योग = औसत × पदों की संख्या

  • औसत = योग ÷ पदों की संख्या, इसलिए योग = औसत × पदों की संख्या और पदों की संख्या = योग ÷ औसत। इस अध्याय के लगभग हर प्रश्न में सबसे पहले औसत को योग में बदलना होता है।
  • 12 संख्याओं का औसत 17.5 हो, तो उनका योग = 12 × 17.5 = 210।
  • किसी समूह का योग 1,350 और औसत 45 हो, तो उसमें 1,350 ÷ 45 = 30 सदस्य हैं।
  • औसत हमेशा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच ही आता है।
  • औसत की इकाई वही होती है जो आँकड़ों की होती है। भार किग्रा में दिए हों, तो औसत भी किग्रा में आएगा।

क्रमागत संख्याएँ और समांतर श्रेणी

  • संख्याएँ बराबर अंतर पर हों, यानी समांतर श्रेणी (AP) में हों, तो औसत = (प्रथम पद + अंतिम पद) ÷ 2। यही मध्य पद भी होता है।
  • पदों की संख्या विषम हो, तो बीच वाली संख्या ही औसत होती है। पदों की संख्या सम हो, तो बीच वाली दोनों संख्याओं के ठीक बीच का मान औसत होता है।
  • 5 क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 41 हो, तो संख्याएँ 37, 39, 41, 43 और 45 होंगी।
  • 8 क्रमागत सम संख्याओं का औसत 27 हो, तो चौथी और पाँचवीं संख्या 26 और 28 होंगी। यानी संख्याएँ 20 से 34 तक हैं।
  • सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या का अंतर = (पदों की संख्या − 1) × सार्व अंतर।

संख्या श्रेणियों का औसत

  • प्रथम n प्राकृत संख्याओं का औसत n+12\frac{n + 1}{2} होता है। प्रथम n विषम संख्याओं का औसत n और प्रथम n सम संख्याओं का औसत n + 1 होता है।
  • प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत (n+1)(2n+1)6\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6} और घनों का औसत n(n+1)24\frac{n(n + 1)^2}{4} होता है।
  • k के प्रथम n गुणजों का औसत k(n+1)2\frac{k(n + 1)}{2} होता है।
  • दो सीमाओं के बीच k के गुणजों का औसत चाहिए, तो सीमा के अंदर वाला पहला और अंतिम गुणज ढूँढ लीजिए। फिर (पहला + अंतिम) ÷ 2 कर दीजिए।
  • अभाज्य संख्याएँ बराबर अंतर पर नहीं होतीं, इसलिए इन्हें लिखकर जोड़ना पड़ता है। जैसे प्रथम 5 अभाज्य संख्याओं का योग 28 है, तो औसत 28 ÷ 5 = 5.6 है।

लुप्त संख्या, हर मान में बदलाव

  • लुप्त संख्या = औसत × पदों की संख्या − ज्ञात संख्याओं का योग।
  • हर मान में k जोड़ दिया जाए, तो औसत भी k बढ़ जाता है। हर मान में से k घटा दिया जाए, तो औसत भी k घट जाता है।
  • हर मान को k से गुणा या भाग दिया जाए, तो औसत को भी k से गुणा या भाग कर दीजिए।
  • दोनों बदलाव एक साथ भी हो सकते हैं। जैसे औसत 15 है और हर मान को 4 से गुणा करके फिर उसमें से 3 घटाया गया, तो नया औसत = 4 × 15 − 3 = 57।
  • केवल कुछ मानों में k जोड़ा जाए, तो योग k × (बदले गए मानों की संख्या) बढ़ता है। पर औसत निकालते समय भाग पदों की पूरी संख्या से ही दीजिए।

दिनों का औसत, उभयनिष्ठ मान

  • सोमवार से बुधवार का औसत और मंगलवार से गुरुवार का औसत दिया हो, तो मंगलवार और बुधवार दोनों में आते हैं और घटाने पर कट जाते हैं। इसलिए गुरुवार का मान − सोमवार का मान = 3 × (दोनों औसतों का अंतर)।
  • n संख्याओं में पहली k और अंतिम k संख्याओं के औसत दिए हों और 2k, n से अधिक हो, तो बीच की कुछ संख्याएँ दो बार गिनी जाती हैं। उनका योग = पहली k का योग + अंतिम k का योग − कुल योग।
  • जैसे 9 संख्याओं का औसत 30 है, पहली 5 का 27 और अंतिम 5 का 34। तो पाँचवीं संख्या = 135 + 170 − 270 = 35।
  • दो-दो संख्याओं के औसत दिए हों, तो पहले हर जोड़े का योग निकाल लीजिए। तीनों जोड़ों के योग जोड़कर आधा कर दीजिए, A + B + C मिल जाएगा।

एक का जुड़ना या हटना

  • एक सदस्य जुड़ता है और औसत d बढ़ जाता है, तो नया सदस्य = पुराना औसत + सदस्यों की नई संख्या × d।
  • एक सदस्य हट जाता है और औसत d घट जाता है, तो हटने वाला सदस्य = पुराना औसत + (बचे हुए सदस्यों की संख्या) × d।
  • औसत उलटी दिशा में बदले, तो इन दोनों सूत्रों में + की जगह − लगाइए।
  • कई सदस्य एक साथ जुड़ें, तो उनका योग = नया योग − पुराना योग। कई सदस्य एक साथ हटें, तो उनका योग = पुराना योग − नया योग।
  • 20 संख्याओं का औसत 30 है। एक संख्या और जुड़ने पर औसत 31 हो जाता है, तो नई संख्या = 30 + 21 × 1 = 51।

प्रतिस्थापन

  • प्रतिस्थापन (replacement) में सदस्यों की संख्या वही रहती है। इसलिए योग में परिवर्तन = सदस्यों की संख्या × औसत में परिवर्तन।
  • औसत बढ़े, तो नया व्यक्ति = पुराना व्यक्ति + सदस्यों की संख्या × वृद्धि। औसत घटे, तो नया व्यक्ति = पुराना व्यक्ति − सदस्यों की संख्या × कमी।
  • 6 व्यक्तियों में 58 किग्रा वाले के स्थान पर एक नया व्यक्ति आता है और औसत 2 किग्रा बढ़ जाता है। तो नए व्यक्ति का भार = 58 + 6 × 2 = 70 किग्रा।
  • दो सदस्यों का प्रतिस्थापन एक साथ हो, तो नई जोड़ी का योग = पुरानी जोड़ी का योग ± सदस्यों की संख्या × परिवर्तन।

गलत प्रविष्टियाँ

  • सही योग = गलत योग − गलत मान + सही मान।
  • औसत में परिवर्तन = (सही मान − गलत मान) ÷ पदों की संख्या।
  • अंक उलट गए हों, तो त्रुटि = 9 × (दोनों अंकों का अंतर)। जैसे 63 को 36 लिख दिया, तो योग 27 कम आया।
  • कोई मान छूट गया हो, तो उसे जोड़िए और पदों की संख्या 1 बढ़ाइए। कोई मान दो बार गिन लिया गया हो, तो उसे एक बार घटाइए और पदों की संख्या 1 कम कीजिए।
  • 25 संख्याओं का औसत 40 निकाला गया, पर उसमें 82 को 28 पढ़ा गया था, यानी योग 54 कम आया। तो सही औसत = 40 + 54 ÷ 25 = 42.16।

बल्लेबाज़ी और गेंदबाज़ी औसत

  • बल्लेबाज़ी औसत = कुल रन ÷ पारियों की संख्या।
  • अगली पारी में ज़रूरी रन = नया औसत × पारियों की नई संख्या − अब तक के रन। यही रन नया औसत + पुरानी पारियों की संख्या × औसत में वृद्धि से भी निकल आते हैं।
  • n-वीं पारी में s रन बनाने से औसत d बढ़ जाता है, तो नया औसत = s − (n − 1) × d।
  • गेंदबाज़ी औसत = दिए गए रन ÷ विकेट। गेंदबाज़ी औसत जितना कम हो, उतना अच्छा माना जाता है।
  • किसी गेंदबाज़ ने 400 रन देकर 16 विकेट लिए, तो उसका औसत 25 रन प्रति विकेट है। अगले 5 विकेट उसने 20 रन देकर लिए, तो नया औसत = 420 ÷ 21 = 20 हो गया।

लक्ष्य के लिए ज़रूरी अंक

  • ज़रूरी अंक = लक्ष्य औसत × कुल परीक्षाओं की संख्या − अब तक के अंक।
  • तेज़ तरीके से, ज़रूरी अंक = लक्ष्य + पिछली परीक्षाओं की संख्या × हर परीक्षा में लक्ष्य से कमी।
  • जैसे 4 परीक्षाओं में औसत 62 है और 5 परीक्षाओं के बाद औसत 65 करना है। पिछली हर परीक्षा में लक्ष्य से 3 अंक कम आए, तो पाँचवीं परीक्षा में 65 + 4 × 3 = 77 अंक चाहिए।
  • कई परीक्षाएँ बाकी हों, तो ज़रूरी अंकों को बाकी परीक्षाओं की संख्या से भाग दीजिए। इससे हर परीक्षा में ज़रूरी औसत मिल जाता है।
  • ज़रूरी अंक प्रश्नपत्र के अधिकतम अंकों से अधिक आएँ, तो लक्ष्य तक पहुँचना संभव नहीं है।

भारित औसत और समूहों का आकार

  • दो समूहों का संयुक्त औसत (combined average) n1a1+n2a2n1+n2\frac{n_1 a_1 + n_2 a_2}{n_1 + n_2} होता है। यह एक भारित औसत (weighted average) है, जो दोनों औसतों के बीच आता है और बड़े समूह के औसत के ज़्यादा पास रहता है।
  • औसतों से समूहों का आकार निकालना हो, तो n1:n2=(a2−A):(A−a1)n_1 : n_2 = (a_2 - A) : (A - a_1) लगाइए। इसमें दूरियों की अदला-बदली हो जाती है, यानी हर समूह के सामने दूसरे समूह की दूरी आती है।
  • जैसे लड़कों का औसत 40, लड़कियों का 55 और पूरी कक्षा का 46 है, तो लड़के : लड़कियाँ = 9 : 6 = 3 : 2।
  • पूरा औसत और दूसरे समूह का औसत दिया हो, तो पहले समूह का औसत = (पूरा योग − दूसरे समूह का योग) ÷ पहले समूह के सदस्यों की संख्या।
  • संतुलन का यही विचार एलीगेशन का आधार है। इसे अध्याय 6, "मिश्रण और एलीगेशन" में पढ़ेंगे।

भारित प्रतिशत और वेतन

  • प्रश्नपत्रों के अधिकतम अंक अलग-अलग हों, तो उनके प्रतिशतों का सीधा औसत कभी न लीजिए। पहले हर प्रतिशत को अंकों में बदल लीजिए।
  • जैसे 60 अंकों के प्रश्नपत्र में 40% और 140 अंकों वाले में 70% अंक आए, तो कुल प्रतिशत = (24 + 98) ÷ 200 = 61%। 55% लिखना गलत है।
  • अलग-अलग ग्रेड के कर्मचारियों का औसत वेतन = कुल वेतन ÷ कुल कर्मचारियों की संख्या।
  • हर ग्रेड में वेतन वृद्धि अलग-अलग प्रतिशत की हो और कर्मचारियों की संख्या वही रहे, तो औसत में प्रतिशत वृद्धि = कुल वृद्धि ÷ पुराना कुल वेतन × 100।
  • सबके वेतन में एक जैसी ₹k की वृद्धि हो, तो औसत वेतन भी ₹k बढ़ जाता है।

औसतों के औसत का जाल

  • दो औसतों का सीधा औसत तभी सही होता है, जब दोनों समूह बराबर आकार के हों।
  • 10 विद्यार्थियों का औसत 80 और 30 विद्यार्थियों का औसत 60 हो, तो कक्षा का औसत = (800 + 1,800) ÷ 40 = 65 होगा, 70 नहीं।
  • बराबर मात्राएँ खरीदी हों, तो मूल्यों का सीधा औसत ले सकते हैं। पर ₹30 और ₹45 प्रति किग्रा वाली दो किस्मों पर बराबर रकम खर्च की हो, तो औसत मूल्य ₹36 प्रति किग्रा आता है, ₹37.50 नहीं।

समय के साथ औसत आयु

  • t वर्ष बाद हर आयु t बढ़ जाती है, इसलिए औसत आयु भी t बढ़ जाती है। t वर्ष पहले की बात हो, तो औसत t कम होता है।
  • बीच में किसी बच्चे का जन्म हुआ हो, तो पुराने सदस्यों की आयु का योग आज के हिसाब से निकाल लीजिए। फिर बच्चे की आयु = आज का नया योग − वह योग।
  • शिक्षक को शामिल करके औसत दिया हो, तो शिक्षक की आयु = पुराना औसत + सदस्यों की नई संख्या × औसत में वृद्धि।
  • n सदस्यों में से एक का प्रतिस्थापन हुआ और फिर भी औसत वही है जो t वर्ष पहले था, तो नया सदस्य हटने वाले से n × t वर्ष छोटा है।
  • सबसे छोटे सदस्य के जन्म के समय का औसत चाहिए, तो पहले सबसे छोटे को हटा दीजिए। फिर बाकी हर सदस्य की आयु में से सबसे छोटे की आयु घटाकर औसत निकालिए।

आयु के दूसरे प्रश्न

  • दो लोगों की आयु का अंतर कभी नहीं बदलता।
  • दो आयुओं का योग और अंतर दिया हो, तो छोटी आयु = (योग − अंतर) ÷ 2।
  • बराबर अंतराल पर जन्मे बच्चों की औसत आयु बीच वाले बच्चे की आयु होती है। जैसे 5 बच्चे 2-2 वर्ष के अंतराल पर जन्मे हैं और उनकी औसत आयु 10 वर्ष है, तो सबसे छोटा 6 वर्ष का है।
  • दो आयुओं के अंक आपस में उलटे हों, तो उनका अंतर = 9 × (अंकों का अंतर) और योग = 11 × (अंकों का योग)।