भारित औसत और संयुक्त समूह

समूह मिलाना: योग जोड़ना

दो समूहों को मिलाकर एक कर दिया जाए, तो नए समूह का औसत दोनों औसतों का सीधा औसत नहीं होता। यहाँ योग पर लौटना पड़ता है। हर समूह का योग निकालने के लिए उसके औसत को उसकी संख्या से गुणा कीजिए। दोनों योग जोड़ लीजिए और फिर सभी लोगों की संख्या से भाग दे दीजिए। जो आता है, वही संयुक्त औसत (combined average) है।

$$\text{संयुक्त औसत} = \frac{n_1 a_1 + n_2 a_2}{n_1 + n_2}$$

यहाँ $n_1$ और $n_2$ दोनों समूहों के आकार हैं, यानी हर समूह में कितने लोग हैं। $a_1$ और $a_2$ उनके औसत हैं।

लड़के और लड़कियाँ: एक कक्षा में 30 लड़के हैं, जिनके औसत अंक 52 हैं। 20 लड़कियाँ भी हैं, और उनके औसत अंक 62 हैं। पूरी कक्षा का औसत ऐसे निकालते हैं।

• लड़कों के कुल अंक 30 × 52 = 1560 हैं और लड़कियों के 20 × 62 = 1240।
• पूरी कक्षा के अंक 2800 हुए और विद्यार्थी 50 हैं, तो कक्षा का औसत 56 है।

बहुत-से छात्र 52 और 62 का सीधा औसत लेकर 57 लिख देते हैं। यह गलत है। कक्षा में लड़के, लड़कियों से अधिक हैं, और बड़ा समूह उत्तर को अपनी ओर खींच लेता है।

संयुक्त औसत के बारे में ये तीन बातें हमेशा सही होती हैं।

1. संयुक्त औसत दोनों समूह-औसतों के बीच में होता है।
2. वह बड़े समूह के ज़्यादा पास होता है।
3. वह सीधे औसत के बराबर तभी होता है, जब दोनों समूह बराबर आकार के हों।

केवल इन तीन बातों से कई प्रश्नों में दो विकल्प तुरंत हट जाते हैं।

अनुपात और प्रतिशत को भी गिनती मान सकते हैं: लड़के और लड़कियाँ असल में कितने हैं, यह जानना ज़रूरी नहीं है। बस इतना पता होना चाहिए कि दोनों आपस में किस अनुपात में हैं। जैसे लड़के : लड़कियाँ = 3 : 2 हो, तो सीधे 3 लड़के और 2 लड़कियाँ मान लीजिए। औसत = (3 × 52 + 2 × 62) ÷ 5 = 280 ÷ 5 = 56, यानी वही उत्तर।

प्रश्न में "कक्षा में 60% लड़के हैं" लिखा हो या "लड़कियाँ, लड़कों की $\frac{2}{3}$ हैं", बात एक ही है। दोनों से भार 3 : 2 ही मिलता है।

विचलन वाला तेज़ तरीका: छोटे औसत से शुरू कीजिए। उसमें दोनों औसतों के अंतर का उतना हिस्सा जोड़ दीजिए, जितना हिस्सा दूसरे समूह का है।

$$\text{संयुक्त औसत} = a_1 + (\text{समूह 2 का हिस्सा}) \times (a_2 - a_1)$$

ऊपर वाली कक्षा में लड़कियाँ पूरी कक्षा का $\frac{2}{5}$ हैं, और उनका औसत लड़कों से 10 अंक अधिक है। तो कक्षा का औसत $52 + \frac{2}{5} \times 10 = 56$ है। संख्याएँ अटपटी हों, तो इस तरीके से बहुत सारा गुणा बच जाता है।

उत्तीर्ण और अनुत्तीर्ण: एक परीक्षा में 45 विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए, और उनके औसत अंक 64 रहे। 15 विद्यार्थी अनुत्तीर्ण हुए, जिनके औसत अंक 28 रहे। दोनों के योग 45 × 64 = 2880 और 15 × 28 = 420 हैं। यानी 60 विद्यार्थियों के कुल 3300 अंक हैं, और कक्षा का औसत 55 है।

हर पेपर में समूहों के नाम बदल जाते हैं। कहीं अनुभाग A और B होते हैं, कहीं अधिकारी और लिपिक। कहीं पुरुष और महिला कर्मचारी होते हैं, तो कहीं कनिष्ठ और वरिष्ठ कर्मचारी। तरीका हर बार वही रहता है।

संयुक्त औसत असल में एक भारित औसत (weighted average) है, जिसमें हर समूह का भार उसका आकार होता है। पूरी यात्रा की औसत चाल भी ऐसा ही भारित औसत है, पर वहाँ भार समय होता है। इसे अध्याय 10 (समय, चाल और दूरी) में देखेंगे।

कई समूह और गिनती-तालिका

समूह दो से अधिक हों, तब भी नियम वही रहता है। हर समूह का योग निकालकर सब जोड़ दीजिए, और कुल संख्या से भाग दे दीजिए।

$$\text{औसत} = \frac{n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3 + \cdots}{n_1 + n_2 + n_3 + \cdots}$$

जब संख्याएँ दी हों: अनुभाग A, B और C में 30, 45 और 25 विद्यार्थी हैं। उनके औसत अंक 66, 72 और 60 हैं।

• तीनों अनुभागों के योग 30 × 66 = 1980, 45 × 72 = 3240 और 25 × 60 = 1500 हैं।
• सब मिलाकर 100 विद्यार्थियों के 6720 अंक हुए, तो औसत = 6720 ÷ 100 = 67.2 है।

कुछ छात्र 6720 को 3 से भाग दे देते हैं, क्योंकि अनुभाग 3 हैं। SSC के विकल्पों में ठीक इसी गलती वाला उत्तर रखा जाता है।

जब आकार अनुपात में हों: श्रमिकों की तीन टीमें हैं। उनकी औसत दैनिक मज़दूरी ₹640, ₹720 और ₹600 है, और श्रमिकों की संख्या 2 : 3 : 5 के अनुपात में है। यहाँ 2, 3 और 5 को ही श्रमिकों की संख्या मान लीजिए।

(2 × 640 + 3 × 720 + 5 × 600) ÷ 10 = (1280 + 2160 + 3000) ÷ 10 = 6440 ÷ 10 = ₹644

आधार मान वाला शॉर्टकट: ऊपर के हिसाब में ज़्यादातर समय बड़े गुणा में जाता है। इससे बचने के लिए कोई गोल आधार मान चुन लीजिए, जैसे यहाँ ₹600। फिर देखिए कि हर टीम उससे कितनी ऊपर है, और केवल इन विचलनों का औसत निकालिए।

• ₹640 वाली टीम 40 ऊपर है और ₹720 वाली 120 ऊपर। ₹600 वाली टीम 0 ऊपर है, यानी ठीक आधार पर।
• विचलनों का भारित योग 2 × 40 + 3 × 120 + 5 × 0 = 440 है। यह 10 श्रमिकों में बँटता है, तो हर एक के हिस्से 44 आता है।
• औसत = 600 + 44 = ₹644।

जो समूह आधार से नीचे हो, उसका विचलन ऋण में लिखिए। तीन-चार समूह हों, तो प्रायः यही सबसे तेज़ तरीका है।

गिनती वाली तालिका से औसत: CGL के पेपरों में कभी-कभी मानों की एक तालिका दी होती है, और साथ में यह लिखा होता है कि कौन-सा मान कितने लोगों का है। यहाँ हर स्तंभ एक छोटा समूह है, तो यह भी भारित औसत ही है।

कुल अंक = 4 × 3 + 6 × 5 + 7 × 8 + 8 × 6 + 10 × 3 = 12 + 30 + 56 + 48 + 30 = 176। विद्यार्थियों की संख्या = 3 + 5 + 8 + 6 + 3 = 25 है, तो औसत = 176 ÷ 25 = 7.04।

यहाँ दो तरह की गलती होती है। कोई कुल अंकों को 5 से भाग दे देता है, क्योंकि स्तंभ 5 हैं। कोई पाँचों अंक-मानों का सीधा औसत ले लेता है, जो 7 आता है। दोनों तरीके गलत हैं।

तालिका में दो अनुभाग साथ-साथ दिए हों, तो हर अनुभाग का योग इसी तरह निकालिए। फिर दोनों को दो समूहों की तरह मिला दीजिए।

अज्ञात समूह: औसत या योग

अक्सर प्रश्न में पूरे समूह का औसत और उसके एक हिस्से का औसत दिया होता है, और बाकी हिस्से के बारे में पूछा जाता है। ऐसे में फिर से योग पर लौटिए। अज्ञात योग = पूरा योग − ज्ञात योग।

टीम के बाकी लोग: एक कार्यालय में 80 कर्मचारी हैं, और उनका औसत वेतन ₹45,000 है। बिक्री टीम के 30 लोगों का औसत वेतन ₹53,000 है। बाकी 50 लोगों का औसत वेतन निकालना है।

• पूरा योग = 80 × 45,000 = ₹36,00,000 है।
• बिक्री टीम का योग = 30 × 53,000 = ₹15,90,000 है।
• बाकी 50 लोगों के लिए ₹20,10,000 बचे, तो उनका औसत ₹40,200 है।

संतुलन वाला तरीका: कुल औसत को संतुलन बिंदु मान लीजिए। बिक्री टीम का औसत इससे ₹8,000 ऊपर है और टीम में 30 लोग हैं, तो वे मिलकर ₹2,40,000 ऊपर हुए। संतुलन बना रहे, इसके लिए बाकी 50 लोग मिलकर ₹2,40,000 नीचे होने चाहिए। यानी उनका औसत कुल औसत से ₹4,800 कम है, जो 45,000 − 4,800 = ₹40,200 हुआ। इसमें लाखों वाले योग की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

उच्चतम और निम्नतम को छोड़कर: 60 विद्यार्थियों का औसत प्राप्तांक 58 है। उच्चतम 6 विद्यार्थियों का औसत 88 है और निम्नतम 4 का 23। बाकी 50 विद्यार्थियों का औसत चाहिए।

• पहले योग निकाल लेते हैं। पूरी कक्षा का योग 60 × 58 = 3480 है, उच्चतम 6 का 6 × 88 = 528 और निम्नतम 4 का 4 × 23 = 92।
• बाकी 50 का योग 3480 − 528 − 92 = 2860 है, तो उनका औसत 57.2 है।

संतुलन से भी जाँच सकते हैं। उच्चतम 6 का औसत 58 से 30 ऊपर है, तो वे मिलकर +180 हैं। निम्नतम 4 का औसत 35 नीचे है, तो वे मिलकर −140 हैं। ये दोनों समूह कुल मिलाकर +40 थे, और अब हट गए हैं। इसलिए बाकी 50 मिलकर 40 नीचे होंगे, यानी उनका औसत 0.8 नीचे है। तो औसत 58 − 0.8 = 57.2 आता है।

औसत में गिना हुआ एक व्यक्ति: यह प्रश्न देखिए, "15 लिपिकों और उनके अनुभाग अधिकारी का औसत मासिक वेतन ₹24,500 है। अधिकारी का वेतन ₹56,000 है। लिपिकों का औसत वेतन ज्ञात कीजिए।" यहाँ ₹24,500 कुल 16 लोगों का औसत है, तो योग 16 × 24,500 = ₹3,92,000 है। इसमें से अधिकारी का वेतन हटा दीजिए। 15 लिपिकों के लिए ₹3,36,000 बचते हैं, और उनका औसत ₹22,400 है।

टॉपर वाले प्रश्न भी ऐसे ही होते हैं। टॉपर सहित 30 विद्यार्थियों का औसत 62 है और टॉपर के अंक 91 हैं। तो बाकी 29 का औसत = (1860 − 91) ÷ 29 = 61। शिक्षक सहित कक्षा का औसत हो या कोच सहित टीम का औसत, तरीका यही रहता है।

एक समूह का आकार पता न हो: अब यह प्रश्न लीजिए, "किसी समूह के औसत अंक 48 हैं। उनमें से बीस के औसत अंक 54 हैं और शेष के 44। समूह में कितने लोग हैं?" शेष लोगों की संख्या x मान लेते हैं। तब

$$20 \times 54 + 44x = 48(20 + x)$$

यानी 1080 + 44x = 960 + 48x, जिससे 4x = 120 और x = 30 आता है। समूह में 50 लोग हैं। आगे दूरी वाला नियम आएगा, जिससे यही प्रश्न और जल्दी हो जाएगा।

[SSC टिप] प्रश्न पढ़ते समय देख लीजिए कि दिए गए औसत में वह ख़ास व्यक्ति शामिल है या नहीं। यह व्यक्ति अधिकारी, शिक्षक या टॉपर, कोई भी हो सकता है। "15 लिपिकों और अधिकारी का औसत" में 16 लोग गिने जाते हैं। पर "लिपिकों का औसत ₹22,400 और अधिकारी का वेतन ₹56,000" लिखा हो, तो औसत केवल 15 लिपिकों का है।

समूहों के आकार: दूरी वाला नियम

मान लीजिए दोनों समूहों के औसत पता हैं, और कुल औसत भी। तब समूहों के आकार केवल दूरियों से निकल आते हैं। तीनों औसत एक संख्या रेखा पर रखकर देखिए। कुल औसत A दोनों समूह-औसतों के बीच में आता है।

अब हर समूह के आकार के सामने दूसरे समूह की A से दूरी लिखिए। मतलब दूरियों की अदला-बदली कर दीजिए।

$$\frac{n_1}{n_2} = \frac{a_2 - A}{A - a_1}$$

इससे साफ़ है कि जो समूह कुल औसत से ज़्यादा दूर है, वही छोटा समूह है। इस नियम को दूरी वाला नियम कहते हैं, और कई लोग इसे सी-सॉ विधि भी कहते हैं।

अधिकारी और श्रमिक: एक कारखाने में औसत वेतन ₹30,000 है। 12 अधिकारियों का औसत वेतन ₹60,000 है और श्रमिकों का ₹24,000। श्रमिकों की संख्या निकालनी है।

• अधिकारी कुल औसत से 60,000 − 30,000 = 30,000 दूर हैं, और श्रमिक 30,000 − 24,000 = 6,000 दूर।
• दूरियों की अदला-बदली करें, तो अधिकारी : श्रमिक = 6,000 : 30,000 = 1 : 5।
• 12 अधिकारी हैं, तो 60 श्रमिक हैं। कुल 72 लोग हुए।

जाँच कर लेते हैं। 12 × 60,000 + 60 × 24,000 = 7,20,000 + 14,40,000 = 21,60,000, और 21,60,000 ÷ 72 = 30,000।

लड़कों और लड़कियों का अनुपात: लड़कों के औसत अंक 58 हैं, लड़कियों के 70 और पूरी कक्षा के 63। तो लड़के : लड़कियाँ = (70 − 63) : (63 − 58) = 7 : 5। कक्षा में 48 विद्यार्थी हों, तो 28 लड़के और 20 लड़कियाँ होंगी। यानी लड़कियाँ कक्षा का $\frac{5}{12}$ हैं।

यह नियम क्यों चलता है: एक समूह कुल मिलाकर A से जितना ऊपर होता है, दूसरा समूह कुल मिलाकर ठीक उतना ही नीचे होता है। इसी कक्षा में 20 लड़कियाँ हैं और उनका औसत 7 ऊपर है, तो वे मिलकर 140 ऊपर हैं। 28 लड़कों का औसत 5 नीचे है, तो उनकी कुल कमी भी 140 है।

नया समूह जुड़ने पर: यह प्रश्न देखिए, "किसी कक्षा के औसत अंक 54 हैं। 72 औसत अंक वाले 8 नए विद्यार्थियों के कक्षा में जुड़ने पर कक्षा का औसत 56 हो जाता है। आरंभ में कक्षा में कितने विद्यार्थी थे?" यहाँ सबकी तुलना नए औसत 56 से कीजिए। पुराने विद्यार्थी इससे 2 नीचे हैं और नए 16 ऊपर। तो पुराने : नए = 16 : 2 = 8 : 1। नए विद्यार्थी 8 हैं, इसलिए आरंभ में 64 विद्यार्थी थे।

जाँच भी कर लीजिए। 64 × 54 + 8 × 72 = 3456 + 576 = 4032, और 4032 ÷ 72 = 56।

पिछले भाग वाला अज्ञात आकार का प्रश्न भी इस तरह और जल्दी हो जाता है। 54 वाले लोग औसत 48 से 6 ऊपर हैं और 44 वाले 4 नीचे। तो दोनों समूहों के आकार का अनुपात 4 : 6 = 2 : 3 है। 54 वाले बीस लोग हैं, इसलिए शेष 30 लोग हैं।

यही विचार मिश्रणों में भी काम आता है, जहाँ इसे एलीगेशन (alligation) कहते हैं। यह अध्याय 6 (मिश्रण और एलीगेशन) में आएगा।

[SSC टिप] इस नियम में सबसे आम गलती यह है कि दूरियाँ गलत समूह के साथ लिख दी जाती हैं, यानी अदला-बदली उलटी हो जाती है। उलटा अनुपात प्रायः विकल्पों में भी दिया होता है। इसलिए अनुपात लिखने के बाद एक बार देख लीजिए कि कुल औसत बड़े समूह के ज़्यादा पास है या नहीं। अगर नहीं है, तो अपना अनुपात पलट दीजिए।

प्रति किग्रा औसत मूल्य

अलग-अलग दरों पर अलग-अलग मात्राएँ खरीदी जाएँ, तो औसत दर = कुल लागत ÷ कुल मात्रा। यह भी भारित औसत है, और इसमें भार मात्रा है।

दो खेप: एक किराना व्यापारी ₹40 प्रति किग्रा के भाव से 12 किग्रा चावल खरीदता है, और ₹55 प्रति किग्रा के भाव से 18 किग्रा। कुल लागत 12 × 40 + 18 × 55 = 480 + 990 = ₹1,470 हुई, और चावल 30 किग्रा है। तो औसत मूल्य ₹49 प्रति किग्रा है।

यहाँ 40 और 55 का सीधा औसत 47.5 लेना गलत है। महँगा चावल अधिक खरीदा गया है, इसलिए औसत महँगे भाव की ओर खिसक गया है।

मात्राएँ अनुपात में: ₹180, ₹240 और ₹300 प्रति किग्रा वाली तीन तरह की चाय 3 : 2 : 1 के अनुपात में मिलाई गई। औसत = (3 × 180 + 2 × 240 + 1 × 300) ÷ 6 = 1320 ÷ 6 = ₹220 प्रति किग्रा।

नग के हिसाब से खरीदी गई चीज़ों पर भी यही चलता है। ₹12 वाले 40 पेन और ₹17 वाले 60 पेन खरीदे, तो 480 + 1020 = ₹1,500 लगे। पेन 100 हैं, तो औसत ₹15 प्रति पेन है।

बराबर मात्रा या बराबर रकम? मूल्य वाले प्रश्नों का मुख्य जाल यही है।

• हर किस्म की बराबर मात्रा खरीदी जाए, तो औसत मूल्य सीधा औसत ही होता है।
• हर किस्म पर बराबर रकम खर्च की जाए, तो सस्ती किस्म अधिक मिलती है। इसलिए औसत मूल्य सस्ते मूल्य की ओर झुक जाता है।

यह प्रश्न देखिए, "रवि ₹80 प्रति किग्रा वाले सेबों पर ₹1,200 खर्च करता है और ₹120 प्रति किग्रा वाले सेबों पर और ₹1,200 खर्च करता है। प्रति किग्रा उसकी औसत लागत ज्ञात कीजिए।" रवि को 15 किग्रा और 10 किग्रा सेब मिले, यानी ₹2,400 में 25 किग्रा। तो औसत ₹96 प्रति किग्रा है, ₹100 नहीं।

दो मूल्य x और y हों और दोनों पर बराबर रकम खर्च हो, तो इसका सीधा सूत्र भी है।

$$\text{औसत मूल्य} = \frac{2xy}{x + y} = \frac{2 \times 80 \times 120}{200} = 96$$

तीन मूल्य, बराबर रकम: अब यह प्रश्न लीजिए, "एक दुकान ₹20, ₹30 और ₹60 प्रति नग वाली कॉपियों की तीन खेपों पर बराबर राशि खर्च करती है। एक कॉपी की औसत लागत ज्ञात कीजिए।" हर खेप पर ऐसी रकम मान लीजिए जो तीनों मूल्यों से पूरी-पूरी बँट जाए, जैसे ₹60। तब 3, 2 और 1 कॉपी मिलेंगी, यानी ₹180 में 6 कॉपियाँ। औसत ₹30 हुआ। ऐसी संख्या चुनने से भिन्नों का झंझट ही नहीं रहता।

मात्रा ज्ञात करना: प्रश्न है, "₹40 प्रति किग्रा वाला कितने किग्रा चावल, ₹55 प्रति किग्रा वाले 18 किग्रा चावल में मिलाया जाए कि मिश्रण का मूल्य ₹49 प्रति किग्रा हो जाए?" यहाँ दूरी वाला नियम लगाइए। ₹40 वाला चावल ₹49 से 9 दूर है, और ₹55 वाला 6 दूर। तो सस्ता : महँगा = 6 : 9 = 2 : 3। महँगा चावल 18 किग्रा है, इसलिए सस्ता चावल 12 किग्रा मिलाना होगा।

बराबर दूरियों पर औसत चाल निकालनी हो, तो वहाँ भी बराबर रकम वाला ही हिसाब लगता है।

भारित प्रतिशत: अंक, उत्तीर्ण, प्रतिफल

प्रतिशत हमेशा किसी आधार का हिस्सा होता है। आधार अलग-अलग हों, तो औसत प्रतिशत प्रतिशतों का सीधा औसत नहीं होता। हर प्रतिशत को वापस असली मात्रा में बदलिए। फिर मात्राएँ जोड़कर कुल आधार से भाग दीजिए।

अलग-अलग अधिकतम अंक वाले प्रश्नपत्र: नेहा को 50 अंकों वाले प्रश्नपत्र में 90%, 100 अंकों वाले में 60% और 150 अंकों वाले में 72% अंक मिले।

• उसके अंक 45 + 60 + 108 = 213 हैं, और अधिकतम अंक 50 + 100 + 150 = 300।
• कुल प्रतिशत = 213 ÷ 300 × 100 = 71% है।

यहाँ गलती यह होती है कि लोग 90, 60 और 72 का सीधा औसत ले लेते हैं, जो 74% आता है। 150 अंकों वाले प्रश्नपत्र का भार सबसे अधिक है, और उसमें नेहा का प्रदर्शन बस ठीक-ठाक रहा।

दो कक्षाएँ: कक्षा A के 40 विद्यार्थियों में से 75% उत्तीर्ण हुए, और कक्षा B के 60 में से 60%। तो 100 में से 30 + 36 = 66 विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए। कुल उत्तीर्ण प्रतिशत 66% है, 67.5% नहीं।

खेल में भाग लेते लड़के-लड़कियाँ: एक विद्यालय के 600 लड़कों में से 45% और 400 लड़कियों में से 60% कोई खेल खेलते हैं। तो 1000 विद्यार्थियों में से 270 + 240 = 510 खेलते हैं, यानी 51%।

लक्ष्य प्रतिशत: यह प्रश्न देखिए, "संजय को 100, 100 और 200 अंकों वाले तीन प्रश्नपत्रों में कुल मिलाकर 60% अंक चाहिए। पहले दो प्रश्नपत्रों में उसे 52% और 58% अंक मिले। तीसरे प्रश्नपत्र में उसे कितने प्रतिशत अंक चाहिए?" उसे 400 का 60%, यानी 240 अंक चाहिए। उसके पास 52 + 58 = 110 अंक हैं। तो तीसरे प्रश्नपत्र में 200 में से 130 अंक चाहिए, जो 65% है।

कई छात्र 52, 58 और x का औसत 60 रखकर x = 70% निकाल लेते हैं। भूल यह है कि तीसरा प्रश्नपत्र बाकी दोनों में से हर एक से दोगुने अंकों का है, तो उसका भार भी दोगुना है।

अलग-अलग दरों पर पैसा: ₹40,000 पर 9% वार्षिक और ₹60,000 पर 14% वार्षिक प्रतिफल मिलता है। ₹1,00,000 पर कुल प्रतिफल 3,600 + 8,400 = ₹12,000 हुआ, तो औसत दर 12% है। यहाँ भार निवेश की गई राशियाँ हैं, योजनाओं की संख्या नहीं।

प्रश्न उलटा हो, तो दूरी वाला नियम लगाइए। मान लीजिए ₹1,00,000 को 9% और 14% में बाँटा गया, और औसत दर 12% रही। तो बँटवारा (14 − 12) : (12 − 9) = 2 : 3 में है, यानी ₹40,000 और ₹60,000।

बराबर राशियों पर प्रतिफल: राशियाँ बराबर हों, तो सीधा औसत फिर से ठीक है। बराबर राशियाँ 6%, 8% और 13% पर लगी हों, तो औसत दर 9% है। पर राशियाँ बराबर हैं, यह बात प्रश्न में लिखी होनी चाहिए। अपनी ओर से इसे मान लेना गलत है।

वेतन और वेतन वृद्धि

वेतन वाले प्रश्न भी भारित औसत के ही हैं। यहाँ मान रुपये हैं और भार कर्मचारियों की संख्या। नई बात बस यह है कि वेतन वृद्धि से औसत कैसे बदलता है।

कई समूहों का औसत वेतन: एक फर्म में 20 श्रमिक हैं, जिनका औसत वेतन ₹15,000 मासिक है। 5 पर्यवेक्षक हैं, जिनका औसत ₹40,000 है। दोनों के योग ₹3,00,000 और ₹2,00,000 हैं। 25 लोगों के लिए कुल ₹5,00,000 हुए, तो औसत ₹20,000 है।

जब महिलाओं का प्रतिशत दिया हो: एक कंपनी में 80 कर्मचारी हैं, जिनमें 35% महिलाएँ हैं। महिलाओं का औसत वेतन ₹48,000 है और पुरुषों का ₹56,000। यानी 28 महिलाएँ और 52 पुरुष हैं। औसत = (28 × 48,000 + 52 × 56,000) ÷ 80 = 42,56,000 ÷ 80 = ₹53,200।

शॉर्टकट भी देख लीजिए। पुरुष कर्मचारियों का 65% हैं, और उनका औसत वेतन ₹8,000 अधिक है। तो औसत = 48,000 + 8,000 का 65% = ₹53,200।

वेतन वृद्धि से औसत में बदलाव: ऊपर वाली 25 लोगों की फर्म लीजिए, जिसका औसत ₹20,000 है। अलग-अलग वृद्धि पर उसका औसत ऐसे बदलता है।

अलग समूहों को अलग प्रतिशत वृद्धि: मान लीजिए श्रमिकों को 10% और पर्यवेक्षकों को 5% वृद्धि मिली। श्रमिकों का कुल वेतन ₹30,000 बढ़ा और पर्यवेक्षकों का ₹10,000। अब योग ₹5,40,000 है, तो औसत ₹21,600 हुआ। यह 8% की वृद्धि है।

यह 8% असल में 10% और 5% का भारित औसत है। पर यहाँ भार वेतन के योग हैं, यानी 3 : 2, कर्मचारियों की संख्या 4 : 1 नहीं। संख्या को भार मान लें, तो 9% आता है, और यही आम गलत विकल्प है।

वेतन वृद्धि ज्ञात करना: यह प्रश्न देखिए, "40 कर्मचारियों का औसत वेतन ₹25,000 है। 15 वरिष्ठ कर्मचारियों के वेतन में वृद्धि के बाद औसत ₹26,500 हो जाता है। प्रत्येक वरिष्ठ कर्मचारी के वेतन में कितनी वृद्धि हुई?" औसत ₹1,500 बढ़ा है, तो योग 40 × 1,500 = ₹60,000 बढ़ा। यह बढ़त केवल 15 वरिष्ठ कर्मचारियों में बँटी है, तो हर एक को ₹4,000 की वृद्धि मिली।

कटौती में भी यही होता है: मान लीजिए किसी महीने 20 श्रमिकों में से हर एक के वेतन में ₹500 की कटौती हुई। तो फर्म का औसत 20 × 500 ÷ 25 = ₹400 घट जाता है।

औसतों का औसत और दो चरणों वाले प्रश्न

सीधा औसत कब ठीक है: औसतों का सीधा औसत केवल तब ठीक है, जब हर समूह बराबर आकार का हो। जैसे किसी विद्यालय में 30-30 विद्यार्थियों वाले चार अनुभाग हैं, और उनके औसत 60, 64, 70 और 66 हैं। तो पूरे विद्यालय का औसत = (60 + 64 + 70 + 66) ÷ 4 = 65।

कब ठीक नहीं है: मान लीजिए कहा गया है, "किसी महीने के पहले 10 दिनों का औसत तापमान 30°C था और अगले 20 दिनों का 36°C।" तो महीने का औसत = (300 + 720) ÷ 30 = 34°C है, 33°C नहीं। यहाँ भार दिन हैं।

जब औसत निकाला ही न जा सके: यह प्रश्न देखिए, "कक्षा A का औसत 60 है और कक्षा B का औसत 70। दोनों कक्षाओं को मिलाकर औसत क्या है?" यहाँ कक्षाओं के आकार नहीं दिए हैं, न ही उनका अनुपात। तो उत्तर 60 और 70 के बीच कुछ भी हो सकता है। SSC कभी-कभी ठीक इसी वजह से "निर्धारित नहीं किया जा सकता" को सही विकल्प रखता है।

[Tier 2] एक समूह के अंकों में बदलाव: मान लीजिए हर लड़के के अंक 5 बढ़ाए गए, और कक्षा का औसत 3 बढ़ गया। तो लड़के कक्षा का $\frac{3}{5}$ हैं, क्योंकि हर लड़के के 5 अतिरिक्त अंक पूरी कक्षा में बँट जाते हैं।

$$\text{कक्षा के औसत में वृद्धि} = (\text{समूह का हिस्सा}) \times (\text{हर सदस्य की वृद्धि})$$

अब मान लीजिए इसके बदले हर लड़की के 10 अंक बढ़ते हैं। लड़कियाँ बाकी $\frac{2}{5}$ हैं, तो कक्षा का औसत $\frac{2}{5} \times 10 = 4$ बढ़ेगा।

[Tier 2] एक विद्यार्थी का अनुभाग बदलना: अनुभाग A में 21 विद्यार्थी हैं, और उनका औसत 72 अंक है। अनुभाग B में 19 विद्यार्थी हैं, जिनका औसत 62 है। 67 अंक वाला एक विद्यार्थी A से B में चला जाता है।

• A का नया औसत (1512 − 67) ÷ 20 = 1445 ÷ 20 = 72.25 है, यानी A का औसत 0.25 बढ़ गया।
• B का नया औसत (1178 + 67) ÷ 20 = 1245 ÷ 20 = 62.25 है, यानी B का औसत भी 0.25 बढ़ गया।

दोनों औसत ऊपर गए, क्योंकि 67 अंक A के औसत से नीचे हैं और B के औसत से ऊपर। फिर भी सभी 40 विद्यार्थियों का औसत नहीं बदलता। पहले भी और बाद में भी यह 2690 ÷ 40 = 67.25 ही है।

यह हिसाब उलटा भी चलता है।

• किसी समूह में n विद्यार्थी हैं और उनका औसत a है। उसमें से एक विद्यार्थी चला गया और औसत x बढ़ गया। तो उस विद्यार्थी के अंक a − (n − 1)x थे।
• किसी दूसरे समूह में m विद्यार्थी हैं और उनका औसत b है। उसमें एक विद्यार्थी आया और औसत y बढ़ गया। तो उसके अंक b + (m + 1)y हैं।

यहाँ 72 − 20 × 0.25 = 67 और 62 + 20 × 0.25 = 67 आता है। दोनों तरफ़ से उस विद्यार्थी के वही 67 अंक मिलते हैं।

हल किए गए उदाहरण

अब इन तरीकों से कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

किसी कक्षा में 27 लड़कों का औसत भार 48 किग्रा है और 18 लड़कियों का औसत भार 43 किग्रा है। पूरी कक्षा का औसत भार कितना है?

उत्तर: यहाँ दोनों औसतों का औसत नहीं लेना है, योग जोड़ने हैं। लड़कों का कुल भार 27 × 48 = 1296 किग्रा है और लड़कियों का 18 × 43 = 774 किग्रा। मिलाकर 45 विद्यार्थियों का भार 2070 किग्रा हुआ, तो कक्षा का औसत 2070 ÷ 45 = 46 किग्रा है। इसकी जल्दी जाँच भी हो जाती है। लड़के कक्षा का $\frac{3}{5}$ हैं और उनका औसत भार 5 किग्रा अधिक है, तो औसत 43 + 3 = 46 आता है। औसत लड़कों के 48 किग्रा के ज़्यादा पास है, क्योंकि लड़के अधिक हैं।

प्रश्न 2

किसी विद्यालय के अनुभाग A और B में विद्यार्थियों की संख्या का अनुपात 5 : 3 है। अनुभाग A के औसत अंक 68 हैं और अनुभाग B के औसत अंक 76 हैं। दोनों अनुभागों को मिलाकर औसत अंक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अनुपात 5 : 3 है, तो अनुभाग A में 5 और B में 3 विद्यार्थी मान लेते हैं। योग = 5 × 68 + 3 × 76 = 340 + 228 = 568, और विद्यार्थी 8 हैं। तो औसत = 568 ÷ 8 = 71। 68 और 76 का सीधा औसत 72 होता, पर अनुभाग A बड़ा है। इसलिए उत्तर 68 के ज़्यादा पास होना ही चाहिए, और 71 ऐसा ही है।

प्रश्न 3

किसी परीक्षा में 180 विद्यार्थियों के औसत अंक 52 थे। उत्तीर्ण विद्यार्थियों के औसत अंक 60 और अनुत्तीर्ण विद्यार्थियों के औसत अंक 36 थे। कितने विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए?

उत्तर: उत्तीर्ण विद्यार्थियों का औसत कक्षा के औसत से 60 − 52 = 8 ऊपर है, और अनुत्तीर्ण विद्यार्थियों का 52 − 36 = 16 नीचे। दूरी वाले नियम में दूरियों का अनुपात उलट दिया जाता है, तो उत्तीर्ण : अनुत्तीर्ण = 16 : 8 = 2 : 1। यानी 180 में से 120 उत्तीर्ण हुए और 60 अनुत्तीर्ण। जाँचने के लिए 120 × 60 + 60 × 36 = 7200 + 2160 = 9360, और 180 × 52 = 9360 भी यही है।

प्रश्न 4

कक्षा 10 के तीन अनुभागों में क्रमशः 32, 40 और 28 विद्यार्थी हैं। उनके औसत अंक क्रमशः 75, 62 और 70 हैं। सभी विद्यार्थियों के औसत अंक कितने हैं?

उत्तर: हर अनुभाग का योग निकाल लेते हैं। 32 × 75 = 2400, 40 × 62 = 2480 और 28 × 70 = 1960। कुल 100 विद्यार्थियों के 6840 अंक हुए, तो औसत 68.4 है। ध्यान रहे, 6840 को 3 से भाग नहीं देना है। 3 तो अनुभागों की संख्या है, विद्यार्थियों की नहीं।

प्रश्न 5

खिलाड़ियों के तीन समूहों का औसत भार क्रमशः 62 किग्रा, 70 किग्रा और 58 किग्रा है। इन समूहों में खिलाड़ियों की संख्या का अनुपात 2 : 3 : 5 है। सभी खिलाड़ियों का औसत भार ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 2, 3 और 5 को ही खिलाड़ियों की संख्या मान लेते हैं, और 58 किग्रा को आधार। पहला समूह इससे 4 किग्रा ऊपर है, दूसरा 12 किग्रा ऊपर और तीसरा 0। हर समूह का अंतर उसकी संख्या से गुणा करके जोड़ते हैं। 2 × 4 + 3 × 12 + 5 × 0 = 44 किग्रा। यह 10 खिलाड़ियों पर बँटता है, तो हर एक पर 4.4 किग्रा आता है। औसत = 58 + 4.4 = 62.4 किग्रा। लंबे तरीके से भी यही आता है, (124 + 210 + 290) ÷ 10 = 624 ÷ 10 = 62.4।

प्रश्न 6

नीचे दी गई तालिका में एक छोटे कारखाने में दी जाने वाली दैनिक मज़दूरी दर्शाई गई है।

औसत दैनिक मज़दूरी कितनी है?

उत्तर: हर स्तंभ एक छोटा समूह है। ₹700 को आधार मान लेते हैं और हर समूह का अंतर उसकी संख्या से गुणा करके जोड़ते हैं। 6 × (−200) + 10 × (−100) + 12 × 0 + 8 × 100 + 4 × 300 = −1200 − 1000 + 0 + 800 + 1200 = −200। श्रमिक 6 + 10 + 12 + 8 + 4 = 40 हैं, तो औसत आधार से 200 ÷ 40 = 5 नीचे है, यानी ₹695। कुल मज़दूरी ₹27,800 निकालकर 27,800 ÷ 40 करें, तब भी 695 ही आता है।

प्रश्न 7

किसी कार्यालय के 60 कर्मचारियों का औसत मासिक वेतन ₹38,000 है। इनमें से 24 कर्मचारियों का औसत वेतन ₹47,000 है। शेष कर्मचारियों का औसत वेतन कितना है?

उत्तर: 24 कर्मचारियों का औसत कुल औसत से ₹9,000 ऊपर है, तो वे मिलकर 24 × 9,000 = ₹2,16,000 अधिक ले रहे हैं। बाकी 36 कर्मचारी मिलकर ठीक इतने ही, यानी ₹2,16,000 नीचे होंगे। यह प्रति व्यक्ति ₹6,000 हुआ, तो उनका औसत = 38,000 − 6,000 = ₹32,000। योग से भी जाँच लेते हैं। 60 × 38,000 = 22,80,000 और 24 × 47,000 = 11,28,000, तो 36 लोगों के लिए 11,52,000 बचे। 11,52,000 ÷ 36 = 32,000 ही आता है।

प्रश्न 8

किसी परीक्षा में 45 विद्यार्थियों का औसत प्राप्तांक 66 है। उच्चतम अंक पाने वाले 5 विद्यार्थियों का औसत 96 है और निम्नतम अंक पाने वाले 4 विद्यार्थियों का औसत 33 है। शेष विद्यार्थियों का औसत प्राप्तांक कितना है?

उत्तर: शेष विद्यार्थी 45 − 5 − 4 = 36 हैं। अब योग निकालते हैं। पूरी कक्षा के 45 × 66 = 2970 अंक हैं, उच्चतम 5 के 5 × 96 = 480 और निम्नतम 4 के 4 × 33 = 132। शेष के लिए 2970 − 480 − 132 = 2358 अंक बचे, तो उनका औसत 2358 ÷ 36 = 65.5 है।

प्रश्न 9

11 नर्सों और उनकी मुख्य नर्स का औसत मासिक वेतन ₹31,500 है। मुख्य नर्स का वेतन ₹48,000 है। 11 नर्सों का औसत वेतन कितना है?

उत्तर: ₹31,500 कुल 12 लोगों का औसत है, क्योंकि इसमें मुख्य नर्स भी शामिल है। तो योग 12 × 31,500 = ₹3,78,000 है। इसमें से मुख्य नर्स के ₹48,000 हटा देते हैं। 11 नर्सों के लिए ₹3,30,000 बचते हैं, और उनका औसत ₹30,000 है। यहाँ आम चूक यह है कि योग के लिए 11 × 31,500 कर लिया जाता है।

प्रश्न 10

किसी कार्यालय के सभी कर्मचारियों का औसत वेतन ₹35,000 है। 15 अधिकारियों का औसत वेतन ₹63,000 है और शेष कर्मचारियों का औसत वेतन ₹28,000 है। कार्यालय में कुल कितने कर्मचारी हैं?

उत्तर: अधिकारी कुल औसत से 63,000 − 35,000 = 28,000 ऊपर हैं, और बाकी कर्मचारी 35,000 − 28,000 = 7,000 नीचे। दूरियों की अदला-बदली करें, तो अधिकारी : बाकी = 7,000 : 28,000 = 1 : 4। 15 अधिकारी हैं, तो बाकी 60 हैं, और कार्यालय में कुल 75 कर्मचारी हैं। मिलान भी कर लीजिए, 15 × 63,000 + 60 × 28,000 = 9,45,000 + 16,80,000 = 26,25,000, और 26,25,000 ÷ 75 = 35,000।

प्रश्न 11

54 विद्यार्थियों की एक कक्षा में लड़कों के औसत अंक 62 और लड़कियों के औसत अंक 71 हैं। कक्षा के औसत अंक 66 हैं। कक्षा में कितनी लड़कियाँ हैं?

उत्तर: लड़के कक्षा के औसत से 4 नीचे हैं और लड़कियाँ 5 ऊपर। तो दूरी वाले नियम से लड़के : लड़कियाँ = 5 : 4। कुल 9 भाग 54 विद्यार्थियों के बराबर हैं, तो 1 भाग = 6 विद्यार्थी। यानी कक्षा में 24 लड़कियाँ हैं, और 30 लड़के। जाँच भी हो जाती है, 30 × 62 + 24 × 71 = 1860 + 1704 = 3564, जो 54 × 66 के बराबर है।

प्रश्न 12

किसी छात्रावास के विद्यार्थियों का औसत भार 52 किग्रा है। 61 किग्रा औसत भार वाले 6 नए विद्यार्थियों के आने पर औसत बढ़कर 53.5 किग्रा हो जाता है। पहले छात्रावास में कितने विद्यार्थी थे?

उत्तर: यहाँ सबकी तुलना नए औसत 53.5 से करनी है। पुराने विद्यार्थी इससे 1.5 किग्रा नीचे हैं और नए 7.5 किग्रा ऊपर। तो पुराने : नए = 7.5 : 1.5 = 5 : 1। नए विद्यार्थी 6 हैं, इसलिए पहले 30 विद्यार्थी थे। जाँच के लिए 30 × 52 + 6 × 61 = 1560 + 366 = 1926, और 1926 ÷ 36 = 53.5।

प्रश्न 13

एक दुकानदार ₹46 प्रति किग्रा की दर से 30 किग्रा चीनी और ₹62 प्रति किग्रा की दर से 10 किग्रा चीनी खरीदता है। उसकी प्रति किग्रा औसत लागत कितनी है?

उत्तर: कुल लागत = 30 × 46 + 10 × 62 = 1380 + 620 = ₹2,000 है, और चीनी 40 किग्रा है। तो औसत लागत 2000 ÷ 40 = ₹50 प्रति किग्रा है।

प्रश्न 14

एक परिवार तीन वर्षों में हर वर्ष खाना पकाने के तेल पर बराबर राशि खर्च करता है। उन वर्षों में तेल का मूल्य क्रमशः ₹75, ₹100 और ₹150 प्रति लीटर था। तीनों वर्षों में तेल का प्रति लीटर औसत मूल्य कितना था?

उत्तर: हर वर्ष रकम बराबर है, तो ऐसी वार्षिक रकम मान लेते हैं जो तीनों मूल्यों से पूरी-पूरी बँट जाए। ₹300 ठीक रहेगा। इसमें 4 लीटर, 3 लीटर और 2 लीटर तेल आता है, यानी ₹900 में कुल 9 लीटर। औसत मूल्य = 900 ÷ 9 = ₹100 प्रति लीटर। सीधा औसत लेने पर लगभग ₹108.33 आता है, जो यहाँ गलत है। सस्ते वर्ष में तेल अधिक खरीदा गया, इसलिए औसत नीचे आता है।

प्रश्न 15

₹96 प्रति किग्रा वाली कितने किग्रा दाल को ₹120 प्रति किग्रा वाली 30 किग्रा दाल में मिलाया जाए कि मिश्रण का मूल्य ₹105 प्रति किग्रा हो जाए?

उत्तर: सस्ती दाल लक्ष्य मूल्य से 105 − 96 = 9 नीचे है, और महँगी दाल 120 − 105 = 15 ऊपर। दूरी वाले नियम से सस्ती : महँगी = 15 : 9 = 5 : 3। महँगी दाल 30 किग्रा है, तो सस्ती दाल = 30 × $\frac{5}{3}$ = 50 किग्रा। उत्तर ठीक है या नहीं, यह भी देख लेते हैं। 50 × 96 + 30 × 120 = 4800 + 3600 = 8400, और 8400 ÷ 80 = 105।

प्रश्न 16

मीरा ने 50 अंकों की अंग्रेज़ी की परीक्षा में 76%, 150 अंकों की गणित की परीक्षा में 84% और 100 अंकों की विज्ञान की परीक्षा में 70% अंक प्राप्त किए। उसका कुल प्रतिशत कितना है?

उत्तर: हर प्रतिशत को पहले अंकों में बदल लेते हैं। अंग्रेज़ी में 50 का 76% = 38, गणित में 150 का 84% = 126 और विज्ञान में 100 का 70% = 70 अंक हैं। कुल 300 में से 234 अंक हुए, तो प्रतिशत = 234 ÷ 300 × 100 = 78%।

प्रश्न 17

कक्षा A के 30 विद्यार्थियों में से 80% एक परीक्षा में उत्तीर्ण हुए। कक्षा A और B में मिलाकर 90 विद्यार्थी हैं, और उनमें से 60% उत्तीर्ण हुए। कक्षा B के कितने प्रतिशत विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए?

उत्तर: दोनों कक्षाओं में कुल उत्तीर्ण 90 का 60% = 54 हैं। कक्षा A में 30 का 80% = 24 उत्तीर्ण हुए। तो कक्षा B के 60 विद्यार्थियों में से 54 − 24 = 30 उत्तीर्ण हुए, यानी 50%। कई लोग 80% और x% का औसत 60% मानकर 40% लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि कक्षा B का आकार A से दोगुना है।

प्रश्न 18

श्री राव ₹1,20,000 की राशि दो योजनाओं में निवेश करते हैं, जिनमें से एक 8% वार्षिक और दूसरी 13% वार्षिक की दर से प्रतिफल देती है। दोनों योजनाओं से उनकी कुल वार्षिक आय ₹11,100 है। उन्होंने 13% वाली योजना में कितनी राशि निवेश की?

उत्तर: औसत दर = 11,100 ÷ 1,20,000 × 100 = 9.25% है। 8% वाली योजना इससे 1.25 नीचे है और 13% वाली 3.75 ऊपर। तो 8% पर राशि : 13% पर राशि = 3.75 : 1.25 = 3 : 1। यानी 13% वाली योजना में ₹1,20,000 का एक-चौथाई लगाया गया, जो ₹30,000 है। जाँचने पर 90,000 का 8% = 7,200 और 30,000 का 13% = 3,900, जो मिलकर ₹11,100 होते हैं।

प्रश्न 19

किसी कंपनी में ₹16,000 औसत वेतन वाले 36 श्रमिक और ₹52,000 औसत वेतन वाले 9 प्रबंधक हैं। (i) सभी 45 कर्मचारियों का औसत वेतन ज्ञात कीजिए। (ii) यदि प्रत्येक श्रमिक के वेतन में ₹2,500 की वृद्धि हो, तो नया औसत वेतन कितना होगा?

उत्तर: (i) योग = 36 × 16,000 + 9 × 52,000 = 5,76,000 + 4,68,000 = ₹10,44,000 है। तो औसत = 10,44,000 ÷ 45 = ₹23,200।

(ii) हर श्रमिक के ₹2,500 बढ़ने से योग में 36 × 2,500 = ₹90,000 जुड़े। यह 45 लोगों पर बँटता है, तो 90,000 ÷ 45 = ₹2,000 प्रति व्यक्ति। नया औसत ₹25,200 है। पूरे ₹2,500 औसत में जोड़ देना गलत होगा, क्योंकि प्रबंधकों को कोई वृद्धि नहीं मिली।

प्रश्न 20

किसी कार्यालय में ₹20,000 औसत वेतन वाले 30 लिपिक और ₹40,000 औसत वेतन वाले 10 अधिकारी हैं। लिपिकों के वेतन में 15% और अधिकारियों के वेतन में 10% की वृद्धि होती है। कार्यालय के औसत वेतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि होती है?

उत्तर: लिपिकों का कुल वेतन ₹6,00,000 है और अधिकारियों का ₹4,00,000, यानी कार्यालय का कुल वेतन ₹10,00,000 है। अब वृद्धि देखते हैं। 6,00,000 का 15% = 90,000 और 4,00,000 का 10% = 40,000, तो कुल वेतन ₹1,30,000 बढ़ा। यह ₹10,00,000 का 13% है, इसलिए औसत भी 13% बढ़ा, यानी ₹25,000 से ₹28,250 हो गया। अगर 15% और 10% को कर्मचारियों की संख्या 3 : 1 से तौलें, तो 13.75% आता है, जो गलत है। यहाँ भार वेतन के योग हैं, यानी 3 : 2।

प्रश्न 21

[Tier 2] किसी कक्षा में, यदि प्रत्येक लड़के के अंक 6 बढ़ा दिए जाएँ, तो कक्षा का औसत 4.5 बढ़ जाएगा। यदि इसके बजाय प्रत्येक लड़की के अंक 8 बढ़ा दिए जाएँ, तो कक्षा का औसत कितना बढ़ेगा?

उत्तर: हर लड़के के 6 अंक बढ़ें, तो कक्षा का औसत (लड़कों का हिस्सा) × 6 बढ़ता है। यहाँ 4.5 = हिस्सा × 6, तो लड़के कक्षा का $\frac{3}{4}$ हैं। लड़कियाँ बाकी $\frac{1}{4}$ हैं। अब हर लड़की के 8 अंक बढ़ें, तो कक्षा का औसत $\frac{1}{4} \times 8 = 2$ बढ़ेगा। उत्तर 2 अंक है।

प्रश्न 22

[Tier 2] अनुभाग P में 58 औसत अंक वाले 23 विद्यार्थी हैं, और अनुभाग Q में 66 औसत अंक वाले 17 विद्यार्थी हैं। एक विद्यार्थी अनुभाग Q से अनुभाग P में चला जाता है, और P का औसत 0.25 बढ़ जाता है। Q का नया औसत कितना है?

उत्तर: अनुभाग P में अब 24 विद्यार्थी हैं। आने वाले विद्यार्थी के अंक P के पुराने औसत से इतने अधिक होंगे कि 24 में से हर एक के हिस्से 0.25 आ जाए। यानी उसके अंक 58 + 24 × 0.25 = 64 हैं। Q में पहले 17 × 66 = 1122 अंक थे। इस विद्यार्थी के बिना 16 विद्यार्थियों के 1122 − 64 = 1058 अंक बचे, तो Q का नया औसत = 1058 ÷ 16 = 66.125। दोनों औसत बढ़ गए, क्योंकि 64 अंक P के औसत से ऊपर हैं और Q के औसत से नीचे।