लेंस सूत्र, आवर्धन एवं चिह्न परिपाटी

लेंसों के लिए चिह्न परिपाटी

आरेख के अंग्रेज़ी लेबलों के हिन्दी अर्थ:

English (in image)	हिन्दी
Optical centre (O)	प्रकाशिक केंद्र (O)
Object distance (u)	वस्तु दूरी (u)
Image distance (v)	प्रतिबिंब दूरी (v)
Focal length (f)	फोकस दूरी (f)

लेंस दर्पणों के समान नई कार्तीय चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हैं, परंतु सभी दूरियाँ प्रकाशिक केंद्र O से मापी जाती हैं:

• वस्तु बाईं ओर होती है, अतः $u$ ऋणात्मक है।
• आपतित प्रकाश की दिशा में (दाईं ओर) मापी दूरियाँ धनात्मक; इसके विपरीत (बाईं ओर) ऋणात्मक।
• अक्ष के ऊपर की ऊँचाइयाँ धनात्मक; नीचे की ऋणात्मक।

महत्वपूर्ण:

• उत्तल लेंस: फोकस दूरी $f$ धनात्मक।
• अवतल लेंस: फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक।

लेंस सूत्र

लेंस की वस्तु दूरी ($u$), प्रतिबिंब दूरी ($v$) एवं फोकस दूरी ($f$) लेंस सूत्र से संबंधित हैं: $$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$$

ऋण चिह्न पर ध्यान दें — यह दर्पण सूत्र (जिसमें जोड़ है) से मुख्य अंतर है। लेंस सूत्र सभी लेंसों एवं सभी वस्तु स्थितियों के लिए, सही चिह्नों के साथ काम करता है।

[NEET महत्वपूर्ण] तुलना करें: दर्पण $\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$; लेंस $\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$। इन्हें मिलाना सबसे सामान्य परीक्षा-भूल है।

लेंसों के लिए आवर्धन

लेंस के लिए आवर्धन पुनः प्रतिबिंब ऊँचाई एवं वस्तु ऊँचाई का अनुपात है, तथा $v$ व $u$ से संबंधित है: $$m = \frac{h'}{h} = \frac{v}{u}$$

(ध्यान दें: लेंस के लिए यह $+\dfrac{v}{u}$ है, बिना ऋण चिह्न के, दर्पण के $-\dfrac{v}{u}$ के विपरीत।)

चिह्न पढ़ना:

• $m$ धनात्मक → प्रतिबिंब आभासी एवं सीधा (F के भीतर वस्तु वाला उत्तल लेंस, या कोई भी अवतल लेंस)।
• $m$ ऋणात्मक → प्रतिबिंब वास्तविक एवं उल्टा।
• $|m| > 1$ बड़ा; $|m| < 1$ छोटा।

मुख्य बिंदु: लेंस आवर्धन $m = \dfrac{v}{u}$ (बिना ऋण)। दर्पण आवर्धन $m = -\dfrac{v}{u}$।

स्मृति कैप्सूल — खंड 7

त्वरित पुनरावृत्ति: लेंस सूत्र एवं आवर्धन।

1. चिह्न परिपाटी: O से मापें; $u$ ऋणात्मक; उत्तल $f$ धनात्मक, अवतल $f$ ऋणात्मक। 2. लेंस सूत्र: $\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$ (ऋण पर ध्यान — दर्पण के विपरीत)। 3. आवर्धन: $m = \frac{h'}{h} = \frac{v}{u}$ (बिना ऋण, दर्पण के विपरीत)। 4. $m>0$ आभासी/सीधा; $m<0$ वास्तविक/उल्टा; $|m|>1$ बड़ा। 5. याद रखें: दर्पण में $+$ एवं $-v/u$; लेंस में $-$ एवं $+v/u$।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: NCERT — अवतल लेंस (उदाहरण 9.3)

एक अवतल लेंस की फोकस दूरी 15 cm है। वस्तु को कितनी दूरी पर रखें कि प्रतिबिंब लेंस से 10 cm पर बने? आवर्धन ज्ञात कीजिए।

हल: दिया: $v = -10$ cm (आभासी, उसी ओर), $f = -15$ cm (अवतल)।

$\dfrac{1}{u} = \dfrac{1}{v} - \dfrac{1}{f} = -\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{-3 + 2}{30} = \dfrac{-1}{30}$

$$u = -30\ \text{cm}$$

वस्तु लेंस से 30 cm पर है। आवर्धन: $m = \dfrac{v}{u} = \dfrac{-10}{-30} = +0.33$।

धनात्मक $m$ दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी एवं सीधा, वस्तु का एक-तिहाई आकार है।

सार: अवतल लेंस धनात्मक m (आभासी, सीधा) एवं छोटा प्रतिबिंब देता है।

उदाहरण 2: NCERT — उत्तल लेंस (उदाहरण 9.4)

2.0 cm लंबी वस्तु उत्तल लेंस (फोकस दूरी 10 cm) से 15 cm पर रखी है। प्रतिबिंब की प्रकृति, स्थिति, आकार एवं आवर्धन ज्ञात कीजिए।

हल: दिया: $h = +2.0$ cm, $u = -15$ cm, $f = +10$ cm (उत्तल)।

$\dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{f} + \dfrac{1}{u} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{15} = \dfrac{3 - 2}{30} = \dfrac{1}{30}$

$$v = +30\ \text{cm}$$

धनात्मक $v$ ⇒ प्रतिबिंब दूसरी ओर, वास्तविक एवं उल्टा।

आवर्धन: $m = \dfrac{v}{u} = \dfrac{+30}{-15} = -2$। ऊँचाई $h' = m \cdot h = -2 \times 2.0 = -4.0$ cm।

अतः प्रतिबिंब वास्तविक, उल्टा, बड़ा (2×), 4.0 cm लंबा, लेंस से 30 cm पर है।

सार: ऋणात्मक m व h' वास्तविक, उल्टा प्रतिबिंब की पुष्टि करते हैं; |m| = 2 दुगुना बड़ा।

उदाहरण 3: NCERT अभ्यास — अभिसारी लेंस, वस्तु 25 cm पर

5 cm लंबी वस्तु अभिसारी लेंस (फोकस दूरी 10 cm) से 25 cm पर रखी है। प्रतिबिंब की स्थिति, आकार एवं प्रकृति ज्ञात कीजिए।

हल: दिया: $h = +5$ cm, $u = -25$ cm, $f = +10$ cm।

$\dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{25} = \dfrac{5 - 2}{50} = \dfrac{3}{50}$

$$v = +16.67\ \text{cm} \approx +16.7\ \text{cm}$$

$m = \dfrac{v}{u} = \dfrac{16.7}{-25} = -0.67$; ऊँचाई $h' = -0.67 \times 5 = -3.3$ cm।

प्रतिबिंब वास्तविक, उल्टा एवं छोटा, लगभग 3.3 cm लंबा, 16.7 cm दूसरी ओर।

सार: 2F के परे वस्तु (25 > 20) छोटा, वास्तविक, उल्टा प्रतिबिंब देती है।

उदाहरण 4: NCERT अभ्यास — अवतल लेंस, प्रतिबिंब 10 cm पर

15 cm फोकस दूरी का अवतल लेंस लेंस से 10 cm पर प्रतिबिंब बनाता है। वस्तु लेंस से कितनी दूर है?

हल: दिया: $v = -10$ cm, $f = -15$ cm।

$\dfrac{1}{u} = \dfrac{1}{v} - \dfrac{1}{f} = -\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{-1}{30}$

$$u = -30\ \text{cm}$$

वस्तु लेंस से 30 cm पर रखी है।

सार: उदाहरण 9.3 जैसा — अवतल लेंस वस्तु व लेंस के बीच आभासी प्रतिबिंब बनाता है।

उदाहरण 5: आवर्धन एवं प्रतिबिंब ऊँचाई

एक उत्तल लेंस 2 cm लंबी वस्तु का $m = -3$ आवर्धन का प्रतिबिंब बनाता है। प्रतिबिंब की ऊँचाई एवं प्रकृति क्या है?

हल: प्रतिबिंब ऊँचाई: $h' = m \cdot h = -3 \times 2 = -6$ cm।

चूँकि $m$ ऋणात्मक है, प्रतिबिंब वास्तविक एवं उल्टा; $|m| = 3 > 1$, अतः बड़ा।

प्रतिबिंब 6 cm लंबा, वास्तविक, उल्टा एवं 3× बड़ा है।

सार: $h' = m \times h$; m का चिह्न वास्तविक/आभासी बताता है, उसका आकार बड़ा/छोटा।