औसत आयु और आयु के प्रश्न

समय के साथ औसत आयु

आयु भी बाकी संख्याओं जैसी ही है। औसत के बारे में अब तक जो कुछ पढ़ा है, वह सब यहाँ भी लागू होता है। नई बात केवल एक है, समय। हर साल हर व्यक्ति एक वर्ष बड़ा हो जाता है।

अगर समूह में वही लोग हैं, न कोई जुड़ा है और न कोई हटा है, तो दो बातें याद रखिए।

• n वर्ष बाद हर व्यक्ति की आयु n वर्ष बढ़ जाती है, तो औसत भी n बढ़ जाता है। योग में (लोगों की संख्या) × n जुड़ जाता है।
• n वर्ष पहले औसत n कम था, और योग (लोगों की संख्या) × n कम था।

मान लीजिए 5 सदस्यों वाले एक परिवार की आज औसत आयु 26 वर्ष है। तब अलग-अलग समय पर औसत और योग ऐसे होंगे।

एक आम प्रश्न। अक्सर पूछा जाता है, "तीन वर्ष पहले 6 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 21 वर्ष थी। अब उनकी आयु का योग कितना है?" 6 में से हर सदस्य 3 वर्ष बड़ा हो गया है, तो अब औसत 24 है। योग = 6 × 24 = 144। कई छात्र यहाँ पुराने योग में केवल 3 जोड़ देते हैं और 6 × 21 + 3 = 129 लिख देते हैं। पर 3 वर्ष तो हर सदस्य के बढ़े हैं, इसलिए योग 6 × 3 = 18 बढ़ता है।

एक समय से दूसरे समय पर। जैसे, "5 वर्ष बाद 4 मित्रों की औसत आयु 30 वर्ष होगी। 2 वर्ष पहले उनकी औसत आयु कितनी थी?" यहाँ योग निकालने की ज़रूरत ही नहीं है। सीधे औसत को ही पीछे ले जाइए। 5 वर्ष बाद से आज पर आने के लिए 5 घटाइए, और आज से 2 वर्ष पहले जाने के लिए 2 और। 30 − 5 − 2 = 23 वर्ष। चाहें तो एक ही कदम में कर लीजिए। "2 वर्ष पहले" और "5 वर्ष बाद" के बीच 7 वर्ष का फ़ासला है, तो 30 − 7 = 23।

दो योगों से एक व्यक्ति की आयु। यह प्रश्न देखिए, "A और B की वर्तमान औसत आयु 28 वर्ष है। अब से तीन वर्ष बाद A, B और C की औसत आयु 33 वर्ष होगी। C की आयु कितनी है?" तीन वर्ष बाद तीनों का योग 3 × 33 = 99 होगा। तब तक तीनों में से हर एक 3 वर्ष बड़ा हो चुका होगा, तो आज उनका योग 99 − 9 = 90 है। A और B का योग आज 56 है, इसलिए C = 90 − 56 = 34।

जब औसत न बदले। कभी प्रश्न में लिखा होता है कि औसत आयु आज भी उतनी ही है जितनी कुछ वर्ष पहले थी। तब समझ लीजिए कि समूह में वही लोग हो ही नहीं सकते, क्योंकि समय के साथ तो औसत बढ़ना ही था। कोई सदस्य हट गया होगा या उसकी मृत्यु हो गई होगी, या किसी बड़े सदस्य के स्थान पर छोटा सदस्य आ गया होगा, या फिर किसी बच्चे का जन्म हुआ होगा। आगे के भागों में ये स्थितियाँ एक-एक करके देखेंगे।

महीने। आयु वाले प्रश्नों में अक्सर महीने दिए होते हैं। 6 महीने = 0.5 वर्ष, 4 महीने = $\frac{1}{3}$ वर्ष और 3 महीने = 0.25 वर्ष। किसी संख्या से गुणा करने से पहले महीनों को वर्षों में बदल लीजिए।

जन्म, मृत्यु, जाना, बहू का आना

इन प्रश्नों में समूह ही बदल जाता है। कोई नया आता है, कोई चला जाता है। ऐसे में कोई एक समय तय कर लीजिए, प्रायः आज का, और सारे योग उसी समय के लेकर काम कीजिए।

बच्चे का जन्म। प्रश्न ऐसा होता है, "चार वर्ष पहले 5 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 22 वर्ष थी। तब से एक बच्चे का जन्म हुआ है, और आज भी परिवार की औसत आयु 22 वर्ष ही है। बच्चे की आयु कितनी है?" यह तीन कदम में हो जाता है।

• 5 पुराने सदस्यों का योग चार वर्ष पहले 5 × 22 = 110 था। तब से हर एक 4 वर्ष बड़ा हुआ, तो आज उनका योग 110 + 5 × 4 = 130 है।
• आज परिवार में 6 सदस्य हैं, और उनका योग 6 × 22 = 132 है।
• बच्चे की आयु = 132 − 130 = 2 वर्ष।

इसकी जाँच तुरंत हो जाती है। बच्चे का जन्म 4 वर्ष से कम पहले हुआ है, तो उसकी आयु 4 से कम ही होगी। उत्तर इससे बड़ा आए, तो समझ लीजिए कि कोई योग गलत समय का ले लिया गया है।

सदस्य की मृत्यु। अब यह प्रश्न देखिए, "छह वर्ष पहले 6 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 31 वर्ष थी। तब से दादी की मृत्यु हो चुकी है, और आज बाकी 5 सदस्यों की औसत आयु 30 वर्ष है। छह वर्ष पहले दादी की आयु कितनी थी?"

• बाकी 5 सदस्यों का योग आज 5 × 30 = 150 है। छह वर्ष पहले हर एक 6 वर्ष छोटा था, तो तब उनका योग 150 − 30 = 120 था।
• छह वर्ष पहले परिवार के 6 सदस्यों का योग 6 × 31 = 186 था।
• तो छह वर्ष पहले दादी की आयु 186 − 120 = 66 वर्ष थी। अगर उनकी मृत्यु दो वर्ष पहले हुई हो, तो मृत्यु के समय वे 70 वर्ष की थीं।

सदस्य का जाना। "5 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 30 वर्ष है। बेटी के कॉलेज चले जाने पर बाकी 4 सदस्यों की औसत आयु 33 वर्ष हो जाती है।" यहाँ सब कुछ आज का ही है। बेटी = 5 × 30 − 4 × 33 = 150 − 132 = 18 वर्ष। औसत बढ़ गया है, और इसकी वजह यही है कि परिवार का एक कम आयु वाला सदस्य चला गया।

बहू का आना। "4 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 38 वर्ष है। बेटे के विवाह के बाद 5 सदस्यों वाले परिवार की औसत आयु 36 वर्ष है।" बहू की आयु = 5 × 36 − 4 × 38 = 180 − 152 = 28 वर्ष।

तेज़ सूत्र। मान लीजिए n लोगों का औसत a है। एक व्यक्ति जुड़ता है और औसत c बदल जाता है। औसत घटे, तो c को ऋणात्मक लीजिए। तब

$$\text{नया सदस्य} = a + (n + 1)c$$

बहू वाले प्रश्न में औसत 2 घटा है, तो 38 + 5 × (−2) = 28।

इसी तरह n लोगों के समूह से एक व्यक्ति चला जाए और औसत c बदल जाए, तो

$$\text{जाने वाला सदस्य} = a - (n - 1)c$$

बेटी वाले प्रश्न में इससे 30 − 4 × 3 = 18 आता है।

दोनों सूत्रों में बात एक ही है। औसत में जितना परिवर्तन हुआ, उसे लोगों की संख्या से गुणा कर दीजिए। "औसत में परिवर्तन: जुड़ना, हटना, प्रतिस्थापन और त्रुटियाँ" वाले पूरे खंड में भी यही बात काम आती है।

[SSC टिप] जोड़ने या घटाने से पहले हर योग को एक ही समय पर ले आइए। इन प्रश्नों में सबसे आम चूक यही है कि चार वर्ष पहले वाला योग और आज का योग आपस में मिला दिए जाते हैं।

शिक्षक और नए विद्यार्थी

कक्षा और उसके शिक्षक की आयु वाला प्रश्न SSC में अक्सर आता है।

शिक्षक को शामिल करना। जैसे, "32 विद्यार्थियों की औसत आयु 13 वर्ष है। शिक्षक की आयु को शामिल करने पर औसत 14 वर्ष हो जाता है।" शिक्षक को मिलाकर अब 33 लोग हैं। शिक्षक = 33 × 14 − 32 × 13 = 462 − 416 = 46 वर्ष।

इसका छोटा रास्ता भी है। शिक्षक की आयु को दो हिस्सों में देखिए। 14 वर्ष तो उनका अपना हिस्सा है, जो नया औसत है। इसके ऊपर 32 विद्यार्थियों में से हर एक के लिए 1-1 वर्ष और चाहिए, तभी सबका औसत 1 बढ़ पाएगा। तो 14 + 32 × 1 = 46। चाहें तो पुराने औसत से भी शुरू कर सकते हैं, 13 + 33 × 1 = 46।

शिक्षक की आयु दी हो। कभी शिक्षक की आयु दी होती है और पुराना औसत पूछा जाता है। जैसे, "8 प्रशिक्षुओं की औसत आयु, उनके 47 वर्षीय प्रशिक्षक की आयु को शामिल करने पर 3 वर्ष बढ़ जाती है। प्रशिक्षुओं की औसत आयु कितनी थी?" प्रशिक्षक को मिलाकर 9 लोग हैं और औसत 3 बढ़ा है, तो प्रशिक्षक की आयु = पुराना औसत + 9 × 3। इसलिए पुराना औसत = 47 − 27 = 20 वर्ष।

शिक्षक को छोड़कर। "24 विद्यार्थियों और उनके शिक्षक की औसत आयु 16 वर्ष है। शिक्षक को छोड़कर औसत 15 वर्ष है।" यहाँ 25 लोगों के योग में से 24 विद्यार्थियों का योग घटाइए। शिक्षक = 25 × 16 − 24 × 15 = 400 − 360 = 40 वर्ष।

शिक्षक का प्रतिस्थापन। "40 विद्यार्थियों और उनके शिक्षक की औसत आयु 16 वर्ष है। 58 वर्ष के शिक्षक सेवानिवृत्त होते हैं और एक नए शिक्षक आते हैं। औसत 6 महीने घट जाता है।" कुल 41 लोग हैं। औसत 0.5 वर्ष घटा, तो योग 41 × 0.5 = 20.5 वर्ष घटा। बदले केवल शिक्षक हैं, तो नए शिक्षक की आयु = 58 − 20.5 = 37.5 वर्ष, यानी 37 वर्ष 6 महीने।

नए विद्यार्थियों का जुड़ना। "40 विद्यार्थियों की औसत आयु 15 वर्ष है। 8 नए विद्यार्थियों के जुड़ने पर औसत 3 महीने घट जाता है।" नया औसत 14.75 वर्ष है और अब 48 विद्यार्थी हैं। नया योग 48 × 14.75 = 708 है, और पुराना योग 40 × 15 = 600। तो 8 नए विद्यार्थियों का योग 108 है, और उनका औसत 108 ÷ 8 = 13.5 वर्ष।

इसका भी तेज़ तरीका है। नए विद्यार्थियों का औसत = नया औसत − (पुरानी संख्या × कमी) ÷ नए विद्यार्थियों की संख्या। यहाँ 14.75 − 40 × 0.25 ÷ 8 = 14.75 − 1.25 = 13.5।

विद्यार्थियों का जाना। "36 विद्यार्थियों की औसत आयु 13 वर्ष है। 16 वर्ष औसत आयु वाले छह विद्यार्थी चले जाते हैं।" बाकी विद्यार्थियों का योग 36 × 13 − 6 × 16 = 468 − 96 = 372 वर्ष है। अब 30 विद्यार्थी बचे हैं, तो उनका औसत 12.4 वर्ष है।

[SSC टिप] शिक्षक को गिनना कभी न भूलिए। "32 विद्यार्थी और एक शिक्षक" मतलब 33 लोग। ज़्यादातर गलत विकल्प वही होते हैं जो 33 की जगह 32 से गुणा करने पर आते हैं।

समय के साथ प्रतिस्थापन

कुछ वर्ष बाद भी वही औसत। यह प्रश्न देखिए, "9 सदस्यों वाली एक समिति की औसत आयु आज भी उतनी ही है जितनी 4 वर्ष पहले थी, क्योंकि एक पुराने सदस्य के स्थान पर एक कम आयु का सदस्य आ गया है। नया सदस्य, हटाए गए सदस्य से कितने वर्ष छोटा है?" 4 वर्ष में 9 सदस्यों का योग 9 × 4 = 36 वर्ष बढ़ना चाहिए था। पर योग बिलकुल नहीं बढ़ा। मतलब सदस्यों की अदला-बदली से योग ठीक 36 वर्ष घट गया। तो नया सदस्य पुराने सदस्य से 36 वर्ष छोटा है। यह अंतर दोनों की आज की आयु का है।

समय से कम बढ़त। "8 सदस्यों वाले एक बोर्ड की औसत आयु 5 वर्ष पहले की तुलना में 2 वर्ष अधिक है, यद्यपि एक सदस्य बदल दिया गया है।" 5 वर्ष में समय के कारण योग में 8 × 5 = 40 वर्ष जुड़ने थे। पर योग केवल 8 × 2 = 16 बढ़ा। बाकी 24 वर्ष सदस्य बदलने से घट गए, तो नया सदस्य हटाए गए सदस्य से 24 वर्ष छोटा है।

दो सदस्यों का प्रतिस्थापन। "22 और 25 वर्ष के दो खिलाड़ियों के स्थान पर दो नए खिलाड़ी आने से 12 खिलाड़ियों की औसत आयु 1.5 वर्ष बढ़ जाती है।" योग 12 × 1.5 = 18 वर्ष बढ़ा। तो नई जोड़ी का योग 22 + 25 + 18 = 65 है, और उनका औसत 32.5 वर्ष। ऐसे सीधे प्रतिस्थापन वाले प्रश्न "औसत में परिवर्तन" वाले खंड में विस्तार से दिए गए हैं।

कप्तान और विकेटकीपर। यह प्रश्न देखिए, "11 सदस्यों वाली एक क्रिकेट टीम का कप्तान 31 वर्ष का है और विकेटकीपर उससे 3 वर्ष बड़ा है। यदि इन दोनों को छोड़ दिया जाए, तो बाकी 9 खिलाड़ियों की औसत आयु पूरी टीम की औसत आयु से 1 वर्ष कम है। टीम की औसत आयु ज्ञात कीजिए।" विकेटकीपर 34 वर्ष का है। टीम का औसत A मान लीजिए। तब पूरी टीम का योग 11A है, और बाकी 9 खिलाड़ियों का योग 9(A − 1)। पूरी टीम के योग में से कप्तान और विकेटकीपर को घटाइए, तो बाकी 9 का योग बचता है।

$$11A - 31 - 34 = 9(A - 1)$$

इससे $11A - 65 = 9A - 9$ आता है, यानी $2A = 56$। तो A = 28 वर्ष। जाँच भी कर लेते हैं। टीम का योग 308 है। बाकी 9 का योग 308 − 65 = 243 है, और 243 ÷ 9 = 27, जो 28 से एक कम है।

इसे जल्दी करना हो, तो ऐसे सोचिए। अगर छोड़े गए दोनों खिलाड़ियों की आयु ठीक टीम के औसत के बराबर होती, तो उनका योग 2A होता, और बाकी 9 का औसत भी A ही रहता। पर बाकी 9 का औसत A से 1 वर्ष कम है, यानी उनका योग 9A से 9 वर्ष कम है। पूरी टीम का योग तो 11A ही है, इसलिए इन 9 वर्षों की भरपाई उन दोनों से होती है। मतलब दोनों का योग 2A से 9 वर्ष अधिक है। उनकी आयु मिलाकर 65 वर्ष है, तो 65 = $2A + 9$, और $2A = 65 - 9 = 56$।

कुल मिलाकर दो बातें याद रखिए। अगर औसत उतना ही है जितना n वर्ष पहले था, तो नया सदस्य हटाए गए सदस्य से (सदस्यों की संख्या × n) वर्ष छोटा है। अगर औसत केवल r बढ़ा है, तो वह (सदस्यों की संख्या × (n − r)) वर्ष छोटा है।

पति, पत्नी, बच्चे: अलग समय

कई प्रश्नों में अलग-अलग लोगों के औसत अलग-अलग समय के दिए होते हैं। तरीका एक ही है। हर योग को आज पर लाइए, फिर घटाइए।

विवाह, फिर बच्चा। "विवाह के समय पति और पत्नी की औसत आयु 24 वर्ष थी। छह वर्ष बाद उनका 3 वर्ष का एक बच्चा है। अब परिवार की औसत आयु कितनी है?"

• विवाह के समय दंपती का योग 2 × 24 = 48 था।
• छह वर्ष बाद दोनों में से हर एक 6 वर्ष बड़ा हो गया, तो योग 48 + 12 = 60 हुआ।
• बच्चे को जोड़कर परिवार का योग 63 है, और परिवार में 3 लोग हैं। औसत = 63 ÷ 3 = 21 वर्ष।

यहाँ आम गलती यह है कि दंपती के योग में केवल 6 जोड़ दिया जाता है। तब 57 ÷ 3 = 19 आता है, और 19 वाला विकल्प प्रायः दिया होता है।

तीन लोग, दो समय। "दो वर्ष पहले एक व्यक्ति, उसकी पत्नी और उनकी बेटी की औसत आयु 25 वर्ष थी। चार वर्ष पहले पत्नी और बेटी की औसत आयु 19 वर्ष थी। व्यक्ति की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।"

• आज तीनों का योग 3 × (25 + 2) = 81 है।
• आज पत्नी और बेटी का योग 2 × (19 + 4) = 46 है।
• व्यक्ति की आयु = 81 − 46 = 35 वर्ष।

माता-पिता और बच्चे। "एक दंपती और उनके दो बच्चों की औसत आयु 25 वर्ष है। दंपती की औसत आयु 39 वर्ष है, और बड़ा बच्चा छोटे से 4 वर्ष बड़ा है।" परिवार का योग 4 × 25 = 100 है, और दंपती का 2 × 39 = 78। तो दोनों बच्चों का योग 22 है। दोनों की आयु में 4 वर्ष का अंतर है और योग 22 है, तो बच्चे 9 और 13 वर्ष के हैं।

बच्चे के जन्म से पहले और बाद। "पाँच वर्ष पहले पति और पत्नी की औसत आयु 30 वर्ष थी। आज पति, पत्नी और उनके बच्चे की औसत आयु 24 वर्ष है। बच्चे की आयु कितनी है?" पति-पत्नी का औसत आज 35 है, तो उनका योग 2 × 35 = 70। आज परिवार का योग 3 × 24 = 72 है। तो बच्चा 2 वर्ष का है।

दादा-दादी भी हों तो। बड़े परिवारों में भी यही कदम हैं। हर औसत को आज पर लाइए, उससे योग निकालिए, और जिन लोगों की आयु पहले से पता है, उन्हें घटा दीजिए। जैसे दादा, पिता और पुत्र की आज औसत आयु 46 वर्ष है, और पिता और पुत्र का औसत 32 वर्ष। तो दादा = 3 × 46 − 2 × 32 = 138 − 64 = 74 वर्ष।

योग, अंतर और गुना वाले समीकरण

कुछ आयु वाले प्रश्नों में औसत होता ही नहीं। उनमें आयु का योग, अंतर, गुणनफल या "… गुनी आयु" जैसी बातें दी होती हैं। ऐसे में छोटे व्यक्ति की आयु के लिए एक अक्षर मान लीजिए, और बाकी सबकी आयु उसी अक्षर में लिखिए।

एक बात हमेशा याद रखिए, दो लोगों की आयु का अंतर कभी नहीं बदलता।

योग और अंतर। "A, B से 8 वर्ष बड़ा है, और उनकी आयु का योग 52 है।" यहाँ B छोटा है, तो A की आयु B से 8 अधिक लिखिए। तब $2B + 8 = 52$, यानी B = 22 और A = 30। और जल्दी करना हो, तो बड़े की आयु = (योग + अंतर) का आधा। यहाँ (52 + 8) ÷ 2 = 30।

किसी दूसरे समय पर "गुना"। "एक व्यक्ति अपने पुत्र से 24 वर्ष बड़ा है। दो वर्ष पहले उसकी आयु अपने पुत्र की आयु की तीन गुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।" पुत्र की आयु S मान लीजिए, तो व्यक्ति की आयु $S + 24$ है। दो वर्ष पहले दोनों की आयु $S - 2$ और $S + 22$ थी। अब शर्त लिखिए।

$$S + 22 = 3(S - 2)$$

इससे $S + 22 = 3S - 6$, यानी $2S = 28$। पुत्र 14 वर्ष का है और व्यक्ति 38 का। जाँच कर लीजिए, दो वर्ष पहले वे 12 और 36 के थे, और 36 तो 12 का तीन गुना है।

दो शर्तें। "पिता की आयु अपने पुत्र की आयु के तीन गुने से 3 वर्ष अधिक है। अब से तीन वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु के दोगुने से 10 वर्ष अधिक होगी।" पहली शर्त से $F = 3S + 3$। तीन वर्ष बाद वाली शर्त $3S + 6 = 2(S + 3) + 10$ है। इसे हल करने पर पुत्र 10 वर्ष का और पिता 33 का निकलता है।

आयु का गुणनफल। "दो बहनों की आयु में 3 वर्ष का अंतर है और उनकी आयु का गुणनफल 270 है।" दोनों की आयु $\sqrt{270}$ के आसपास होगी, जो 16 से थोड़ा अधिक है। उसके पास की संख्याएँ आज़माइए। 15 × 18 = 270, तो बहनें 15 और 18 वर्ष की हैं। द्विघात समीकरण हल करने के बजाय विकल्पों को परख लेना प्रायः जल्दी होता है।

[Tier 2] दो समयों पर गुणनफल। मान लीजिए आज दोनों की आयु a और b है। n वर्ष पहले उनकी आयु का गुणनफल होगा

$$(a - n)(b - n) = ab - n(a + b) + n^2$$

इसलिए अगर आज का गुणनफल और n वर्ष पहले का गुणनफल, दोनों दिए हों, तो इनसे सीधे योग $a + b$ निकल आता है।

अंक उलटे। "पिता की आयु और उसके पुत्र की आयु में वही दो अंक उलटे क्रम में हैं। उनकी आयु का योग 77 है और अंतर 45 है।" दोनों आयु को $10a + b$ और $10b + a$ लिखिए। योग $11(a + b) = 77$ है, तो $a + b = 7$। अंतर $9(a - b) = 45$ है, तो $a - b = 5$। इनसे a = 6 और b = 1, यानी पिता 61 वर्ष के हैं और पुत्र 16 वर्ष का।

उलटे अंकों वाली दो आयु का योग हमेशा 11 का गुणज होता है, और अंतर हमेशा 9 का गुणज। इसी से कई विकल्प तुरंत हट जाते हैं।

जिन प्रश्नों में "गुना" अनुपात के रूप में लिखा हो, जैसे कुछ वर्ष बाद A : B = 3 : 1, वे अध्याय 4 (अनुपात, समानुपात और साझेदारी) की इकाई विधि से जल्दी होते हैं।

[SSC टिप] "n वर्ष पहले उसकी आयु k गुनी थी" जैसे प्रश्न में गुणा करने से पहले दोनों की आयु n वर्ष पीछे ले जाइए। आम चूक यह है कि केवल पुत्र की आयु पीछे ले जाकर $S + 24 = 3(S - 2)$ लिख दिया जाता है।

भाई-बहन और आयु का अंतराल

बराबर अंतराल पर जन्मे भाई-बहन। अगर बच्चे एक तय अंतराल पर जन्मे हैं, तो उनकी आयु में बराबर-बराबर का अंतर होता है। ऐसे में औसत आयु बीच वाले बच्चे की आयु के बराबर होती है।

• 2-2 वर्ष के अंतराल पर जन्मे 5 बच्चों की औसत आयु 10 वर्ष है, तो तीसरा बच्चा 10 वर्ष का है। सबकी आयु 6, 8, 10, 12 और 14 है, यानी सबसे छोटा 6 वर्ष का है और सबसे बड़ा 14 का।
• बच्चों की संख्या सम हो, तो औसत दोनों बीच वाले बच्चों के ठीक बीच में आता है। 3-3 वर्ष के अंतराल पर जन्मे 4 भाई-बहनों की औसत आयु 13.5 वर्ष है, तो बीच वाले दो 12 और 15 के हैं। सबकी आयु 9, 12, 15 और 18 है।
• योग दिया हो, तो पहले उसे बच्चों की संख्या से भाग दीजिए। 2-2 वर्ष के अंतराल पर जन्मे 7 बच्चों की आयु का योग 98 है, तो औसत 14 है। सबसे छोटा 14 − 3 × 2 = 8 वर्ष का है, और सबसे बड़ा 14 + 3 × 2 = 20 का।

सामान्य रूप में, g वर्ष के अंतराल पर जन्मे n बच्चों के लिए

$$\text{सबसे छोटा} = \text{औसत} - \frac{(n - 1)g}{2}, \quad \text{सबसे बड़ा} = \text{औसत} + \frac{(n - 1)g}{2}$$

असमान अंतराल। "तीन बहनों की औसत आयु 15 वर्ष है। सबसे बड़ी बहन बीच वाली से 5 वर्ष बड़ी है, और बीच वाली सबसे छोटी से 2 वर्ष बड़ी है।" सबसे छोटी की आयु y मान लीजिए। तब तीनों की आयु y, $y + 2$ और $y + 7$ है। योग 45 है, तो $3y + 9 = 45$, और y = 12। बहनें 12, 14 और 19 वर्ष की हैं।

दो औसतों से सबसे बड़ा या सबसे छोटा। "चार चचेरे भाई-बहनों की औसत आयु 21 वर्ष है। उनमें से सबसे छोटे तीन की औसत आयु 18 वर्ष है। सबसे बड़े की आयु कितनी है?" चारों का योग 84 है और सबसे छोटे तीन का 54। सबसे बड़ा 84 − 54 = 30 वर्ष का है। सबसे छोटे को छोड़कर औसत दिया हो, तब भी यही तरीका है।

कक्षा में लड़कों और लड़कियों की आयु। यह भारित औसत (weighted average) का प्रश्न है, और इसमें "भारित औसत और संयुक्त समूह" वाले खंड का दूरी वाला नियम लगता है। जैसे, "40 विद्यार्थियों की एक कक्षा में लड़कों की औसत आयु 16 वर्ष, लड़कियों की 14.5 वर्ष और पूरी कक्षा की 15.1 वर्ष है।" लड़कों का औसत कक्षा के औसत से 0.9 ऊपर है और लड़कियों का 0.6 नीचे। अब दूरियों की अदला-बदली कीजिए, तो लड़के : लड़कियाँ = 0.6 : 0.9 = 2 : 3। मतलब कक्षा में 16 लड़के हैं और 24 लड़कियाँ। जाँच कर लीजिए, 16 × 16 + 24 × 14.5 = 256 + 348 = 604 = 40 × 15.1।

[Tier 2] कई चरणों वाले आयु प्रश्न

टियर 2 में ऐसे प्रश्न अक्सर आते हैं जिनमें लोग एक के बाद एक जुड़ते हैं, हटते हैं या बदले जाते हैं। या फिर लंबा समय बीतता है, और बीच में किसी का जन्म होता है और किसी की मृत्यु। इनमें हर बदलाव के बाद नया योग लिख लीजिए, यानी योगों की एक चलती सूची बनाते चलिए।

पहले जुड़ना, फिर प्रतिस्थापन। "A, B और C की औसत आयु 30 वर्ष है। D के उनके साथ जुड़ने पर औसत 28 वर्ष हो जाता है। फिर D से 2 वर्ष छोटा E, A के स्थान पर आता है, और B, C, D तथा E की औसत आयु 26 वर्ष हो जाती है। A की आयु ज्ञात कीजिए।"

• A, B, C का योग 90 है, और D को मिलाकर चारों का 112। तो D = 22, और E उससे 2 वर्ष छोटा, यानी 20।
• B, C, D, E का योग 104 है। इसमें से D और E को हटाइए, तो B और C मिलकर 104 − 22 − 20 = 62।
• A = 90 − 62 = 28 वर्ष।

लंबे समय में जन्म और मृत्यु। "दस वर्ष पहले 5 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 28 वर्ष थी। तब से दादी की, जिनकी आयु उस समय 62 वर्ष थी, मृत्यु हो चुकी है, और एक बच्चे का जन्म हुआ है जो अब 4 वर्ष का है। परिवार की वर्तमान औसत आयु ज्ञात कीजिए।"

• मान लीजिए पाँचों आज भी जीवित होते। तब आज उनका योग 140 + 5 × 10 = 190 होता।
• अब दादी की वह आयु घटाइए जो आज उनकी होती, यानी 62 + 10 = 72। 190 − 72 = 118।
• बच्चे को जोड़िए, 118 + 4 = 122। परिवार में अब 5 लोग हैं, तो औसत 24.4 वर्ष है।

मृत्यु कब हुई, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता। जो आयु आज होती, उसे घटाने से वही नतीजा आता है जो साल-दर-साल पूरा हिसाब रखने पर आता।

समय और प्रतिस्थापन साथ-साथ। "तीन वर्ष पहले 5 सदस्यों वाली एक समिति की औसत आयु 40 वर्ष थी। तब से एक सदस्य, जो आज 55 वर्ष का है, के स्थान पर एक ऐसा सदस्य आया है जो आज 35 वर्ष का है। समिति की वर्तमान औसत आयु ज्ञात कीजिए।" अगर कोई बदलाव न होता, तो आज समिति का योग 200 + 15 = 215 होता। अदला-बदली में 55 वाला सदस्य हटा और 35 वाला आया, तो 215 − 55 + 35 = 195। औसत = 195 ÷ 5 = 39 वर्ष।

दो समूहों का मेल। दो परिवार या दो कक्षाएँ मिलाई जाएँ, तो यह भारित औसत का प्रश्न है। जैसे एक परिवार में 4 सदस्य हैं और उनकी औसत आयु 30 वर्ष है। दूसरे परिवार में 6 सदस्य हैं और औसत आयु 25 वर्ष। दोनों को मिलाकर औसत = (120 + 150) ÷ 10 = 27 वर्ष।

हल किए गए उदाहरण

अब ऊपर वाले तरीकों से कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

चार वर्ष पहले 5 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 24 वर्ष थी। अब से छह वर्ष बाद उनकी आयु का योग कितना होगा?

उत्तर: चार वर्ष पहले से छह वर्ष बाद तक कुल 10 वर्ष होते हैं। इतने में हर सदस्य 10 वर्ष बड़ा होगा, तो औसत भी 10 बढ़कर 34 हो जाएगा। योग = 5 × 34 = 170 वर्ष। जल्दी में कुछ लोग पुराने योग 120 में केवल 10 जोड़कर 130 लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 2

पाँच वर्ष पहले 4 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 23 वर्ष थी। उसके बाद एक बच्चे का जन्म हुआ, और 5 सदस्यों वाले परिवार की वर्तमान औसत आयु अब भी 23 वर्ष है। बच्चे की आयु कितनी है?

उत्तर: पाँच वर्ष पहले 4 सदस्यों का योग 4 × 23 = 92 था। अब हर एक 5 वर्ष बड़ा है, तो आज उनका योग 92 + 20 = 112 है। आज 5 सदस्यों का योग 5 × 23 = 115 है। बच्चे की आयु = 115 − 112 = 3 वर्ष। बच्चे का जन्म 5 वर्ष से कम पहले हुआ है, तो यह उत्तर ठीक है।

प्रश्न 3

6 सदस्यों वाले एक परिवार की वर्तमान औसत आयु 35 वर्ष है। सात वर्ष पहले परिवार में दादा सहित 7 सदस्य थे, और उनकी औसत आयु 34 वर्ष थी। दादा की मृत्यु 3 वर्ष पहले हुई। मृत्यु के समय उनकी आयु कितनी थी?

उत्तर: आज 6 सदस्यों का योग 6 × 35 = 210 है। सात वर्ष पहले हर एक 7 वर्ष छोटा था, तो तब यह योग 210 − 42 = 168 था। सात वर्ष पहले दादा सहित सभी 7 का योग 7 × 34 = 238 था, तो उस समय दादा की आयु 238 − 168 = 70 थी। दादा की मृत्यु 3 वर्ष पहले हुई, यानी सात वर्ष पहले वाले समय के 4 वर्ष बाद। तो मृत्यु के समय वे 74 वर्ष के थे।

प्रश्न 4

6 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 29 वर्ष है। सबसे बड़े बेटे के नौकरी के लिए दूसरे शहर चले जाने पर बाकी 5 सदस्यों की औसत आयु 30.6 वर्ष हो जाती है। बेटे की आयु कितनी है?

उत्तर: सभी 6 का योग 6 × 29 = 174 है, और बाकी 5 का 5 × 30.6 = 153। बेटे की आयु = 174 − 153 = 21 वर्ष। जाँच भी हो जाती है। बेटे के जाने से औसत बढ़ा है, तो उसकी आयु परिवार के औसत से कम होनी चाहिए, और 21 तो 29 से कम है ही।

प्रश्न 5

4 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 41 वर्ष है। बेटे का विवाह होने पर परिवार की औसत आयु 38 वर्ष हो जाती है। बहू की आयु कितनी है?

उत्तर: विवाह से पहले योग 4 × 41 = 164 था, और विवाह के बाद 5 × 38 = 190। बहू की आयु = 190 − 164 = 26 वर्ष। सूत्र से भी यही आता है। 5 लोगों का औसत 3 घटा है, तो बहू = 41 − 5 × 3 = 26।

प्रश्न 6

किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की औसत आयु 13 वर्ष है। शिक्षक की आयु को शामिल करने पर औसत 1 वर्ष बढ़ जाता है। शिक्षक की आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शिक्षक को मिलाकर अब 36 लोग हैं और औसत 14 है, तो योग 36 × 14 = 504। केवल विद्यार्थियों का योग 35 × 13 = 455 है। शिक्षक की आयु = 504 − 455 = 49 वर्ष। छोटे रास्ते से यह सीधे 13 + 36 × 1 = 49 आता है।

प्रश्न 7

29 विद्यार्थियों और उनके कक्षा-शिक्षक की औसत आयु 15 वर्ष है। 50 वर्ष के कक्षा-शिक्षक का स्थानांतरण हो जाता है और उनके स्थान पर एक नए शिक्षक आते हैं। इसके बाद औसत आयु 6 महीने घट जाती है। नए शिक्षक की आयु कितनी है?

उत्तर: शिक्षक को मिलाकर 30 लोग हैं। औसत आधा वर्ष घटा, तो योग 30 × 0.5 = 15 वर्ष घटा। बदले केवल शिक्षक हैं, इसलिए नए शिक्षक पुराने से 15 वर्ष छोटे हैं। उनकी आयु = 50 − 15 = 35 वर्ष।

प्रश्न 8

45 विद्यार्थियों की औसत आयु 16 वर्ष है। 9 नए विद्यार्थियों के जुड़ने पर औसत आयु 4 महीने घट जाती है। नए विद्यार्थियों की औसत आयु कितनी है?

उत्तर: 4 महीने = $\frac{1}{3}$ वर्ष, तो नया औसत $15\frac{2}{3}$ वर्ष है, और विद्यार्थी 54 हैं। नया योग = $54 \times \frac{47}{3} = 846$ वर्ष। पुराने 45 विद्यार्थियों का योग 45 × 16 = 720 है। तो 9 नए विद्यार्थियों का योग 846 − 720 = 126 है, और उनका औसत 126 ÷ 9 = 14 वर्ष।

प्रश्न 9

किसी सोसाइटी की समिति के 7 सदस्यों की औसत आयु आज भी उतनी ही है जितनी 5 वर्ष पहले थी, क्योंकि एक पुराने सदस्य के स्थान पर एक नया सदस्य आ गया है। नया सदस्य, हटाए गए सदस्य से कितने वर्ष छोटा है?

उत्तर: 5 वर्ष में 7 सदस्यों के योग में 7 × 5 = 35 वर्ष जुड़ने थे। पर योग बिलकुल नहीं बदला, मतलब अदला-बदली से 35 वर्ष घट गए। तो पुराना सदस्य आज जितनी आयु का होता, नया सदस्य उससे 35 वर्ष छोटा है।

प्रश्न 10

10 सदस्यों वाले एक बोर्ड की औसत आयु आज 6 वर्ष पहले की तुलना में 2 वर्ष अधिक है, क्योंकि एक सदस्य बदल दिया गया है। नया सदस्य, हटाए गए सदस्य से कितने वर्ष छोटा है?

उत्तर: छह वर्ष में योग में 10 × 6 = 60 वर्ष जुड़ने थे, पर योग असल में केवल 10 × 2 = 20 बढ़ा। बाकी 40 वर्ष हटाए गए सदस्य के साथ बाहर चले गए। तो नया सदस्य 40 वर्ष छोटा है।

प्रश्न 11

11 सदस्यों वाली एक क्रिकेट टीम का कप्तान 28 वर्ष का है और विकेटकीपर उससे 5 वर्ष बड़ा है। यदि इन दोनों की आयु को छोड़ दिया जाए, तो शेष खिलाड़ियों की औसत आयु पूरी टीम की औसत आयु से 1 वर्ष कम है। टीम की औसत आयु कितनी है?

उत्तर: कप्तान 28 वर्ष का है और विकेटकीपर 33 का, तो दोनों मिलाकर 61 वर्ष। टीम का औसत A मानें, तो $11A - 61 = 9(A - 1)$। इससे $2A = 61 - 9 = 52$ आता है, यानी A = 26 वर्ष। जाँच कर लेते हैं। टीम का योग 286 है। बाकी 9 का योग 286 − 61 = 225 है, और 225 ÷ 9 = 25, जो 26 से एक कम है।

प्रश्न 12

विवाह के समय पति और पत्नी की औसत आयु 27 वर्ष थी। छह वर्ष बाद उनका एक पुत्र है, जिसकी आयु 3 वर्ष है। परिवार की वर्तमान औसत आयु कितनी है?

उत्तर: विवाह के समय दंपती का योग 2 × 27 = 54 था। छह वर्ष बाद दोनों 6-6 वर्ष बड़े हो गए, तो योग 54 + 12 = 66 हुआ। 3 वर्ष के पुत्र को जोड़कर परिवार का योग 69 है, और परिवार में 3 लोग हैं। औसत = 69 ÷ 3 = 23 वर्ष।

प्रश्न 13

चार वर्ष पहले पति, उसकी पत्नी और उनके पुत्र की औसत आयु 26 वर्ष थी। छह वर्ष पहले पत्नी और पुत्र की औसत आयु 17 वर्ष थी। पति की वर्तमान आयु कितनी है?

उत्तर: दोनों योग आज पर लाते हैं। तीनों का योग आज 3 × (26 + 4) = 90 है, और पत्नी और पुत्र का योग आज 2 × (17 + 6) = 46। पति की आयु = 90 − 46 = 44 वर्ष।

प्रश्न 14

एक व्यक्ति, उसकी पत्नी और उनके दो बच्चों की औसत आयु 24 वर्ष है। व्यक्ति और उसकी पत्नी की औसत आयु 40 वर्ष है, और बड़ा बच्चा छोटे बच्चे से 6 वर्ष बड़ा है। छोटे बच्चे की आयु कितनी है?

उत्तर: परिवार का योग 4 × 24 = 96 है, और माता-पिता का 2 × 40 = 80। तो दोनों बच्चों का योग 16 है। दोनों की आयु में 6 वर्ष का अंतर है और योग 16 है, तो वे 5 और 11 वर्ष के हैं। छोटा बच्चा 5 वर्ष का है।

प्रश्न 15

एक पिता अपने पुत्र से 28 वर्ष बड़ा है। चार वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की पाँच गुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु क्या है?

उत्तर: पुत्र की आयु S मान लेते हैं, तो पिता की आयु $S + 28$ है। चार वर्ष पहले उनकी आयु $S - 4$ और $S + 24$ थी, तो $S + 24 = 5(S - 4)$। इससे $S + 24 = 5S - 20$, यानी $4S = 44$। तो दोनों की वर्तमान आयु 11 और 39 वर्ष है, यानी पुत्र 11 वर्ष का है और पिता 39 वर्ष के। जाँच के लिए चार वर्ष पहले देखिए। तब वे 7 और 35 के थे, और 35 तो 7 का पाँच गुना है।

प्रश्न 16

A और B की वर्तमान आयु का गुणनफल 240 है। चार वर्ष पहले उनकी आयु का गुणनफल 128 था। उनकी वर्तमान आयु का योग कितना है?

उत्तर: आयु a और b मान लेते हैं। चार वर्ष पहले उनका गुणनफल $(a - 4)(b - 4) = ab - 4(a + b) + 16$ था। इसमें दिए हुए मान रखते हैं, $128 = 240 - 4(a + b) + 16$। इससे $4(a + b) = 128$ आता है, तो योग 32 वर्ष है। असल में आयु 12 और 20 हैं, क्योंकि 12 × 20 = 240 और 8 × 16 = 128।

प्रश्न 17

एक पिता और उसके पुत्र की वर्तमान आयु दो अंकों की संख्याएँ हैं, जिनमें वही अंक उलटे क्रम में हैं। अब से तीन वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु की तीन गुनी होगी। पिता की वर्तमान आयु कितनी है?

उत्तर: पिता की आयु $10a + b$ और पुत्र की $10b + a$ लेते हैं। तीन वर्ष बाद की शर्त $10a + b + 3 = 3(10b + a + 3)$ है, जिसका सरल रूप $7a = 29b + 6$ है। यहाँ केवल b = 1 चलता है, जिससे a = 5 आता है। b = 2 या उससे अधिक लें, तो a, 9 से बड़ा हो जाता है, और वह अंक नहीं हो सकता। तो पिता 51 वर्ष के हैं और पुत्र 15 का। जाँच के लिए तीन वर्ष बाद देखिए, 54 और 18, और 54 तो 18 का तीन गुना है।

प्रश्न 18

3-3 वर्ष के अंतराल पर जन्मे 5 बच्चों की आयु का योग 65 वर्ष है। सबसे छोटे बच्चे की आयु कितनी है?

उत्तर: अंतराल बराबर है, तो औसत बीच वाले बच्चे की आयु है, यानी 65 ÷ 5 = 13। सबसे छोटा बच्चा बीच वाले से दो अंतराल नीचे है, तो उसकी आयु 13 − 2 × 3 = 7 वर्ष है। पाँचों की आयु 7, 10, 13, 16 और 19 है, जिनका योग 65 ही आता है।

प्रश्न 19

तीन भाइयों की औसत आयु 20 वर्ष है। सबसे बड़ा भाई बीच वाले भाई से 6 वर्ष बड़ा है, और बीच वाला भाई सबसे छोटे भाई से 3 वर्ष बड़ा है। सबसे बड़े भाई की आयु कितनी है?

उत्तर: सबसे छोटे भाई की आयु y मान लेते हैं। तब बीच वाला $y + 3$ का है और सबसे बड़ा $y + 9$ का। योग 60 है, तो $3y + 12 = 60$, और y = 16। भाई 16, 19 और 25 वर्ष के हैं, यानी सबसे बड़ा भाई 25 वर्ष का है।

प्रश्न 20

39 विद्यार्थियों की एक कक्षा में औसत आयु 14 वर्ष है। लड़कों की औसत आयु 14.5 वर्ष और लड़कियों की औसत आयु 13.2 वर्ष है। कक्षा में कितने लड़के हैं?

उत्तर: लड़कों का औसत कक्षा के औसत से 0.5 ऊपर है और लड़कियों का 0.8 नीचे। दूरियों की अदला-बदली करने पर लड़के : लड़कियाँ = 0.8 : 0.5 = 8 : 5। कुल 13 भाग 39 विद्यार्थियों के बराबर हैं, तो 1 भाग = 3 विद्यार्थी। कक्षा में 24 लड़के हैं, और 15 लड़कियाँ। जाँच कर लेते हैं, 24 × 14.5 + 15 × 13.2 = 348 + 198 = 546 = 39 × 14।

प्रश्न 21

[Tier 2] A, B और C की औसत आयु 32 वर्ष है। D के उनके साथ जुड़ने पर औसत आयु 30 वर्ष हो जाती है। फिर D से 3 वर्ष बड़ा E, A के स्थान पर आता है, और B, C, D तथा E की औसत आयु 29 वर्ष हो जाती है। A की आयु कितनी है?

उत्तर: A, B, C का योग 3 × 32 = 96 है, और D को मिलाकर चारों का 4 × 30 = 120। तो D = 24, और E उससे 3 वर्ष बड़ा, यानी 27। B, C, D, E का योग 4 × 29 = 116 है, तो B और C मिलकर 116 − 24 − 27 = 65। A = 96 − 65 = 31 वर्ष।

प्रश्न 22

[Tier 2] आठ वर्ष पहले 4 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 45 वर्ष थी। तब से दादा की, जिनकी आयु उस समय 64 वर्ष थी, मृत्यु हो चुकी है, और परिवार के दंपती के दो बच्चे हुए हैं, जो अब 5 वर्ष और 2 वर्ष के हैं। परिवार की वर्तमान औसत आयु कितनी है?

उत्तर: मान लेते हैं कि पुराने 4 सदस्य आज भी जीवित होते। तब आज उनका योग 4 × 45 + 4 × 8 = 180 + 32 = 212 होता। दादा आज 64 + 8 = 72 वर्ष के होते, तो उन्हें घटाते हैं, 212 − 72 = 140। अब दोनों बच्चों को जोड़ते हैं, 140 + 5 + 2 = 147। परिवार में अब 5 सदस्य हैं, तो औसत = 147 ÷ 5 = 29.4 वर्ष।