बोर्ड परीक्षा के पिछले वर्ष के प्रश्न

बोर्ड परीक्षा के पिछले वर्ष के प्रश्न (PYQs)

ये CBSE और राज्य बोर्ड के हाल के प्रश्नपत्रों के आधार पर परीक्षा-शैली के प्रश्न हैं। प्रत्येक को उस तर्क के साथ पूर्णतः हल किया गया है जो एक बोर्ड परीक्षक अपेक्षा करता है।

अंक-युक्ति: त्रिभुजों में, सदैव प्रयुक्त प्रमेय या समरूपता कसौटी (BPT, AA, SSS, SAS, पाइथागोरस) स्पष्ट रूप से बताएँ — इसका नाम लेने पर गणना से पहले ही अंक मिलते हैं।

सभी 26 प्रश्नों का अभ्यास करें। ये 1-अंक, 2-अंक, 3-अंक और 5-अंक के प्रारूपों को समेटते हैं।

PYQ 1 (1 अंक): $\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$, $AD = 1.5$ सेमी, $DB = 3$ सेमी, $AE = 1$ सेमी। $EC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} \Rightarrow \dfrac{1.5}{3} = \dfrac{1}{EC}$।
2. $EC = \dfrac{3}{1.5} = 2$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $EC = 2$ सेमी।

PYQ 2 (1 अंक): दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल $36\,\text{सेमी}^2$ और $49\,\text{सेमी}^2$ हैं। उनकी संगत भुजाओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. भुजा अनुपात $= \sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}$।

अंतिम उत्तर: $6 : 7$।

PYQ 3 (1 अंक): एक त्रिभुज की भुजाएँ 7, 24, 25 हैं। क्या यह समकोण त्रिभुज है?

हल:

1. $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$।
2. बराबर ⇒ समकोण त्रिभुज।

अंतिम उत्तर: हाँ, समकोण।

PYQ 4 (1 अंक): $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ और $2\,AB = DE$। यदि $BC = 8$ सेमी, तो $EF$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{1}{2}$, अतः $\dfrac{BC}{EF} = \dfrac{1}{2}$।
2. $EF = 2 \times 8 = 16$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $EF = 16$ सेमी।

PYQ 5 (2 अंक): $\triangle ABC$ में, $D$ और $E$, $AB$ और $AC$ पर हैं जहाँ $AD = 2$ सेमी, $BD = 3$ सेमी, $AE = 3$ सेमी, $CE = 4.5$ सेमी। क्या $DE \parallel BC$?

हल:

1. $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{2}{3}$; $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4.5} = \dfrac{2}{3}$।
2. अनुपात बराबर ⇒ BPT के विलोम से, $DE \parallel BC$।

अंतिम उत्तर: हाँ, $DE \parallel BC$।

PYQ 6 (2 अंक): एक 15 मी ऊँचा खंभा और एक मीनार उसी समय क्रमशः 10 मी और 60 मी छाया डालते हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. AA समरूपता: $\dfrac{15}{10} = \dfrac{h}{60}$।
2. $h = \dfrac{15 \times 60}{10} = 90$ मी।

अंतिम उत्तर: 90 मी।

PYQ 7 (2 अंक): $B$ पर समकोण $\triangle ABC$ में, $AB = 24$ सेमी, $BC = 7$ सेमी। $AC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $AC = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $AC = 25$ सेमी।

PYQ 8 (2 अंक): दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ $4 : 9$ के अनुपात में हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. क्षेत्रफल अनुपात $= 4^2 : 9^2 = 16 : 81$।

अंतिम उत्तर: $16 : 81$।

PYQ 9 (2 अंक): $\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$, $AD = x$, $DB = x-2$, $AE = x+2$, $EC = x-1$। $x$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{x}{x-2} = \dfrac{x+2}{x-1} \Rightarrow x(x-1) = (x+2)(x-2)$।
2. $x^2 - x = x^2 - 4 \Rightarrow x = 4$।

अंतिम उत्तर: $x = 4$।

PYQ 10 (3 अंक): सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

हल:

1. मान लें $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ जिनकी माध्यिकाएँ $AM$, $PN$ हैं।
2. समरूपता से $\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR} = k$ और $\dfrac{BM}{QN} = k$ (माध्यिकाएँ समानुपाती भुजाओं को समद्विभाजित करती हैं)।
3. अतः $\triangle ABM \sim \triangle PQN \Rightarrow \dfrac{AM}{PN} = k$।
4. $\dfrac{\text{ar}(ABC)}{\text{ar}(PQR)} = k^2 = \left(\dfrac{AM}{PN}\right)^2$।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

PYQ 11 (3 अंक): $C$ पर समकोण $\triangle ABC$ में, $CD \perp AB$, $AC = 6$, $BC = 8$। $CD$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$।
2. क्षेत्रफल: $\dfrac{1}{2}(AC)(BC) = \dfrac{1}{2}(AB)(CD) \Rightarrow 6 \times 8 = 10 \times CD$।
3. $CD = 4.8$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $CD = 4.8$ सेमी।

PYQ 12 (3 अंक): आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स) कथन और उपपत्ति लिखिए।

हल:

1. कथन: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वह उन्हें समान अनुपात में विभाजित करती है।
2. दिया: $\triangle ABC$, $DE \parallel BC$।
3. रचना: $BE$, $CD$ मिलाएँ; $DM \perp AC$, $EN \perp AB$ खींचें।
4. $\dfrac{\text{ar}(ADE)}{\text{ar}(BDE)} = \dfrac{AD}{DB}$ और $\dfrac{\text{ar}(ADE)}{\text{ar}(CDE)} = \dfrac{AE}{EC}$ (समान ऊँचाई)।
5. $\triangle BDE$ और $\triangle CDE$ के क्षेत्रफल बराबर (समान आधार $DE$, समांतर रेखाओं के बीच)।
6. अतः $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

PYQ 13 (3 अंक): समलंब $ABCD$ ($AB \parallel DC$) में विकर्ण $O$ पर मिलते हैं। दिखाइए कि $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$।

हल:

1. $\triangle OAB$ और $\triangle OCD$ में: $\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख)।
2. $\angle OAB = \angle OCD$ (एकांतर कोण, $AB \parallel DC$)।
3. AA से, $\triangle OAB \sim \triangle OCD$।
4. अतः $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

PYQ 14 (3 अंक): $\triangle ABC \sim \triangle PQR$। क्षेत्रफल $25\,\text{सेमी}^2$ और $49\,\text{सेमी}^2$ हैं। यदि $QR = 9.8$ सेमी, तो $BC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{BC}{QR} = \sqrt{\dfrac{25}{49}} = \dfrac{5}{7}$।
2. $BC = \dfrac{5}{7} \times 9.8 = 7$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $BC = 7$ सेमी।

PYQ 15 (3 अंक): एक 13 मी लंबी सीढ़ी जमीन से 12 मी ऊपर एक खिड़की तक पहुँचती है। सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. दूरी $= \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ मी।

अंतिम उत्तर: 5 मी।

PYQ 16 (3 अंक): $\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$ और $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{3}{5}$। यदi $AC = 5.6$ सेमी, तो $AE$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{5}$, अतः $AE = \dfrac{3}{8} \times AC = \dfrac{3}{8} \times 5.6 = 2.1$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $AE = 2.1$ सेमी।

PYQ 17 (3 अंक): 6 मी और 11 मी ऊँचाई के दो खंभे समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि उनके पादों के बीच की दूरी 12 मी है, तो उनके शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. ऊर्ध्वाधर अंतर $= 11 - 6 = 5$ मी; क्षैतिज $= 12$ मी।
2. शीर्षों के बीच दूरी $= \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ मी।

अंतिम उत्तर: 13 मी।

PYQ 18 (3 अंक): $\triangle PQR$ में, $M$ और $N$, $PQ$ और $PR$ पर हैं जहाँ $PM = 4$, $MQ = 6$, $PN = 6$, $NR = 9$। सिद्ध कीजिए $MN \parallel QR$ और $MN$ ज्ञात कीजिए यदि $QR = 15$ सेमी।

हल:

1. $\dfrac{PM}{MQ} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$; $\dfrac{PN}{NR} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ ⇒ $MN \parallel QR$ (BPT विलोम)।
2. $\dfrac{PM}{PQ} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$, अतः $MN = \dfrac{2}{5} \times 15 = 6$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $MN = 6$ सेमी।

PYQ 19 (5 अंक): पाइथागोरस प्रमेय का कथन और उपपत्ति लिखिए।

हल:

1. कथन: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बना वर्ग अन्य दो भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।
2. दिया: $B$ पर समकोण $\triangle ABC$। $BD \perp AC$ खींचें।
3. $\triangle ADB \sim \triangle ABC$ ⇒ $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AB}{AC} \Rightarrow AB^2 = AD \cdot AC$।
4. $\triangle BDC \sim \triangle ABC$ ⇒ $\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{BC}{AC} \Rightarrow BC^2 = CD \cdot AC$।
5. जोड़ें: $AB^2 + BC^2 = (AD + CD)\,AC = AC \cdot AC = AC^2$।

अंतिम उत्तर: $AC^2 = AB^2 + BC^2$। सिद्ध हुआ।

PYQ 20 (5 अंक): सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

हल:

1. मान लें $\triangle ABC \sim \triangle PQR$। शीर्षलंब $AM$ और $PN$ खींचें।
2. $\dfrac{\text{ar}(ABC)}{\text{ar}(PQR)} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM}{\frac{1}{2} \cdot QR \cdot PN} = \dfrac{BC}{QR} \cdot \dfrac{AM}{PN}$।
3. $\triangle ABM \sim \triangle PQN$ (AA) ⇒ $\dfrac{AM}{PN} = \dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR}$।
4. अतः अनुपात $= \dfrac{BC}{QR} \cdot \dfrac{BC}{QR} = \left(\dfrac{BC}{QR}\right)^2$।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

PYQ 21 (5 अंक): समबाहु त्रिभुज $ABC$ में, $D$, $BC$ पर एक बिंदु है जहाँ $BD = \dfrac{1}{3}BC$। सिद्ध कीजिए कि $9\,AD^2 = 7\,AB^2$।

हल:

1. मान लें भुजा $= a$। $AE \perp BC$ खींचें, अतः $BE = \dfrac{a}{2}$।
2. $BD = \dfrac{a}{3}$, अतः $DE = BE - BD = \dfrac{a}{2} - \dfrac{a}{3} = \dfrac{a}{6}$।
3. $AE^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4}$।
4. $AD^2 = AE^2 + DE^2 = \dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{36} = \dfrac{27a^2 + a^2}{36} = \dfrac{28a^2}{36} = \dfrac{7a^2}{9}$।
5. अतः $9\,AD^2 = 7a^2 = 7\,AB^2$।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

PYQ 22 (5 अंक): $\triangle ABC$ में $DE \parallel BC$, $AD = 6$, $DB = 9$, $AE = 8$। $EC$ और $\triangle ADE$ से $\triangle ABC$ के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} \Rightarrow \dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{EC} \Rightarrow EC = 12$।
2. $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$।
3. क्षेत्रफल अनुपात $= \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25}$।

अंतिम उत्तर: $EC = 12$; क्षेत्रफल अनुपात $4 : 25$।

PYQ 23 (3 अंक): $\triangle ABC$ में, $AD$, $\angle A$ का समद्विभाजक है जो $BC$ को $D$ पर मिलता है। यदि $AB = 6$, $AC = 8$, $BC = 7$, तो $BD$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. कोण समद्विभाजक सम्मुख भुजा को आसन्न भुजाओं के अनुपात में बाँटता है: $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$।
2. $BD = \dfrac{3}{7} \times 7 = 3$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $BD = 3$ सेमी।

PYQ 24 (3 अंक): समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का विकर्ण $BD$, खंड $AE$ को $F$ पर काटता है, जहाँ $E$, $BC$ पर कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि $DF \cdot EF = FB \cdot FA$।

हल:

1. $\triangle AFD$ और $\triangle EFB$ में: $\angle AFD = \angle EFB$ (शीर्षाभिमुख)।
2. $\angle DAF = \angle BEF$ (एकांतर कोण, $AD \parallel BC$)।
3. AA से, $\triangle AFD \sim \triangle EFB$।
4. $\dfrac{DF}{BF} = \dfrac{FA}{FE} \Rightarrow DF \cdot EF = FB \cdot FA$।

अंतिम उत्तर: सिद्ध हुआ।

PYQ 25 (3 अंक): दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप 30 सेमी और 20 सेमी हैं। यदि पहले की एक भुजा 12 सेमी है, तो दूसरे की संगत भुजा ज्ञात कीजिए।

हल:

1. भुजा अनुपात = परिमाप अनुपात $= \dfrac{30}{20} = \dfrac{3}{2}$।
2. $\dfrac{12}{x} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = 8$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 8 सेमी।

PYQ 26 (5 अंक): $B$ पर समकोण $\triangle ABC$ में, $D$, $BC$ का मध्य-बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि $AC^2 = 4\,AD^2 - 3\,AB^2$।

हल:

1. मान लें $BD = DC = x$, अतः $BC = 2x$।
2. $AD^2 = AB^2 + BD^2 = AB^2 + x^2$ ⇒ $x^2 = AD^2 - AB^2$।
3. $AC^2 = AB^2 + BC^2 = AB^2 + 4x^2 = AB^2 + 4(AD^2 - AB^2) = 4AD^2 - 3AB^2$।

अंतिम उत्तर: $AC^2 = 4\,AD^2 - 3\,AB^2$। सिद्ध हुआ।