत्तर: सांत, 0.4 के बराबर।

सार: हर की जाँच से पहले सदैव निम्नतम पदों में लाएँ। बिना सरल किया 15 आपको भ्रमित कर देता।

उदाहरण 4: 10 की घात बनाकर बदलना

लंबे भाग के बिना 178\dfrac{17}{8} को दशमलव के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:

  1. 8=238 = 2^3, अतः अंश और हर को 53=1255^3 = 125 से गुणा करें।
  2. 178=17×1258×125=21251000\dfrac{17}{8} = \dfrac{17 \times 125}{8 \times 125} = \dfrac{2125}{1000}।
  3. अतः 178=2.125\dfrac{17}{8} = 2.125।

अंतिम उत्तर: 2.1252.125।

सार: गायब अभाज्य (यहाँ 5) जोड़कर हर को 10310^3 बनाएँ।

उदाहरण 5: दशमलव स्थानों की संख्या

2323×52\dfrac{23}{2^3 \times 5^2} में कितने दशमलव स्थान होंगे?

हल:

  1. हर 23×522^3 \times 5^2 है, अतः n=3n = 3, m=2m = 2।
  2. दशमलव स्थानों की संख्या =max⁡(n,m)=max⁡(3,2)=3= \max(n, m) = \max(3, 2) = 3।

अंतिम उत्तर: 3 दशमलव स्थान। (वास्तव में 23200=0.115\dfrac{23}{200} = 0.115।)

सार: जब q=2n×5mq = 2^n \times 5^m, तो दशमलव स्थान =max⁡(n,m)= \max(n, m)।

उदाहरण 6: कई भिन्नों का वर्गीकरण

सांत (T) या असांत आवर्ती (NT) के रूप में वर्गीकृत करें: 38\dfrac{3}{8}, 712\dfrac{7}{12}, 9125\dfrac{9}{125}।

हल:

  1. 38\dfrac{3}{8}: 8=238 = 2^3 → केवल 2 → T।
  2. 712\dfrac{7}{12}: 12=22×312 = 2^2 \times 3 → 3 शामिल → NT।
  3. 9125\dfrac{9}{125}: 125=53125 = 5^3 → केवल 5 → T।

अंतिम उत्तर: T, NT, T।

सार: प्रत्येक हर का गुणनखंडन करें; एक भटका हुआ 3 (या 7, 11, …) असांत का अर्थ है।

उदाहरण 7: सांत करने के लिए सबसे छोटा गुणक

भिन्न 120\dfrac{1}{20} को सांत दशमलव के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:

  1. 20=22×520 = 2^2 \times 5, अतः n=2n = 2, m=1m = 1; केवल 2 और 5 → सांत।
  2. 10 की घात बनाएँ: संतुलित करने के लिए अंश-हर को 515^{1} से गुणा करें: 120=1×520×5=5100=0.05\dfrac{1}{20} = \dfrac{1 \times 5}{20 \times 5} = \dfrac{5}{100} = 0.05।

अंतिम उत्तर: 0.050.05।

सार: जो अभाज्य कम पड़ रहा हो (यहाँ एक और 5) उससे गुणा करके 10max⁡(n,m)10^{\max(n,m)} तक पहुँचें।

उदाहरण 8: दशमलव से पीछे की ओर काम करना

सांत दशमलव 0.3750.375 को निम्नतम पदों की भिन्न के रूप में लिखिए, और सत्यापित कीजिए कि इसका हर 2n5m2^n 5^m रूप का है।

हल:

  1. 0.375=37510000.375 = \dfrac{375}{1000}।
  2. सरल करें: 3751000=38\dfrac{375}{1000} = \dfrac{3}{8} (125 से भाग देकर)।
  3. हर 8=23=23×508 = 2^3 = 2^3 \times 5^0 — केवल 2। ✓

अंतिम उत्तर: 0.375=380.375 = \dfrac{3}{8}, हर 232^3।

सार: प्रत्येक सांत दशमलव का, निम्नतम पदों में, हर 2n5m2^n 5^m रूप का होता है।

उदाहरण 9: एक छद्म हर

क्या 3550\dfrac{35}{50} सांत है?

हल:

  1. सरल करें: 3550=710\dfrac{35}{50} = \dfrac{7}{10} (5 से भाग देकर)।
  2. 10=2×510 = 2 \times 5 — केवल 2 और 5 → सांत।
  3. 710=0.7\dfrac{7}{10} = 0.7।

अंतिम उत्तर: सांत, 0.7 के बराबर।

सार: यद्यपि 50 = 2 × 5² पहले से ही ठीक दिखता है, सरल करने से उत्तर स्पष्ट हो जाता है और त्रुटियाँ टलती हैं।

उदाहरण 10: आवर्ती दशमलव से भिन्न (पुनः जोड़)

0.36‾0.\overline{36} को निम्नतम पदों की भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए, और पुष्टि कीजिए कि इसका हर 2n5m2^n 5^m रूप का नहीं है।

हल:

  1. माना x=0.363636…x = 0.363636\dots तब 100x=36.3636…100x = 36.3636\dots
  2. घटाएँ: 100x−x=36⇒99x=36⇒x=3699=411100x - x = 36 \Rightarrow 99x = 36 \Rightarrow x = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}।
  3. हर 1111, 2 या 5 के अतिरिक्त एक अभाज्य है — संख्या के असांत आवर्ती होने से संगत।

अंतिम उत्तर: 0.36‾=4110.\overline{36} = \dfrac{4}{11}।

सार: आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं, और उनके सरलीकृत हर में सदैव 2 या 5 के अतिरिक्त एक अभाज्य होता है।