औसत की मूल बातें और संख्याओं का औसत

औसत क्या है

मान लीजिए किसी सूची में कई मान हैं, और पूरी सूची की जगह हमें एक ही संख्या से काम चलाना है। ऐसी संख्या को औसत (average) कहते हैं। इसे निकालने के लिए सारे मान जोड़ लीजिए और फिर योग को पदों की संख्या से भाग दे दीजिए।

$$\text{औसत} = \frac{\text{पदों का योग}}{\text{पदों की संख्या}}$$

जैसे तन्वी ने पाँच कक्षा-परीक्षाएँ दीं और उसे 62, 75, 58, 81 और 69 अंक मिले। इनका योग 345 है और परीक्षाएँ 5 हैं। तो उसका औसत 345 ÷ 5 = 69 हुआ।

इसका मतलब भी समझ लीजिए। अगर तन्वी को हर परीक्षा में 69 अंक मिलते, तब भी उसका कुल ठीक उतना ही आता। यानी कुल को सब मानों में बराबर-बराबर बाँट दें, तो हर एक के हिस्से में जो आता है, वही औसत है। औसत का पूरा मतलब बस इतना ही है।

एक सूत्र, तीन काम। ऊपर वाले सूत्र को उलटकर लिखें, तो यह मिलता है।

$$\text{योग} = \text{औसत} \times \text{पदों की संख्या}$$

इस अध्याय के लगभग हर प्रश्न में यही करना होता है। पहले औसत को कुल में बदलिए, फिर कुलों के साथ हिसाब कीजिए, और अंत में वापस औसत पर आ जाइए। इसी एक सूत्र से तीन तरह के प्रश्न हल हो जाते हैं।

• योग ज्ञात करना: किसी परिवार का एक साल का औसत मासिक बिजली बिल ₹1,840 है। तो साल भर का बिल 1840 × 12 = ₹22,080 हुआ।
• संख्या ज्ञात करना: एक दुकान रोज़ औसतन 45 किग्रा चावल बेचती है। उसका 1,575 किग्रा चावल 1575 ÷ 45 = 35 दिन में बिक गया।
• औसत ज्ञात करना: 8 मित्रों ने ₹3,720 का बिल बराबर-बराबर बाँटा। हर एक के हिस्से में 3720 ÷ 8 = ₹465 आए।

औसत हमेशा बीच में रहता है। औसत सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच में ही होता है। यह किसी एक मान के बराबर हो सकता है, पर सबसे बड़े मान से बड़ा या सबसे छोटे मान से छोटा कभी नहीं हो सकता। ऐसा कोई विकल्प दिखे, तो उसे तुरंत हटा दीजिए। और अगर सारे मान बराबर हों, तो औसत भी वही मान होता है।

संतुलन वाला गुण। अब हर मान की औसत से दूरी देखिए। कुछ मान औसत से ऊपर होंगे और कुछ नीचे। ऊपर वाली दूरियाँ और नीचे वाली दूरियाँ हमेशा एक-दूसरे को काट देती हैं। तन्वी के अंकों की 69 से दूरियाँ −7, +6, −11, +12 और 0 हैं। इनका योग 0 है।

इसीलिए औसत को सूची का संतुलन-बिंदु कहते हैं। इसी खंड में आगे कल्पित औसत वाली विधि आएगी, और वह भी इसी बात पर चलती है।

इकाई। औसत की इकाई वही होती है जो मानों की होती है। भार का औसत किग्रा में आएगा, धन का ₹ में, तापमान का °C में और स्कोर का रन में। 50 में से मिले अंकों का औसत भी 50 में से ही होगा।

उलटे प्रश्न। कई प्रश्नों में औसत दिया होता है और कुल के बारे में पूछा जाता है। कभी n संख्याओं का कुल दिया होता है और फिर एक संख्या और आ जाती है। मान लीजिए 8 संख्याओं का औसत 24.5 है। तो इनका योग 8 × 24.5 = 196 है। अब सूची में नौवीं संख्या 38 और लिख दी गई। कुल 234 हो गया, तो नौ संख्याओं का औसत 234 ÷ 9 = 26 हुआ।

मुख्य बात: हर औसत को पहले कुल में बदल लीजिए, यानी औसत × पदों की संख्या। कुलों को जोड़ा-घटाया जा सकता है, औसतों को प्रायः नहीं।

क्रमागत संख्याएँ और समांतर श्रेणी

जब संख्याएँ हर बार एक ही सार्व अंतर से बढ़ती हों, तो उन्हें जोड़ने की कभी ज़रूरत नहीं पड़ती। जैसे 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41 में हर बार 4 बढ़ता है, यानी सार्व अंतर 4 है। 8, 9, 10, 11 में सार्व अंतर 1 है। ऐसी सूचियों को समांतर श्रेणी (arithmetic progression) कहते हैं। इनका औसत सीधे निकल आता है।

$$\text{औसत} = \frac{\text{प्रथम पद} + \text{अंतिम पद}}{2} = \text{मध्य पद}$$

17, 21, …, 41 वाली सूची में औसत (17 + 41) ÷ 2 = 29 है। और 29 इस सूची का चौथा पद भी है, यानी ठीक बीच वाला पद।

पदों की संख्या सम हो, तो बीच में दो पद होते हैं और औसत ठीक उन दोनों के बीच आता है। जैसे 8, 9, 10, 11 का औसत 9.5 है।

इसकी वजह आसान है। प्रथम पद को अंतिम पद के साथ जोड़िए, दूसरे पद को अंत से दूसरे पद के साथ, और इसी तरह दोनों सिरों से भीतर की ओर बढ़ते जाइए। हर जोड़े का योग बराबर आता है।

क्रमागत संख्याएँ। क्रमागत संख्याएँ (consecutive numbers) भी समांतर श्रेणी ही हैं। मान लीजिए n क्रमागत संख्याओं का औसत A है। तब सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या इस तालिका से सीधे मिल जाती है।

जैसे 7 क्रमागत संख्याओं का औसत 46 हो, तो संख्याएँ 43 से 49 तक हैं। 5 क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 57 हो, तो संख्याएँ 53, 55, 57, 59, 61 हैं। अब अगर सबसे छोटी और सबसे बड़ी का गुणनफल पूछा जाए, तो वह 53 × 61 = 3233 है।

सम संख्याएँ सम गिनती में हों, तो औसत विषम। 6 क्रमागत सम संख्याओं का औसत 37 है। सारी संख्याएँ सम हैं और औसत विषम, फिर भी इसमें कुछ गलत नहीं है। संख्याएँ 32, 34, 36, 38, 40, 42 हैं। यहाँ छात्र अक्सर अटक जाते हैं, क्योंकि वे औसत को सूची की ही एक संख्या मान लेते हैं। गिनती सम हो, तो औसत दोनों मध्य पदों के बीच आता है, यहाँ 36 और 38 के बीच।

सबसे छोटी और सबसे बड़ी का योग। किसी भी समांतर श्रेणी में प्रथम पद और अंतिम पद का योग औसत का दोगुना होता है। जैसे चार क्रमागत सम संख्याओं का औसत 33 है, तो सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या का योग 66 है। दोनों को अलग-अलग निकालने की ज़रूरत भी नहीं पड़ती। वैसे वे 30 और 36 हैं।

अगला समूह। n क्रमागत संख्याओं का औसत A हो, तो उनके ठीक बाद की n क्रमागत संख्याओं का औसत A + n होता है, क्योंकि हर संख्या n आगे खिसक जाती है। जैसे 9 क्रमागत संख्याओं का औसत 52 है, यानी संख्याएँ 48 से 56 तक हैं। अगली 9 संख्याएँ 57 से 65 तक हैं, और उनका औसत 61 है। सारी 18 संख्याएँ एक साथ लें, तो वे 48 से 65 तक हैं, और उनका औसत ठीक बीच में, यानी 56.5 आता है।

क्रमागत विषम या सम संख्याओं में अगली n संख्याओं का औसत A + 2n होता है।

मध्य पद हटाना। पदों की गिनती विषम हो और मध्य पद हटा दिया जाए, तो औसत नहीं बदलता, क्योंकि मध्य पद ही तो औसत था। प्रथम और अंतिम पद एक साथ हटा दें, तब भी औसत वही रहता है।

[SSC टिप] प्रश्न में अकेला "क्रमागत" लिखा हो, तो सार्व अंतर 1 है। क्रमागत विषम संख्याओं में सार्व अंतर 2 होता है, क्रमागत सम संख्याओं में भी 2, और 5 के क्रमागत गुणजों में 5। सबसे बड़ा पद चाहिए, तो हर हालत में औसत में (n − 1) सार्व अंतरों का आधा जोड़ दीजिए, यानी $A + \frac{(n - 1) \times \text{सार्व अंतर}}{2}$।

मानक संख्या-समूहों के औसत

कुछ मानक सूचियों पर ऐसे प्रश्न आते हैं जो एक पंक्ति में हल हो जाते हैं। जैसे प्रथम n प्राकृत संख्याएँ (first n natural numbers), प्रथम n विषम संख्याएँ, या किसी संख्या के प्रथम n गुणज। इनके औसत सीधे याद कर लीजिए।

वर्गों वाली पंक्ति को n = 19 पर जाँचिए। योग 19 × 20 × 39 ÷ 6 = 2470 है, और 2470 ÷ 19 = 130। घनों में n = 9 लें, तो योग 45² = 2025 है, और 2025 ÷ 9 = 225। तालिका में औसत वाला स्तंभ अलग से दिया है। औसत सीधे उसी से निकालिए, तो भाग वाला कदम बच जाता है।

"प्रथम n" और "n तक" का फ़र्क। ये दो अलग सूचियाँ हैं, और SSC अक्सर दोनों के उत्तर विकल्पों में रख देता है। इन्हें ध्यान से देखिए।

• प्रथम 25 विषम संख्याएँ 1, 3, …, 49 हैं, और इनका औसत 25 है।
• 25 तक की विषम संख्याएँ 1, 3, …, 25 हैं। ये केवल 13 संख्याएँ हैं, और इनका औसत 13 है।
• प्रथम 45 सम संख्याओं में अंतिम संख्या 90 है और औसत 46। जबकि 45 तक की सम संख्याएँ 2 से 44 तक हैं, यानी 22 संख्याएँ, और इनका औसत 23 है।

गिनती ऐसे निकालिए। N विषम हो, तो 1 से N तक (N + 1) ÷ 2 विषम संख्याएँ होती हैं। N सम हो, तो 2 से N तक N ÷ 2 सम संख्याएँ होती हैं।

वर्गों का औसत, औसत का वर्ग नहीं। 1 से 19 तक की संख्याओं का औसत 10 है, और 10² = 100। पर इनके वर्गों का औसत 130 है, 100 नहीं। घनों में भी यही बात है। विकल्पों में लगभग हमेशा एक संख्या "औसत का वर्ग" वाली होती है। उससे बचकर रहिए।

[Tier 2] सम और विषम संख्याओं के वर्ग और घन। इन समूहों के औसत के सूत्र ये हैं।

ये सूत्र मूल सूत्रों से भी बन जाते हैं। प्रथम n सम संख्याओं के वर्ग, 1 से n तक के वर्गों के 4 गुना होते हैं। इसलिए उनका औसत भी $\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}$ का 4 गुना होता है। परीक्षा-भवन में कोई सूत्र भूल जाएँ, तो इसी तरह मूल सूत्रों से बना लीजिए।

[SSC टिप] "प्रथम n" वाले किसी भी सूत्र को मन में n = 3 रखकर जाँच लीजिए। प्रथम 3 विषम संख्याएँ 1, 3, 5 हैं, जिनका औसत 3 है। प्रथम तीन प्राकृत संख्याओं के वर्ग 1, 4, 9 हैं, जिनका औसत $\frac{14}{3}$ है, और सूत्र से भी $\frac{4 \times 7}{6} = \frac{14}{3}$ ही आता है। कोई सूत्र n = 3 पर मेल न खाए, तो समझ लीजिए कि वह गलत है।

सीमा के भीतर की संख्याएँ: गुणज, शेषफल, अभाज्य

मान लीजिए प्रश्न है, "100 और 300 के बीच 7 के सभी गुणजों का औसत ज्ञात कीजिए।" ये गुणज भी समांतर श्रेणी में हैं, तो यहाँ भी वही नियम लगेगा। शर्त पूरी करने वाली पहली और अंतिम संख्या ढूँढ़िए, और उन दोनों का औसत ले लीजिए।

हल के कदम। पूरा हल चार कदमों में हो जाता है।

1. पहली संख्या ढूँढ़िए। 100 से ऊपर 7 का सबसे छोटा गुणज 105 है (7 × 15)।
2. अंतिम संख्या ढूँढ़िए। 300 से नीचे 7 का सबसे बड़ा गुणज 294 है (7 × 42)।
3. अब औसत = (105 + 294) ÷ 2 = 199.5।
4. गिनती पूछी हो, तो 42 − 15 + 1 = 28 गुणज हैं। इसे (294 − 105) ÷ 7 + 1 = 28 से भी निकाल सकते हैं।

यहाँ एक गलती बहुत होती है। कुछ छात्र सीधे सीमाओं का औसत ले लेते हैं और (100 + 300) ÷ 2 = 200 लिख देते हैं। पर 100 और 300 तो 7 के गुणज ही नहीं हैं। औसत असली पहले और अंतिम गुणज का लेना है।

"के बीच" और "से … तक"। "25 और 100 के बीच" का मतलब है कि 25 और 100 गिनती में नहीं आएँगे। "25 से 100 तक" में दोनों शामिल होते हैं। जैसे 25 और 100 के बीच 8 के गुणज 32 से 96 तक हैं, तो उनका औसत 64 है। 25 और 100 के ठीक बीच 62.5 आता है, पर वह उत्तर नहीं है।

दो अंकों और तीन अंकों की संख्याएँ। इन समूहों के मान सीधे याद रखिए।

शेषफल वाली संख्याएँ। मान लीजिए तीन अंकों की वे संख्याएँ चाहिए, जिन्हें 7 से भाग देने पर शेषफल 3 आता है। ये 101, 108, …, 997 हैं। ऐसी संख्याएँ भी समांतर श्रेणी में होती हैं, और यहाँ सार्व अंतर 7 है। पहली संख्या = 7 × 14 + 3 = 101 और अंतिम = 7 × 142 + 3 = 997। तो औसत = (101 + 997) ÷ 2 = 549, और गिनती = 142 − 14 + 1 = 129।

अभाज्य संख्याएँ। अभाज्य संख्याएँ समांतर श्रेणी में नहीं होतीं, इसलिए इनकी सूची बनाकर जोड़ना ही पड़ता है। 100 तक की अभाज्य संख्याएँ पक्की याद होनी चाहिए।

100 से नीचे कुल 25 अभाज्य संख्याएँ हैं, और इनका योग 1060 है। प्रथम 10 अभाज्य संख्याएँ 2 से 29 तक हैं। इनका योग 129 है, तो औसत 12.9 हुआ। इसी तरह 50 और 70 के बीच की अभाज्य संख्याएँ 53, 59, 61, 67 हैं। इनका योग 240 है, और औसत 240 ÷ 4 = 60।

इन प्रश्नों में तीन गलतियाँ बहुत होती हैं। पहली, 1 को अभाज्य मान लेना, जबकि 1 अभाज्य संख्या नहीं है। दूसरी, 2 को भूल जाना। 2 इकलौती सम अभाज्य संख्या है, तो प्रथम छह अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13 हैं, 3, 5, 7, 11, 13, 17 नहीं। इनका औसत $\frac{41}{6}$ है, लगभग 6.83। तीसरी, 51 (3 × 17), 57 (3 × 19), 87 (3 × 29) और 91 (7 × 13) देखने में अभाज्य लगती हैं, पर हैं नहीं।

[Tier 2] एक संख्या के गुणज, पर दूसरी के नहीं। मान लीजिए 60 तक 4 के वे गुणज चाहिए, जो 8 के गुणज नहीं हैं। ये 4, 12, 20, …, 60 हैं। यह भी समांतर श्रेणी है, जिसका सार्व अंतर 8 है। तो औसत = (4 + 60) ÷ 2 = 32।

कल्पित औसत विधि और लुप्त संख्या

चार अंकों वाली छह संख्याओं को हाथ से जोड़ने में समय लगता है, और गलती का डर भी रहता है। यहाँ संतुलन वाले गुण से काम बहुत जल्दी हो जाता है।

कल्पित औसत। सूची के बीच के आस-पास की कोई गोल संख्या मान लीजिए। इसे कल्पित औसत (assumed average) कहते हैं। अब हर मान का इस संख्या से विचलन (deviation) लिखिए, यानी मान इससे कितना ऊपर या नीचे है। फिर विचलनों की मदद से कल्पित औसत को ठीक कर लीजिए।

$$\text{औसत} = \text{कल्पित औसत} + \frac{\text{विचलनों का योग}}{n}$$

उदाहरण के लिए, एक कारख़ाने में छह दिन का उत्पादन 1,248, 1,263, 1,239, 1,257, 1,271 और 1,240 इकाई रहा। कल्पित औसत 1,250 मान लेते हैं।

विचलनों का योग +18 है। तो औसत = 1250 + 18 ÷ 6 = 1,253 इकाई।

कल्पित औसत कोई भी लिया जा सकता है, उत्तर वही आएगा। अच्छी संख्या चुनने का फ़ायदा बस इतना है कि विचलन छोटे रहते हैं। एक और उदाहरण देखिए। 4,537, 4,542, 4,529, 4,548 के लिए कल्पित औसत 4,540 लीजिए। विचलन −3, +2, −11, +8 हैं, जिनका योग −4 है। तो औसत 4540 − 1 = 4,539 है।

लुप्त संख्या। n संख्याओं का औसत पता हो और एक को छोड़कर बाकी सब दी हों, तो लुप्त संख्या = कुल − बाकी संख्याओं का योग। जैसे 6 संख्याओं का औसत 47 है, और पाँच संख्याएँ 38, 52, 41, 60, 45 दी हैं। कुल 6 × 47 = 282 है और पाँचों का योग 236। तो छठी संख्या 46 है।

संख्याएँ औसत के पास हों, तो विचलन वाला तरीका और भी तेज़ है। 47 से पाँचों के विचलन −9, +5, −6, +13, −2 हैं, और इनका योग +1 है। सारे विचलनों का योग 0 होना चाहिए, इसलिए छठी संख्या का विचलन −1 होगा। तो वह 47 से 1 कम, यानी 46 है।

दो लुप्त संख्याएँ। 7 संख्याओं का औसत 54 है, और इनमें से पाँच का योग 262 है। तो बाकी दो का योग 7 × 54 − 262 = 116 है। अब मान लीजिए एक संख्या दूसरी से 8 अधिक है। तब दोनों संख्याएँ 54 और 62 होंगी।

x के रूप में दी गई संख्याएँ। मान लीजिए x, x + 3, x + 7, x + 10, x + 15 का औसत 29 है। सबको जोड़ें, तो 5x + 35 = 145 आता है, जिससे x = 22 निकलता है। तो सबसे बड़ी संख्या 37 है।

इससे तेज़ रास्ता भी है। x के साथ जुड़ी संख्याएँ 0, 3, 7, 10, 15 हैं, और इनका औसत 7 है। तो x + 7 = 29, यानी x = 22।

हर मान में एक जैसा परिवर्तन

सूची के हर मान पर एक ही संक्रिया की जाए, तो औसत पर भी वही संक्रिया हो जाती है। मान लीजिए औसत 24 है।

इसकी वजह सीधी है। n मानों में से हर एक k बढ़ा, तो कुल nk बढ़ गया। इसे n से भाग दें, तो औसत में बढ़त k ही आती है। आम गलती यह है कि लोग औसत में ही nk जोड़ देते हैं।

मिली-जुली संक्रियाओं में क्रम। दो संक्रियाएँ हों, तो उनका क्रम देखना ज़रूरी है। मान लीजिए औसत 26 है। "3 से गुणा, फिर 8 घटाना" हो, तो नया औसत 3 × 26 − 8 = 70 है। पर "8 घटाना, फिर 3 से गुणा" हो, तो 3 × (26 − 8) = 54 आएगा। इसलिए प्रश्न में क्रम ध्यान से पढ़िए।

मूल औसत निकालना। कभी नया औसत दिया होता है और मूल औसत पूछा जाता है। तब उलटा चलिए, यानी जो संक्रिया सबसे बाद में हुई थी, उसे सबसे पहले हटाइए। जैसे सूची की हर संख्या को 4 से गुणा करके 7 जोड़ा गया, और नया औसत 91 आया। पहले 7 घटाइए, 84 मिलेगा। फिर 4 से भाग दीजिए, 21 मिलेगा। तो मूल औसत 21 था।

प्रतिशत परिवर्तन। हर मान 15% बढ़ जाए, तो औसत भी 15% बढ़ जाता है। जैसे औसत वेतन ₹24,000 हो, तो वह ₹27,600 हो जाएगा।

जब केवल कुछ मान बदलें। ऐसे में कुल से हिसाब लगाइए। जैसे 12 संख्याओं का औसत 40 है, और इनमें से पाँच संख्याएँ 6-6 बढ़ गईं। तो कुल 30 बढ़ा। इसे 12 संख्याओं में बाँटें, तो औसत 30 ÷ 12 = 2.5 बढ़ा। नया औसत 42.5 हुआ।

पैटर्न वाले परिवर्तन। मान लीजिए 10 संख्याओं का औसत 36 है। पहली संख्या में 1 की बढ़त हुई, दूसरी में 2 की, और इसी तरह 10वीं में 10 की। कुल बढ़त 1 + 2 + … + 10 = 55 हुई, तो औसत 5.5 बढ़ा। नया औसत 41.5 है।

इसे सीधे भी सोच सकते हैं। औसत में जितनी बढ़त होती है, वह बढ़तों का औसत ही है। यहाँ बढ़तें 1, 2, …, 10 हैं, और इनका औसत 5.5 है।

यहाँ ऊपर वाले मानक योग काम आते हैं। बढ़त 2, 4, 6, … हो, तो ये प्रथम n सम संख्याएँ हैं, जिनका औसत n + 1 है। कमी 1, 3, 5, … हो, तो ये प्रथम n विषम संख्याएँ हैं, जिनका औसत n है। जैसे 16 संख्याओं का औसत 30 है, और बढ़त 2, 4, …, 32 है। ये प्रथम 16 सम संख्याएँ हैं, तो इनका औसत 16 + 1 = 17 है। इसलिए नया औसत 47 हुआ।

प्रश्न में केवल औसत दिया हो और फिर लिखा हो "हर मान को …", तो असली मानों की कभी ज़रूरत नहीं पड़ती।

दिनों के औसत: तापमान, बिक्री, आगंतुक

दिनों वाले प्रश्न देखने में अलग लगते हैं, पर हल उन्हीं कुलों से होते हैं।

सोमवार से बुधवार और मंगलवार से गुरुवार। यहाँ तीन-तीन दिनों के दो समूह हैं। मंगलवार और बुधवार दोनों समूहों में उभयनिष्ठ हैं। इसलिए एक समूह के कुल में से दूसरे का कुल घटाएँ, तो साझा दिन कट जाते हैं।

$$(M + T + W) - (T + W + Th) = M - Th$$

यहाँ M, T, W और Th का मतलब सोमवार, मंगलवार, बुधवार और गुरुवार है। ये दिनों के अंग्रेज़ी नामों के पहले अक्षर हैं। हर समूह का कुल उसके औसत का 3 गुना है, इसलिए सोमवार − गुरुवार = 3 × (दोनों औसतों का अंतर)।

मान लीजिए सोमवार से बुधवार का औसत तापमान 36.5°C है और मंगलवार से गुरुवार का 37.2°C। गुरुवार का तापमान 38.4°C है। तो सोमवार − गुरुवार = 3 × (36.5 − 37.2) = −2.1, और सोमवार = 38.4 − 2.1 = 36.3°C।

इसकी जाँच भी कर लीजिए। बाद वाले समूह का औसत अधिक है, तो गुरुवार सोमवार से गर्म होना ही चाहिए। यहाँ ऐसा ही है।

चार दिनों पर भी यही चलता है। सोमवार से गुरुवार और मंगलवार से शुक्रवार की तुलना हो, तो सोमवार − शुक्रवार = 4 × (औसतों का अंतर)।

पहला और अंतिम दिन आपस में जुड़े हों। मान लीजिए सोमवार से गुरुवार का औसत तापमान 33°C है और मंगलवार से शुक्रवार का 34.5°C। साथ में यह भी दिया है कि शुक्रवार, सोमवार से 20% अधिक गर्म था। तो शुक्रवार − सोमवार = 4 × 1.5 = 6। शुक्रवार = 1.2 × सोमवार है, इसलिए 0.2 × सोमवार = 6। इससे सोमवार 30°C और शुक्रवार 36°C आता है।

सप्ताह के दो हिस्से, बीच में एक साझा दिन। सप्ताह का औसत तापमान 31°C है। पहले चार दिनों का औसत 30°C है और अंतिम चार दिनों का 32.5°C। गुरुवार दोनों हिस्सों में आता है। अब तीनों कुल निकाल लीजिए।

• पहले चार दिन: 4 × 30 = 120
• अंतिम चार दिन: 4 × 32.5 = 130
• पूरा सप्ताह: 7 × 31 = 217

गुरुवार दो बार गिना गया है, इसलिए गुरुवार = 120 + 130 − 217 = 33°C। आगे "आपस में मिलते समूह" वाले भाग में यही तरीका किसी भी संख्या-सूची पर लगाएँगे।

महीने के रविवार। एक पुस्तकालय में रविवार को औसतन 510 आगंतुक आते हैं और बाकी दिनों में 240। महीना 30 दिन का है और रविवार से शुरू होता है। तो रविवार 1, 8, 15, 22 और 29 तारीख को पड़ेंगे, यानी 5 रविवार।

$$\text{प्रतिदिन औसत} = \frac{5 \times 510 + 25 \times 240}{30} = \frac{8550}{30} = 285$$

यहाँ 4 रविवार मान लेने की गलती बहुत होती है। तब 276 आता है, और यही गलत संख्या विकल्पों में भी दी होती है।

रविवार गिनने के लिए एक बात याद रखिए। 30 दिन के महीने में दो वार 5 बार आते हैं, एक वह जिससे महीना शुरू होता है और दूसरा उसके अगले दिन वाला। 31 दिन के महीने में ऐसे तीन वार होते हैं।

औसत दैनिक बिक्री। एक दुकान की छह दिन की बिक्री ₹18,400, ₹21,250, ₹19,800, ₹22,600, ₹20,150 और ₹24,400 रही। कल्पित औसत ₹21,000 ले लेते हैं। विचलन −2,600, +250, −1,200, +1,600, −850, +3,400 हैं, और इनका योग +600 है। तो औसत = 21,000 + 100 = ₹21,100।

आपस में मिलते समूह: पहली k और अंतिम k

हाल के पेपरों में इस तरह के प्रश्न बार-बार आए हैं। n संख्याओं की एक सूची होती है। उसमें से एक पहला समूह लिया जाता है और एक अंतिम समूह। एक या अधिक संख्याएँ दोनों समूहों में आ सकती हैं, या किसी में भी नहीं। पर नियम हर बार एक ही रहता है।

$$\text{साझा भाग} = \text{पहले समूह का कुल} + \text{अंतिम समूह का कुल} - \text{पूरा कुल}$$

एक साझा संख्या। 11 संख्याओं का औसत 62 है। पहली 6 का औसत 59 है और अंतिम 6 का 66। यहाँ बीच वाली छठी संख्या दोनों समूहों में है।

$$6\text{ठी संख्या} = 6 \times 59 + 6 \times 66 - 11 \times 62 = 354 + 396 - 682 = 68$$

एक संख्या छूट जाए। 13 संख्याओं का औसत 42 है। पहली 6 का औसत 39 है और अंतिम 6 का 44। अब 7वीं संख्या किसी भी समूह में नहीं है, इसलिए इस बार पूरे कुल में से दोनों समूहों के कुल घटाने होंगे। 7वीं संख्या = 13 × 42 − 6 × 39 − 6 × 44 = 546 − 234 − 264 = 48।

कौन-सी स्थिति है, यह जानने के लिए दोनों समूहों में जितनी-जितनी संख्याएँ हैं, उन्हें जोड़कर n से मिलाइए। पहले उदाहरण में 6 + 6 = 12 है, जो 11 से अधिक है। मतलब एक संख्या दो बार गिनी गई। दूसरे में भी 6 + 6 = 12 है, पर यह 13 से कम है। मतलब एक संख्या छूट गई।

दो साझा संख्याएँ। 12 संख्याओं का औसत 45 है। पहली 7 का औसत 43 है और अंतिम 7 का 49। यहाँ 7 + 7 = 14 है, जो 12 से दो अधिक है। यानी छठी और 7वीं, दोनों संख्याएँ दो बार गिनी गईं। तो छठी + 7वीं = 301 + 343 − 540 = 104।

इन दोनों को अलग-अलग निकालने के लिए एक बात और पता होनी चाहिए। मान लीजिए 7वीं संख्या छठी से 6 अधिक है। तब दोनों संख्याएँ 49 और 55 होंगी।

पहली पाँच, अगली चार और बाकी। 15 संख्याओं का औसत 28 है। पहली पाँच का औसत 25 है और अगली चार का 31। 10वीं संख्या 26 है। अंतिम पाँच का औसत निकालना है।

• पूरा कुल: 15 × 28 = 420
• पहली पाँच का कुल 125, अगली चार का 124, और 10वीं संख्या 26
• अंतिम पाँच: 420 − 125 − 124 − 26 = 145, तो इनका औसत 29

छोटी सूची की पहली और अंतिम संख्या। पाँच संख्याओं में से पहली चार का औसत 26 है और अंतिम चार का 29। बीच की तीन संख्याएँ दोनों समूहों में हैं, इसलिए अंतिम − पहली = 4 × (29 − 26) = 12। अगर पहली संख्या 20 हो, तो अंतिम 32 होगी।

कहानी वाले प्रश्न। यही प्रश्न शब्दों में भी आता है। जैसे, "9 पार्सलों के एक बैच का औसत भार 36 किग्रा है। पहले पाँच का औसत 33 किग्रा और अंतिम पाँच का 41 किग्रा है।" यहाँ 5वाँ पार्सल दोनों समूहों में गिना गया है। तो उसका भार 165 + 205 − 324 = 46 किग्रा है।

जोड़ों की शर्तों से तीन या चार संख्याएँ

कुछ प्रश्नों में संख्याओं के बारे में केवल जोड़ों के औसत दिए होते हैं, या "बाकी का औसत" दिया होता है।

हर जोड़े का औसत। A और B का औसत 41 है, B और C का 47 है, तथा C और A का 52 है। हर औसत को योग में बदल लीजिए। A + B = 82, B + C = 94 और C + A = 104।

अब तीनों को जोड़िए। इसमें हर संख्या दो बार आएगी।

$$2(A + B + C) = 82 + 94 + 104 = 280 \Rightarrow A + B + C = 140$$

तो A = 140 − 94 = 46, B = 140 − 104 = 36 और C = 140 − 82 = 58। तीनों का औसत $\frac{140}{3}$ है, लगभग 46.67।

केवल दो जोड़े। P और Q का औसत 30 है, और Q और R का 34। इनके योग 60 और 68 हुए। एक को दूसरे में से घटाएँ, तो Q कट जाता है और R − P = 8 बचता है। यह वही काटने वाला तरीका है, जो ऊपर सोमवार से बुधवार वाले प्रश्नों में लगाया था।

तीन और तीन। A, B, C का औसत 44 है और B, C, D का 47। साथ में D = 59 दिया है। B और C दोनों समूहों में हैं, तो A − D = 3 × (44 − 47) = −9। इसलिए A = 50।

"बाकी तीन" वाले प्रश्न। चार संख्याओं का औसत 42 है, तो इनका कुल 168 है। पहली संख्या, बाकी तीन के औसत से 12 अधिक है। पहली संख्या A मान लीजिए। तब बाकी तीन का योग 168 − A होगा।

$$A = \frac{168 - A}{3} + 12 \Rightarrow 3A = 168 - A + 36 \Rightarrow A = 51$$

इसका एक छोटा रास्ता भी है। n संख्याओं में से कोई एक संख्या बाकी के औसत से d अधिक हो, तो वह सभी n संख्याओं के औसत से $\frac{n - 1}{n} \times d$ अधिक होती है। यहाँ 42 + $\frac{3}{4}$ × 12 = 51। अगर वह संख्या बाकी के औसत से d कम हो, तो जोड़ने की जगह घटाइए।

एक-दूसरे से जुड़ी संख्याएँ। तीन संख्याएँ हैं। पहली, दूसरी की दोगुनी है, और दूसरी, तीसरी से 4 अधिक है। इनका औसत 28 है। तीसरी संख्या t मान लीजिए। तब दूसरी t + 4 और पहली 2t + 8 होगी। तीनों को जोड़ें, तो 4t + 12 = 84, जिससे t = 18 आता है। तो संख्याएँ 44, 22 और 18 हैं।

[Tier 2] औसत और गुणनफल। दो संख्याओं का औसत 17 है और उनका गुणनफल 280। तो उनका योग 34 है।

$$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 1156 - 1120 = 36$$

अंतर 6 आया, तो संख्याएँ 20 और 14 हैं।

हल किए गए उदाहरण

अब इन तरीकों से कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

13 क्रमागत प्राकृत संख्याओं का औसत 47 है। इनमें से सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है? (a) 60 (b) 53 (c) 59 (d) 54

उत्तर: क्रमागत संख्याओं की गिनती विषम है, तो बीच वाली संख्या ही औसत है। 13 संख्याओं में बीच में 7वीं संख्या आती है, यानी 7वीं संख्या 47 है। उसके बाद 6 संख्याएँ और हैं, तो सबसे बड़ी संख्या 47 + 6 = 53 है। उत्तर (b) 53 है। जल्दबाज़ी में कुछ लोग 47 को सबसे छोटी संख्या मानकर 47 + 12 = 59 लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 2

छह क्रमागत सम संख्याओं का औसत 49 है। इनमें से सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या का गुणनफल कितना है? (a) 2392 (b) 2365 (c) 2385 (d) 2376

उत्तर: गिनती सम है, तो 49 दोनों मध्य संख्याओं 48 और 50 के बीच आता है। इसलिए छह संख्याएँ 44, 46, 48, 50, 52, 54 हैं। सबसे छोटी × सबसे बड़ी = 44 × 54 = 2376, तो उत्तर (d) 2376 है। झटपट जाँच भी कर लेते हैं। 44 + 54 = 98, जो 2 × 49 के बराबर है।

प्रश्न 3

11 क्रमागत संख्याओं का औसत 67 है। यदि इनके ठीक बाद की 5 क्रमागत संख्याएँ भी शामिल कर ली जाएँ, तो सभी 16 संख्याओं का औसत कितना होगा? (a) 69.5 (b) 72 (c) 75 (d) 70

उत्तर: 11 संख्याओं का औसत 67 है, तो ये 67 − 5 = 62 से 67 + 5 = 72 तक हैं। अगली पाँच संख्याएँ 73 से 77 तक होंगी। यानी सारी 16 संख्याएँ 62 से 77 तक लगातार हैं। इसका औसत (62 + 77) ÷ 2 = 69.5 है, यानी (a) 69.5।

प्रश्न 4

प्रथम 17 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत है: (a) 81 (b) 1785 (c) 105 (d) 153

उत्तर: वर्गों के औसत का सूत्र $\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}$ है। इसमें n = 17 रखें, तो $\frac{18 \times 35}{6} = 105$ आता है। उत्तर (c) 105 है। प्रथम 17 संख्याओं का औसत 9 है, और कई लोग उसी का वर्ग 81 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि औसत का वर्ग और वर्गों का औसत अलग-अलग होते हैं।

प्रश्न 5

प्रथम 7 प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत है: (a) 784 (b) 112 (c) 98 (d) 64

उत्तर: प्रथम 7 घनों का योग $\left(\frac{7 \times 8}{2}\right)^2 = 28^2 = 784$ है। इसे 7 से भाग दें, तो 784 ÷ 7 = 112 आता है। चाहें तो सीधे औसत वाला सूत्र लगा लीजिए, $\frac{n(n + 1)^2}{4} = \frac{7 \times 64}{4} = 112$। दोनों तरह से (b) 112 ही आता है।

प्रश्न 6

प्रथम 45 विषम संख्याओं के औसत और 1 से 45 तक की सभी विषम संख्याओं के औसत में कितना अंतर है? (a) 22 (b) 0 (c) 23 (d) 21

उत्तर: प्रथम 45 विषम संख्याएँ 1, 3, …, 89 हैं, और इनका औसत 45 है। 1 से 45 तक की विषम संख्याएँ 1, 3, …, 45 हैं। ये कुल 23 संख्याएँ हैं, और इनका औसत (1 + 45) ÷ 2 = 23 है। दोनों का अंतर 45 − 23 = 22 है, तो सही विकल्प (a) 22 है।

प्रश्न 7

200 और 500 के बीच 11 के सभी गुणजों का औसत कितना है? (a) 350 (b) 357.5 (c) 346.5 (d) 352

उत्तर: 200 से ऊपर 11 का पहला गुणज 209 है (11 × 19), और 500 से नीचे अंतिम गुणज 495 है (11 × 45)। ये गुणज समांतर श्रेणी में हैं, तो औसत (209 + 495) ÷ 2 = 352 है, यानी (d) 352। कई लोग सीधे सीमाओं का औसत लेकर 350 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि 200 और 500 तो 11 के गुणज ही नहीं हैं।

प्रश्न 8

10 और 40 के बीच की सभी अभाज्य संख्याओं का औसत कितना है? (a) 25 (b) 20 (c) 22.5 (d) 24

उत्तर: 10 और 40 के बीच की अभाज्य संख्याएँ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 हैं। ये 8 संख्याएँ हैं, और इनका योग 180 है। तो औसत 180 ÷ 8 = 22.5 आता है। उत्तर (c) 22.5 है। यहाँ 11 और 37 का औसत 24 ले लेना गलत होगा, क्योंकि अभाज्य संख्याएँ समांतर श्रेणी में नहीं होतीं। इसलिए बीच वाले बिंदु का नियम यहाँ नहीं चलता।

प्रश्न 9

3,725, 3,739, 3,718, 3,746, 3,731 और 3,733 का औसत है: (a) 3,732 (b) 3,730 (c) 3,734 (d) 3,728

उत्तर: कल्पित औसत 3,730 ले लेते हैं। इससे विचलन −5, +9, −12, +16, +1, +3 हैं, जिनका योग +12 है। तो औसत = 3730 + 12 ÷ 6 = 3,732 आया, जो विकल्प (a) 3,732 है।

प्रश्न 10

8 संख्याओं का औसत 61 है। इनमें से छह संख्याएँ 57, 71, 48, 66, 73 और 56 हैं, और शेष दो संख्याएँ आपस में बराबर हैं। शेष दो संख्याओं में से प्रत्येक कितनी है? (a) 117 (b) 61 (c) 59 (d) 58.5

उत्तर: सभी 8 संख्याओं का कुल 8 × 61 = 488 है। दी गई छह संख्याओं का योग 371 है। तो दोनों बराबर संख्याएँ मिलकर 488 − 371 = 117 हैं, और हर एक 58.5 है। उत्तर (d) 58.5 है। ध्यान रखिए, 117 दोनों का योग है, हर एक का मान नहीं। जल्दी में कई लोग वही 117 लिख देते हैं।

प्रश्न 11

x, x + 2, x + 5, x + 9 और x + 14 का औसत 30 है। इनमें से सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या का औसत कितना है? (a) 30 (b) 31 (c) 38 (d) 33

उत्तर: x के साथ जुड़ी संख्याएँ 0, 2, 5, 9, 14 हैं, जिनका योग 30 है। तो पाँचों संख्याओं का योग 5x + 30 = 150 हुआ, जिससे x = 24 आता है। संख्याएँ 24, 26, 29, 33, 38 हैं। सबसे छोटी और सबसे बड़ी का औसत = (24 + 38) ÷ 2 = 31, यानी (b) 31। यहाँ 30 लिखना गलत है। संख्याएँ बराबर दूरी पर नहीं हैं, इसलिए दोनों सिरों का औसत पूरे औसत 30 के बराबर नहीं आता।

प्रश्न 12

15 संख्याओं का औसत 26 है। प्रत्येक संख्या को 3 से गुणा करके उसमें से 8 घटाया जाता है। नया औसत कितना है? (a) 54 (b) 78 (c) 70 (d) 62

उत्तर: हर संख्या पर जो संक्रिया हुई है, वही औसत पर भी होगी। तो नया औसत = 3 × 26 − 8 = 78 − 8 = 70। विकल्प (c) 70 सही है। अगर क्रम उलट दिया, यानी पहले 8 घटाया और फिर 3 से गुणा किया, तो 3 × 18 = 54 आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 13

20 संख्याओं का औसत 42 है। पहली संख्या में 2 की, दूसरी में 4 की, तीसरी में 6 की, और इसी प्रकार आगे वृद्धि की जाती है, जिससे 20वीं संख्या में 40 की वृद्धि होती है। नया औसत कितना है? (a) 63 (b) 62 (c) 82 (d) 52.5

उत्तर: वृद्धियाँ 2, 4, 6, …, 40 हैं, यानी प्रथम 20 सम संख्याएँ। इनका योग 20 × 21 = 420 है। यह बढ़त 20 संख्याओं में बँटती है, तो औसत 21 बढ़ता है। नया औसत 42 + 21 = 63 हुआ। उत्तर (a) 63 है।

प्रश्न 14

सोमवार, मंगलवार और बुधवार का औसत तापमान 31.4°C था, तथा मंगलवार, बुधवार और गुरुवार का औसत तापमान 32.6°C था। यदि गुरुवार का तापमान 36°C था, तो सोमवार का तापमान कितना था? (a) 34.8°C (b) 39.6°C (c) 33.6°C (d) 32.4°C

उत्तर: मंगलवार और बुधवार दोनों समूहों में हैं, इसलिए कुल घटाने पर ये कट जाते हैं। बचता है सोमवार − गुरुवार = 3 × (31.4 − 32.6) = −3.6। तो सोमवार = 36 − 3.6 = 32.4°C, यानी (d) 32.4°C। जाँच भी कर लेते हैं। दूसरे समूह का औसत तापमान अधिक है, तो सोमवार गुरुवार से ठंडा होना ही चाहिए, और 32.4°C सच में 36°C से कम है।

प्रश्न 15

किसी दुकान की एक सप्ताह (सोमवार से रविवार) की औसत दैनिक बिक्री ₹14,600 थी। सोमवार से गुरुवार तक की औसत बिक्री ₹13,900 और गुरुवार से रविवार तक की औसत बिक्री ₹15,500 थी। गुरुवार को कितनी बिक्री हुई? (a) ₹14,700 (b) ₹15,400 (c) ₹14,600 (d) ₹16,200

उत्तर: गुरुवार चार-चार दिनों के दोनों समूहों में गिना गया है। सोमवार से गुरुवार का कुल 4 × 13,900 = ₹55,600 है, गुरुवार से रविवार का कुल 4 × 15,500 = ₹62,000 है, और पूरे सप्ताह का कुल 7 × 14,600 = ₹1,02,200 है। तो गुरुवार की बिक्री 55,600 + 62,000 − 1,02,200 = ₹15,400 हुई। उत्तर (b) ₹15,400 है।

प्रश्न 16

31 दिनों का एक महीना शनिवार से आरंभ होता है। किसी संग्रहालय में रविवार को औसतन 528 और अन्य दिनों में औसतन 280 आगंतुक आते हैं। उस महीने में प्रतिदिन आगंतुकों की औसत संख्या कितनी है? (a) 312 (b) 404 (c) 320 (d) 316

उत्तर: महीने की 1 तारीख शनिवार है, तो रविवार 2, 9, 16, 23 और 30 तारीख को पड़ेंगे। यानी 5 रविवार हैं और 26 अन्य दिन। कुल आगंतुक = 5 × 528 + 26 × 280 = 2640 + 7280 = 9920। प्रतिदिन औसत 9920 ÷ 31 = 320 है, यानी (c) 320। कई लोग केवल 4 रविवार मानकर 9672 ÷ 31 = 312 लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 17

11 संख्याओं का औसत 37 है। पहली 6 संख्याओं का औसत 34.5 और अंतिम 6 संख्याओं का औसत 41 है। छठी संख्या कितनी है? (a) 46 (b) 37 (c) 41 (d) 52

उत्तर: छठी संख्या दोनों समूहों में है। पहली छह संख्याओं का कुल 6 × 34.5 = 207 है, अंतिम छह का कुल 6 × 41 = 246 है, और सभी ग्यारह का कुल 11 × 37 = 407 है। तो छठी संख्या = 207 + 246 − 407 = 46, और सही विकल्प (a) 46 है।

प्रश्न 18

25 संख्याओं का औसत 55 है। पहली 12 संख्याओं का औसत 52 और अंतिम 12 संख्याओं का औसत 57 है। 13वीं संख्या कितनी है? (a) 55 (b) 54.5 (c) 61 (d) 67

उत्तर: यहाँ 12 + 12 = 24 है, जो 25 से एक कम है। मतलब 13वीं संख्या किसी भी समूह में नहीं है। सभी 25 का कुल 25 × 55 = 1375 है, पहली 12 का कुल 624 और अंतिम 12 का कुल 684। तो 13वीं संख्या = 1375 − 624 − 684 = 67, यानी (d) 67।

प्रश्न 19

14 संख्याओं का औसत 64 है। पहली 5 संख्याओं का औसत 60 और उनके बाद की 4 संख्याओं का औसत 66.5 है। यदि 10वीं संख्या 70 है, तो अंतिम 4 संख्याओं का औसत कितना है? (a) 66 (b) 65 (c) 82.5 (d) 52

उत्तर: सभी 14 संख्याओं का कुल 14 × 64 = 896 है। पहली 5 का कुल 300 है, अगली 4 का 266, और 10वीं संख्या 70 है। अंतिम 4 संख्याओं के लिए 896 − 300 − 266 − 70 = 260 बचता है। इन चारों का औसत 260 ÷ 4 = 65 है। उत्तर (b) 65 है।

प्रश्न 20

A और B का औसत 47, B और C का औसत 53 तथा A और C का औसत 56 है। C का मान कितना है? (a) 50 (b) 44 (c) 62 (d) 52

उत्तर: हर औसत को योग में बदल लेते हैं। A + B = 94, B + C = 106 और A + C = 112। तीनों को जोड़ें, तो 2(A + B + C) = 312, यानी A + B + C = 156। अब C = 156 − 94 = 62। सही विकल्प (c) 62 है।

प्रश्न 21

पाँच संख्याओं का औसत 32 है। पहली संख्या, शेष चार संख्याओं के औसत से 15 अधिक है। पहली संख्या कितनी है? (a) 44 (b) 47 (c) 29 (d) 45

उत्तर: पाँचों संख्याओं का कुल 160 है। पहली संख्या x मान लेते हैं। तब बाकी चार का योग 160 − x है, और $x = \frac{160 - x}{4} + 15$। दोनों ओर 4 से गुणा करें, तो 4x = 160 − x + 60, यानी 5x = 220 और x = 44। उत्तर (a) 44 है। जाँच भी कर लेते हैं। बाकी चार का योग 116 है और औसत 29, और 44 − 29 = 15 ही आता है।