पाइथागोरस प्रमेय और उसका विलोम

पाइथागोरस प्रमेय

संपूर्ण गणित के सबसे प्रसिद्ध परिणामों में से एक।

पाइथागोरस प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (समकोण के सामने वाली भुजा) का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

यदि $\triangle ABC$, $B$ पर समकोण है, कर्ण $AC$ के साथ, तो:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

मुख्य बिंदु: कर्ण सदैव सबसे लंबी भुजा होती है, समकोण के सामने। इसका वर्ग दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] युक्तिसंगत CBSE में उपपत्ति घटाई गई थी, परंतु प्रमेय का खूब उपयोग होता है और यह राज्य बोर्डों में बनी हुई है। लगाने से पहले कर्ण सही पहचानें।

पाइथागोरस का विलोम

विलोम हमें यह जाँचने देता है कि कोई त्रिभुज समकोण है या नहीं।

विलोम: किसी त्रिभुज में, यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा के सामने का कोण समकोण होता है।

अतः यदि किसी त्रिभुज के लिए $AC^2 = AB^2 + BC^2$, तो $B$ पर कोण ($AC$ के सामने) $90°$ है।

उदाहरण

भुजाएँ $3, 4, 5$: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$। अतः त्रिभुज समकोण है (समकोण लंबाई 5 की भुजा के सामने)।

मुख्य बिंदु: जाँचें कि (सबसे बड़ी भुजा)$^2$ = अन्य दो के वर्गों का योग। यदि हाँ, तो त्रिभुज समकोण है; यदि नहीं, तो नहीं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$ जैसे समुच्चय पाइथागोरस त्रिक हैं — कुछ याद रखें ताकि समकोण त्रिभुज शीघ्र पहचानें।

अनुप्रयोग — भुजा ज्ञात करना

समकोण त्रिभुज की कोई दो भुजाएँ दी होने पर, तीसरी $AC^2 = AB^2 + BC^2$ से निकल आती है।

• कर्ण ज्ञात करें: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$।
• भुजा ज्ञात करें: $AB = \sqrt{AC^2 - BC^2}$।

मुख्य बिंदु: जो भुजा अज्ञात हो उसके लिए प्रमेय को पुनर्व्यवस्थित करें — कर्ण हेतु वर्ग जोड़ें, भुजा हेतु घटाएँ।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] वास्तविक-जीवन समस्याएँ (सीढ़ियाँ, खंभे, दूरियाँ) समकोण त्रिभुज बनाती हैं। प्रतिस्थापन से पहले पहचानें कि कौन-सी लंबाई कर्ण है (सदैव तिरछी/सबसे लंबी)।

पाइथागोरस और समरूप त्रिभुज

पाइथागोरस प्रमेय समरूपता से घनिष्ठ रूप से जुड़ी है। समकोण से कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब दो छोटे त्रिभुज बनाता है, प्रत्येक मूल के समरूप — और यह संबंध प्रमेय को सिद्ध करने का एक सुंदर तरीका है।

एक उपयोगी संबंधित परिणाम

समकोण $\triangle ABC$ ($B$ पर समकोण) में $BD \perp AC$ के साथ:

• $BD^2 = AD \times DC$ (शीर्षलंब कर्ण के खंडों का गुणोत्तर माध्य है),
• $AB^2 = AD \times AC$ और $BC^2 = CD \times AC$।

मुख्य बिंदु: कर्ण पर शीर्षलंब एक समकोण त्रिभुज को दो त्रिभुजों में बाँट देता है जो उसके और एक-दूसरे के समरूप होते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] ये 'मध्य समानुपाती' परिणाम ($BD^2 = AD \cdot DC$) राज्य बोर्ड परीक्षाओं में आते हैं और बने समरूप त्रिभुजों से सीधे निकलते हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: कर्ण ज्ञात करना

समकोण $\triangle ABC$ ($B$ पर समकोण) में, $AB = 6$ सेमी, $BC = 8$ सेमी। $AC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 36 + 64 = 100$।
2. $AC = 10$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $AC = 10$ सेमी।

सार: भुजाओं के वर्ग जोड़ें, फिर वर्गमूल लें।

उदाहरण 2: एक भुजा ज्ञात करना

एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 13 सेमी और एक भुजा 5 सेमी है। दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए।

हल:

1. दूसरी भुजा $= \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 12 सेमी।

सार: कर्ण के वर्ग में से ज्ञात भुजा का वर्ग घटाएँ।

उदाहरण 3: समकोण की जाँच

क्या भुजाओं 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी वाला त्रिभुज समकोण है?

हल:

1. सबसे बड़ी भुजा 25 है। जाँचें $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$।
2. बराबर, अतः विलोम से त्रिभुज समकोण है।

अंतिम उत्तर: हाँ, समकोण (समकोण 25 सेमी के सामने)।

सार: $(7, 24, 25)$ एक पाइथागोरस त्रिक है।

उदाहरण 4: समकोण नहीं

क्या भुजाओं 4, 5, 6 वाला त्रिभुज समकोण है?

हल:

1. सबसे बड़ी भुजा 6: $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$, परंतु $6^2 = 36$।
2. $41 \neq 36$।

अंतिम उत्तर: नहीं, यह समकोण नहीं है।

सार: यदि वर्ग मेल न खाएँ, तो त्रिभुज समकोण नहीं है।

उदाहरण 5: सीढ़ी समस्या

एक 13 मी लंबी सीढ़ी ज़मीन से 12 मी ऊँची एक खिड़की तक पहुँचती है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से कितनी दूर है?

हल:

1. सीढ़ी कर्ण है (13), ऊँचाई एक भुजा है (12)।
2. दूरी $= \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ मी।

अंतिम उत्तर: 5 मी।

सार: सीढ़ी कर्ण है; ज़मीनी दूरी (एक भुजा) के लिए हल करें।

उदाहरण 6: आयत का विकर्ण

एक आयत 9 सेमी × 12 सेमी है। उसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. विकर्ण, भुजाओं 9 और 12 वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है।
2. विकर्ण $= \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 15 सेमी।

सार: आयत का विकर्ण दोनों भुजाओं को भुजाएँ मानकर पाइथागोरस उपयोग करता है।

उदाहरण 7: समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब

10 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब (ऊँचाई) ज्ञात कीजिए।

हल:

1. शीर्षलंब आधार को 5 सेमी के दो भागों में बाँटता है और कर्ण 10 वाला समकोण त्रिभुज बनाता है।
2. ऊँचाई $= \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $5\sqrt{3}$ सेमी।

सार: भुजा-$a$ समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब $\dfrac{\sqrt3}{2}a$ होता है।

उदाहरण 8: दो खंभे

6 मी और 11 मी ऊँचाई के दो खंभे समतल ज़मीन पर खड़े हैं। यदि उनके पादों के बीच की दूरी 12 मी है, तो उनके शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. ऊँचाइयों का अंतर $11 - 6 = 5$ मी (ऊर्ध्वाधर भुजा); क्षैतिज दूरी 12 मी है।
2. शीर्षों के बीच दूरी $= \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ मी।

अंतिम उत्तर: 13 मी।

सार: ऊँचाई के अंतर और ज़मीनी दूरी को दो भुजाएँ मानें।

उदाहरण 9: मध्य समानुपाती (शीर्षलंब)

समकोण $\triangle ABC$ ($B$ पर समकोण) में, $BD \perp AC$। यदि $AD = 4$ सेमी और $DC = 9$ सेमी, तो $BD$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. शीर्षलंब गुणोत्तर माध्य है: $BD^2 = AD \times DC = 4 \times 9 = 36$।
2. $BD = 6$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $BD = 6$ सेमी।

सार: कर्ण पर शीर्षलंब हेतु $BD^2 = AD \cdot DC$।

उदाहरण 10: चली गई दूरी

एक व्यक्ति 15 मी पूर्व, फिर 8 मी उत्तर चलता है। वह प्रारंभ बिंदु से कितनी दूर है?

हल:

1. पूर्व और उत्तर भुजाएँ लंबवत हैं: भुजाएँ 15 और 8।
2. दूरी $= \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ मी।

अंतिम उत्तर: 17 मी।

सार: लंबवत विस्थापन एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं; सीधी-रेखा दूरी कर्ण है।