हमें कसौटियों की आवश्यकता क्यों है

सामान्य बहुभुजों के लिए, समरूपता हेतु समान कोण और समानुपाती भुजाएँ दोनों चाहिए। परंतु त्रिभुज विशेष हैं — त्रिभुजों के लिए, इनमें से एक शर्त प्रायः दूसरी को बाध्य कर देती है। यह हमें समरूपता तय करने हेतु शीघ्र समरूपता कसौटियाँ (शॉर्टकट) देता है, बिना सब कुछ जाँचे।

तीन मुख्य कसौटियाँ हैं: AAA (या AA), SSS, और SAS। हम एक-एक कर देखते हैं।

मुख्य बिंदु: त्रिभुजों के लिए, आपको दोनों शर्तें पूर्णतः सत्यापित करने की आवश्यकता नहीं — एक कसौटी (AA, SSS, या SAS) समरूपता निष्कर्ष हेतु पर्याप्त है।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] समरूपता कथन को सदैव सही संगति में लिखें (△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF), समान कोणों और समानुपाती भुजाओं को स्थिति से मिलाते हुए।

AAA और AA समरूपता

AAA कसौटी: यदि दो त्रिभुजों में संगत कोण समान हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं, और त्रिभुज समरूप होते हैं।

चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, यदि दो कोण-जोड़े समान हों, तो तीसरा जोड़ा स्वतः समान हो जाता है। अतः हम सामान्यतः केवल दो कोण जाँचते हैं — यह AA कसौटी है।

Two separate triangles. The first triangle ABC and the second triangle DEF, drawn at different sizes. Angle A is marked equal to angle D with a single arc, and angle B is marked equal to angle E with a double arc, illustrating the AA similarity criterion that two pairs of equal angles make the triangles similar.

मुख्य बिंदु: AA सबसे अधिक प्रयुक्त कसौटी है। दो समान कोण ⇒ समरूप त्रिभुज। तीसरा कोण और भुजा अनुपात स्वतः निकल आते हैं।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] जब दो त्रिभुजों के समान कोण हों (प्रायः समांतर रेखाओं या शीर्षाभिमुख कोणों से), तो △∼△\triangle \sim \triangle निष्कर्ष हेतु 'AA समरूपता द्वारा' लिखें।

SSS और SAS समरूपता

SSS कसौटी: यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में (समानुपाती) हों, तो उनके संगत कोण समान होते हैं और त्रिभुज समरूप होते हैं।

SAS कसौटी: यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे के एक कोण के बराबर हो, और इन समान कोणों को अंतर्विष्ट करने वाली भुजाएँ समान अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

Two triangles illustrating SAS similarity. Triangle ABC and triangle PQR with angle A marked equal to angle P (single arc at each), and the two pairs of sides forming these angles labelled to show AB/PQ = AC/PR, so the triangles are similar by SAS.

मुख्य बिंदु: SAS के लिए, समान कोण अंतर्विष्ट कोण होना चाहिए — दो समानुपाती भुजाओं के बीच का कोण। एक समान गैर-अंतर्विष्ट कोण समरूपता की गारंटी नहीं देता।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] SAS समरूपता (एक समान कोण + दो समानुपाती भुजाएँ) को SAS सर्वांगसमता (एक समान कोण + दो समान भुजाएँ) से अलग करें। समरूपता अनुपात उपयोग करती है; सर्वांगसमता समानता।

भुजाएँ ज्ञात करने हेतु समरूपता का उपयोग

एक बार दो त्रिभुज समरूप सिद्ध हो जाएँ (किसी भी कसौटी से), तो संगत भुजाओं के सभी जोड़े समान अनुपात में होते हैं। इससे आप अज्ञात लंबाइयाँ ज्ञात कर सकते हैं।

हल किया गया उदाहरण

यदि △ABC∼△PQR\triangle ABC \sim \triangle PQR जहाँ ABPQ=BCQR=CARP\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR} = \dfrac{CA}{RP}, और AB=4AB = 4, PQ=6PQ = 6, BC=5BC = 5, तो QR=5×64=7.5QR = \dfrac{5 \times 6}{4} = 7.5।

मुख्य बिंदु: पहले समरूपता सिद्ध करें (कसौटी बताएँ), फिर समान अनुपातों को सही संगति में लिखें, फिर अज्ञात के लिए हल करें।

[बोर्ड के लिए महत्वपूर्ण] परीक्षा में, अपना उत्तर संरचित करें: (1) समान कोण/समानुपाती भुजाएँ पहचानें, (2) कसौटी बताएँ, (3) 'अतः △∼△\triangle \sim \triangle' लिखें, (4) भुजा अनुपात उपयोग करें। प्रत्येक चरण के अंक होते हैं।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: AA समरूपता (समांतर रेखाएँ)

दो रेखाएँ PQPQ और RSRS, OO पर प्रतिच्छेद करती हैं जहाँ PQ∥RSPQ \parallel RS। दिखाइए कि △POQ∼△SOR\triangle POQ \sim \triangle SOR।

हल:

  1. ∠POQ=∠SOR\angle POQ = \angle SOR (शीर्षाभिमुख कोण)।
  2. ∠OPQ=∠OSR\angle OPQ = \angle OSR (एकांतर कोण, क्योंकि PQ∥RSPQ \parallel RS)।
  3. AA से, △POQ∼△SOR\triangle POQ \sim \triangle SOR।

अंतिम उत्तर: △POQ∼△SOR\triangle POQ \sim \triangle SOR (AA)।

सार: समांतर रेखाएँ समान एकांतर कोण देती हैं; शीर्षाभिमुख कोण समान होते हैं।

उदाहरण 2: कोण ज्ञात करना

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF। यदि ∠A=50°\angle A = 50° और ∠B=60°\angle B = 60°, तो ∠F\angle F ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. ∠C=180°−50°−60°=70°\angle C = 180° - 50° - 60° = 70°।
  2. संगति से, ∠F=∠C=70°\angle F = \angle C = 70°।

अंतिम उत्तर: ∠F=70°\angle F = 70°।

सार: समरूप त्रिभुजों के संगत कोण समान होते हैं।

उदाहरण 3: SSS समरूपता जाँच

क्या भुजाओं (3,4,5)(3, 4, 5) और (6,8,10)(6, 8, 10) वाले त्रिभुज समरूप हैं?

हल:

  1. अनुपात: 36=48=510=12\dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}।
  2. तीनों अनुपात समान, अतः SSS से त्रिभुज समरूप हैं।

अंतिम उत्तर: हाँ, समरूप (SSS)।

सार: तीनों भुजा अनुपात समान ⇒ SSS समरूपता।

उदाहरण 4: SAS समरूपता

△ABC\triangle ABC और △PQR\triangle PQR में, ∠A=∠P\angle A = \angle P, AB=4AB = 4, AC=6AC = 6, PQ=6PQ = 6, PR=9PR = 9। क्या वे समरूप हैं?

हल:

  1. ABPQ=46=23\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}; ACPR=69=23\dfrac{AC}{PR} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}।
  2. समान कोण ∠A=∠P\angle A = \angle P को अंतर्विष्ट करने वाली भुजाएँ समानुपाती हैं।
  3. SAS से, △ABC∼△PQR\triangle ABC \sim \triangle PQR।

अंतिम उत्तर: हाँ, समरूप (SAS)।

सार: समान अंतर्विष्ट कोण + समानुपाती अंतर्विष्ट-भुजाएँ ⇒ SAS।

उदाहरण 5: भुजा ज्ञात करना

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF जहाँ AB=4AB = 4, DE=6DE = 6, BC=5BC = 5। EFEF ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. ABDE=BCEF⇒46=5EF\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} \Rightarrow \dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{EF}।
  2. EF=5×64=7.5EF = \dfrac{5 \times 6}{4} = 7.5।

अंतिम उत्तर: EF=7.5EF = 7.5।

सार: सही संगति के साथ उभयनिष्ठ अनुपात उपयोग करें।

उदाहरण 6: मीनार/छाया (AA)

90 सेमी लंबी एक लड़की छाया डालती है। उसी समय एक लैंप-पोस्ट छाया डालता है। बनने वाले त्रिभुज (वस्तु + छाया) समरूप हैं। यदि लड़की की छाया 1.2 मी और लैंप-पोस्ट की छाया 4.8 मी है, तो लैंप-पोस्ट की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. सूर्य की किरणें समान कोण बनाती हैं, अतः त्रिभुज समरूप हैं (AA)।
  2. ऊँचाईछाया\dfrac{\text{ऊँचाई}}{\text{छाया}} नियत है: 0.91.2=h4.8\dfrac{0.9}{1.2} = \dfrac{h}{4.8}।
  3. h=0.9×4.81.2=3.6h = \dfrac{0.9 \times 4.8}{1.2} = 3.6 मी।

अंतिम उत्तर: 3.6 मी।

सार: वस्तु-और-छाया समस्याएँ AA समरूपता (समान सूर्य-किरण कोण) उपयोग करती हैं।

उदाहरण 7: समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब

समकोण △ABC\triangle ABC में, BB पर समकोण, BD⊥ACBD \perp AC। दिखाइए कि △ADB∼△ABC\triangle ADB \sim \triangle ABC।

हल:

  1. ∠A\angle A दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है।
  2. ∠ADB=∠ABC=90°\angle ADB = \angle ABC = 90°।
  3. AA से, △ADB∼△ABC\triangle ADB \sim \triangle ABC।

अंतिम उत्तर: △ADB∼△ABC\triangle ADB \sim \triangle ABC (AA)।

सार: कर्ण पर शीर्षलंब मूल त्रिभुज के समरूप त्रिभुज बनाता है।

उदाहरण 8: समरूपता से xx ज्ञात करना

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF जहाँ AB=xAB = x, DE=9DE = 9, BC=8BC = 8, EF=12EF = 12। xx ज्ञात कीजिए।

हल:

  1. ABDE=BCEF⇒x9=812=23\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} \Rightarrow \dfrac{x}{9} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}।
  2. x=9×23=6x = 9 \times \dfrac{2}{3} = 6।

अंतिम उत्तर: x=6x = 6।

सार: अनुपात बनाकर हल करें।

उदाहरण 9: समरूप त्रिभुजों की माध्यिकाएँ

यदि △ABC∼△PQR\triangle ABC \sim \triangle PQR जहाँ भुजाओं का अनुपात 2:32 : 3 है, तो उनकी संगत माध्यिकाओं का अनुपात क्या है?

हल:

  1. समरूप त्रिभुजों में, संगत माध्यिकाएँ भुजाओं के समान अनुपात में होती हैं।
  2. अतः माध्यिकाओं का अनुपात 2:32 : 3 है।

अंतिम उत्तर: 2:32 : 3।

सार: समरूप त्रिभुजों की माध्यिकाएँ, शीर्षलंब, और कोण समद्विभाजक भुजा अनुपात साझा करते हैं।

उदाहरण 10: SAS से समरूप नहीं

△ABC\triangle ABC और △PQR\triangle PQR में, ∠A=∠P\angle A = \angle P, AB=4AB = 4, AC=6AC = 6, PQ=6PQ = 6, PR=8PR = 8। क्या वे SAS से समरूप हैं?

हल:

  1. ABPQ=46=23\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}; ACPR=68=34\dfrac{AC}{PR} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}।
  2. 23≠34\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{3}{4}, अतः अंतर्विष्ट भुजाएँ समानुपाती नहीं।

अंतिम उत्तर: नहीं, SAS से समरूप नहीं।

सार: SAS हेतु अंतर्विष्ट भुजाएँ समान अनुपात में चाहिए — यहाँ नहीं हैं।