हल किए गए उदाहरण

इस खंड का उपयोग कैसे करें

यह त्रिभुजों के लिए आपका अभ्यास-शक्तिगृह है। नीचे पूरे अध्याय को समेटते 30+ पूर्णतः हल किए गए प्रश्न हैं — समरूप आकृतियाँ, BPT, समरूपता कसौटियाँ, क्षेत्रफल अनुपात, और पाइथागोरस — मोटे तौर पर सरल से कठिन क्रम में।

कैसे पढ़ें: प्रत्येक प्रश्न को हल ढककर स्वयं हल करने का प्रयास करें, फिर चरण जाँचें। ज्यामिति में सही प्रमेय/कसौटी बताने और स्पष्ट चरणबद्ध तर्क के अंक मिलते हैं।

ये साथ रखें:

• BPT: $DE \parallel BC$ होने पर $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$।
• समरूपता: AA, SSS, SAS।
• समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल अनुपात $= (\text{भुजा अनुपात})^2$।
• पाइथागोरस: $\text{कर्ण}^2 = \text{भुजा}_1^2 + \text{भुजा}_2^2$।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: BPT लंबाई

$\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$, $AD = 3$, $DB = 4$, $AE = 6$। $EC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} \Rightarrow \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{EC}$।
2. $EC = \dfrac{6 \times 4}{3} = 8$।

अंतिम उत्तर: $EC = 8$।

सार: BPT लगाकर तिर्यक-गुणन करें।

उदाहरण 2: समरूप सिद्ध करें (AA)

$\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$। सिद्ध कीजिए कि $\triangle ADE \sim \triangle ABC$।

हल:

1. $\angle A$ उभयनिष्ठ है।
2. $\angle ADE = \angle ABC$ (संगत कोण, $DE \parallel BC$)।
3. AA से, $\triangle ADE \sim \triangle ABC$।

अंतिम उत्तर: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (AA)।

सार: समांतर रेखा ⇒ समान संगत कोण ⇒ AA समरूपता।

उदाहरण 3: SSS समरूपता

क्या भुजाओं $(4, 6, 8)$ और $(6, 9, 12)$ वाले त्रिभुज समरूप हैं?

हल:

1. $\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$।
2. सभी अनुपात समान ⇒ SSS समरूपता।

अंतिम उत्तर: हाँ, समरूप (SSS)।

सार: समान भुजा अनुपात ⇒ SSS।

उदाहरण 4: समरूपता से भुजा ज्ञात करना

$\triangle ABC \sim \triangle PQR$, $AB = 5$, $PQ = 10$, $AC = 6$। $PR$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{AC}{PR} \Rightarrow \dfrac{5}{10} = \dfrac{6}{PR}$।
2. $PR = 12$।

अंतिम उत्तर: $PR = 12$।

सार: समान संगत अनुपात अज्ञात भुजा देते हैं।

उदाहरण 5: क्षेत्रफल अनुपात

दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ $5 : 6$ के अनुपात में हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. क्षेत्रफल अनुपात $= 5^2 : 6^2 = 25 : 36$।

अंतिम उत्तर: $25 : 36$।

सार: भुजा अनुपात का वर्ग करें।

उदाहरण 6: पाइथागोरस भुजा ज्ञात करना

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 9 सेमी और 12 सेमी हैं। कर्ण ज्ञात कीजिए।

हल:

1. कर्ण $= \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 15 सेमी।

सार: $(9, 12, 15) = 3 \times (3, 4, 5)$।

उदाहरण 7: पाइथागोरस का विलोम

क्या भुजाओं 9, 40, 41 वाला त्रिभुज समकोण है?

हल:

1. $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$।
2. बराबर, अतः समकोण (समकोण 41 के सामने)।

अंतिम उत्तर: हाँ, समकोण।

सार: $(9, 40, 41)$ एक पाइथागोरस त्रिक है।

उदाहरण 8: BPT का विलोम

$\triangle ABC$ में, $D$, $AB$ पर, $E$, $AC$ पर, $AD = 4$, $DB = 6$, $AE = 6$, $EC = 9$। क्या $DE \parallel BC$?

हल:

1. $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$; $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$।
2. समान अनुपात ⇒ विलोम से, $DE \parallel BC$।

अंतिम उत्तर: हाँ, $DE \parallel BC$।

सार: समान अनुपात समांतरता सिद्ध करते हैं।

उदाहरण 9: छाया समस्या

6 मी ऊँचा एक ऊर्ध्वाधर खंभा 4 मी लंबी छाया डालता है। उसी समय एक मीनार 28 मी लंबी छाया डालती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. त्रिभुज समरूप हैं (समान सूर्य कोण, AA)।
2. $\dfrac{6}{4} = \dfrac{h}{28} \Rightarrow h = \dfrac{6 \times 28}{4} = 42$ मी।

अंतिम उत्तर: 42 मी।

सार: एक ही समय की वस्तुओं के लिए ऊँचाई : छाया नियत होती है।

उदाहरण 10: क्षेत्रफल से भुजा

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 81 सेमी² और 144 सेमी² हैं। यदि छोटे की एक भुजा 9 सेमी है, तो बड़े की संगत भुजा ज्ञात कीजिए।

हल:

1. भुजा अनुपात $= \sqrt{\dfrac{81}{144}} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$।
2. संगत भुजा $= 9 \times \dfrac{4}{3} = 12$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 12 सेमी।

सार: भुजा अनुपात हेतु क्षेत्रफल अनुपात का वर्गमूल लें।

उदाहरण 11: वर्ग का विकर्ण

10 सेमी भुजा वाले वर्ग का विकर्ण ज्ञात कीजिए।

हल:

1. विकर्ण $= \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $10\sqrt{2}$ सेमी।

सार: वर्ग का विकर्ण $\sqrt2 \times$ भुजा होता है।

उदाहरण 12: बीजगणित सहित BPT

$\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$, $AD = x$, $DB = x - 2$, $AE = x + 2$, $EC = x - 1$। $x$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{x}{x-2} = \dfrac{x+2}{x-1} \Rightarrow x(x-1) = (x+2)(x-2)$।
2. $x^2 - x = x^2 - 4 \Rightarrow x = 4$।

अंतिम उत्तर: $x = 4$।

सार: तिर्यक-गुणन कर सरल करें।

उदाहरण 13: समरूप त्रिभुज, परिमाप

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ जहाँ $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{2}{5}$। यदि $\triangle ABC$ का परिमाप 16 सेमी है, तो $\triangle DEF$ का परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल:

1. परिमाप अनुपात = भुजा अनुपात = $\dfrac{2}{5}$।
2. $\dfrac{16}{P_{DEF}} = \dfrac{2}{5} \Rightarrow P_{DEF} = 40$ सेमी।

अंतिम उत्तर: 40 सेमी।

सार: परिमाप भुजा अनुपात साझा करते हैं।

उदाहरण 14: कर्ण पर शीर्षलंब

समकोण $\triangle ABC$ ($B$ पर समकोण) में, $BD \perp AC$। यदि $AB = 6$, $BC = 8$, तो $BD$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $AC = \sqrt{36 + 64} = 10$।
2. क्षेत्रफल दो तरह से: $\dfrac{1}{2}(AB)(BC) = \dfrac{1}{2}(AC)(BD) \Rightarrow 6 \times 8 = 10 \times BD$।
3. $BD = \dfrac{48}{10} = 4.8$।

अंतिम उत्तर: $BD = 4.8$।

सार: शीर्षलंब ज्ञात करने हेतु दोनों क्षेत्रफल व्यंजकों को बराबर रखें।

उदाहरण 15: मध्य-बिंदु प्रमेय

$\triangle ABC$ में, $D$ और $E$, $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $BC = 10$ सेमी, तो $DE$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मध्य-बिंदु प्रमेय से, $DE \parallel BC$ और $DE = \dfrac{1}{2}BC$।
2. $DE = \dfrac{1}{2}(10) = 5$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $DE = 5$ सेमी।

सार: मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड तीसरी भुजा का आधा होता है।

उदाहरण 16: SAS समरूपता उपपत्ति

$\triangle ABC$ और $\triangle ADE$ में, $\angle A$ उभयनिष्ठ, $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{1}{2}$। दिखाइए कि $\triangle ADE \sim \triangle ABC$।

हल:

1. $\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ, अंतर्विष्ट कोण)।
2. $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ (दिया, कोण को अंतर्विष्ट करने वाली भुजाएँ)।
3. SAS से, $\triangle ADE \sim \triangle ABC$।

अंतिम उत्तर: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (SAS)।

सार: उभयनिष्ठ कोण + समानुपाती अंतर्विष्ट भुजाएँ ⇒ SAS।

उदाहरण 17: आकृति में क्षेत्रफल अनुपात

$\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$ जहाँ $AD : DB = 2 : 3$। $\triangle ADE$ और समलंब $DBCE$ के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2}{5}$, अतः $\dfrac{\text{ar}(ADE)}{\text{ar}(ABC)} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25}$।
2. ar(समलंब) $=$ ar($ABC$) $-$ ar($ADE$) $= 25 - 4 = 21$ भाग।
3. अनुपात ar($ADE$) : ar(समलंब) $= 4 : 21$।

अंतिम उत्तर: $4 : 21$।

सार: समलंब हेतु पूरे में से छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाएँ।

उदाहरण 18: पाइथागोरस शब्द समस्या

एक 10 मी सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 6 मी दूर है। यह दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है?

हल:

1. ऊँचाई $= \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ मी।

अंतिम उत्तर: 8 मी।

सार: $(6, 8, 10)$ एक मापित $(3, 4, 5)$ त्रिक है।

उदाहरण 19: दोनों खंड ज्ञात करना (BPT)

$\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$, $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{2}{3}$, $AB = 10$ सेमी। $AD$ और $DB$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $AD : DB = 2 : 3$, कुल 5 भाग $= AB = 10$।
2. $AD = \dfrac{2}{5}(10) = 4$, $DB = \dfrac{3}{5}(10) = 6$।

अंतिम उत्तर: $AD = 4$ सेमी, $DB = 6$ सेमी।

सार: पूरी भुजा को दिए अनुपात में विभाजित करें।

उदाहरण 20: समलंब के विकर्ण

समलंब $ABCD$ ($AB \parallel DC$) में, विकर्ण $O$ पर मिलते हैं। यदि $AB = 4$ सेमी, $DC = 8$ सेमी, और $AO = 3$ सेमी, तो $OC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\triangle AOB \sim \triangle COD$ (AA), अतः $\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AB}{DC} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$।
2. $\dfrac{3}{OC} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow OC = 6$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $OC = 6$ सेमी।

सार: ऐसे समलंब में, $\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AB}{DC}$।

उदाहरण 21: कोण का प्रकार ज्ञात करना

एक त्रिभुज की भुजाएँ 6, 8, 11 हैं। 11-भुजा के सामने का कोण न्यून, समकोण, या अधिक है?

हल:

1. $11^2 = 121$ की तुलना $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ से करें।
2. चूँकि $121 > 100$, 11 के सामने का कोण अधिक कोण है।

अंतिम उत्तर: अधिक कोण।

सार: यदि $c^2 > a^2 + b^2$, तो $c$ के सामने का कोण अधिक; यदि $<$, न्यून; यदि $=$, समकोण।

उदाहरण 22: आकृति में समरूप त्रिभुज

दो त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle AMP$ क्रमशः $B$ और $M$ पर समकोण हैं, कोण $A$ साझा करते हुए। सिद्ध कीजिए कि वे समरूप हैं और $MP$ ज्ञात कीजिए यदि $BC = 6$, $AB = 8$, $AM = 4$।

हल:

1. $\angle A$ उभयनिष्ठ, $\angle B = \angle M = 90°$ ⇒ $\triangle ABC \sim \triangle AMP$ (AA)।
2. $\dfrac{BC}{MP} = \dfrac{AB}{AM} \Rightarrow \dfrac{6}{MP} = \dfrac{8}{4} = 2 \Rightarrow MP = 3$।

अंतिम उत्तर: समरूप (AA); $MP = 3$।

सार: उभयनिष्ठ कोण + समकोण ⇒ AA, फिर समानुपाती भुजाएँ उपयोग करें।

उदाहरण 23: माध्यिकाओं का क्षेत्रफल अनुपात

दो समरूप त्रिभुजों की संगत माध्यिकाओं का अनुपात $4 : 7$ है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल:

1. माध्यिका अनुपात = भुजा अनुपात = $4 : 7$।
2. क्षेत्रफल अनुपात $= 4^2 : 7^2 = 16 : 49$।

अंतिम उत्तर: $16 : 49$।

सार: माध्यिकाएँ भुजाओं की तरह मापित; क्षेत्रफल वर्ग की तरह।

उदाहरण 24: मैदान का विकर्ण

एक आयताकार मैदान 40 मी लंबा और 30 मी चौड़ा है। इसके आर-पार विकर्ण पथ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. विकर्ण $= \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50$ मी।

अंतिम उत्तर: 50 मी।

सार: $(30, 40, 50) = 10 \times (3, 4, 5)$।

उदाहरण 25: एक संबंध सिद्ध करना (पाइथागोरस)

भुजा $a$ वाले एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ में, सिद्ध कीजिए कि शीर्षलंब का वर्ग $\dfrac{3}{4}a^2$ है।

हल:

1. शीर्षलंब आधार को $\dfrac{a}{2}$ प्रत्येक में बाँटता है, कर्ण $a$ वाला समकोण त्रिभुज बनाते हुए।
2. $h^2 = a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4}$।

अंतिम उत्तर: $h^2 = \dfrac{3}{4}a^2$।

सार: आधे आधार के साथ पाइथागोरस उपयोग करें; अतः $h = \dfrac{\sqrt3}{2}a$।

उदाहरण 26: BPT से समांतर सिद्ध करना और लंबाई

$\triangle ABC$ में, $D$, $AB$ पर जहाँ $AD = 2.4$, $AB = 6$; $E$, $AC$ पर जहाँ $AE = 3.2$, $AC = 8$। दिखाइए कि $DE \parallel BC$।

हल:

1. $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2.4}{6} = 0.4$; $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{3.2}{8} = 0.4$।
2. समान अनुपात (भाग-से-पूर्ण) ⇒ BPT के विलोम से, $DE \parallel BC$।

अंतिम उत्तर: $DE \parallel BC$।

सार: भाग-से-पूर्ण रूप भी समांतरता जाँचता है।

उदाहरण 27: समान ऊँचाई वाले क्षेत्रफल

$\triangle ABC \sim \triangle PQR$, और उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $9 : 25$ है। यदि $PR = 20$ सेमी, तो $AC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. भुजा अनुपात $= \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5}$।
2. $\dfrac{AC}{PR} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \dfrac{AC}{20} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow AC = 12$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $AC = 12$ सेमी।

सार: क्षेत्रफल अनुपात को भुजा अनुपात में बदलें, फिर लंबाई ज्ञात करें।

उदाहरण 28: समकोण त्रिभुज

$C$ पर समकोण $\triangle ABC$ में, $AC = 5$, $BC = 12$। $AB$ और $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$।
2. क्षेत्रफल $= \dfrac{1}{2}(5)(12) = 30$ वर्ग इकाई।

अंतिम उत्तर: $AB = 13$; क्षेत्रफल $= 30$।

सार: $(5, 12, 13)$ एक पाइथागोरस त्रिक है; क्षेत्रफल दोनों भुजाएँ उपयोग करता है।

उदाहरण 29: त्रिभुज समरूप सिद्ध करना (शीर्षाभिमुख कोण)

दो रेखाखंड $AC$ और $BD$, $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$। दिखाइए कि $\triangle AOB \sim \triangle COD$।

हल:

1. $\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
2. इन कोणों को अंतर्विष्ट करने वाली भुजाएँ $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ संतुष्ट करती हैं (दिया)।
3. SAS से, $\triangle AOB \sim \triangle COD$।

अंतिम उत्तर: $\triangle AOB \sim \triangle COD$ (SAS)।

सार: शीर्षाभिमुख कोण + समानुपाती अंतर्विष्ट भुजाएँ ⇒ SAS।

उदाहरण 30: BPT और समरूपता का संयोजन

$\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$, $AB$ को $D$ पर और $AC$ को $E$ पर मिलती है। यदि $AD = 4$ सेमी, $DB = 8$ सेमी, और $DE = 5$ सेमी, तो $BC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

1. $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ अनुपात $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ के साथ।
2. $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{5}{BC} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow BC = 15$ सेमी।

अंतिम उत्तर: $BC = 15$ सेमी।

सार: समरूपता अनुपात $DE$ और $BC$ पर भी लागू होता है।

उदाहरण 31: मिश्रित — मीनार और छड़ी

एक 1.5 मी लंबी छड़ी 3 मी छाया डालती है। पास की एक मीनार उसी समय 60 मी छाया डालती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. AA समरूपता (समान सूर्य कोण): $\dfrac{1.5}{3} = \dfrac{h}{60}$।
2. $h = \dfrac{1.5 \times 60}{3} = 30$ मी।

अंतिम उत्तर: 30 मी।

सार: दिन के किसी समय ऊँचाई : छाया नियत होती है।