आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय)

प्रमेय (BPT / थेल्स प्रमेय)

यह ज्यामिति की सबसे उपयोगी प्रमेयों में से एक है, जिसे यूनानी गणितज्ञ थेल्स ने खोजा।

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT): यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वह उन दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।

$\triangle ABC$ में, यदि $BC$ के समांतर एक रेखा $AB$ को $D$ पर और $AC$ को $E$ पर मिले, तो:

$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$

मुख्य बिंदु: रेखा का तीसरी भुजा के समांतर होना आवश्यक है। तब वह जिन दो भुजाओं को काटती है उन्हें समान अनुपात में विभाजित करती है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] BPT, समान समांतरों के बीच समान आधार पर त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का उपयोग कर सिद्ध की जाती है। कथन सटीक रूप से सीखें — यह पूरे अध्याय की नींव है।

समतुल्य अनुपात रूप

BPT अनुपात $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ को अन्य उपयोगी रूपों में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

• $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ (प्रत्येक छोटा भाग पूरी भुजा से)
• $\dfrac{DB}{AD} = \dfrac{EC}{AE}$ (व्युत्क्रम लेने पर)
• $\dfrac{AB}{DB} = \dfrac{AC}{EC}$

ये सरल बीजगणित (1 जोड़ना, व्युत्क्रम करना, इत्यादि) से निकलते हैं।

मुख्य बिंदु: एक बार एक BPT अनुपात मिल जाने पर, आप जिस रूप की समस्या को आवश्यकता हो उसमें बदल सकते हैं। समस्याओं में सबसे सामान्य $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] सावधान रहें कि कौन-से खंड 'भाग' हैं और कौन-सा 'पूर्ण'। $\dfrac{AD}{DB}$ (भाग : भाग), $\dfrac{AD}{AB}$ (भाग : पूर्ण) से भिन्न है।

BPT का विलोम

विलोम भी उतना ही महत्वपूर्ण है और रेखाओं को समांतर सिद्ध करने हेतु उपयोग होता है।

BPT का विलोम: यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करे, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

अतः $\triangle ABC$ में $D$, $AB$ पर और $E$, $AC$ पर: यदि $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$, तो $DE \parallel BC$।

मुख्य बिंदु: जब रेखा समांतर ज्ञात हो तो लंबाई/अनुपात ज्ञात करने हेतु BPT उपयोग करें; जब अनुपात समान हों तो समांतरता सिद्ध करने हेतु विलोम उपयोग करें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] एक विशिष्ट परीक्षा पंक्ति: 'दिखाइए कि $DE \parallel BC$।' दोनों अनुपात परिकलित करें; यदि वे समान हों, तो समांतरता निष्कर्ष हेतु BPT के विलोम का उल्लेख करें।

अनुप्रयोग — समलंब और आगे

BPT समलंबों और अनेक समांतर रेखाओं वाली समस्याओं में आती है।

समलंब अनुप्रयोग

$AB \parallel DC$ वाले समलंब $ABCD$ में, विकर्ण $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। वहाँ बने त्रिभुज देते हैं $\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{BO}{OD}$ (विकर्ण एक-दूसरे को समान अनुपात में काटते हैं)।

मुख्य बिंदु: जब भी कोई रेखा किसी भुजा के (या समलंब की समांतर भुजाओं के) समांतर हो, तो BPT से समान-अनुपात संबंध स्थापित करें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] $AB \parallel DC$ वाले समलंब में, विकर्ण एक-दूसरे को समानुपाती रूप से विभाजित करते हैं — एक बार-बार आने वाली 3-अंक की उपपत्ति या गणना।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: BPT से लंबाई ज्ञात करना

$\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$ जहाँ $D$, $AB$ पर, $E$, $AC$ पर। यदि $AD = 2$ सेमी, $DB = 3$ सेमी, $AE = 4$ सेमी, तो $EC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. BPT से, $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$।
2. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{EC} \Rightarrow EC = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $EC = 6$ सेमी।

सार: $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ में रखकर तिर्यक-गुणन करें।

उदाहरण 2: $x$ ज्ञात करना

$\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$। $AD = x$, $DB = x - 2$, $AE = x + 2$, $EC = x - 1$। $x$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. BPT: $\dfrac{x}{x-2} = \dfrac{x+2}{x-1}$।
2. तिर्यक-गुणन: $x(x-1) = (x+2)(x-2) \Rightarrow x^2 - x = x^2 - 4$।
3. $-x = -4 \Rightarrow x = 4$।

अंतिम उत्तर: $x = 4$।

सार: BPT प्रायः $x$ में एक हल करने योग्य समीकरण देता है।

उदाहरण 3: $DE \parallel BC$ सिद्ध करना

$\triangle ABC$ में, $D$, $AB$ पर, $E$, $AC$ पर जहाँ $AD = 1.5$ सेमी, $DB = 3$ सेमी, $AE = 1$ सेमी, $EC = 2$ सेमी। क्या $DE \parallel BC$?

हल:

1. $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{1.5}{3} = \dfrac{1}{2}$; $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{1}{2}$।
2. अनुपात समान हैं, अतः BPT के विलोम से $DE \parallel BC$।

अंतिम उत्तर: हाँ, $DE \parallel BC$।

सार: समान अनुपात ⇒ समांतर (BPT का विलोम)।

उदाहरण 4: भाग-से-पूर्ण रूप

$\triangle PQR$ में, $ST \parallel QR$ जहाँ $S$, $PQ$ पर, $T$, $PR$ पर। यदि $PS = 3$, $PQ = 8$, $PT = 4.5$, तो $PR$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. BPT से (भाग से पूर्ण): $\dfrac{PS}{PQ} = \dfrac{PT}{PR}$।
2. $\dfrac{3}{8} = \dfrac{4.5}{PR} \Rightarrow PR = \dfrac{4.5 \times 8}{3} = 12$।

अंतिम उत्तर: $PR = 12$।

सार: जब पूर्ण भुजाएँ दी हों तो भाग-से-पूर्ण रूप उपयोग करें।

उदाहरण 5: समलंब के विकर्ण

$AB \parallel DC$ वाले समलंब $ABCD$ में, विकर्ण $O$ पर मिलते हैं। यदि $AO = 3$, $OC = 6$, $BO = 4$, तो $OD$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. विकर्ण एक-दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं: $\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{BO}{OD}$।
2. $\dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{OD} \Rightarrow OD = \dfrac{4 \times 6}{3} = 8$।

अंतिम उत्तर: $OD = 8$।

सार: समलंब के विकर्ण समानुपाती रूप से विभाजित होते हैं।

उदाहरण 6: मध्य-बिंदु रेखा

$\triangle ABC$ में, $D$, $AB$ का मध्य-बिंदु है और $DE \parallel BC$, $AC$ को $E$ पर मिलती है। दिखाइए कि $E$, $AC$ का मध्य-बिंदु है।

हल:

1. $D$ मध्य-बिंदु ⇒ $AD = DB$, अतः $\dfrac{AD}{DB} = 1$।
2. BPT से, $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{AD}{DB} = 1 \Rightarrow AE = EC$।
3. अतः $E$, $AC$ का मध्य-बिंदु है।

अंतिम उत्तर: $E$, $AC$ का मध्य-बिंदु है।

सार: यह मध्य-बिंदु प्रमेय है, BPT की एक विशेष स्थिति।

उदाहरण 7: $DB$ ज्ञात करना

$\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$। $AD = 4$ सेमी, $AE = 8$ सेमी, $EC = 12$ सेमी। $DB$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} \Rightarrow \dfrac{4}{DB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$।
2. $DB = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $DB = 6$ सेमी।

सार: अज्ञात खंड हेतु अनुपात पुनर्व्यवस्थित करें।

उदाहरण 8: दो अज्ञात अनुपात

$\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$। यदि $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{3}{4}$ और $AC = 14$ सेमी, तो $AE$ और $EC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. BPT से, $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4}$, अतः $AE : EC = 3 : 4$।
2. $AE + EC = AC = 14$। भाग: $AE = \dfrac{3}{7}(14) = 6$, $EC = \dfrac{4}{7}(14) = 8$।

अंतिम उत्तर: $AE = 6$ सेमी, $EC = 8$ सेमी।

सार: पूरी भुजा को BPT अनुपात में विभाजित करें।

उदाहरण 9: समांतर नहीं

$\triangle ABC$ में, $D$, $AB$ पर, $E$, $AC$ पर जहाँ $AD = 2$, $DB = 4$, $AE = 3$, $EC = 5$। क्या $DE \parallel BC$?

हल:

1. $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$; $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{5}$।
2. $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{3}{5}$।

अंतिम उत्तर: नहीं, $DE$, $BC$ के समांतर नहीं है।

सार: असमान अनुपात ⇒ समांतर नहीं (विलोम विफल)।

उदाहरण 10: बीजगणित सहित BPT

$\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$ जहाँ $AD = 4x - 3$, $DB = 3x - 1$, $AE = 8x - 7$, $EC = 5x - 3$। $x$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. BPT: $\dfrac{4x-3}{3x-1} = \dfrac{8x-7}{5x-3}$।
2. तिर्यक-गुणन: $(4x-3)(5x-3) = (8x-7)(3x-1)$।
3. $20x^2 - 27x + 9 = 24x^2 - 29x + 7 \Rightarrow 4x^2 - 2x - 2 = 0 \Rightarrow 2x^2 - x - 1 = 0$।
4. $(2x + 1)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1$ ($-\tfrac{1}{2}$ अस्वीकार, क्योंकि लंबाई ऋणात्मक हो जाती है)।

अंतिम उत्तर: $x = 1$।

सार: BPT का तिर्यक-गुणन द्विघात दे सकता है; अस्वीकार्य मूल त्यागें।