समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल

क्षेत्रफल-अनुपात प्रमेय

हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती हैं। उनके क्षेत्रफल कैसे तुलना करते हैं? भुजाओं के समान अनुपात में नहीं — क्षेत्रफल तेज़ी से बढ़ते हैं।

प्रमेय: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

यदि $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, तो:

$$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle DEF)} = \left(\frac{AB}{DE}\right)^2 = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2 = \left(\frac{CA}{FD}\right)^2$$

मुख्य बिंदु: क्षेत्रफल भुजाओं के वर्ग के अनुपात में होते हैं। यदि भुजाएँ $2:3$ अनुपात में हों, तो क्षेत्रफल $4:9$ अनुपात में होते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] भ्रमित न हों: परिमाप भुजा अनुपात में होते हैं (जैसे 2:3), परंतु क्षेत्रफल वर्गित अनुपात में (4:9)। यह एक बहुत सामान्य त्रुटि है।

वर्ग क्यों?

विचार: क्षेत्रफल दो विमाओं (आधार और ऊँचाई) पर निर्भर करता है, जिनमें से प्रत्येक भुजा अनुपात $k$ से मापित होती है। अतः क्षेत्रफल $k \times k = k^2$ से मापित होता है।

उपपत्ति का विचार

समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत शीर्षलंब भी अनुपात $k$ में होते हैं। चूँकि $\text{क्षेत्रफल} = \dfrac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$, और आधार तथा ऊँचाई दोनों $k$ से मापित होते हैं: $$\frac{\text{ar}_1}{\text{ar}_2} = \frac{\frac{1}{2} b_1 h_1}{\frac{1}{2} b_2 h_2} = k \times k = k^2.$$

मुख्य बिंदु: चूँकि क्षेत्रफल दो मापित लंबाइयों का उपयोग करता है, क्षेत्रफल अनुपात लंबाई अनुपात का वर्ग होता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] समरूप त्रिभुजों के संगत शीर्षलंब, माध्यिकाएँ, और कोण समद्विभाजक सभी भुजा अनुपात $k$ में होते हैं — और क्षेत्रफल $k^2$ में।

क्षेत्रफल अनुपात के समतुल्य रूप

चूँकि समरूप त्रिभुजों के सभी संगत रैखिक माप अनुपात $k$ में होते हैं, क्षेत्रफल अनुपात इनमें से किसी के भी वर्ग के बराबर होता है:

$$\frac{\text{ar}(\triangle 1)}{\text{ar}(\triangle 2)} = \left(\text{भुजाएँ}\right)^2 = \left(\text{शीर्षलंब}\right)^2 = \left(\text{माध्यिकाएँ}\right)^2 = \left(\text{परिमाप}\right)^2$$

हल किया गया उदाहरण

यदि दो समरूप त्रिभुजों के परिमापों का अनुपात $4:5$ है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $4^2 : 5^2 = 16 : 25$ है।

मुख्य बिंदु: क्षेत्रफल अनुपात संगत रैखिक मापों (भुजाएँ, शीर्षलंब, माध्यिकाएँ, या परिमाप) की किसी भी जोड़ी के अनुपात का वर्ग होता है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] यदि कोई समस्या क्षेत्रफलों का अनुपात दे और भुजाओं का अनुपात माँगे, तो वर्गमूल लें: क्षेत्रफल $9:16$ ⇒ भुजाएँ $3:4$।

दोनों दिशाओं में

प्रमेय दोनों दिशाओं में काम करती है:

• भुजाएँ → क्षेत्रफल: भुजा अनुपात का वर्ग करें।
• क्षेत्रफल → भुजाएँ: क्षेत्रफल अनुपात का वर्गमूल लें।

हल किया गया उदाहरण

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल $50\ \text{सेमी}^2$ और $98\ \text{सेमी}^2$ हैं। क्षेत्रफलों का अनुपात $\dfrac{50}{98} = \dfrac{25}{49}$ है, अतः संगत भुजाओं का अनुपात $\sqrt{\dfrac{25}{49}} = \dfrac{5}{7}$ है।

मुख्य बिंदु: भुजाओं से क्षेत्रफल तक जाने हेतु वर्ग करें; क्षेत्रफल से भुजाओं तक जाने हेतु वर्गमूल लें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] क्षेत्रफल अनुपात को सदैव एक पूर्ण-वर्ग रूप (जैसे $\dfrac{25}{49}$) में सरल करें ताकि वर्गमूल स्वच्छ हो।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: भुजाओं से क्षेत्रफल

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ $3:4$ के अनुपात में हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. क्षेत्रफल अनुपात $= (\text{भुजा अनुपात})^2 = 3^2 : 4^2 = 9 : 16$।

अंतिम उत्तर: $9 : 16$।

सार: क्षेत्रफल अनुपात पाने हेतु भुजा अनुपात का वर्ग करें।

उदाहरण 2: क्षेत्रफल से भुजाएँ

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल $16 : 25$ के अनुपात में हैं। उनकी संगत भुजाओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. भुजा अनुपात $= \sqrt{16 : 25} = 4 : 5$।

अंतिम उत्तर: $4 : 5$।

सार: भुजा अनुपात हेतु क्षेत्रफल अनुपात का वर्गमूल लें।

उदाहरण 3: क्षेत्रफल ज्ञात करना

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$। ar$(\triangle ABC) = 64\ \text{सेमी}^2$ और $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{2}{3}$। ar$(\triangle DEF)$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{\text{ar}(ABC)}{\text{ar}(DEF)} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$।
2. $\dfrac{64}{\text{ar}(DEF)} = \dfrac{4}{9} \Rightarrow \text{ar}(DEF) = \dfrac{64 \times 9}{4} = 144\ \text{सेमी}^2$।

अंतिम उत्तर: $144\ \text{सेमी}^2$।

सार: दोनों क्षेत्रफलों को जोड़ने हेतु वर्गित भुजा अनुपात उपयोग करें।

उदाहरण 4: परिमाप और क्षेत्रफल

दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप $4:5$ के अनुपात में हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. परिमाप अनुपात = भुजा अनुपात = $4:5$।
2. क्षेत्रफल अनुपात $= 4^2 : 5^2 = 16 : 25$।

अंतिम उत्तर: $16 : 25$।

सार: परिमाप अनुपात भुजा अनुपात के बराबर; क्षेत्रफल अनुपात उसका वर्ग।

उदाहरण 5: शीर्षलंब

दो समरूप त्रिभुजों के संगत शीर्षलंब $5:7$ के अनुपात में हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. शीर्षलंब भुजा अनुपात में हैं, $5:7$।
2. क्षेत्रफल अनुपात $= 5^2 : 7^2 = 25 : 49$।

अंतिम उत्तर: $25 : 49$।

सार: शीर्षलंब भुजा अनुपात का अनुसरण करते हैं; क्षेत्रफल वर्ग का।

उदाहरण 6: क्षेत्रफल से लंबाई

$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ जहाँ ar$(\triangle ABC) = 25\ \text{सेमी}^2$, ar$(\triangle PQR) = 49\ \text{सेमी}^2$। यदि $BC = 5$ सेमी, तो $QR$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. भुजा अनुपात $= \sqrt{\dfrac{25}{49}} = \dfrac{5}{7}$।
2. $\dfrac{BC}{QR} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \dfrac{5}{QR} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow QR = 7$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $QR = 7$ सेमी।

सार: क्षेत्रफल अनुपात से भुजा अनुपात निकालें, फिर लंबाई ज्ञात करें।

उदाहरण 7: माध्यिकाएँ दी गई

दो समरूप त्रिभुजों की संगत माध्यिकाएँ 6 सेमी और 9 सेमी हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माध्यिका अनुपात $= \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ = भुजा अनुपात।
2. क्षेत्रफल अनुपात $= \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$।

अंतिम उत्तर: $4 : 9$।

सार: माध्यिकाएँ भुजाओं की तरह मापित होती हैं; क्षेत्रफल वर्ग की तरह।

उदाहरण 8: समान क्षेत्रफल ⇒ सर्वांगसम

यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हों, तो दिखाइए कि वे सर्वांगसम हैं।

हल:

1. समान क्षेत्रफल ⇒ क्षेत्रफल अनुपात $= 1$।
2. भुजा अनुपात $= \sqrt{1} = 1$, अतः संगत भुजाएँ समान हैं।
3. समान संगत भुजाएँ ⇒ त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

अंतिम उत्तर: वे सर्वांगसम हैं।

सार: समरूप + समान क्षेत्रफल ⇒ सर्वांगसम (मापक गुणक 1)।

उदाहरण 9: साझा आकृति से अनुपात

$\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$ जहाँ $D$, $AB$ पर, $E$, $AC$ पर, और $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{3}$। $\dfrac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle ABC)}$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $DE \parallel BC \Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC$ (AA), भुजा अनुपात $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{3}$ के साथ।
2. क्षेत्रफल अनुपात $= \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$।

अंतिम उत्तर: $\dfrac{1}{9}$।

सार: एक समांतर रेखा समरूप त्रिभुज बनाती है; क्षेत्रफल वर्गित अनुपात में।

उदाहरण 10: बड़ा क्षेत्रफल ज्ञात करना

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ जहाँ $AB = 6$ सेमी, $DE = 9$ सेमी। यदि ar$(\triangle ABC) = 48\ \text{सेमी}^2$, तो ar$(\triangle DEF)$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{\text{ar}(ABC)}{\text{ar}(DEF)} = \left(\dfrac{6}{9}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$।
2. $\dfrac{48}{\text{ar}(DEF)} = \dfrac{4}{9} \Rightarrow \text{ar}(DEF) = \dfrac{48 \times 9}{4} = 108\ \text{सेमी}^2$।

अंतिम उत्तर: $108\ \text{सेमी}^2$।

सार: बड़ा त्रिभुज ⇒ बड़ा क्षेत्रफल, वर्गित अनुपात से ज्ञात।