हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों का अभ्यास कैसे करें

नीचे 35 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। ये चार तरह के हैं, और इनका क्रम मिला-जुला है। परिवार की आयु वाले प्रश्न के ठीक बाद क्रिकेट के औसत का प्रश्न भी आ सकता है।

इसलिए हर प्रश्न में सबसे पहले यह पहचानिए कि बदलाव किस तरह का है। कहीं किसी समूह में कोई सदस्य जुड़ता या हटता है, कहीं दो समूह मिलाए जाते हैं, और कहीं समय बीतने से आयु बदल जाती है। यह पहचान लिया, तो हल अक्सर एक-दो पंक्तियों में हो जाता है।

हर प्रश्न पहले ख़ुद कागज़ पर हल कीजिए, और टाइमर चालू रखिए। एक प्रश्न पर लगभग 36 से 45 सेकंड लगने चाहिए। किसी प्रश्न में एक मिनट से ज़्यादा लग जाए, तो उसका तेज़ तरीका देखिए और वही प्रश्न अगले दिन दोबारा कीजिए। ये तरीके "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाले खंड में समझाए गए हैं।

प्रश्नों का बँटवारा कुछ ऐसा है। लगभग पाँचवाँ भाग संख्याओं के औसत का है, जिसमें संख्या श्रेणी, उभयनिष्ठ मान वाले समूह और जोड़ों के औसत आते हैं। लगभग एक-चौथाई प्रश्न समूह में बदलाव के हैं। इनमें किसी सदस्य का जुड़ना, हटना या प्रतिस्थापन आता है, साथ में गलत प्रविष्टि, क्रिकेट और लक्ष्य अंक वाले प्रश्न भी। सबसे ज़्यादा, लगभग 30% प्रश्न, भारित औसत (weighted average) और संयुक्त औसत (combined average) के हैं, क्योंकि हाल के CGL पेपरों में ऐसे प्रश्न अक्सर आ रहे हैं। बाकी एक-चौथाई प्रश्न औसत आयु के हैं।

कुछ प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। ऐसे प्रश्न में एक कदम अधिक होता है, जैसे वर्गों के औसत से n निकालना, दो समूहों की अलग-अलग वेतन वृद्धि, गेंदबाज़ के विकेट, या उलटे अंकों वाली आयु। टियर 1 की तैयारी करने वाले छात्र भी इन्हें ज़रूर करें, क्योंकि इनमें भी वही विधियाँ लगती हैं जो पिछले खंडों में समझाई जा चुकी हैं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक टेस्ट में 45 विद्यार्थियों वाली एक कक्षा के लड़कों के औसत अंक 64 और लड़कियों के औसत अंक 71 हैं। पूरी कक्षा के औसत अंक 68.2 हैं। कक्षा में कितनी लड़कियाँ हैं?

उत्तर: यहाँ सी-सॉ विधि लगाते हैं। लड़के कक्षा के औसत से 68.2 − 64 = 4.2 नीचे हैं, और लड़कियाँ 71 − 68.2 = 2.8 ऊपर। समूहों का आकार इन दूरियों के उलटे अनुपात में होता है, तो लड़के : लड़कियाँ = 2.8 : 4.2 = 2 : 3। अब 5 इकाई = 45 विद्यार्थी, तो 1 इकाई = 9। कक्षा में 27 लड़कियाँ हैं, और 18 लड़के। जाँच भी कर लेते हैं। लड़कों के कुल अंक 18 × 64 = 1,152 और लड़कियों के 27 × 71 = 1,917 हैं। 1,152 + 1,917 = 3,069 = 45 × 68.2, तो हल ठीक है।

प्रश्न 2

100 और 130 के बीच की सभी अभाज्य संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अभाज्य संख्याओं का कोई सूत्र नहीं होता, इसलिए इन्हें एक-एक करके लिखना पड़ता है। 100 और 130 के बीच अभाज्य संख्याएँ 101, 103, 107, 109, 113 और 127 हैं। ये 6 संख्याएँ हैं और इनका योग 660 है, तो औसत = 660 ÷ 6 = 110। यहाँ कई छात्र 111, 119 और 121 को भी अभाज्य मान लेते हैं। तीनों अभाज्य जैसी दिखती हैं, पर हैं नहीं, क्योंकि 111 = 3 × 37, 119 = 7 × 17 और 121 = 11 × 11।

प्रश्न 3

50 विद्यार्थियों का औसत भार 46 किग्रा है। इनमें से छह विद्यार्थी चले जाते हैं, और शेष विद्यार्थियों का औसत भार 0.75 किग्रा बढ़ जाता है। जाने वाले छह विद्यार्थियों का औसत भार कितना है?

उत्तर: औसत बढ़ गया है, तो जाने वाले छह विद्यार्थी 46 किग्रा से हल्के रहे होंगे। बचे हुए 44 विद्यार्थियों का औसत अब 46 से 0.75 किग्रा ऊपर है, यानी उनके भार में कुल 33 किग्रा अतिरिक्त है। इसका मतलब है कि जाने वाले छहों का कुल भार 6 × 46 = 276 किग्रा से 33 किग्रा कम था। तो उनका कुल भार 243 किग्रा है, और औसत भार 40.5 किग्रा। योगों से मिलान भी कर लेते हैं। पहले कुल भार 2,300 किग्रा था और अब बचे 44 का 44 × 46.75 = 2,057 किग्रा है। 2,300 − 2,057 = 243, यानी वही 243 किग्रा।

प्रश्न 4

तीन वर्ष पहले 5 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 26 वर्ष थी। इस बीच परिवार में एक शिशु का जन्म हुआ है, और आज परिवार के 6 सदस्यों की औसत आयु 24.5 वर्ष है। शिशु की आयु कितनी है?

उत्तर: तीन वर्षों में पाँचों पुराने सदस्यों में से हर एक 3 वर्ष बड़ा हो गया है। तो आज उनका औसत 29 है, और योग 5 × 29 = 145। अब 6 सदस्यों वाले परिवार का योग 6 × 24.5 = 147 है। दोनों योगों का अंतर ही शिशु की आयु है, यानी 2 वर्ष।

प्रश्न 5

एक दुकानदार ₹42 प्रति किग्रा की दर से 25 किग्रा चावल, ₹48 प्रति किग्रा की दर से 35 किग्रा चावल और ₹51 प्रति किग्रा की दर से 40 किग्रा चावल खरीदता है। उसके लिए चावल का प्रति किग्रा औसत मूल्य कितना है?

उत्तर: हर दर पर चावल की मात्रा अलग-अलग है, इसलिए तीनों मूल्यों का सीधा औसत नहीं चलेगा। ₹48 को आधार मानकर हर दर का विचलन लेते हैं। 25 × (−6) + 35 × 0 + 40 × (+3) = −150 + 120 = −30 आता है। यह −30 कुल 100 किग्रा पर बँटेगा, यानी प्रति किग्रा −0.30। इसलिए प्रति किग्रा औसत मूल्य ₹47.70 है।

प्रश्न 6

11 संख्याओं का औसत 42 है। पहली पाँच संख्याओं का औसत 39 और अंतिम पाँच संख्याओं का औसत 46 है। छठी संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस बार दोनों समूहों में कोई उभयनिष्ठ मान नहीं है। पहली पाँच और अंतिम पाँच संख्याएँ ले लें, तो बीच की केवल 6वीं संख्या छूट जाती है। पूरा योग 11 × 42 = 462 है, पहली पाँच का 5 × 39 = 195 और अंतिम पाँच का 5 × 46 = 230। तो 6वीं संख्या = 462 − 195 − 230 = 37।

प्रश्न 7

8 सदस्यों वाली एक समिति में 63 वर्ष आयु वाले एक सदस्य के स्थान पर एक नया सदस्य आता है, और समिति की औसत आयु 3.5 वर्ष घट जाती है। नए सदस्य की आयु कितनी है?

उत्तर: समिति में सदस्य अब भी 8 ही हैं, तो कुल आयु 8 × 3.5 = 28 वर्ष कम हुई। यह सारी कमी एक सदस्य के बदलने से हुई है, यानी नया सदस्य जाने वाले सदस्य से 28 वर्ष छोटा है। उसकी आयु 63 − 28 = 35 वर्ष है।

प्रश्न 8

किसी परीक्षा में 140 परीक्षार्थी बैठे और उनके औसत अंक 44 थे। उत्तीर्ण परीक्षार्थियों के औसत अंक 53 और अनुत्तीर्ण परीक्षार्थियों के औसत अंक 32 थे। कितने परीक्षार्थी उत्तीर्ण हुए?

उत्तर: उत्तीर्ण परीक्षार्थी 44 से 9 ऊपर हैं, और अनुत्तीर्ण 12 नीचे। दूरियों को उलट दें, तो उत्तीर्ण : अनुत्तीर्ण = 12 : 9 = 4 : 3। अब 7 इकाई = 140, तो 1 इकाई = 20। इसलिए 80 परीक्षार्थी उत्तीर्ण हुए। पक्का करना हो, तो उत्तीर्ण परीक्षार्थियों के कुल अंक 4,240 और अनुत्तीर्ण के 1,920 जोड़िए। 4,240 + 1,920 = 6,160 = 140 × 44, यानी हिसाब सही है।

प्रश्न 9

चार भाई-बहनों का जन्म 3-3 वर्ष के अंतराल पर हुआ है, और उनकी वर्तमान आयु का योग 50 वर्ष है। उनमें सबसे बड़े की आयु कितनी है?

उत्तर: सबकी आयु में बराबर अंतर है, इसलिए औसत बीच वाले दोनों बच्चों की आयु के ठीक बीच में होगा। औसत = 50 ÷ 4 = 12.5। अंतर 3 है, तो बीच वाले दोनों 11 और 14 वर्ष के हैं। चारों की आयु 8, 11, 14 और 17 वर्ष हुई, और सबसे बड़े की आयु 17 वर्ष है।

प्रश्न 10

कुछ पारियों के बाद एक बल्लेबाज़ का एक निश्चित औसत है। अपनी अगली पारी में वह 132 रन बनाता है, जिससे उसका औसत 4 बढ़कर 52 हो जाता है। इस पारी को शामिल करके वह अब तक कुल कितनी पारियाँ खेल चुका है?

उत्तर: इस पारी से पहले औसत 48 था। 132 में से 52 रन तो इस पारी के अपने हिस्से के हैं, क्योंकि नया औसत 52 है। बाकी 80 रन अतिरिक्त हैं। ये 80 रन पुरानी पारियों में बँट जाते हैं और हर पारी के हिस्से में 4 रन आते हैं, तो पुरानी पारियाँ = 80 ÷ 4 = 20। इस पारी को शामिल करके वह 21 पारियाँ खेल चुका है। कुल रनों से मिलाकर देखें, तो 20 × 48 + 132 = 1,092 है, और 21 × 52 भी 1,092 ही है।

प्रश्न 11

एक कार्यालय में सभी कर्मचारियों का औसत मासिक वेतन ₹31,500 है। 14 अधिकारियों का औसत वेतन ₹54,000 और शेष कर्मचारियों का औसत वेतन ₹27,000 है। कार्यालय में कुल कितने लोग काम करते हैं?

उत्तर: अधिकारी ₹31,500 से 22,500 ऊपर हैं, और शेष कर्मचारी 4,500 नीचे। दूरियाँ उलट दीजिए, तो अधिकारी : शेष कर्मचारी = 4,500 : 22,500 = 1 : 5। अधिकारी 14 हैं, तो शेष कर्मचारी 70 हुए। कार्यालय में कुल 84 लोग काम करते हैं।

प्रश्न 12

A और B का औसत 38, B और C का औसत 49 तथा A और C का औसत 45 है। B ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों जोड़ों के औसत जोड़ दें, तो सीधे A + B + C मिल जाता है, यानी 38 + 49 + 45 = 132। ऐसा इसलिए होता है कि तीनों जोड़ों में हर अक्षर दो बार आता है, और हर औसत अपने जोड़े के योग का आधा होता है। दो बार गिनना और आधा करना, दोनों आपस में कट जाते हैं। अब A + C = 2 × 45 = 90, तो B = 132 − 90 = 42। चाहें तो A = 34 और C = 56 निकालकर तीनों जोड़ों के औसत देख लीजिए, सब सही आते हैं।

प्रश्न 13

9 वर्ष पहले विवाह के समय पति और पत्नी की औसत आयु 23 वर्ष थी। अब उनके दो बच्चों को मिलाकर परिवार की औसत आयु 19.5 वर्ष है। दोनों बच्चों के जन्म में 4 वर्ष का अंतर है। छोटे बच्चे की आयु कितनी है?

उत्तर: पति और पत्नी दोनों अब 9-9 वर्ष बड़े हैं। विवाह के समय दोनों का योग 46 था, तो अब 46 + 18 = 64 है। 4 सदस्यों वाले परिवार का योग 4 × 19.5 = 78 है, इसलिए दोनों बच्चों का योग 14 हुआ। बच्चों में 4 वर्ष का अंतर है, तो वे 9 और 5 वर्ष के हैं। छोटा बच्चा 5 वर्ष का है।

प्रश्न 14

एक विद्यार्थी 100 अंकों के प्रश्नपत्र में 80%, 150 अंकों के प्रश्नपत्र में 66% और 200 अंकों के प्रश्नपत्र में 59% अंक प्राप्त करता है। उसका कुल प्रतिशत कितना है?

उत्तर: तीनों प्रतिशतों को पहले अंकों में बदल लेते हैं। उसे 80, 99 और 118 अंक मिले, यानी कुल 80 + 99 + 118 = 297, और यह 450 में से है। तो प्रतिशत = 297 ÷ 450 = 66%। तीनों प्रतिशतों का सीधा औसत लेकर लगभग 68.3% लिखना गलत होगा, क्योंकि तीनों प्रश्नपत्रों के अधिकतम अंक अलग-अलग हैं।

प्रश्न 15

दस संख्याओं को जोड़कर उनका औसत निकाला गया। बाद में पता चला कि दो अंकों वाली एक संख्या के अंक उलटकर लिख दिए गए थे, जिससे औसत अपने सही मान से 2.7 अधिक आया। सही संख्या के अंकों का योग 11 है। सही संख्या क्या है?

उत्तर: औसत 2.7 अधिक आया, तो योग 10 × 2.7 = 27 बढ़ गया। दो अंकों की किसी संख्या और उसकी उलटी संख्या का अंतर हमेशा 9 × (अंकों का अंतर) होता है। तो यहाँ अंकों का अंतर 27 ÷ 9 = 3 है। अंकों का योग 11 है, तो अंक 4 और 7 हैं। योग बढ़ा था, इसलिए गलत प्रविष्टि बड़ी वाली संख्या है। सही संख्या 47 है, और लिखी गई थी 74।

प्रश्न 16

8 पुरुषों की औसत आयु 2 वर्ष बढ़ जाती है, जब उनमें से 35 वर्ष और 41 वर्ष आयु वाले दो पुरुषों के स्थान पर दो महिलाएँ आ जाती हैं। दोनों महिलाओं की औसत आयु कितनी है?

उत्तर: कुल आयु 8 × 2 = 16 वर्ष बढ़ी है, और यह बढ़त सिर्फ़ दो लोगों के बदलने से हुई है। हटने वाले दोनों पुरुषों का योग 76 है, तो दोनों महिलाओं का योग 76 + 16 = 92 हुआ। महिलाओं की औसत आयु 46 वर्ष है।

प्रश्न 17

कक्षा A के 30 विद्यार्थियों के औसत अंक 64 हैं। जब कक्षा A को कक्षा B के साथ मिला दिया जाता है, जिसके औसत अंक 72 हैं, तो संयुक्त औसत 67 हो जाता है। कक्षा B में कितने विद्यार्थी हैं?

उत्तर: कक्षा A का औसत 67 से 3 कम है, तो उसके 30 विद्यार्थियों पर कुल कमी 90 हुई। कक्षा B का औसत 67 से 5 ज़्यादा है। यह 90 की कमी पूरी करने के लिए B में 90 ÷ 5 = 18 विद्यार्थी चाहिए। दोनों कक्षाओं के कुल अंक जोड़कर भी देख लेते हैं। 1,920 + 1,296 = 3,216, जो 48 × 67 के बराबर है।

प्रश्न 18

पाँच क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 61 है। यदि अगली तीन विषम संख्याओं को भी शामिल कर लिया जाए, तो नया औसत क्या होगा और सूची की सबसे बड़ी संख्या कौन-सी होगी?

उत्तर: पाँचों संख्याएँ 57 से 65 तक हैं। सार्व अंतर 2 वाले तीन और पद जुड़ते हैं, तो मध्य पद $\frac{3 \times 2}{2}$ = 3 आगे खिसक जाता है। इसलिए नया औसत 64 है। सूची अब 57, 59, … , 71 है, तो सबसे बड़ी संख्या 71 है। पहली और अंतिम संख्या का औसत $\frac{57 + 71}{2}$ = 64 भी यही बताता है।

प्रश्न 19

14 व्यक्तियों के एक समूह का औसत भार 56 किग्रा है। जब P इस समूह में जुड़ता है, तो औसत भार 57 किग्रा हो जाता है। इसके बाद Q, जो P से 6 किग्रा हल्का है, भी समूह में जुड़ जाता है। अब समूह का औसत भार कितना है?

उत्तर: P का भार = नया औसत + पुरानी संख्या × वृद्धि = 57 + 14 × 1 = 71 किग्रा। तो Q का भार 65 किग्रा है। Q मौजूदा औसत 57 से 8 किग्रा ऊपर है। ये 8 किग्रा अब 16 व्यक्तियों में बँटते हैं, तो औसत 0.5 बढ़ता है। समूह का नया औसत भार 57.5 किग्रा है।

प्रश्न 20

अनुभाग A, B और C में क्रमशः 30, 40 और 50 विद्यार्थी हैं। A और B के औसत अंक क्रमशः 58 और 64 हैं, तथा सभी 120 विद्यार्थियों के औसत अंक 62 हैं। अनुभाग C के औसत अंक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 62 को आधार मान लेते हैं। A से 30 × (−4) = −120 आता है और B से 40 × (+2) = +80, तो अब तक कुल −40 हुआ। C के 50 विद्यार्थियों को यह कमी पूरी करनी है, यानी मिलकर +40 देना है। तो हर एक पर 0.8 आता है। इसलिए C का औसत 62.8 है। तीनों अनुभागों के कुल अंक 1,740 + 2,560 + 3,140 = 7,440 हैं, जो 120 × 62 के बराबर है, तो उत्तर सही है।

प्रश्न 21

7 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 26 वर्ष है, और परिवार का सबसे छोटा सदस्य 5 वर्ष का है। सबसे छोटे सदस्य के जन्म के समय परिवार की औसत आयु कितनी थी?

उत्तर: आज परिवार का योग 7 × 26 = 182 है। सबसे छोटे को छोड़ दें, तो बाकी छह का योग 182 − 5 = 177 है। पाँच वर्ष पहले उनमें से हर एक 5 वर्ष छोटा था, तो तब उनका योग 177 − 30 = 147 था। उस समय परिवार में यही छह लोग थे, इसलिए औसत = 147 ÷ 6 = 24.5 वर्ष।

प्रश्न 22 [Tier 2]

प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत 105 है। n ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सूत्र से इन वर्गों का औसत $\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}$ होता है। यह 105 के बराबर है, तो (n + 1)(2n + 1) = 630। अब 2n + 1 लगभग n + 1 का दोगुना है, इसलिए $2(n + 1)^2$ लगभग 630 हुआ। तो $(n + 1)^2$ लगभग 315 है, और n + 1 लगभग 18। n = 17 रखकर परखते हैं। 18 × 35 = 630 आता है, जो ठीक है, तो n = 17।

प्रश्न 23

36 पारियों में एक बल्लेबाज़ का औसत 42 है। उसका उच्चतम स्कोर, उसके निम्नतम स्कोर से 150 रन अधिक है। यदि इन दोनों पारियों को छोड़ दिया जाए, तो शेष 34 पारियों का औसत 40 है। उसका उच्चतम स्कोर कितना है?

उत्तर: सभी 36 पारियों का योग 36 × 42 = 1,512 है, और बाकी 34 का 34 × 40 = 1,360। तो उच्चतम + निम्नतम = 1,512 − 1,360 = 152। प्रश्न में उच्चतम − निम्नतम = 150 दिया है। इसलिए उच्चतम = $\frac{152 + 150}{2}$ = 151, और निम्नतम केवल 1 रन।

प्रश्न 24

एक व्यक्ति ₹24 प्रति किग्रा वाले चावल पर ₹1,800 खर्च करता है, और ₹40 प्रति किग्रा वाले चावल पर भी ₹1,800 खर्च करता है। उसके लिए चावल का प्रति किग्रा औसत मूल्य कितना है?

उत्तर: यहाँ दोनों बार बराबर रुपये खर्च हुए हैं, बराबर किग्रा चावल नहीं खरीदा गया। इसलिए मूल्यों का सीधा औसत नहीं चलेगा। 1,800 ÷ 24 = 75 किग्रा और 1,800 ÷ 40 = 45 किग्रा चावल आया। यानी ₹3,600 में कुल 120 किग्रा, तो औसत मूल्य ₹30 प्रति किग्रा है। सीधा औसत लेकर ₹32 लिखना गलत है। सूत्र से भी यही आता है, $\frac{2ab}{a + b} = \frac{2 \times 24 \times 40}{64}$ = 30।

प्रश्न 25

चार वर्ष पहले 5 सदस्यों वाले एक परिवार की औसत आयु 34 वर्ष थी। इस बीच परिवार में एक बहू आ गई है, और आज परिवार के 6 सदस्यों की औसत आयु 36.5 वर्ष है। बहू की आयु कितनी है?

उत्तर: चार वर्ष बीत चुके हैं, तो पुराने पाँच सदस्यों का औसत अब 38 है और योग 190। छहों का योग 6 × 36.5 = 219 है। 219 में से 190 घटाइए, तो बहू की आयु 29 वर्ष आती है।

प्रश्न 26 [Tier 2]

40 कर्मचारियों का औसत मासिक वेतन ₹30,300 है। इनमें से 12 प्रबंधकों का औसत वेतन ₹45,000 है। प्रबंधकों के वेतन में 10% की और शेष सभी के वेतन में 5% की वृद्धि की जाती है। नया औसत वेतन कितना है?

उत्तर: सभी 40 का योग 12,12,000 है और प्रबंधकों का 5,40,000, तो बाकी 28 का योग 6,72,000 हुआ। प्रबंधकों की वेतन वृद्धि 5,40,000 का 10% = 54,000 है, और बाकी की 6,72,000 का 5% = 33,600। कुल अतिरिक्त 87,600 है, जो 40 लोगों में बँटता है, यानी हर एक पर 2,190। नया औसत = 30,300 + 2,190 = ₹32,490। ₹30,300 पर सीधे 7.5% लगा देना गलत है, क्योंकि प्रबंधकों की बड़ी वृद्धि बड़े वेतनों पर लगी है।

प्रश्न 27

7 विषयों में एक विद्यार्थी के औसत अंक 58 हैं। अपना औसत बढ़ाकर 62 करने के लिए उसे 8वें विषय में कितने अंक प्राप्त करने होंगे?

उत्तर: 8वें विषय में नए औसत के 62 अंक तो चाहिए ही, साथ में पहले के 7 विषयों में से हर एक के लिए 4-4 अंक और चाहिए, ताकि उनका औसत भी 58 से 62 हो जाए। तो 62 + 7 × 4 = 90। कुल अंकों से भी 8 × 62 − 7 × 58 = 496 − 406 = 90 ही निकलता है।

प्रश्न 28

300 और 600 के बीच 13 से विभाज्य सभी संख्याओं का औसत कितना है?

उत्तर: 300 के बाद 13 से विभाज्य पहली संख्या 13 × 24 = 312 है, और 600 से पहले अंतिम 13 × 46 = 598। ये संख्याएँ समांतर श्रेणी (AP) में हैं, तो औसत = $\frac{312 + 598}{2}$ = 455। जल्दबाज़ी में कई लोग दोनों सीमाओं का औसत $\frac{300 + 600}{2}$ = 450 लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 29

35 विद्यार्थियों और उनके शिक्षक की औसत आयु 15 वर्ष है। यदि शिक्षक की आयु को छोड़ दिया जाए, तो औसत 1 वर्ष घट जाता है। शिक्षक की आयु कितनी है?

उत्तर: शिक्षक को छोड़ दें, तो 35 विद्यार्थियों का औसत 14 है। शिक्षक के जुड़ने से औसत 14 से 15 हो जाता है, यानी 1 बढ़ता है। शिक्षक को नए औसत के 15 वर्ष तो अपने लिए चाहिए, और 35 विद्यार्थियों में से हर एक के लिए 1 वर्ष और। तो शिक्षक की आयु 15 + 35 × 1 = 50 वर्ष है। योग से देखें, तो भी 36 × 15 − 35 × 14 = 540 − 490 = 50 आता है।

प्रश्न 30 [Tier 2]

60 विद्यार्थियों के एक बैच के औसत अंक 52 हैं। शीर्ष 20 विद्यार्थियों के औसत अंक, शेष 40 विद्यार्थियों के औसत अंकों से 18 अधिक हैं। शीर्ष 20 विद्यार्थियों के औसत अंक कितने हैं?

उत्तर: बाकी 40 विद्यार्थी शीर्ष 20 के दोगुने हैं, इसलिए बैच का औसत बड़े समूह के ज़्यादा पास रहेगा। दोनों औसतों में 18 का अंतर है, और बैच का औसत निचले औसत से इसका एक-तिहाई, यानी 18 ÷ 3 = 6 ऊपर होगा। तो बाकी 40 का औसत 46 है, और शीर्ष 20 का औसत = 46 + 18 = 64। कुल अंक 1,280 + 1,840 = 3,120 हुए, जो 60 × 52 ही है।

प्रश्न 31 [Tier 2]

एक गेंदबाज़ का औसत 11.9 रन प्रति विकेट है। अपने अगले मैच में वह 27 रन देकर 5 विकेट लेता है, और उसके औसत में 0.5 का सुधार होता है। इस मैच को शामिल करके उसने कुल कितने विकेट लिए हैं?

उत्तर: नया औसत 11.4 है। इस औसत के हिसाब से 5 विकेटों पर 5 × 11.4 = 57 रन लगने चाहिए थे, पर उसने केवल 27 रन दिए, यानी 30 रन कम। रनों की यह कमी पुराने विकेटों में बँटती है और हर विकेट पर 0.5 रन घट जाते हैं, तो इस मैच से पहले विकेट = 30 ÷ 0.5 = 60। इस मैच के 5 जोड़कर कुल 65 विकेट हुए। रनों से मिलान करें, तो 60 × 11.9 + 27 = 741 है, और 65 × 11.4 भी 741 ही है।

प्रश्न 32

A और B की औसत आयु 32 वर्ष है। पाँच वर्ष पहले A की आयु, B की आयु की दोगुनी थी। A की वर्तमान आयु कितनी है?

उत्तर: अभी A + B = 64 है। पाँच वर्ष पहले दोनों 5-5 वर्ष छोटे थे, तो तब दोनों की आयु का योग 54 था। उस समय A, B का दोगुना था, तो B = 54 ÷ 3 = 18 और A = 36। अब A 41 वर्ष का है, और B 23 का।

प्रश्न 33

एक सप्ताह का औसत तापमान 28°C था। पहले चार दिनों का औसत तापमान 26.5°C और अंतिम चार दिनों का औसत तापमान 30.25°C था। चौथे दिन का तापमान कितना था?

उत्तर: चौथा दिन दोनों समूहों में आता है, यानी यह उभयनिष्ठ मान है। 28 से विचलन लेते हैं। पहले चार दिनों का औसत 1.5 नीचे है, तो कुल −6, और अंतिम चार का औसत 2.25 ऊपर, तो कुल +9। चौथा दिन = 28 − 6 + 9 = 31°C। योगों से भी यही आता है, 106 + 121 − 196 = 31।

प्रश्न 34

25 विद्यार्थियों के औसत अंक 54 हैं। यदि उच्चतम अंक पाने वाले और निम्नतम अंक पाने वाले विद्यार्थियों को छोड़ दिया जाए, तो शेष 23 विद्यार्थियों के औसत अंक 53 हैं। उच्चतम अंक पाने वाले विद्यार्थी को 98 अंक मिले। निम्नतम अंक पाने वाले विद्यार्थी को कितने अंक मिले?

उत्तर: सभी 25 का योग 1,350 है, और बाकी 23 का 1,219। तो उच्चतम + निम्नतम = 1,350 − 1,219 = 131। उच्चतम 98 है, इसलिए निम्नतम अंक = 131 − 98 = 33।

प्रश्न 35 [Tier 2]

एक पिता और उसके पुत्र की वर्तमान आयु में वही दो अंक हैं, परंतु उलटे क्रम में। उनकी आयु का औसत 33 है, और पिता, पुत्र से 36 वर्ष बड़ा है। पिता की आयु कितनी है?

उत्तर: पिता की आयु 10a + b मान लेते हैं, तो पुत्र की 10b + a होगी। औसत 33 है, तो दोनों का योग 66 है, यानी 11(a + b) = 66 और a + b = 6। अंतर देखें, तो 9(a − b) = 36, यानी a − b = 4। इससे a = 5 और b = 1 आता है। पिता की आयु 51 वर्ष है, और पुत्र की 15।