अध्याय सारांश और त्वरित पुनरावृत्ति

अध्याय सारांश: त्रिभुज

इस अध्याय के प्रत्येक मुख्य विचार, प्रमेय और सूत्र का एक-पृष्ठीय पुनरावलोकन। परीक्षा से एक रात पहले इसे पढ़ें।

1. समरूप आकृतियाँ

• दो आकृतियाँ समरूप होती हैं यदि उनका आकार समान हो (आवश्यक नहीं कि माप समान हो)।
• दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि: (अ) उनके संगत कोण बराबर हों, और (ब) उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में (समानुपाती) हों।
• सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं, पर सभी समरूप आकृतियाँ सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं।

2. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT / थेल्स)

• यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा अन्य दो भुजाओं को काटे, तो वह उन्हें समान अनुपात में बाँटती है: यदि $DE \parallel BC$ तो $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$।
• विलोम: यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में बाँटती है, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

3. समरूपता की कसौटियाँ

• AA (या AAA): संगत कोणों के दो युग्म बराबर ⇒ समरूप।
• SSS: संगत भुजाओं के तीनों युग्म समानुपाती ⇒ समरूप।
• SAS: कोणों का एक युग्म बराबर और उन्हें अंतर्विष्ट करने वाली भुजाएँ समानुपाती ⇒ समरूप।

4. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल

• दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात किसी भी संगत भुजा-युग्म के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है (तथा संगत माध्यिकाओं, शीर्षलंबों, कोण समद्विभाजकों, परिमापों के भी): $$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = \left(\frac{CA}{RP}\right)^2.$$

5. पाइथागोरस प्रमेय

• समकोण त्रिभुज में, $\text{कर्ण}^2 = \text{आधार}^2 + \text{ऊँचाई}^2$।
• विलोम: यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा के सम्मुख कोण समकोण होता है।
• उपयोगी पाइथागोरस त्रिक: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$, $(9,40,41)$ और इनके गुणज।

सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें

• समरूपता सिद्ध करते समय कसौटी का नाम (AA/SSS/SAS) बताना न भूलें।
• क्षेत्रफल अनुपात भुजा अनुपात का वर्ग होता है — विद्यार्थी अक्सर वर्ग करना भूल जाते हैं।
• $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ लिखते समय संगत शीर्षों को सही क्रम में मिलाएँ।

अंतिम युक्ति: अधिकांश बोर्ड प्रश्नों के लिए केवल BPT, एक समरूपता कसौटी और पाइथागोरस चाहिए। इन तीनों में निपुणता से पूरा अध्याय सध जाता है।