औसत में परिवर्तन: जुड़ना, हटना, प्रतिस्थापन और त्रुटियाँ

परिवर्तन × संख्या वाला विचार

किसी समूह में कोई नया व्यक्ति जुड़ जाए या कोई हट जाए, तो प्रश्न हमेशा कुल से हल हो जाता है। पुराना कुल = पुरानी संख्या × पुराना औसत, और नया कुल = नई संख्या × नया औसत। दोनों कुलों का अंतर ही उस व्यक्ति का मान है जो जुड़ा या हटा।

यह तरीका हर प्रश्न में चलता है। पर इसी बात को एक और तरह से देखें, तो हल बहुत जल्दी हो जाता है। बस ध्यान रखिए, SSC के विकल्प ऐसे रखे जाते हैं कि जो छात्र यह तेज़ तरीका बिना सोचे-समझे लगा दे, वह गलत विकल्प पर पहुँच जाए।

जुड़ना: मान लीजिए 24 विद्यार्थियों का औसत भार 52 किग्रा है। एक नया विद्यार्थी जुड़ता है, तो औसत 52.4 किग्रा हो जाता है। कुल से हल करें, तो नए विद्यार्थी का भार 25 × 52.4 − 24 × 52 = 1310 − 1248 = 62 किग्रा आता है।

अब इसे दूसरी तरह देखिए। नए विद्यार्थी के भार को दो हिस्सों में बाँट लीजिए। पहला हिस्सा नया औसत 52.4 किग्रा है, जो उसका अपना है। दूसरा हिस्सा वह है जो वह 24 पुराने विद्यार्थियों में से हर एक को 0.4 किग्रा देता है, ताकि वे भी 52.4 किग्रा तक पहुँच जाएँ। तो उसका भार 52.4 + 24 × 0.4 = 62 किग्रा है।

चाहें तो पुराने औसत से भी शुरू कर सकते हैं। इस बार वह ख़ुद को मिलाकर सभी 25 लोगों के लिए 0.4 किग्रा देता है, और 52 + 25 × 0.4 = 62 किग्रा आता है।

दोनों तरह से उत्तर एक ही आता है, बस जोड़ी सही होनी चाहिए। नए औसत के साथ पुरानी संख्या लीजिए, या पुराने औसत के साथ नई संख्या।

औसत घटे तब: 18 श्रमिकों की एक टीम की औसत दैनिक मज़दूरी ₹640 है। एक प्रशिक्षु जुड़ता है और औसत ₹5 घट जाता है। तो प्रशिक्षु की मज़दूरी 640 − 19 × 5 = ₹545 है। नए औसत ₹635 से चलें, तो 635 − 18 × 5 = ₹545 आता है।

हटना: 30 विद्यार्थियों का औसत भार 46 किग्रा है। एक विद्यार्थी के हटने पर औसत 0.4 किग्रा घटकर 45.6 किग्रा रह जाता है। मतलब हटने वाला विद्यार्थी औसत से भारी था। उसके भार में अपने हिस्से के 46 किग्रा तो थे ही, बाकी 29 में से हर एक के हिस्से का 0.4 किग्रा भी था। तो उसका भार 46 + 29 × 0.4 = 57.6 किग्रा है। कुल से जाँच लीजिए, 30 × 46 − 29 × 45.6 = 1380 − 1322.4 = 57.6 किग्रा।

नीचे की तालिका में n परिवर्तन से पहले लोगों की संख्या है, A पुराना औसत, B नया औसत, और d औसत में हुआ परिवर्तन।

इनमें आख़िरी स्तंभ याद रखना सबसे आसान है। व्यक्ति का मान निकालने के लिए नया औसत लीजिए, और शुरू में मौजूद n लोगों में से हर एक के लिए उसमें d जोड़िए या घटाइए।

व्यक्ति औसत से ऊपर है या नीचे: किसी के जुड़ने पर औसत बढ़े, तो वह व्यक्ति दोनों औसतों से ऊपर है। औसत घटे, तो वह दोनों से नीचे है। किसी के हटने पर औसत बढ़े, तो वह औसत से नीचे था। इसे देखकर कुछ गलत विकल्प हिसाब लगाने से पहले ही छाँटे जा सकते हैं।

मुख्य बात: N लोगों का औसत d बदले, तो उनका कुल N × d बदलता है। इस खंड का हर प्रश्न आख़िर में इसी बात पर आता है।

एक मान जुड़ने या हटने के सभी रूप

हाल के पेपरों में यह प्रश्न कई रूपों में आया है, पर हर रूप एक ही समीकरण से हल होता है। प्रश्न पढ़ते ही पहचान लें कि कौन-सा रूप है, तो काफ़ी समय बचता है।

1. ज्ञात मान जुड़े, तो नया औसत: 14 संख्याओं का औसत 41 है, और इनमें 71 भी शामिल कर दिया गया। यहाँ x नया मान है, A पुराना औसत और n पहले पदों की संख्या।

$$\text{नया औसत} = A + \frac{x - A}{n + 1} = 41 + \frac{71 - 41}{15} = 43$$

नई संख्या औसत से 30 ऊपर है, और यही 30 अब 15 संख्याओं में बँट जाता है।

2. ज्ञात मान हटे, तो नया औसत: 20 संख्याओं का औसत 45 है, और इनमें से 26 हटा दिया गया। 26 औसत से 19 नीचे है। जब तक 26 सूची में था, बाकी 19 संख्याएँ मिलकर उसकी इस 19 की कमी पूरी कर रही थीं। उसे हटा दें, तो औसत 19 ÷ 19 = 1 बढ़ जाता है, और नया औसत 46 हो जाता है।

3. नया औसत दिया हो, तो हटाया गया मान: 25 संख्याओं का औसत 52 है, और एक संख्या हटाने पर औसत 51 रह जाता है। हटाई गई संख्या = 52 + 24 × 1 = 76।

4. शुरू में कितने पद थे: एक मान जुड़े या हटे, हर हालत में यह संबंध लगता है। इसमें दोनों अंतर बिना धन-ऋण चिह्न के लीजिए।

$$\frac{\text{मान} - \text{नया औसत}}{\text{औसत में परिवर्तन}} = \text{परिवर्तन से पहले पदों की संख्या}$$

जुड़ने का उदाहरण देखिए। कुछ संख्याओं का औसत 28 है, और 52 शामिल करने पर औसत 30 हो जाता है। नई संख्या नए औसत से 52 − 30 = 22 ऊपर है, और औसत 2 बढ़ा है। तो 22 ÷ 2 = 11, यानी शुरू में 11 संख्याएँ थीं।

अब हटाने का उदाहरण लीजिए। कुछ संख्याओं का औसत 46 है, और 74 हटाने पर औसत 44 रह जाता है। हटाई गई संख्या नए औसत से 74 − 44 = 30 ऊपर है, और औसत 2 घटा है। तो 30 ÷ 2 = 15, यानी शुरू में 15 संख्याएँ थीं और 14 बचीं। जाँच कर लीजिए, 15 × 46 = 690 और 690 − 74 = 616 = 14 × 44।

5. मूल औसत: 17 संख्याएँ हैं, और इनमें 90 जोड़ने पर औसत 2.5 बढ़ जाता है। 90 में पुराना औसत तो है ही, साथ में सभी 18 संख्याओं के लिए 2.5 और है। तो 90 = A + 18 × 2.5, और इससे A = 45 आता है।

6. औसत न बदले: किसी मान को जोड़ने या हटाने पर औसत न बदले, तो वह मान औसत के बराबर है। इसी तरह सोचिए। n संख्याओं में ऐसी संख्या जोड़ें जो औसत से 10 ऊपर है, तो औसत $\frac{10}{n + 1}$ बढ़ता है। और औसत से 10 ऊपर वाली संख्या हटाएँ, तो औसत $\frac{10}{n - 1}$ घटता है।

7. एक जोड़ा, फिर एक हटाया: 9 संख्याओं का औसत 47 है। इनमें 80 जोड़ा गया और फिर 35 हटाया गया। कुल 423 से 468 हो गया, और संख्याएँ फिर से 9 हैं। तो नया औसत 52 है।

यहाँ पदों की संख्या आख़िर में फिर 9 ही रही। तो यह वैसा ही है जैसे 35 के स्थान पर 80 आ गया हो, और औसत सीधे (80 − 35) ÷ 9 = 5 बढ़ जाता है। प्रतिस्थापन वाले प्रश्न आगे अलग भाग में हैं।

इन प्रश्नों में ज़्यादातर गलत उत्तर एक ही वजह से आते हैं। जहाँ n + 1 या n − 1 लेना था, वहाँ छात्र n ले लेते हैं। इसलिए विकल्प चुनने से पहले एक बार देख लीजिए कि कौन-सी संख्या किस औसत के साथ ली है।

एक साथ कई मान जुड़ें या हटें

कई लोग एक साथ जुड़ें या हटें, तो उन सबको मिलाकर एक ही व्यक्ति मान लीजिए, जिसका मान पूरे समूह के कुल के बराबर है। फिर वही एक व्यक्ति वाले सूत्र लगेंगे, बस 1 की जगह k रखना होगा।

k लोग जुड़ें और औसत बदले: 36 विद्यार्थियों का औसत भार 48 किग्रा है। चार नए विद्यार्थी जुड़ते हैं, तो औसत 0.6 किग्रा बढ़ जाता है। कुल से देखें, तो चारों का कुल भार 40 × 48.6 − 36 × 48 = 1944 − 1728 = 216 किग्रा है, और उनका औसत 54 किग्रा।

परिवर्तन × संख्या से भी यही आता है। पहले तो नए आए 4 विद्यार्थियों को पुराने औसत के हिसाब से 4 × 48 = 192 किग्रा चाहिए। फिर उन्हें सभी 40 लोगों को 0.6 किग्रा देना है, जो 24 किग्रा हुआ। दोनों मिलाकर 216 किग्रा।

$$\text{k नए सदस्यों का कुल} = kA + (n + k)d$$

औसत घटा हो, तो + की जगह ऋण चिह्न लगाइए। k से भाग दें, तो नए लोगों का औसत मिल जाता है। यहाँ 48 + 40 × 0.6 ÷ 4 = 54 किग्रा।

ज्ञात भार वाले k लोग जुड़ें: 18 सदस्यों का औसत भार 54 किग्रा है। 58 किग्रा और 66 किग्रा के दो नए सदस्य जुड़ते हैं। नया औसत = (972 + 124) ÷ 20 = 54.8 किग्रा। इसे और जल्दी भी कर सकते हैं। नए सदस्य 54 से 4 और 12 किग्रा ऊपर हैं, यानी कुल 16 किग्रा ज़्यादा। यह 20 लोगों में बँटता है, तो औसत 54 + 0.8 = 54.8 किग्रा हो जाता है।

दो नए सदस्यों में से एक का भार पता हो: 16 सदस्यों का औसत भार 57 किग्रा है। दो सदस्य जुड़ते हैं और औसत 58 किग्रा हो जाता है। इनमें से एक का भार 64 किग्रा है। दोनों का कुल भार 18 × 58 − 16 × 57 = 1044 − 912 = 132 किग्रा है, तो दूसरा 68 किग्रा का है।

k लोग हटें: 45 श्रमिकों का औसत वेतन ₹16,200 प्रति माह है। पाँच श्रमिक हट जाते हैं, और बचे 40 का औसत ₹16,000 रह जाता है। पाँचों मिलकर 45 × 16,200 − 40 × 16,000 = ₹7,29,000 − ₹6,40,000 = ₹89,000 ले गए, तो उनका औसत ₹17,800 है।

इसे परिवर्तन × संख्या से देखिए। बचे हुए 40 लोगों का औसत ₹200 घटा। मतलब हटने वाले मिलकर पुराने औसत से 40 × 200 = ₹8,000 ऊपर थे। तो उनका कुल 5 × 16,200 + 8,000 = ₹89,000 है।

$$\text{हटने वाले k सदस्यों का कुल} = kA \pm (n - k)d$$

चिह्न ऐसे चुनिए। हटने के बाद औसत घटे, तो धन, और बढ़े, तो ऋण।

कुछ हटें, कुछ जुड़ें: छात्रावास की मेस में 40 सदस्य हैं, और औसत मासिक शुल्क ₹3,150 है। औसतन ₹3,450 देने वाले छह सदस्य हट जाते हैं, और औसतन ₹2,850 देने वाले आठ नए सदस्य जुड़ते हैं। नया कुल = 1,26,000 − 20,700 + 22,800 = ₹1,28,100, जो 42 सदस्यों का है। तो नया औसत ₹3,050 है।

कितने जुड़े: कभी नए लोगों का औसत दिया होता है, पर उनकी संख्या नहीं। तब यह असल में दो समूहों के भारित औसत का प्रश्न है। ऐसे प्रश्न "भारित औसत और संयुक्त समूह" वाले खंड में "संयुक्त औसत से दूरी" वाली विधि से हल किए गए हैं।

प्रतिस्थापन: एक या दो लोग बदले

प्रतिस्थापन (replacement) में एक व्यक्ति बाहर जाता है और उसकी जगह दूसरा आ जाता है। लोगों की संख्या वही रहती है, केवल कुल बदलता है। और कुल ठीक उतना बदलता है, जितना दोनों व्यक्तियों में अंतर है।

$$\text{नया व्यक्ति} - \text{पुराना व्यक्ति} = n \times (\text{औसत में परिवर्तन})$$

एक व्यक्ति बदला, औसत बढ़ा: 8 नाविकों में से 62 किग्रा वाले एक नाविक के स्थान पर नया नाविक आता है, और औसत भार 1.5 किग्रा बढ़ जाता है। कुल भार 8 × 1.5 = 12 किग्रा बढ़ा। तो नया नाविक 62 + 12 = 74 किग्रा का है।

एक व्यक्ति बदला, औसत घटा: एक बोर्ड के 12 सदस्यों में से 58 वर्ष का एक सदस्य सेवानिवृत्त होता है, और उसकी जगह नया सदस्य आता है। इससे औसत आयु 2 वर्ष घट जाती है। कुल आयु 24 वर्ष घटी, तो नया सदस्य 58 − 24 = 34 वर्ष का है। इसीलिए बड़ी उम्र वाले सदस्य की जगह कोई नया आए, तो औसत आयु नीचे आ जाती है। कुछ प्रश्नों में प्रतिस्थापन के बाद औसत आयु उतनी ही रहती है जितनी कुछ वर्ष पहले थी। ऐसे प्रश्न "औसत आयु और आयु के प्रश्न" वाले खंड में हैं।

दो लोग बदले: 10 खिलाड़ियों में से 64 किग्रा और 71 किग्रा वाले दो खिलाड़ियों के स्थान पर दो नए खिलाड़ी आते हैं, और औसत भार 2.5 किग्रा बढ़ जाता है। कुल 25 किग्रा बढ़ा। तो दोनों नए खिलाड़ियों का भार मिलाकर 135 + 25 = 160 किग्रा है, और उनका औसत 80 किग्रा। यहाँ ध्यान रखिए, 25 किग्रा दो लोगों में बँटा है। इसलिए उनका औसत 67.5 + 12.5 = 80 है, 67.5 + 2.5 नहीं।

समूह में कितने लोग: 54 किग्रा वाले व्यक्ति की जगह 72 किग्रा वाला आता है, और समूह का औसत भार 1.5 किग्रा बढ़ जाता है। कुल 18 किग्रा बढ़ा, तो समूह में 18 ÷ 1.5 = 12 लोग हैं।

जुड़ना और बदलना, एक के बाद एक: A, B और C का औसत भार 62 किग्रा है। D जुड़ता है, तो चारों का औसत 60.5 किग्रा हो जाता है। फिर E, जो D से 4 किग्रा भारी है, A के स्थान पर आता है। अब B, C, D और E का औसत 59.75 किग्रा है। A का भार तीन चरणों में निकालते हैं।

• A + B + C = 186 है, तो D = 4 × 60.5 − 186 = 56 किग्रा, और E = 60 किग्रा।
• B + C + D + E = 4 × 59.75 = 239, तो B + C = 239 − 116 = 123।
• A = 186 − 123 = 63 किग्रा।

जाँच भी कर लीजिए। A की जगह E आने से चार लोगों का कुल 242 से 239 हुआ, यानी 3 कम। और E − A = 60 − 63 = −3 भी यही बताता है।

बदलने के साथ कोई जुड़े भी: संख्या भी बदल जाए, तो फिर कुल से ही चलिए। जैसे 20 सदस्यों का औसत भार 50 किग्रा है। 45 किग्रा वाले की जगह 66 किग्रा वाला आता है, और 55 किग्रा का एक और व्यक्ति जुड़ता है। नया कुल = 1000 + 21 + 55 = 1076, जो 21 लोगों का है। तो औसत लगभग 51.24 किग्रा है।

[SSC टिप] प्रतिस्थापन में संख्या n ही रहती है। यहाँ दो गलतियाँ बार-बार होती हैं। पहली, n + 1 ले लेना, मानो कोई नया जुड़ा हो और कोई गया ही न हो। दूसरी, औसत का परिवर्तन सीधे पुराने व्यक्ति के भार में जोड़ देना। नाविक वाले उदाहरण में ऐसा करने पर 62 + 1.5 = 63.5 किग्रा आता है, जो गलत है।

गलत प्रविष्टियाँ और गलत पढ़े गए मान

किसी एक मान में गलती हो जाए, तो कुल उतना बदल जाता है जितना गलत मान और सही मान में अंतर है। औसत उस अंतर ÷ n जितना बदल जाता है।

$$\text{सही औसत} = \text{गलत औसत} + \frac{\text{सही मान} - \text{गलत मान}}{n}$$

एक संख्या की जगह दूसरी लिखी गई: 50 प्रेक्षणों का औसत 64 निकला। बाद में पता चला कि 86 को 68 पढ़ लिया गया था। मतलब कुल 18 कम लिया गया, और सही औसत 64 + 18 ÷ 50 = 64.36 है।

कई गलत प्रविष्टियाँ: मान लीजिए 46 और 29 की जगह 64 और 23 दर्ज हो गए। कुल त्रुटि (64 + 23) − (46 + 29) = 87 − 75 = +12 है, यानी दर्ज कुल 12 अधिक है। अगर 25 प्रेक्षणों का दर्ज औसत 52 था, तो सही औसत 52 − 12 ÷ 25 = 51.52 है।

अंक उलट गए: दो अंकों की किसी संख्या के अंक a और b हों, तो संख्या 10a + b होती है। अंक उलटने पर यह 10b + a हो जाती है। दोनों का अंतर 9(a − b) है, इसलिए यह हमेशा 9 का गुणज होता है।

• 30 विद्यार्थियों की कक्षा में किसी का प्राप्तांक 38 था, पर 83 दर्ज हो गया। कुल 45 बढ़ गया, तो औसत 45 ÷ 30 = 1.5 बढ़ा।
• अब उलटी ओर से सोचिए। मान लीजिए अंक उलटने से 30 विद्यार्थियों की कक्षा का औसत 1.5 बढ़ गया। तब कुल 45 = 9 × 5 बढ़ा। मतलब प्राप्तांक के दोनों अंकों का अंतर 5 है। तब प्राप्तांक 16, 27, 38 या 49 में से कोई भी हो सकता है। पक्का उत्तर पाने के लिए प्रश्न में एक तथ्य और चाहिए।

कक्षा में कितने विद्यार्थी: किसी का प्राप्तांक 56 था, पर 81 दर्ज हुआ, और कक्षा का औसत 0.5 बढ़ गया। कुल 25 बढ़ा, तो कक्षा में 25 ÷ 0.5 = 50 विद्यार्थी हैं।

एक मान छूट गया: यहाँ दो अलग तरह की चूक हो सकती है।

• मान योग में छूट गया, पर भाग सही संख्या से दिया गया। जैसे 12 संख्याओं का औसत 34 निकला, पर जोड़ते समय 54 छूट गया था। सही कुल 12 × 34 + 54 = 462 है, तो सही औसत 38.5 है।
• मान पूरी तरह छूट गया, यानी भाग भी एक कम संख्या से दिया गया। जैसे 12वीं संख्या 46 भूल जाने से केवल 11 संख्याओं का औसत निकाला गया, जो 34 आया। सही औसत 34 + (46 − 34) ÷ 12 = 35 है।

एक मान दो बार गिना गया: 15 संख्याओं की सूची का औसत 50 निकाला गया, पर 80 दो बार गिन लिया गया। यानी 16 प्रविष्टियाँ जोड़कर 16 से भाग दिया गया। सही कुल 16 × 50 − 80 = 720 है, तो सही औसत 720 ÷ 15 = 48 है।

[SSC टिप] पहले यह तय कीजिए कि दर्ज कुल ज़्यादा था या कम। बड़ी संख्या छोटी के रूप में दर्ज हुई हो, तो सही औसत दर्ज औसत से अधिक होगा। चार में से दो विकल्प अक्सर उलटी दिशा वाले होते हैं, और वे इसी से हट जाते हैं।

उच्चतम या निम्नतम को छोड़कर

जिन प्रश्नों में उच्चतम या निम्नतम मान छोड़ा जाता है, उनमें कुछ मान छोड़कर कुल निकलता है। फिर इस कुल को पूरे कुल से मिलाकर देखते हैं। जैसे 11 परिणामों का औसत 60 है। उच्चतम को छोड़कर बाकी 10 का औसत 57 है, और निम्नतम को छोड़कर 62।

• पूरा कुल 11 × 60 = 660 है।
• उच्चतम = 660 − 10 × 57 = 90।
• निम्नतम = 660 − 10 × 62 = 40।
• परिसर, यानी उच्चतम − निम्नतम, 50 है।

परिसर निकालने का एक छोटा रास्ता भी है। उच्चतम − निम्नतम = 10 × (62 − 57) = 50। ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि 10-10 मानों वाले दोनों समूहों में बाकी सारे मान वही हैं। फ़र्क बस इतना है कि एक में उच्चतम है और दूसरे में निम्नतम।

दोनों एक साथ छोड़े: 15 संख्याओं की सूची का औसत 48 है। उच्चतम और निम्नतम दोनों हटाने पर बाकी 13 का औसत 47 है। तो उच्चतम + निम्नतम = 15 × 48 − 13 × 47 = 720 − 611 = 109। दोनों को अलग-अलग निकालना हो, तो एक तथ्य और चाहिए, जैसे उनका अंतर, या उनमें से कोई एक।

उच्चतम और निम्नतम का अंतर दिया हो: 20 पाठ्यांकों का औसत 45 है। उच्चतम, निम्नतम से 38 अधिक है, और दोनों को हटाकर बाकी 18 का औसत 44 है।

• उच्चतम + निम्नतम = 900 − 792 = 108।
• उच्चतम − निम्नतम = 38।
• उच्चतम = (108 + 38) ÷ 2 = 73, और निम्नतम = 35।

औसत कब नहीं बदलता: किसी मान को छोड़ने पर औसत तभी नहीं बदलता, जब वह मान औसत के बराबर हो। उच्चतम और निम्नतम एक साथ छोड़े जाएँ, तो औसत तब वही रहता है जब उन दोनों का औसत सूची के औसत के बराबर हो। जैसे 50 औसत वाली सूची में 30 और 70।

झटपट जाँच: उच्चतम छोड़ने पर औसत नीचे आता है, और निम्नतम छोड़ने पर ऊपर जाता है। उच्चतम कभी मूल औसत से नीचे नहीं हो सकता, और निम्नतम कभी उससे ऊपर नहीं। जो विकल्प इनमें से किसी भी बात से मेल न खाए, वह गलत है।

कई मान छोड़ना: 25 विद्यार्थियों की एक कक्षा में सबसे ज़्यादा अंक लाने वाले 3 विद्यार्थियों का औसत 92 है, और पूरी कक्षा का औसत 64। कक्षा का कुल 1600 है और ऊपर के तीनों का 276। तो बाकी 22 का औसत (1600 − 276) ÷ 22 = 60.18 है, लगभग 60.2।

तरीका वही है जो एक मान छोड़ने में था। छोड़े गए मानों का कुल पूरे कुल में से घटाइए, फिर नई संख्या से भाग दीजिए। आगे क्रिकेट वाले भाग में बल्लेबाज़ के उच्चतम और निम्नतम स्कोर भी इसी तरह निकलेंगे।

ऐसे प्रश्नों में पहले तीनों कुल एक के नीचे एक लिख लीजिए। सबसे ऊपर पूरा कुल, उसके नीचे उच्चतम के बिना वाला कुल, और फिर निम्नतम के बिना वाला। इसके बाद घटाइए। जिस समूह में एक मान कम है, उसके औसत को n − 1 से गुणा कीजिए, n से नहीं।

क्रिकेट: बल्लेबाज़ी औसत और रन रेट

बल्लेबाज़ी औसत (batting average) = कुल रन ÷ खेली गई पारियाँ। असली क्रिकेट में भाग उतनी बार से देते हैं जितनी बार बल्लेबाज़ आउट हुआ। पर SSC के प्रश्नों में भाग पारियों से ही दिया जाता है, जब तक प्रश्न में यह न लिखा हो कि बल्लेबाज़ किसी पारी में आउट नहीं हुआ।

हर बल्लेबाज़ी वाला प्रश्न असल में "एक व्यक्ति जुड़ता है" वाला प्रश्न ही है, बस रूप बदला हुआ है। हर नई पारी स्कोरों की सूची में जुड़ने वाला नया सदस्य है।

अगली पारी में कितने रन चाहिए: 14 पारियों के बाद औसत 36 है, और 15वीं पारी में इसे 38 तक ले जाना है। ज़रूरी रन = 36 + 15 × 2 = 66। कुल से देखें, तो 504 से 570 तक पहुँचना है।

नई पारी के बाद औसत: 21वीं पारी में 92 रन बने और औसत 2.5 बढ़ गया। ये 92 रन नए औसत से 20 × 2.5 = 50 अधिक हैं, तो नया औसत 92 − 50 = 42 है। जाँच के लिए देखिए, पहले 20 पारियों का औसत 39.5 था, यानी 790 रन। 790 + 92 = 882, और 882 ÷ 21 = 42।

नई पारी के रन: 16वीं पारी के बाद औसत 47 है, और उस पारी ने औसत 2 बढ़ाया। तो उस पारी में 47 + 15 × 2 = 77 रन बने।

औसत घटे तब: 26वीं पारी में केवल 9 रन बने और औसत 1.4 घट गया। तो नया औसत 9 + 25 × 1.4 = 44 है।

कितनी पारियाँ हुईं: नई पारी में 85 रन बने, औसत 2 बढ़ा और अब 51 है। 85 − 51 = 34, और यह (पहले की पारियाँ) × 2 के बराबर है। तो पहले 17 पारियाँ थीं, और यह नई पारी 18वीं थी।

उच्चतम और निम्नतम स्कोर: 40 पारियों में औसत 51 है। उच्चतम स्कोर, निम्नतम से 153 अधिक है, और इन दो पारियों को छोड़कर औसत 49.5 है।

• सभी 40 पारियों में 2040 रन हैं, और बाकी 38 में 38 × 49.5 = 1881।
• उच्चतम + निम्नतम = 159, और उच्चतम − निम्नतम = 153।
• तो उच्चतम = 156 और निम्नतम = 3।

[Tier 2] नाबाद पारियाँ: 30 पारियों में 1,125 रन बने, और उनमें से 5 पारियों में बल्लेबाज़ नाबाद (not out) रहा। तब बल्लेबाज़ी औसत 1125 ÷ 25 = 45 है, 1125 ÷ 30 = 37.5 नहीं।

रन रेट: टीम का रन रेट मतलब प्रति ओवर औसत रन। 50 ओवर के एक मैच में पहले 10 ओवरों का रन रेट 3.8 है, यानी 38 रन बने। टीम को 278 तक पहुँचना है, तो बाकी 40 ओवरों में 240 रन चाहिए, और रन रेट 6 होना चाहिए। कई लोग सीधे 278 ÷ 50 = 5.56 कर देते हैं। यह गलत है, क्योंकि इसमें बन चुके रन और खेले जा चुके ओवर भुला दिए गए।

क्रिकेट: गेंदबाज़ी औसत

गेंदबाज़ी औसत (bowling average) का मतलब है हर विकेट के लिए दिए गए रन।

$$\text{गेंदबाज़ी औसत} = \frac{\text{दिए गए रन}}{\text{लिए गए विकेट}}$$

यहाँ औसत जितना कम हो, गेंदबाज़ उतना अच्छा। मान लीजिए किसी गेंदबाज़ का औसत 13.6 है, और एक मैच में वह 33 रन देकर 6 विकेट लेता है। उस मैच में उसने प्रति विकेट औसतन केवल 5.5 रन दिए, जो उसके औसत से काफ़ी नीचे है। इसलिए उसका औसत घटेगा।

अंतिम मैच से पहले लिए गए विकेट: उसी गेंदबाज़ को लीजिए। औसत 13.6 रन प्रति विकेट है, और अंतिम मैच में 33 रन देकर 6 विकेट लेने से औसत 0.6 घटकर 13 हो जाता है। मान लीजिए पहले w विकेट थे।

$$13.6w + 33 = 13(w + 6) \Rightarrow 0.6w = 45 \Rightarrow w = 75$$

इसे जल्दी भी कर सकते हैं। नए औसत 13 के हिसाब से 6 विकेटों के 6 × 13 = 78 रन बनते। उसने केवल 33 दिए, यानी 45 रन बचाए। यही 45 रन की बचत पहले के हर विकेट पर 0.6 करके बँटी। तो पहले 45 ÷ 0.6 = 75 विकेट थे, ठीक वही 75 जो समीकरण से आया।

शब्दों में याद रखना हो, तो अंतिम मैच से पहले के विकेट = (मैच के विकेट × नया औसत − मैच के रन) ÷ औसत में गिरावट।

अंतिम मैच में लिए गए विकेट: किसी गेंदबाज़ ने 22 के औसत से 70 विकेट लिए हैं, यानी 1,540 रन दिए हैं। अगले मैच में वह 56 रन देता है और औसत 21 हो जाता है। मैच में k विकेट मानिए। अब कुल रन 1540 + 56 हैं, और नए औसत से ये 21(70 + k) होने चाहिए। इससे 70 + k = 76, यानी k = 6 आता है।

औसत बढ़े तब: किसी मैच में गेंदबाज़ के रन ÷ विकेट उसके औसत से ज़्यादा हो, तो उसका औसत बढ़ जाता है। जैसे 28 विकेट हैं और औसत 20, यानी 560 रन। एक मैच में वह 76 रन देकर 2 विकेट लेता है। तब नया औसत 636 ÷ 30 = 21.2 है।

मैच के बाद कुल विकेट: समीकरण वही रहता है, बस अंत में मैच के विकेट जोड़ दीजिए। पहले वाले उदाहरण में यह 75 + 6 = 81 है।

गेंदबाज़ी औसत और इकॉनमी में फ़र्क: इकॉनमी का मतलब है प्रति ओवर दिए गए रन, और यह एक अलग माप है। प्रति ओवर रन वाले प्रश्न ऊपर के "बल्लेबाज़ी औसत और रन रेट" वाले भाग की तरह रन रेट से हल होते हैं, गेंदबाज़ी औसत से नहीं।

[SSC टिप] गेंदबाज़ी में "औसत सुधरा" का मतलब है औसत घटा। जो छात्र परिवर्तन को घटाने की जगह जोड़ देते हैं, वे उसी गलत उत्तर पर पहुँचते हैं जो विकल्पों में पहले से दिया होता है। जाँच आसान है। उस मैच का रन ÷ विकेट पुराने औसत से कम हो, तो नया औसत भी पुराने से कम होना ही चाहिए।

लक्ष्य वाले प्रश्न: ज़रूरी अंक और न्यूनतम अंक

लक्ष्य वाले प्रश्न में पूछा जाता है कि तय औसत तक पहुँचने के लिए अभी और कितना चाहिए। तरीका सीधा है। लक्ष्य के लिए जितना कुल चाहिए, उसमें से वह घटा दीजिए जो पहले से है। जो बचे, वही ज़रूरी है।

अंतिम परीक्षा में ज़रूरी अंक: काव्या का 5 परीक्षाओं में औसत 66 है, और वह 6 परीक्षाओं में औसत 71 चाहती है। ज़रूरी अंक = 6 × 71 − 5 × 66 = 426 − 330 = 96। छोटा रास्ता भी है, 71 + 5 × 5 = 96। यानी 71 तो लक्ष्य के लिए, और पिछली 5 परीक्षाओं में से हर एक की भरपाई के लिए 5 अंक।

जब लक्ष्य पहुँच से बाहर हो: कुणाल ने 4 परीक्षाएँ दी हैं, हर एक 100 अंकों की, और उसका औसत 78 है। उसे 5 परीक्षाओं में 85 का औसत चाहिए। ज़रूरी अंक 85 + 4 × 7 = 113 हैं, जो अधिकतम 100 से ज़्यादा हैं। यानी यह असंभव है। वह ज़्यादा से ज़्यादा (312 + 100) ÷ 5 = 82.4 का औसत ला सकता है। SSC कभी-कभी यही "अधिकतम संभव औसत" पूछता है।

कितनी और परीक्षाएँ देनी होंगी: किसी विद्यार्थी का 9 परीक्षाओं में औसत 64 है, और उसके बाद वह हर परीक्षा में 80 अंक लाता है। पूछा गया है कि औसत 68 तक पहुँचने में कितनी और परीक्षाएँ लगेंगी। लक्ष्य से कमी 9 × (68 − 64) = 36 अंक है। हर नई परीक्षा लक्ष्य से 80 − 68 = 12 अंक ऊपर है, तो 36 ÷ 12 = 3 और परीक्षाएँ चाहिए। जाँच कर लीजिए, 576 + 240 = 816 = 12 × 68।

महीने की बिक्री का लक्ष्य: एक दुकानदार की 5 महीनों की बिक्री ₹42,300, ₹38,900, ₹45,600, ₹40,200 और ₹44,500 है, कुल ₹2,11,500। उसे 6 महीनों का औसत ₹43,000 चाहिए, यानी कुल ₹2,58,000। तो छठे महीने में ₹46,500 की बिक्री चाहिए।

इससे भी तेज़ तरीका है। हर महीने की बिक्री का 43,000 से विचलन लिखिए। ये −700, −4,100, +2,600, −2,800 और +1,500 हैं, और इनका योग −3,500 है। तो छठे महीने में 43,000 + 3,500 = ₹46,500 चाहिए।

बचे पेपरों में न्यूनतम औसत: उत्तीर्ण होने के लिए 8 पेपरों में कम से कम 60 का औसत चाहिए। पहले 6 पेपरों में 410 अंक आए हैं। तो बाकी 2 पेपरों में 480 − 410 = 70 अंक और चाहिए, यानी हर पेपर में औसतन कम से कम 35।

औसत गिरने न देना: किसी बल्लेबाज़ का औसत 41 है। उसका औसत न गिरे, इसके लिए उसे अगली पारी में कम से कम 41 रन बनाने होंगे। मौजूदा औसत से कम कोई भी स्कोर औसत को नीचे लाता है, और उससे अधिक स्कोर ऊपर ले जाता है। अलग-अलग अधिकतम अंकों वाले पेपरों में भारित प्रतिशत के प्रश्न "भारित औसत और संयुक्त समूह" वाले खंड में हैं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

किसी कक्षा के 27 विद्यार्थियों का औसत भार 41 किग्रा है। एक नए विद्यार्थी के आने पर औसत भार 41.5 किग्रा हो जाता है। नए विद्यार्थी का भार कितना है? (a) 54.5 किग्रा (b) 55.5 किग्रा (c) 55 किग्रा (d) 41.5 किग्रा

उत्तर: नए विद्यार्थी के भार में नया औसत 41.5 किग्रा तो आएगा ही, साथ में 27 पुराने विद्यार्थियों में से हर एक के लिए 0.5 किग्रा और। तो उसका भार 41.5 + 27 × 0.5 = 41.5 + 13.5 = 55 किग्रा है, यानी (c) 55 किग्रा। कुल से भी देख लेते हैं, 28 × 41.5 − 27 × 41 = 1162 − 1107 = 55। सबसे आम चूक है पुराने औसत के साथ 27 लेना। इससे 41 + 13.5 = 54.5 आता है, जो गलत है।

प्रश्न 2

किसी फर्म के 15 कर्मचारियों का औसत मासिक वेतन ₹28,400 है। एक प्रशिक्षु के जुड़ने पर औसत ₹600 घट जाता है। प्रशिक्षु का वेतन कितना है? (a) ₹18,800 (b) ₹19,400 (c) ₹27,800 (d) ₹18,200

उत्तर: औसत घटा है, तो प्रशिक्षु का वेतन दोनों औसतों से कम है। पुराने औसत से चलें, तो उसे मिलाकर 16 लोगों में से हर एक के लिए ₹600 कम करने हैं, यानी वेतन 28,400 − 16 × 600 है। 16 × 600 = 9,600, और 28,400 − 9,600 = ₹18,800। उत्तर (a) ₹18,800 है।

प्रश्न 3

21 संख्याओं का औसत 64 है। इनमें से एक संख्या हटा देने पर शेष संख्याओं का औसत 62.5 हो जाता है। हटाई गई संख्या कौन-सी है? (a) 95.5 (b) 92.5 (c) 34 (d) 94

उत्तर: संख्या हटने पर औसत घटा, तो हटाई गई संख्या औसत से ऊपर थी। हटाई गई संख्या = पुराना औसत + बची संख्याएँ × गिरावट = 64 + 20 × 1.5 = 94, यानी (d) 94। कुल से भी यही आता है, 21 × 64 − 20 × 62.5 = 1344 − 1250 = 94।

प्रश्न 4

व्यक्तियों के एक समूह का औसत भार 48 किग्रा है। 78 किग्रा भार वाले एक व्यक्ति के समूह में शामिल होने पर औसत भार 2 किग्रा बढ़ जाता है। आरंभ में समूह में कितने व्यक्ति थे? (a) 15 (b) 14 (c) 13 (d) 39

उत्तर: नया औसत 50 किग्रा है, और नया व्यक्ति इससे 78 − 50 = 28 किग्रा ऊपर है। यही 28 किग्रा पहले से मौजूद लोगों में 2-2 किग्रा करके बँटा है। तो पहले 28 ÷ 2 = 14 व्यक्ति थे, यानी (b) 14। जाँच कर लेते हैं, 14 × 48 + 78 = 750 = 15 × 50। कोई पुराने औसत से अंतर ले, तो 30 ÷ 2 = 15 आता है। पर 15 तो उसके जुड़ने के बाद की संख्या है, शुरू की नहीं।

प्रश्न 5

40 विद्यार्थियों का औसत भार 52 किग्रा है। पाँच नए विद्यार्थियों के आने पर सभी विद्यार्थियों का औसत भार 0.5 किग्रा बढ़ जाता है। पाँच नए विद्यार्थियों का औसत भार कितना है? (a) 56.5 किग्रा (b) 56 किग्रा (c) 52.5 किग्रा (d) 74.5 किग्रा

उत्तर: पाँचों नए विद्यार्थियों के कुल भार में पहले तो पुराने औसत 52 किग्रा के हिसाब से उनके अपने स्थानों के 260 किग्रा आते हैं। फिर सभी 45 विद्यार्थियों के लिए 0.5 किग्रा और जुड़ता है, जो 22.5 किग्रा हुआ। पाँचों मिलकर 282.5 किग्रा के हैं, तो उनका औसत 282.5 ÷ 5 = 56.5 किग्रा है, यानी (a) 56.5 किग्रा।

प्रश्न 6

किसी इकाई के 50 श्रमिकों का औसत मासिक वेतन ₹21,000 है। आठ श्रमिकों का स्थानांतरण हो जाता है, और शेष श्रमिकों का औसत वेतन ₹20,600 हो जाता है। स्थानांतरित हुए आठ श्रमिकों का औसत वेतन कितना था? (a) ₹21,400 (b) ₹23,500 (c) ₹23,100 (d) ₹18,900

उत्तर: पहले का कुल 50 × 21,000 = ₹10,50,000 था, और बाद का कुल 42 × 20,600 = ₹8,65,200 है। आठों श्रमिक मिलकर ₹1,84,800 ले गए, तो उनका औसत ₹23,100 है, यानी (c) ₹23,100। उत्तर की जाँच भी हो जाती है। उनके जाने पर औसत घटा, तो उनका औसत वेतन ₹21,000 से ज़्यादा होना ही चाहिए।

प्रश्न 7

किसी टीम के 22 सदस्यों का औसत भार 61 किग्रा है। दो नए सदस्यों के जुड़ने पर औसत भार 62 किग्रा हो जाता है। यदि नए सदस्यों में से एक का भार 70 किग्रा है, तो दूसरे का भार कितना है? (a) 74 किग्रा (b) 54 किग्रा (c) 78 किग्रा (d) 76 किग्रा

उत्तर: अब का कुल 24 × 62 = 1488 किग्रा है, और पहले का 22 × 61 = 1342 किग्रा। दोनों नए सदस्य मिलकर 146 किग्रा के हैं, तो दूसरा 146 − 70 = 76 किग्रा का है, यानी (d) 76 किग्रा।

प्रश्न 8

एक नौकायन दल के 9 सदस्यों में से 58 किग्रा भार वाले एक सदस्य के स्थान पर एक नया सदस्य आने से उनका औसत भार 2.4 किग्रा बढ़ जाता है। नए सदस्य का भार कितना है? (a) 60.4 किग्रा (b) 79.6 किग्रा (c) 82 किग्रा (d) 34.4 किग्रा

उत्तर: सदस्य बदला है, जुड़ा नहीं, तो संख्या 9 ही रहती है। कुल भार 9 × 2.4 = 21.6 किग्रा बढ़ा, तो नया सदस्य 58 + 21.6 = 79.6 किग्रा का है, यानी (b) 79.6 किग्रा। जल्दबाज़ी में कई लोग 58 में केवल 2.4 जोड़कर 60.4 किग्रा लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 9

11 खिलाड़ियों में से 78 किग्रा और 82 किग्रा भार वाले दो खिलाड़ियों के स्थान पर दो नए खिलाड़ी आने से उनका औसत भार 2 किग्रा घट जाता है। दोनों नए खिलाड़ियों का औसत भार कितना है? (a) 69 किग्रा (b) 78 किग्रा (c) 138 किग्रा (d) 58 किग्रा

उत्तर: कुल भार 11 × 2 = 22 किग्रा घटा। जाने वाले दोनों खिलाड़ी मिलकर 78 + 82 = 160 किग्रा के थे, तो नए दोनों मिलकर 160 − 22 = 138 किग्रा के हैं। उनका औसत 69 किग्रा है, यानी (a) 69 किग्रा।

प्रश्न 10

किसी समूह में 47 किग्रा भार वाले एक व्यक्ति के स्थान पर 68 किग्रा भार वाला व्यक्ति आने से समूह का औसत भार 0.75 किग्रा बढ़ जाता है। समूह में कितने व्यक्ति हैं? (a) 21 (b) 27 (c) 28 (d) 29

उत्तर: 47 की जगह 68 आने से कुल 68 − 47 = 21 किग्रा बढ़ा, और इसी से औसत 0.75 किग्रा बढ़ा। तो व्यक्ति = 21 ÷ 0.75 = 28, यानी (c) 28।

प्रश्न 11

किसी विभाग के 10 कर्मचारियों में से 57 वर्षीय एक कर्मचारी के सेवानिवृत्त होने और उसके स्थान पर एक नए कर्मचारी की नियुक्ति होने से उनकी औसत आयु 3 वर्ष घट जाती है। नए कर्मचारी की आयु कितनी है? (a) 54 वर्ष (b) 30 वर्ष (c) 24 वर्ष (d) 27 वर्ष

उत्तर: यह प्रतिस्थापन है, इसलिए संख्या 10 ही रहती है। कुल आयु 10 × 3 = 30 वर्ष घटी, तो नया कर्मचारी 57 − 30 = 27 वर्ष का है, यानी (d) 27 वर्ष। कुछ छात्र 11 कर्मचारी मानकर 24 वर्ष लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 12

A, B और C का औसत भार 70 किग्रा है। D के उनके साथ जुड़ने पर चारों का औसत भार 68 किग्रा हो जाता है। यदि D से 5 किग्रा अधिक भार वाला E, A का स्थान ले ले, तो B, C, D और E का औसत भार 67.5 किग्रा हो जाता है। A का भार कितना है? (a) 67 किग्रा (b) 69 किग्रा (c) 62 किग्रा (d) 71 किग्रा

उत्तर: A + B + C = 210 और A + B + C + D = 272, तो D = 62 किग्रा और E = 67 किग्रा। अब B + C + D + E = 4 × 67.5 = 270, तो B + C = 270 − 62 − 67 = 141। A = 210 − 141 = 69 किग्रा, यानी (b) 69 किग्रा। जाँच भी कर लेते हैं। A की जगह E आने से चार लोगों का कुल 272 से 270 हुआ, और E − A = 67 − 69 = −2 भी यही बताता है।

प्रश्न 13

45 प्रेक्षणों का औसत 72 ज्ञात किया गया। बाद में ध्यान आया कि मान 53 को गलती से 98 लिख दिया गया था। सही औसत कितना है? (a) 71 (b) 73 (c) 70 (d) 69

उत्तर: 53 की जगह 98 लिखा गया, तो दर्ज कुल 98 − 53 = 45 अधिक है। यह 45 प्रेक्षणों में बँटा, तो औसत 1 अधिक निकला। सही औसत 72 − 1 = 71, यानी (a) 71। दिशा भी मिला लीजिए। छोटी संख्या की जगह बड़ी लिखी गई थी, तो सही औसत कम होना ही चाहिए।

प्रश्न 14

किसी कक्षा में एक विद्यार्थी के अंक 58 के स्थान पर 85 दर्ज कर दिए गए। इस कारण कक्षा के औसत अंक 0.75 बढ़ गए। कक्षा में कितने विद्यार्थी हैं? (a) 27 (b) 30 (c) 36 (d) 40

उत्तर: 58 की जगह 85 दर्ज होने से कुल 85 − 58 = 27 अंक बढ़ा, और इसी से औसत 0.75 बढ़ा। तो विद्यार्थी = 27 ÷ 0.75 = 36, यानी (c) 36।

प्रश्न 15

18 संख्याओं का औसत 46 परिकलित किया गया। बाद में पता चला कि जोड़ते समय संख्या 72 छूट गई थी, यद्यपि योग को 18 से ही भाग दिया गया था। सही औसत कितना है? (a) 54 (b) 49 (c) 46 (d) 50

उत्तर: योग में 72 छूट गया, तो कुल 72 कम लिया गया। भाग 18 से ही दिया गया था, तो औसत 72 ÷ 18 = 4 कम आया। सही औसत 46 + 4 = 50, यानी (d) 50। कुल से भी देख लेते हैं। 18 × 46 = 828, सही कुल 828 + 72 = 900, और 900 ÷ 18 = 50।

प्रश्न 16

13 मानों का औसत 54 है। यदि उच्चतम मान को छोड़ दिया जाए, तो शेष मानों का औसत 51.5 है, और यदि निम्नतम मान को छोड़ दिया जाए, तो शेष मानों का औसत 57 है। उच्चतम और निम्नतम मानों का अंतर कितना है? (a) 84 (b) 66 (c) 18 (d) 71.5

उत्तर: सभी 13 मानों का कुल 702 है। उच्चतम के बिना कुल 12 × 51.5 = 618 है, तो उच्चतम 84 है। निम्नतम के बिना कुल 12 × 57 = 684 है, तो निम्नतम 18 है। अंतर 84 − 18 = 66, यानी (b) 66। छोटा रास्ता भी है, 12 × (57 − 51.5) = 66। जल्दबाज़ी में 12 की जगह 13 से गुणा कर दें, तो 71.5 आता है, जो गलत है।

प्रश्न 17

18 पारियों के बाद एक बल्लेबाज़ का औसत 39 रन है। अपना औसत 42 करने के लिए उसे 19वीं पारी में कितने रन बनाने होंगे? (a) 96 रन (b) 93 रन (c) 99 रन (d) 42 रन

उत्तर: ज़रूरी रन में लक्ष्य के 42 रन तो चाहिए ही, साथ में खेली जा चुकी 18 पारियों में से हर एक के लिए 3 रन और। तो 42 + 18 × 3 = 96। कुल से भी यही आता है, 19 × 42 − 18 × 39 = 798 − 702 = 96। उत्तर (a) 96 रन है।

प्रश्न 18

एक बल्लेबाज़ अपनी 25वीं पारी में 108 रन बनाता है और इस प्रकार अपना औसत 3 रन बढ़ा लेता है। 25वीं पारी के बाद उसका औसत कितना है? (a) 33 (b) 39 (c) 36 (d) 105

उत्तर: 108 रन में एक तो इस पारी का अपना हिस्सा है, जो नया औसत है। बाकी पहले की 24 पारियों में से हर एक के लिए 3 रन हैं। तो नया औसत = 108 − 24 × 3 = 36, यानी (c) 36। जाँच भी कर लेते हैं। पहले 24 पारियों का औसत 33 था, यानी 792 रन, और 792 + 108 = 900 = 25 × 36। ध्यान रखिए, 33 तो इस पारी से पहले का औसत है।

प्रश्न 19

44 पारियों में एक बल्लेबाज़ का औसत 56 रन है। उसका उच्चतम स्कोर, उसके निम्नतम स्कोर से 168 रन अधिक है। यदि इन दोनों पारियों को छोड़ दिया जाए, तो शेष 42 पारियों में उसका औसत 54 रन है। उसका उच्चतम स्कोर कितना है? (a) 196 (b) 168 (c) 14 (d) 182

उत्तर: सभी 44 पारियों में 44 × 56 = 2464 रन हैं, और बाकी 42 में 42 × 54 = 2268 रन। तो उच्चतम + निम्नतम = 196, और उच्चतम − निम्नतम = 168। दोनों को जोड़ने पर 2 × उच्चतम = 364, तो उच्चतम 182 है और निम्नतम 14। उत्तर (d) 182 है।

प्रश्न 20

एक गेंदबाज़ का औसत 16.5 रन प्रति विकेट है। अपने अगले मैच में वह 35 रन देकर 5 विकेट लेता है, और उसका औसत 0.5 घट जाता है। इस मैच से पहले उसने कितने विकेट लिए थे? (a) 95 (b) 90 (c) 70 (d) 85

उत्तर: मान लेते हैं कि पहले w विकेट थे। तब $16.5w + 35 = 16(w + 5)$, यानी 0.5w = 80 − 35 = 45, और w = 90। उत्तर (b) 90 है। इसे झटपट भी कर सकते हैं। नए औसत से 5 विकेटों के 80 रन बनते, पर उसने 35 ही दिए, यानी 45 रन बचाए। 45 ÷ 0.5 = 90। ध्यान रखिए, 95 तो मैच के बाद के कुल विकेट हैं, पहले के नहीं।

प्रश्न 21

पहली 7 परीक्षाओं में अमन का औसत 71 है। अपना औसत 74 करने के लिए उसे 8वीं परीक्षा में कितने अंक प्राप्त करने होंगे? (a) 95 (b) 98 (c) 92 (d) 77

उत्तर: लक्ष्य के लिए कुल 8 × 74 = 592 चाहिए, और अभी कुल 7 × 71 = 497 है। तो ज़रूरी अंक 592 − 497 = 95 हैं। छोटे रास्ते से 74 + 7 × 3 = 95 आता है। उत्तर (a) 95 है।