हल किए गए उदाहरण

इस खंड के बारे में

यह अध्याय 9 के हर विषय को समेटते हुए 30+ हल किए गए उदाहरणों का संग्रह है — गोलीय दर्पण, दर्पण सूत्र एवं आवर्धन, अपवर्तन एवं अपवर्तनांक, लेंस, लेंस सूत्र, तथा लेंस की क्षमता। सभी NCERT प्रश्न पूर्ण चिह्न-परिपाटी सहित यहाँ हल हैं।

बोर्ड तैयारी सुझाव:

1. सदैव दिए आँकड़े सही चिह्नों सहित पहले लिखें।
2. याद रखें: दर्पण सूत्र में जोड़; लेंस सूत्र में घटाव।
3. हर संख्यात्मक के अंत में प्रकृति (वास्तविक/आभासी, सीधा/उल्टा, बड़ा/छोटा) बताएँ।
4. सभी NCERT अभ्यास हल करें।

आरंभ करें!

उदाहरण 1: NCERT — त्रिज्या से फोकस दूरी

किसी गोलीय दर्पण की वक्रता त्रिज्या 20 cm है। फोकस दूरी क्या है?

हल: $f = \dfrac{R}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$ cm।

उदाहरण 2: NCERT — उत्तल दर्पण की फोकस दूरी

32 cm वक्रता त्रिज्या के उत्तल दर्पण की फोकस दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: $f = \dfrac{R}{2} = \dfrac{32}{2} = 16$ cm (उत्तल दर्पण हेतु धनात्मक)।

उदाहरण 3: NCERT — 3× बड़ा वास्तविक प्रतिबिंब

अवतल दर्पण 10 cm पर रखी वस्तु का 3× बड़ा वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है। प्रतिबिंब कहाँ है?

हल: वास्तविक प्रतिबिंब ⇒ $m = -3 = -\dfrac{v}{u}$, $u = -10$ cm। अतः $v = -30$ cm — प्रतिबिंब दर्पण के 30 cm सामने।

उदाहरण 4: NCERT — उत्तल पश्च-दृश्य दर्पण

R = 3.00 m के उत्तल दर्पण से बस 5.00 m पर है। प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए।

हल: $f = +1.50$ m, $u = -5.00$ m। $\dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{1.50} + \dfrac{1}{5.00} = \dfrac{6.5}{7.5}$, अतः $v = +1.15$ m। $m = -\dfrac{v}{u} = +0.23$। प्रतिबिंब आभासी, सीधा, छोटा, दर्पण के 1.15 m पीछे।

उदाहरण 5: NCERT — अवतल दर्पण, परदा स्थिति

4.0 cm वस्तु अवतल दर्पण (f = 15.0 cm) के सामने 25.0 cm पर। v, प्रकृति व आकार ज्ञात कीजिए।

हल: $u=-25$, $f=-15$। $\dfrac{1}{v} = -\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{25} = \dfrac{-2}{75}$, अतः $v=-37.5$ cm (वास्तविक)। $h' = -\dfrac{v}{u}h = -6.0$ cm। वास्तविक, उल्टा, बड़ा, 6.0 cm, परदा 37.5 cm पर।

उदाहरण 6: NCERT अभ्यास — उत्तल दर्पण, वस्तु 10 cm पर

उत्तल दर्पण (f = 15 cm) से 10 cm पर वस्तु। स्थिति व प्रकृति ज्ञात कीजिए।

हल: $u=-10$, $f=+15$। $\dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{30}$, अतः $v = +6$ cm। प्रतिबिंब आभासी, सीधा, छोटा, दर्पण के 6 cm पीछे।

उदाहरण 7: NCERT अभ्यास — उत्तल दर्पण, 5 cm वस्तु

5.0 cm वस्तु उत्तल दर्पण (R = 30 cm) के सामने 20 cm पर। स्थिति, प्रकृति, आकार ज्ञात कीजिए।

हल: $f = R/2 = +15$ cm, $u=-20$। $\dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{20} = \dfrac{7}{60}$, अतः $v = +8.57$ cm। $m = -\dfrac{v}{u} = +0.43$, $h' = +2.15$ cm। आभासी, सीधा, छोटा, ~2.2 cm, 8.6 cm पीछे।

उदाहरण 8: NCERT अभ्यास — अवतल दर्पण, 7 cm वस्तु

7.0 cm वस्तु अवतल दर्पण (f = 18 cm) के सामने 27 cm पर। परदा दूरी, आकार व प्रकृति ज्ञात कीजिए।

हल: $u=-27$, $f=-18$। $\dfrac{1}{v} = -\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{27}=\dfrac{-1}{54}$, अतः $v=-54$ cm (वास्तविक)। $h' = -\dfrac{v}{u}h = -14$ cm। वास्तविक, उल्टा, बड़ा, 14 cm, परदा 54 cm पर।

उदाहरण 9: NCERT — मुख्य फोकस परिभाषित कीजिए (अवतल दर्पण)

अवतल दर्पण का मुख्य फोकस परिभाषित कीजिए।

हल: यह मुख्य अक्ष पर वह बिंदु है जहाँ मुख्य अक्ष के समांतर किरणें अवतल दर्पण से परावर्तन के बाद अभिसरित होती हैं।

उदाहरण 10: NCERT — सीधा, बड़ा प्रतिबिंब देने वाला दर्पण

सीधा, बड़ा प्रतिबिंब देने वाले दर्पण का नाम लिखिए।

हल: अवतल दर्पण, वस्तु ध्रुव व फोकस के बीच रखने पर (शेविंग/दंत-चिकित्सक दर्पण के रूप में उपयोग)।

उदाहरण 11: NCERT — पश्च-दृश्य के रूप में उत्तल दर्पण

पश्च-दृश्य दर्पण के रूप में उत्तल दर्पण क्यों पसंद?

हल: यह सदैव सीधा, छोटा प्रतिबिंब एवं चौड़ा दृष्टि-क्षेत्र देता है, अतः चालक पीछे का बड़ा क्षेत्र देखता है।

उदाहरण 12: NCERT अभ्यास — अवतल दर्पण प्रतिबिंब (आभासी, सीधा, बड़ा)

अवतल दर्पण आभासी, सीधा, बड़ा प्रतिबिंब देता है। वस्तु कहाँ है? (a) F व C के बीच (b) C पर (c) C के परे (d) P व F के बीच।

हल: (d) ध्रुव P व फोकस F के बीच — यही एकमात्र स्थिति जो आभासी, सीधा, बड़ा प्रतिबिंब देती है।

उदाहरण 13: NCERT अभ्यास — -15 cm फोकस दूरी दर्पण एवं लेंस

एक गोलीय दर्पण एवं एक पतले लेंस की फोकस दूरी -15 cm है। वे संभवतः हैं — ?

हल: दोनों अवतल। ऋणात्मक फोकस दूरी का अर्थ है अवतल दर्पण एवं अवतल लेंस (चिह्न परिपाटी से)।

उदाहरण 14: NCERT अभ्यास — सदैव-सीधा प्रतिबिंब दर्पण

चाहे कितनी भी दूर खड़े हों, आपका प्रतिबिंब सीधा है। दर्पण है —?

हल: या तो समतल या उत्तल — दोनों सदैव सीधा प्रतिबिंब देते हैं (अवतल दर्पण सीधा प्रतिबिंब केवल F के भीतर वस्तु के लिए देता है)।

उदाहरण 15: NCERT अभ्यास — समतल दर्पण का आवर्धन

समतल दर्पण का आवर्धन +1 है। इसका क्या अर्थ है?

हल: प्रतिबिंब वस्तु के बराबर आकार ($|m|=1$) एवं आभासी व सीधा (धनात्मक चिह्न) है। समतल दर्पण न बड़ा करता है, न उल्टा।

उदाहरण 16: NCERT — वायु से जल में झुकाव

किरण वायु से तिरछे जल में जाती है। किस ओर झुकती है? क्यों?

हल: अभिलंब की ओर, क्योंकि जल वायु से प्रकाशिक रूप से सघन है, अतः प्रकाश धीमा हो जाता है (विरल → सघन)।

उदाहरण 17: NCERT — काँच में प्रकाश की चाल

काँच का अपवर्तनांक 1.50 है। उसमें प्रकाश की चाल ज्ञात कीजिए ($c = 3\times10^8$ m/s)।

हल: $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3\times10^8}{1.50} = 2\times10^8$ m/s।

उदाहरण 18: NCERT — n = 2.42 (हीरा) का अर्थ

'हीरे का अपवर्तनांक = 2.42' का क्या अर्थ है?

हल: प्रकाश निर्वात/वायु में हीरे की अपेक्षा 2.42 गुना तेज़ चलता है (हीरा सामान्य माध्यमों में प्रकाशिक रूप से सबसे सघन है)।

उदाहरण 19: NCERT — सबसे तेज़ माध्यम

केरोसीन (1.44), तारपीन (1.47) या जल (1.33) में प्रकाश सबसे तेज़ कहाँ?

हल: जल में, क्योंकि इसका अपवर्तनांक सबसे कम है ($v = c/n$; सबसे कम n ⇒ सबसे अधिक चाल)।

उदाहरण 20: NCERT — सर्वाधिक एवं न्यूनतम प्रकाशिक घनत्व

सारणी से किस माध्यम का प्रकाशिक घनत्व सर्वाधिक एवं किसका न्यूनतम है?

हल: हीरा (n = 2.42) का सर्वाधिक; वायु (n = 1.0003) का न्यूनतम।

उदाहरण 21: चालों से अपवर्तनांक

माध्यम 1 में चाल $2.4\times10^8$ m/s एवं माध्यम 2 में $2.0\times10^8$ m/s। $n_{21}$ ज्ञात कीजिए।

हल: $n_{21} = \dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{2.4\times10^8}{2.0\times10^8} = 1.2$।

उदाहरण 22: काँच स्लैब से निर्गत किरण

काँच स्लैब से निर्गत किरण आपतित किरण के समांतर क्यों?

हल: पहली सतह पर अभिलंब की ओर एवं दूसरी (समांतर) सतह पर अभिलंब से दूर झुकाव बराबर एवं विपरीत होते हैं, अतः निर्गत किरण आपतित के समांतर, केवल पार्श्व-खिसकी।

उदाहरण 23: NCERT — अवतल लेंस संख्यात्मक

अवतल लेंस f = 15 cm 10 cm पर प्रतिबिंब बनाता है। वस्तु दूरी व आवर्धन ज्ञात कीजिए।

हल: $v=-10$, $f=-15$। $\dfrac{1}{u} = -\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15} = -\dfrac{1}{30}$, अतः $u=-30$ cm। $m = \dfrac{v}{u} = +0.33$ (आभासी, सीधा, छोटा)।

उदाहरण 24: NCERT — उत्तल लेंस संख्यात्मक

2.0 cm वस्तु उत्तल लेंस (f = 10 cm) से 15 cm पर। v, m, आकार, प्रकृति ज्ञात कीजिए।

हल: $u=-15$, $f=+10$। $\dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{30}$, अतः $v=+30$ cm। $m = \dfrac{v}{u} = -2$, $h' = -4.0$ cm। वास्तविक, उल्टा, बड़ा (2×), 4 cm, 30 cm दूसरी ओर।

उदाहरण 25: NCERT अभ्यास — अभिसारी लेंस, वस्तु 25 cm पर

5 cm वस्तु अभिसारी लेंस (f = 10 cm) से 25 cm पर। प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए।

हल: $u=-25$, $f=+10$। $\dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{25} = \dfrac{3}{50}$, अतः $v=+16.7$ cm। $m = -0.67$, $h' = -3.3$ cm। वास्तविक, उल्टा, छोटा, ~3.3 cm।

उदाहरण 26: NCERT अभ्यास — अवतल लेंस, प्रतिबिंब 10 cm पर

अवतल लेंस f = 15 cm 10 cm पर प्रतिबिंब बनाता है। वस्तु दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: $v=-10$, $f=-15$। $\dfrac{1}{u} = -\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15} = -\dfrac{1}{30}$, अतः $u=-30$ cm।

उदाहरण 27: NCERT — 1 डाइऑप्टर परिभाषित कीजिए

1 डाइऑप्टर परिभाषित कीजिए।

हल: एक डाइऑप्टर उस लेंस की क्षमता है जिसकी फोकस दूरी 1 मीटर हो; $1\ \text{D} = 1\ \text{m}^{-1}$।

उदाहरण 28: NCERT — अवतल लेंस की क्षमता (f = 2 m)

2 m फोकस दूरी के अवतल लेंस की क्षमता ज्ञात कीजिए।

हल: $f = -2$ m, अतः $P = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{-2} = -0.5$ D।

उदाहरण 29: NCERT अभ्यास — -2.0 D से फोकस दूरी

-2.0 D क्षमता के लेंस की फोकस दूरी एवं प्रकार ज्ञात कीजिए।

हल: $f = \dfrac{1}{-2.0} = -0.5$ m $= -50$ cm; यह अवतल लेंस है।

उदाहरण 30: NCERT अभ्यास — सुधार-लेंस +1.5 D

+1.5 D क्षमता का लेंस। फोकस दूरी एवं प्रकार ज्ञात कीजिए।

हल: $f = \dfrac{1}{1.5} = +0.67$ m $\approx +67$ cm; यह उत्तल (अभिसारी) लेंस है।

उदाहरण 31: NCERT — वास्तविक, बराबर-आकार प्रतिबिंब (उत्तल लेंस)

उत्तल लेंस से वस्तु के बराबर आकार का वास्तविक प्रतिबिंब पाने हेतु वस्तु कहाँ रखें?

हल: 2F₁ (फोकस दूरी की दुगुनी) पर। प्रतिबिंब 2F₂ पर, बराबर आकार, वास्तविक व उल्टा बनता है।

उदाहरण 32: लेंसों का संयोजन

+2.0 D एवं +0.25 D के दो लेंस संपर्क में हैं। कुल क्षमता व फोकस दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: $P = 2.0 + 0.25 = +2.25$ D; $f = \dfrac{1}{2.25} \approx +0.44$ m (उत्तल संयोजन)।

उदाहरण 33: उत्तल लेंस, वस्तु 2F पर

f = 10 cm के उत्तल लेंस से 20 cm पर वस्तु। v एवं आवर्धन ज्ञात कीजिए।

हल: $u=-20$, $f=+10$। $\dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{20}$, अतः $v=+20$ cm। $m = \dfrac{v}{u} = -1$ (वास्तविक, उल्टा, बराबर आकार — वस्तु 2F पर)।