भूमिका और समरूप आकृतियाँ

सर्वांगसम बनाम समरूप

एक ही व्यक्ति की दो तस्वीरों के बारे में सोचें — एक छोटी, एक बड़ी। वे आकार में बिल्कुल एक जैसी दिखती हैं, परंतु माप में भिन्न हैं। ज्यामिति में ऐसी आकृतियाँ समरूप कहलाती हैं।

• सर्वांगसम आकृतियों का समान आकार और समान माप होता है — एक को दूसरे पर ठीक रखा जा सकता है।
• समरूप आकृतियों का समान आकार होता है परंतु आवश्यक नहीं कि समान माप — एक दूसरे का बड़ा या छोटा रूप होती है।

मुख्य बिंदु: सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं, परंतु समरूप आकृतियों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं। सर्वांगसमता समरूपता की वह विशेष स्थिति है जहाँ मापों का अनुपात 1 है।

ऐसे समझिए: समरूप = 'समान आकार, मापित'; सर्वांगसम = 'समान आकार, समान माप'।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] दो वृत्त सदैव समरूप होते हैं; दो वर्ग सदैव समरूप होते हैं; परंतु दो आयत या दो त्रिभुज केवल उन शर्तों के अंतर्गत समरूप होते हैं जिन्हें हम पढ़ेंगे।

दो बहुभुज कब समरूप होते हैं?

समान संख्या में भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि दोनों शर्तें सत्य हों:

1. उनके संगत कोण समान हों, और
2. उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में (समानुपाती) हों।

दोनों शर्तें आवश्यक हैं। अकेली एक पर्याप्त नहीं।

उदाहरण

एक वर्ग और एक आयत दोनों के सभी कोण 90° होते हैं, परंतु उनकी भुजाएँ समान अनुपात में नहीं होतीं, अतः वे समरूप नहीं हैं। एक समचतुर्भुज और एक वर्ग की भुजाएँ (कुछ स्थितियों में) समानुपाती हो सकती हैं परंतु कोण असमान, अतः फिर नहीं समरूप।

मुख्य बिंदु: बहुभुजों के लिए, समरूपता हेतु समान कोण और समानुपाती भुजाएँ दोनों चाहिए। (त्रिभुजों के लिए, हम देखेंगे कि प्रायः इनमें से केवल एक ही पर्याप्त होती है — यह विशेष है।)

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] परीक्षा में समरूप बहुभुजों की परिभाषा देते समय दोनों शर्तें बताएँ — एक छोड़ने पर अंक कटते हैं।

संकेत और संगति

हम '$\triangle ABC \sim \triangle DEF$' लिखते हैं जिसका अर्थ है त्रिभुज $ABC$, त्रिभुज $DEF$ के समरूप है। संकेत '$\sim$' का अर्थ है 'समरूप है'।

अक्षरों का क्रम मायने रखता है — यह संगति बताता है:

• $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$।
• अतः $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$, और $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{CA}{FD}$।

मुख्य बिंदु: समरूप त्रिभुजों को सदैव सही संगत क्रम में लिखें। समान कोण और समानुपाती भुजाएँ नामों में स्थिति के अनुसार मेल खानी चाहिए।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यदि $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, तो अनुपात $\dfrac{AB}{DE}$ पहले अक्षरों को पहले अक्षरों से जोड़ता है, इत्यादि। क्रम गलत होने पर अनुपात गलत मिलते हैं।

समरूपता का अनुपात (मापक गुणक)

जब दो आकृतियाँ समरूप होती हैं, तो संगत भुजाओं का उभयनिष्ठ अनुपात मापक गुणक (या समरूपता अनुपात) होता है, जिसे प्रायः $k$ लिखते हैं।

$$k = \frac{\text{पहली आकृति की एक भुजा}}{\text{दूसरी की संगत भुजा}}$$

• यदि $k = 1$, तो आकृतियाँ सर्वांगसम हैं।
• यदि $k > 1$, तो पहली बड़ी है; यदि $k < 1$, तो छोटी।

दो समरूप आकृतियों के परिमापों का अनुपात $k$ के बराबर होता है (भुजा अनुपात के समान)।

मुख्य बिंदु: समरूप आकृतियों के लिए, परिमाप भुजाओं के समान अनुपात में होते हैं। (क्षेत्रफल, जैसा हम बाद में देखेंगे, $k^2$ के अनुपात में होते हैं।)

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक सामान्य 1-अंक का प्रश्न: 'यदि दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 2:3 के अनुपात में हों, तो उनके परिमापों का अनुपात क्या है?' उत्तर: 2:3 (भुजाओं के समान)।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: सर्वांगसम या समरूप?

दो त्रिभुजों का बिल्कुल समान आकार और माप है। क्या वे सर्वांगसम, समरूप, दोनों, या कोई नहीं हैं?

हल:

1. समान आकार और माप ⇒ सर्वांगसम।
2. समान आकार ⇒ समरूप भी (मापक गुणक 1 के साथ)।

अंतिम उत्तर: दोनों (सर्वांगसम त्रिभुज समरूप की विशेष स्थिति हैं)।

सार: सर्वांगसम ⇒ समरूप, परंतु विलोमतः नहीं।

उदाहरण 2: क्या कोई दो वर्ग समरूप होते हैं?

क्या कोई भी दो वर्ग सदैव समरूप होते हैं?

हल:

1. सभी वर्गों के कोण समान (90°) होते हैं।
2. वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं, अतः संगत भुजाएँ सदैव समान अनुपात में होती हैं।
3. दोनों शर्तें सत्य हैं।

अंतिम उत्तर: हाँ, कोई भी दो वर्ग समरूप होते हैं।

सार: एक ही प्रकार की नियमित आकृतियाँ (वर्ग, समबाहु त्रिभुज, वृत्त) सदैव समरूप होती हैं।

उदाहरण 3: आयतों का समरूप होना आवश्यक नहीं

क्या 2 × 4 आयत, 3 × 9 आयत के समरूप है?

हल:

1. दोनों के सभी कोण 90° हैं।
2. भुजा अनुपात: $\dfrac{2}{3}$ और $\dfrac{4}{9}$। चूँकि $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{4}{9}$, भुजाएँ समानुपाती नहीं।

अंतिम उत्तर: नहीं, वे समरूप नहीं हैं।

सार: केवल समान कोण बहुभुजों को समरूप नहीं बनाते — भुजाएँ भी समानुपाती होनी चाहिए।

उदाहरण 4: संगति पढ़ना

यदि $\triangle ABC \sim \triangle PQR$, तो कौन-सा कोण $\angle B$ के बराबर है और कौन-सा अनुपात $\dfrac{AB}{PQ}$ के बराबर है?

हल:

1. संगति: $A\leftrightarrow P$, $B\leftrightarrow Q$, $C\leftrightarrow R$।
2. अतः $\angle B = \angle Q$, और $\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR} = \dfrac{CA}{RP}$।

अंतिम उत्तर: $\angle B = \angle Q$; $\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR} = \dfrac{CA}{RP}$।

सार: सही कोण और भुजा संगति पाने हेतु अक्षरों को स्थिति से मिलाएँ।

उदाहरण 5: मापक गुणक

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ जहाँ $AB = 4$ सेमी और $DE = 6$ सेमी। मापक गुणक ($\triangle ABC$ का $\triangle DEF$ से) ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $k = \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$।

अंतिम उत्तर: $k = \dfrac{2}{3}$।

सार: मापक गुणक = संगत भुजाओं का अनुपात।

उदाहरण 6: परिमापों का अनुपात

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 5 : 7 के अनुपात में हैं। उनके परिमापों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. समरूप आकृतियों के लिए, परिमापों का अनुपात भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
2. अतः अनुपात $5 : 7$ है।

अंतिम उत्तर: $5 : 7$।

सार: समरूप आकृतियों के लिए परिमाप अनुपात = भुजा अनुपात।

उदाहरण 7: समरूपता से भुजा ज्ञात करना

$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ जहाँ $\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{3}{5}$। यदि $BC = 6$ सेमी, तो $QR$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. सभी भुजा अनुपात $\dfrac{3}{5}$ के बराबर हैं, अतः $\dfrac{BC}{QR} = \dfrac{3}{5}$।
2. $\dfrac{6}{QR} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow QR = \dfrac{6 \times 5}{3} = 10$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $QR = 10$ सेमी।

सार: किसी अज्ञात संगत भुजा को ज्ञात करने हेतु उभयनिष्ठ अनुपात उपयोग करें।

उदाहरण 8: समबाहु त्रिभुज

क्या कोई भी दो समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं? औचित्य दीजिए।

हल:

1. प्रत्येक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण 60° होते हैं, अतः संगत कोण समान हैं।
2. तीनों भुजाएँ समान, अतः संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।

अंतिम उत्तर: हाँ, सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।

सार: समान नियत कोण + समान भुजाएँ ⇒ सदैव समरूप।

उदाहरण 9: समरूप बहुभुज — भुजा ज्ञात करना

दो समरूप पंचभुजों की एक जोड़ी संगत भुजाएँ 8 सेमी और 12 सेमी हैं। छोटे पंचभुज की एक भुजा 6 सेमी है। बड़े की संगत भुजा ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मापक गुणक (बड़ा : छोटा) $= \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$।
2. संगत भुजा $= 6 \times \dfrac{3}{2} = 9$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 9 सेमी।

सार: एक आकृति से दूसरी तक जाने हेतु मापक गुणक से गुणा करें।

उदाहरण 10: दो आकृतियाँ समरूप क्यों नहीं हैं

समझाइए कि एक वृत्त और एक दीर्घवृत्त (अंडाकार) समरूप क्यों नहीं हैं।

हल:

1. समरूपता हेतु सभी दिशाओं में एकसमान रूप से मापित समान आकार चाहिए।
2. दीर्घवृत्त एक दिशा में दूसरी की तुलना में अधिक खिंचा होता है, अतः यह वृत्त का एकसमान मापन नहीं है।

अंतिम उत्तर: वे समरूप नहीं हैं (आकार भिन्न हैं)।

सार: समरूप आकृतियाँ ठीक मापित प्रतियाँ हैं — हर दिशा में एकसमान।