शॉर्टकट और तेज़ तरीके

कल्पित औसत की विधि

औसत का लगभग हर प्रश्न इसी एक बात पर टिका है कि योग = औसत × पदों की संख्या। इस खंड में ऐसे तरीके देखेंगे जिनसे बड़े-बड़े जोड़ किए बिना उत्तर निकल आता है। टियर 1 में एक प्रश्न के लिए लगभग 36 सेकंड ही मिलते हैं, इसलिए ये तरीके ज़रूरी हैं।

हर तरीके के अंत में यह भी देखेंगे कि उसमें छात्र कहाँ चूकते हैं, जैसे गलत संख्या से भाग दे देना या अनुपात उलटा ले लेना। SSC के गलत विकल्प ठीक इन्हीं गलतियों से बनाए जाते हैं।

आधार और विचलनों का औसत

जब पास-पास की संख्याओं की लंबी सूची हो, जैसे अंक, भार या एक सप्ताह की बिक्री, तब यह तरीका सबसे अच्छा है। सूची के बीच के आसपास कोई गोल संख्या चुन लीजिए। इसे आधार कहते हैं, और इसी को कल्पित औसत (assumed average) भी कहा जाता है। अब देखिए कि हर मान आधार से कितना ऊपर (+) है या कितना नीचे (−)। इसे विचलन (deviation) कहते हैं। सारे विचलन जोड़िए, उस योग को पदों की संख्या से भाग दीजिए, और जो आए उसे आधार में जोड़ दीजिए।

$$\text{औसत} = \text{आधार} + \frac{\text{विचलनों का योग}}{\text{पदों की संख्या}}$$

जैसे 64, 71, 68, 59, 73, 66 और 61 का औसत निकालना है। आधार 65 ले लीजिए। विचलन −1, +6, +3, −6, +8, +1 और −4 आते हैं, जिनका योग +7 है। 7 ÷ 7 = 1, तो औसत 65 + 1 = 66 है। ध्यान दीजिए, यहाँ 462 वाला पूरा जोड़ करना ही नहीं पड़ा।

लुप्त संख्या निकालना

कभी औसत दिया होता है और एक मान लुप्त होता है। तब दिए गए औसत को ही आधार मान लीजिए। असली औसत से देखें, तो सारे विचलनों का योग हमेशा शून्य होता है। इसलिए बाकी मानों के विचलन जोड़कर जो बचे, लुप्त मान का विचलन ठीक उसका उलटा होगा।

मान लीजिए पाँच संख्याओं का औसत 48 है, और चार संख्याएँ 44, 53, 46 और 51 हैं। 48 से इनके विचलन −4, +5, −2 और +3 हैं, जिनका योग +2 है। योग शून्य करने के लिए पाँचवीं संख्या 48 से 2 कम होनी चाहिए, यानी 46।

हर मान में एक जैसा परिवर्तन

हर मान 7 बढ़ जाए, तो औसत भी 7 बढ़ जाता है। हर मान को 3 से गुणा करें, तो औसत भी 3 से गुणा हो जाता है। बस कदम उसी क्रम में कीजिए जिस क्रम में प्रश्न में दिए हैं।

जैसे 12 संख्याओं का औसत 25 है। हर संख्या को 3 से गुणा किया गया और फिर उसमें से 4 घटाया गया। नया औसत 3 × 25 − 4 = 71 होगा।

इस विधि में तीन गलतियाँ आम हैं।

• पहले उदाहरण में +7 विचलनों का योग है, औसत इतना नहीं बढ़ता। पदों की संख्या से भाग देना भूल गए, तो 72 आएगा, और 72 अक्सर विकल्पों में दिया होता है।
• आधार मानों से दूर चुन लिया, तो विचलन बड़े आएँगे और गलती की संभावना बढ़ जाएगी। आधार हमेशा बीच के पास चुनिए।
• हर संख्या में 5 जोड़ा जाए, तो औसत 5 ही बढ़ता है, 5 × पदों की संख्या नहीं। 5 × पदों की संख्या जितना तो योग बढ़ता है।

[SSC टिप] इसी तरीके से किसी विकल्प को कुछ ही सेकंड में जाँचा जा सकता है। विकल्प को ही आधार मान लीजिए। विचलनों का योग शून्य आए, तो वही विकल्प औसत है।

क्रमागत संख्याओं में मध्य पद वाला नियम

औसत ही मध्य पद होता है

यह नियम वहाँ लगता है जहाँ संख्याएँ एक ही कदम से बढ़ती हों। जैसे क्रमागत संख्याएँ, क्रमागत विषम या सम संख्याएँ, 7 के क्रमागत गुणज, या कोई भी समांतर श्रेणी (arithmetic progression, AP)।

ऐसी सूची का औसत उसका मध्य पद ही होता है। पदों की संख्या विषम हो, तो औसत ठीक बीच वाली संख्या है। सम हो, तो औसत बीच की दो संख्याओं के ठीक बीच में होता है। दोनों हालत में औसत $\frac{\text{प्रथम पद} + \text{अंतिम पद}}{2}$ होता है।

औसत से कदम गिनकर दोनों सिरों तक पहुँचा जा सकता है। मान लीजिए k पद हैं और सार्व अंतर, यानी हर कदम, d है। तब

$$\text{सबसे बड़ा पद} = \text{औसत} + \frac{(k - 1)d}{2}, \quad \text{सबसे छोटा पद} = \text{औसत} - \frac{(k - 1)d}{2}$$

जैसे सात क्रमागत संख्याओं का औसत 38 है। सबसे बड़ी संख्या 38 + 3 = 41 होगी।

छह क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 52 है, तो सबसे छोटी संख्या 52 − $\frac{5 \times 2}{2}$ = 47 है। मतलब छहों संख्याएँ 47, 49, 51, 53, 55 और 57 हैं।

अगली कुछ संख्याएँ भी जुड़ जाएँ तो

कभी प्रश्न पूछता है कि उसी प्रकार की अगली m संख्याएँ भी शामिल कर लें, तो नया औसत क्या होगा। m संख्याएँ और जुड़ें, तो सूची का बीच m के आधे कदम आगे खिसक जाता है। इसलिए नया औसत = पुराना औसत + $\frac{md}{2}$।

जैसे आठ क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 40 है, और इनमें अगली चार विषम संख्याएँ भी जोड़ दी गईं। नया औसत 40 + $\frac{4 \times 2}{2}$ = 44 होगा। जाँच कर लीजिए। सूची अब 33 से 55 तक है, और बीच की जोड़ी 43 और 45 है।

इसी से जुड़ी एक बात और। k क्रमागत संख्याओं का एक समूह लीजिए, और उसके ठीक बाद की k संख्याएँ। दोनों के औसत में ठीक k का अंतर होता है। पाँच क्रमागत संख्याओं का औसत 23 है, तो अगली पाँच का औसत 28 होगा। क्रमागत विषम या सम संख्याओं में यह अंतर 2k का होता है।

यहाँ तीन बातों का ध्यान रखिए।

• क्रमागत विषम या सम संख्याओं में कदम 2 होता है। ऊपर की छह विषम संख्याओं में कोई कदम 1 ले ले, तो सबसे छोटी संख्या 49.5 आएगी। ऐसी संख्या हो ही नहीं सकती, इसलिए ऐसा कुछ आए तो हल दोबारा जाँचिए।
• संख्याएँ विषम हों पर उनकी गिनती सम हो, तो औसत सम संख्या आता है, जैसे यहाँ 52। यह संख्या सूची में होती ही नहीं, इसलिए उसे सूची में मत ढूँढिए।
• यह नियम तभी चलता है जब कदम बराबर हों। अभाज्य संख्याएँ या वर्ग समांतर श्रेणी में नहीं होते। उनकी सूची बनाइए, या अगले भाग में दिया कोई सूत्र लगाइए।

समांतर श्रेणी का योग भी इसी से निकलता है, योग = मध्य पद × पदों की संख्या। पंद्रह क्रमागत संख्याओं का मध्य पद 40 हो, तो उनका योग 600 है।

संख्या श्रेणियों के औसत के सूत्र

कुछ खास सूचियों के औसत के सीधे सूत्र हैं। नीचे की तालिका एक बार याद कर लीजिए, फिर ऐसे प्रश्न पाँच सेकंड में हो जाते हैं।

जब प्रश्न में सीधे इनमें से कोई सूची हो, तो सूत्र में n रख दीजिए। कुछ उदाहरण देखिए।

• प्रथम 40 विषम संख्याओं का औसत 40 है, और प्रथम 25 सम संख्याओं का औसत 26।
• 6 के प्रथम 18 गुणजों का औसत $\frac{6 \times 19}{2}$ = 57 है।
• 1 से 25 तक की संख्याओं के वर्गों का औसत $\frac{26 \times 51}{6}$ = 221 है।
• 1 से 8 तक की संख्याओं के घनों का औसत $\frac{8 \times 81}{4}$ = 162 है।

दो सीमाओं के बीच की संख्याएँ

दी गई सीमा के भीतर पूछी गई तरह की पहली और अंतिम संख्या ढूँढिए, और उन दोनों का औसत ले लीजिए। ये संख्याएँ समांतर श्रेणी में होती हैं, इसलिए यहाँ भी मध्य पद वाला नियम लगता है।

जैसे 50 और 200 के बीच 8 के गुणज 56 से 192 तक हैं। इनका औसत $\frac{56 + 192}{2}$ = 124 है। इसी तरह 30 और 90 के बीच की विषम संख्याएँ 31 से 89 तक हैं, तो उनका औसत 60 है।

अभाज्य संख्याओं का कोई सूत्र नहीं है, उनकी सूची बनानी पड़ती है। 30 और 50 के बीच 31, 37, 41, 43 और 47 हैं। इनका योग 199 है, तो औसत 39.8 है।

इन प्रश्नों में ये गलतियाँ होती हैं।

• पहले और अंतिम गुणज की जगह दोनों सीमाओं का औसत ले लेना। ऊपर वाले उदाहरण में $\frac{50 + 200}{2}$ = 125 लिख देना यही गलती है।
• वर्गों का औसत, औसत के वर्ग के बराबर नहीं होता। 1 से 25 तक की संख्याओं का औसत 13 है और $13^2$ = 169, पर उनके वर्गों का औसत 221 है।
• प्रथम n सम संख्याएँ 2 से शुरू होती हैं, इसलिए उनका औसत n + 1 है, n नहीं।

प्रथम n विषम संख्याओं का औसत n है, तो उनका योग $n^2$ होता है। जैसे प्रथम 30 विषम संख्याओं का योग 900 है।

कोई सदस्य जुड़े या हट जाए

एक व्यक्ति जुड़ता है

मान लीजिए n लोगों के समूह का औसत A है। एक व्यक्ति जुड़ता है और औसत d बदल जाता है। नए व्यक्ति के मान को दो हिस्सों में देखिए। पहला हिस्सा नए औसत जितना है, जो उसका अपना है। दूसरा हिस्सा पुराने n सदस्यों में बँट जाता है, हर एक को d, ताकि उनका औसत भी उतना बदल जाए। इसलिए

$$\text{नया सदस्य} = \text{नया औसत} + n \times d$$

पुराना औसत और बदलाव के बाद की संख्या लें, तब भी यही उत्तर आता है। यानी नया सदस्य = A + (n + 1) × d।

जैसे 24 विद्यार्थियों का औसत भार 42 किग्रा है। एक नया विद्यार्थी जुड़ता है और औसत 0.2 किग्रा बढ़ जाता है। नया विद्यार्थी = 42.2 + 24 × 0.2 = 47 किग्रा। चाहें तो 42 + 25 × 0.2 कर लीजिए, उत्तर वही आएगा।

एक व्यक्ति हट जाता है

किसी के हटने पर भी पुराना औसत और बदलाव के बाद की संख्या लीजिए। बस दिशा का ध्यान रखिए। किसी के हटने से औसत घटे, तो हटने वाला औसत से ऊपर था, इसलिए जोड़िए। औसत बढ़े, तो वह औसत से नीचे था, इसलिए घटाइए।

जैसे 30 श्रमिकों की औसत दैनिक मज़दूरी ₹640 है। एक श्रमिक हट जाता है और औसत ₹4 घट जाता है। मतलब बचे हुए 29 श्रमिकों में हर एक अब ₹4 नीचे है। तो हटने वाले की मज़दूरी = 640 + 29 × 4 = ₹756।

कई लोग एक साथ जुड़ें या हटें

कई लोग एक साथ जुड़ें, तो नए आने वालों का योग = (जुड़ने वालों की संख्या) × पुराना औसत + (बाद की संख्या) × परिवर्तन।

जैसे 40 पार्सलों का औसत भार 35 किग्रा है। आठ पार्सल और लादे गए, तो औसत 1.5 किग्रा बढ़ गया। नए पार्सलों का योग = 8 × 35 + 48 × 1.5 = 280 + 72 = 352 किग्रा। तो उनका औसत 44 किग्रा है।

इन प्रश्नों में तीन बातों पर गलती होती है।

• गलत जोड़ी ले लेना। पुराना औसत और पुरानी संख्या लेकर 42 + 24 × 0.2 = 46.8 लिख देना बहुत आम गलती है, और विकल्पों में अक्सर यही संख्या दी होती है। सही जोड़ी है पुराना औसत और बाद की संख्या, या नया औसत और पहले की संख्या।
• दिशा। जुड़ने वाला औसत बढ़ाए, तो वह औसत से ऊपर है। पर हटने वाला औसत बढ़ाए, तो वह औसत से नीचे था, और तब घटाना होता है।
• औसत बिल्कुल न बदले, तो जुड़ने या हटने वाला ठीक औसत पर है।

प्रतिस्थापन वाले प्रश्न

एक सदस्य का प्रतिस्थापन

समूह के किसी एक सदस्य के स्थान पर कोई नया सदस्य आ जाए, तो सदस्यों की संख्या वही रहती है। योग में जो भी परिवर्तन हुआ, वह इसी अदला-बदली से हुआ। योग का परिवर्तन = n × (औसत का परिवर्तन)। यहाँ n पूरे समूह के सदस्यों की संख्या है। इसलिए

$$\text{नया सदस्य} = \text{पुराना सदस्य} + n \times (\text{औसत में परिवर्तन})$$

औसत बढ़े तो जोड़िए, घटे तो घटाइए।

जैसे रस्साकशी की टीम में 12 सदस्य हैं। 57 किग्रा वाले एक सदस्य के स्थान पर नया सदस्य आता है, और औसत भार 1.5 किग्रा बढ़ जाता है। नया सदस्य = 57 + 12 × 1.5 = 75 किग्रा।

उलटा प्रश्न भी उतनी ही जल्दी हल होता है। 15 लोगों के समूह में 72 किग्रा वाले व्यक्ति के स्थान पर 51 किग्रा वाला व्यक्ति आता है। दोनों के भार का अंतर पूरे 15 लोगों में बँट जाता है, तो औसत $\frac{21}{15}$ = 1.4 किग्रा घट जाता है।

दो सदस्यों का प्रतिस्थापन

दो सदस्य बदलें, तो यही नियम जोड़ी पर लगाइए। नई जोड़ी का योग = पुरानी जोड़ी का योग ± n × परिवर्तन।

जैसे 15 खिलाड़ियों की टीम में 33 और 29 वर्ष के दो खिलाड़ियों के स्थान पर दो नए खिलाड़ी आते हैं, और टीम की औसत आयु 1.2 वर्ष घट जाती है। नई जोड़ी का योग = 62 − 15 × 1.2 = 44 वर्ष, तो उनका औसत 22 वर्ष है।

कभी प्रश्न में लिखा होता है कि किसी अधिक आयु वाले सदस्य के स्थान पर नया सदस्य आया और औसत आयु घट गई। यह भी यही नियम है। यहाँ किसी की आयु नहीं बढ़ी, क्योंकि समय तो बीता ही नहीं। बस एक व्यक्ति के स्थान पर उससे छोटा व्यक्ति आ गया। दोनों की आयु का अंतर = n × कमी।

यहाँ चार गलतियाँ आम हैं।

• n पूरे समूह के सदस्यों की संख्या है, 1 या 2 नहीं। पहले उदाहरण में 57 + 1.5 = 58.5 लिख देना यही जाल है।
• प्रतिस्थापन में संख्या वही रहती है, इसलिए यहाँ n + 1 नहीं लेना है।
• "A के स्थान पर B आता है" में B नया सदस्य है। ध्यान से पढ़िए कि प्रश्न किसका भार दे रहा है।
• दो का प्रतिस्थापन हो, तो नियम से जोड़ी का योग मिलता है। उसे आधा तभी कीजिए जब प्रश्न उनका औसत पूछे।

गलत प्रविष्टि सुधारना

किसी मान को गलत लिख दिया गया हो और सही औसत पूछा जाए, तो याद रखिए कि गलत केवल योग हुआ है। योग में गलती = सही मान − गलत मान। इस गलती को पदों की संख्या पर बाँट दीजिए।

$$\text{सही औसत} = \text{गलत औसत} + \frac{\text{सही मान} - \text{गलत मान}}{n}$$

जैसे 42 संख्याओं का औसत 58 निकाला गया, पर 92 को 29 पढ़ लिया गया था। मतलब योग 63 कम लिया गया। सही औसत = 58 + $\frac{63}{42}$ = 59.5।

कई गलतियाँ हों तो पहले शुद्ध गलती

मान लीजिए 25 प्रेक्षणों का औसत 46 मिला, पर दो मान गलत लिखे गए थे। 62 को 26 लिखा गया और 41 को 47। शुद्ध गलती = (62 − 26) + (41 − 47) = 36 − 6 = 30। तो सही औसत = 46 + $\frac{30}{25}$ = 47.2।

अंक उलट गए हों तो

दो अंकों की किसी संख्या और उसके अंक उलटकर बनी संख्या का अंतर हमेशा 9 × (दोनों अंकों का अंतर) होता है।

जैसे 12 संख्याओं की सूची में एक संख्या के अंक उलट गए और औसत 3 बढ़ गया। मतलब योग 36 बढ़ा। तो अंकों का अंतर = 36 ÷ 9 = 4 है।

संख्या 15, 26, 37, 48 या 59 हो सकती है, जो गलती से 51, 62, 73, 84 या 95 लिखी गई। एक संख्या तभी तय होगी जब प्रश्न कोई और बात भी दे, जैसे अंकों का योग।

कोई मान छूट गया हो तो

अगर कोई मान पूरा ही छूट गया हो, तो पदों की संख्या भी गलत है। तब पूरा योग लेकर चलिए।

जैसे 19 संख्याओं का औसत 32 निकला, पर 20वीं संख्या 70 छूट गई थी। सही औसत = $\frac{19 \times 32 + 70}{20} = \frac{678}{20}$ = 33.9।

इन प्रश्नों में ये गलतियाँ होती हैं।

• दिशा उलट देना। सही मान लिए गए मान से बड़ा हो, तो औसत बढ़ेगा। पहले उदाहरण में कोई घटा दे, तो 56.5 आएगा।
• भाग पूरी संख्या n से दीजिए, 2 से या किसी और संख्या से नहीं।
• कोई मान छूट गया हो या दो बार गिन लिया गया हो, तो संख्या भी बदल जाती है। तब अकेला "अंतर ÷ संख्या" नहीं चलता, योग से हल कीजिए।

[SSC टिप] अंक उलटने वाले प्रश्नों में योग का परिवर्तन हमेशा 9 का गुणज होता है। जिस विकल्प से योग का परिवर्तन कुछ और आए, उसे तुरंत हटा दीजिए।

समूहों और दिनों में उभयनिष्ठ मान

दो बार गिना गया मान

मान लीजिए N मानों का औसत दिया है, और साथ में पहले k मानों का औसत और अंतिम m मानों का औसत भी। दोनों समूहों में ठीक एक मान साझा है, यानी k + m = N + 1। दोनों समूहों के योग जोड़ें, तो यह उभयनिष्ठ मान दो बार गिना जाता है। इसलिए

$$\text{उभयनिष्ठ मान} = \text{पहले समूह का योग} + \text{अंतिम समूह का योग} - \text{सभी का योग}$$

जैसे 11 संख्याओं का औसत 46 है। पहली छह का औसत 43 है और अंतिम छह का 50। छठी संख्या दोनों समूहों में है, तो छठी संख्या = 258 + 300 − 506 = 52।

इसे और जल्दी करना हो, तो कुल औसत से अंतर देखिए। पहली छह संख्याओं का औसत 46 से 3 कम है, तो छहों का कुल −18 हुआ। अंतिम छह का औसत 4 ज़्यादा है, तो उनका कुल +24। उभयनिष्ठ मान = 46 − 18 + 24 = 52। इसमें तीन अंकों वाला कोई जोड़ करना ही नहीं पड़ा।

जोड़ियों के औसत से तीन संख्याएँ

A और B, B और C, तथा C और A के औसत दिए हों, तो A + B + C इन तीनों जोड़ी-औसतों के योग के बराबर होता है। वजह सीधी है। हर जोड़ी का योग उसके औसत का दोगुना होता है, और हर अक्षर दो जोड़ियों में आता है। तो दोनों 2 आपस में कट जाते हैं।

जैसे A और B का औसत 40, B और C का 50, तथा C और A का 45 है। तो A + B + C = 135, और C = 135 − 80 = 55।

लगातार दिनों के औसत

कभी ऐसे दिन-समूहों के औसत दिए होते हैं जो एक-एक दिन आगे खिसकते हैं, जैसे सोमवार से बुधवार, और मंगलवार से गुरुवार। बीच के दिन दोनों समूहों में होते हैं, इसलिए कट जाते हैं। बचता है (अंतिम दिन − पहला दिन) = (हर समूह के दिन) × (औसतों का अंतर)।

जैसे सोमवार से बुधवार का औसत तापमान 29°C है और मंगलवार से गुरुवार का 31°C। तो गुरुवार, सोमवार से 3 × 2 = 6°C अधिक गर्म है। गुरुवार 35°C हो, तो सोमवार 29°C था।

पूरे सप्ताह वाले प्रश्न में उभयनिष्ठ मान वाला नियम लगता है। मान लीजिए सप्ताह का औसत तापमान 30°C है, पहले चार दिनों का 29°C और अंतिम चार का 32°C। गुरुवार दोनों समूहों में है, तो गुरुवार = 30 − 4 + 8 = 34°C।

यहाँ इन बातों का ध्यान रखिए।

• औसतों का अंतर (2°C) दोनों दिनों के तापमान का अंतर नहीं है। उसे हर समूह के दिनों की संख्या से गुणा कीजिए।
• उभयनिष्ठ मान वाले नियम में दोनों समूहों का ठीक एक मान साझा होना चाहिए। दो या ज़्यादा मान साझा हों, तो केवल उनका योग मिलेगा।
• देखिए कि प्रश्न किस दिशा का अंतर पूछ रहा है, गुरुवार − सोमवार या सोमवार − गुरुवार।

[SSC टिप] 2k − 1 संख्याओं में पहली k और अंतिम k लें, तो साझा संख्या हमेशा बीच वाली होती है। "13 में से पहली 7 और अंतिम 7" हो, तो वह 7वीं संख्या है। यानी हल शुरू करने से पहले ही पता होता है कि कौन-सी संख्या ढूँढनी है।

क्रिकेट में बल्लेबाज़ी और गेंदबाज़ी औसत

बल्लेबाज़ी औसत का मतलब है प्रति पारी रन, और गेंदबाज़ी औसत का मतलब है प्रति विकेट दिए गए रन। दोनों में वही नियम लगता है जो "कोई सदस्य जुड़े या हट जाए" वाले भाग में देखा था।

लक्ष्य औसत के लिए ज़रूरी रन

n पारियों के बाद बल्लेबाज़ का औसत A है, और अगली पारी के बाद उसे A + d चाहिए। अगली पारी के रनों को दो हिस्सों में देखिए। पहला हिस्सा नए औसत जितने रनों का है, जो उसी पारी के अपने हैं। दूसरा हिस्सा n पुरानी पारियों के लिए है, हर एक पर d रन और।

$$\text{ज़रूरी रन} = (A + d) + n \times d$$

जैसे 19 पारियों के बाद औसत 41 है, और 20वीं पारी के बाद 44 करना है। ज़रूरी रन = 44 + 19 × 3 = 101।

एक पारी के बाद का औसत

कभी उलटा पूछा जाता है। (n + 1)वीं पारी में बल्लेबाज़ R रन बनाता है और उसका औसत d बढ़ जाता है। तब नया औसत = R − n × d। नए औसत से ऊपर जितने रन बने, वे n पुरानी पारियों में बँट गए।

जैसे किसी ने 31वीं पारी में 134 रन बनाए और उसका औसत 2.8 बढ़ गया। नया औसत = 134 − 30 × 2.8 = 134 − 84 = 50।

उच्चतम और निम्नतम स्कोर

मान लीजिए 32 पारियों का औसत 44 है। उच्चतम स्कोर निम्नतम से 158 अधिक है, और इन दोनों पारियों को छोड़कर बाकी 30 पारियों का औसत 41 है। तो दोनों स्कोर मिलाकर 1,408 − 1,230 = 178 हुए। उच्चतम = $\frac{178 + 158}{2}$ = 168, और निम्नतम 10।

गेंदबाज़ी औसत

गेंदबाज़ी में औसत जितना कम हो, उतना अच्छा। मतलब हर विकेट पर कम रन दिए गए।

जैसे किसी गेंदबाज़ का औसत 12.4 है। एक मैच में वह 26 रन देकर 5 विकेट लेता है, और उसका औसत 0.4 घटकर 12 रह जाता है। नए औसत पर 5 विकेटों की "क़ीमत" 5 × 12 = 60 रन होती। उसने केवल 26 रन दिए, तो 34 रन बच गए। यही बचत पुराने विकेटों में बँटती है, और हर विकेट पर 0.4 रन घट जाते हैं। तो पुराने विकेट = 34 ÷ 0.4 = 85।

जाँच कर लीजिए, 85 × 12.4 + 26 = 1,080 = 90 × 12।

क्रिकेट वाले प्रश्नों में ये गलतियाँ होती हैं।

• "पारी के बाद का औसत" में n पुरानी पारियों की गिनती है, यानी 31वीं पारी पर 30। कोई 31 ले ले, तो 47.2 आता है। यह तो पुराना औसत है, और पेपर में यह गलत विकल्प अक्सर मिलता है।
• प्रश्न में नाबाद पारियाँ हों, तो औसत = रन ÷ जितनी बार आउट हुआ। रन ÷ पारियाँ नहीं।
• गेंदबाज़ी औसत घटे, तो इसका मतलब है कि गेंदबाज़ ने अच्छी गेंदबाज़ी की। इसे उलटा मत पढ़िए।

परीक्षा में लक्ष्य और न्यूनतम अंक

अंतिम परीक्षा में ज़रूरी अंक

कुछ परीक्षाओं का औसत पता है, और एक और परीक्षा के बाद कोई लक्ष्य औसत चाहिए। यह फिर वही क्रिकेट वाला नियम है।

$$\text{ज़रूरी अंक} = \text{लक्ष्य} + (\text{दी जा चुकी परीक्षाएँ}) \times (\text{लक्ष्य} - \text{वर्तमान औसत})$$

जैसे 4 परीक्षाओं में मीरा का औसत 58 है, और 5वीं परीक्षा के बाद उसे 63 करना है। ज़रूरी अंक = 63 + 4 × 5 = 83।

विचलन से न्यूनतम अंक

उत्तीर्ण होने के लिए एक न्यूनतम औसत चाहिए, और एक को छोड़कर सारे अंक पता हैं। तब उत्तीर्ण औसत को आधार मानिए और विचलन जोड़िए। जितनी कमी निकले, अंतिम प्रश्नपत्र को उतनी भरपाई करनी होगी।

जैसे चार प्रश्नपत्रों में उत्तीर्ण होने के लिए औसत 40 चाहिए। पहले तीन में 35, 42 और 31 अंक आए। 40 से विचलन −5, +2 और −9 हैं, यानी कुल 12 की कमी है। तो चौथे में कम से कम 40 + 12 = 52 अंक चाहिए।

क्या लक्ष्य पूरा हो सकता है

अगर ज़रूरी अंक अधिकतम अंक से ज़्यादा आएँ, तो एक परीक्षा से लक्ष्य पूरा नहीं हो सकता।

जैसे अर्जुन ने 4 परीक्षाएँ दीं, हर एक 100 अंकों की, और उसका औसत 72 है। 5वीं के बाद वह 80 का औसत चाहता है। ज़रूरी अंक 80 + 4 × 8 = 112 आते हैं, जो हो ही नहीं सकता। वह ज़्यादा से ज़्यादा $\frac{288 + 100}{5}$ = 77.6 का औसत ला सकता है।

अब पूछा जाए कि कितनी परीक्षाओं में पूरे अंक चाहिए। 80 के औसत से वह 4 × 8 = 32 अंक पीछे है। किसी परीक्षा में पूरे 100 अंक आएँ, तो उससे 20 की भरपाई होती है। एक परीक्षा काफ़ी नहीं है, इसलिए 2 परीक्षाएँ चाहिए।

यहाँ तीन गलतियाँ होती हैं।

• संख्या दी जा चुकी परीक्षाओं की लेनी है (4), कुल की नहीं (5)। मीरा वाले प्रश्न में 63 + 5 × 5 = 88 लिख देना जाल है।
• प्रश्नपत्रों के अधिकतम अंक अलग-अलग हों, तो लक्ष्य एक भारित औसत (weighted average) होता है। तब कुल अंकों पर काम कीजिए, जैसा आगे "सी-सॉ विधि" और "औसतों के औसत का जाल" वाले भागों में करेंगे।
• "कम से कम" वाले प्रश्न में वह सबसे छोटा अंक चाहिए जिससे लक्ष्य पूरा हो जाए। अंक पूर्ण संख्याओं में ही मिलते हों, तो हमेशा ऊपर की ओर पूर्णांकन कीजिए, नीचे की ओर कभी नहीं।

सी-सॉ विधि से भारित औसत

हाल के CGL पेपरों में भारित औसत और संयुक्त औसत (combined average) के प्रश्न बार-बार आए हैं। इसलिए यह विधि अच्छी तरह तैयार रखिए।

औसतों से समूहों का आकार

दो समूह मिलाए गए हैं, एक का औसत a और दूसरे का b। दोनों का कुल औसत m पता है। पूछा जाता है कि समूहों के आकार किस अनुपात में हैं, या किसी एक समूह में कितने लोग हैं।

इसे सी-सॉ की तरह सोचिए, बच्चों का वह झूला जो बीच में टिका होता है और ऊपर-नीचे होता है। कुल औसत बीच का वह बिंदु है जहाँ झूला संतुलित रहता है, और हर समूह अपने औसत पर बैठा है। जो समूह भारी होता है, वह बिंदु के ज़्यादा पास बैठता है। इसलिए समूहों के आकार दूरियों के उलटे अनुपात में होते हैं।

$$n_1 : n_2 = (b - m) : (m - a)$$

जैसे लड़कों के औसत अंक 61 हैं, लड़कियों के 72, और पूरी कक्षा का औसत 65। लड़के 65 से 4 दूर हैं और लड़कियाँ 7 दूर। तो लड़के : लड़कियाँ = 7 : 4। कक्षा में 44 विद्यार्थी हों, तो 28 लड़के और 16 लड़कियाँ हैं। जाँच कर लीजिए, 1,708 + 1,152 = 2,860 = 44 × 65।

एक समूह का औसत

यहाँ एक बात याद रखिए। एक समूह के सारे सदस्य मिलाकर कुल औसत से जितना नीचे हैं, दूसरे समूह के सदस्य मिलाकर उतना ही ऊपर होते हैं।

जैसे अनुभाग A में 30 विद्यार्थी हैं जिनका औसत 55 है, और अनुभाग B में 20 विद्यार्थी हैं। दोनों का मिलाकर औसत 58.6 है। A का हर विद्यार्थी औसतन 3.6 नीचे है, तो कुल कमी 30 × 3.6 = 108 हुई। B के 20 विद्यार्थियों को यह 108 पूरा करना है, यानी हर एक पर 5.4। तो B का औसत 58.6 + 5.4 = 64 है।

तीन या अधिक समूह

तीन या ज़्यादा समूह हों, तब भी किसी आधार से विचलन वाला तरीका चलता है।

जैसे 25, 35 और 40 विद्यार्थियों के तीन समूह हैं, जिनके औसत 60, 70 और 64 हैं। आधार 64 लीजिए। 25 × (−4) + 35 × 6 + 40 × 0 = +110। कुल 100 विद्यार्थी हैं, तो 110 ÷ 100 = 1.1, और कुल औसत 65.1 है।

इस विधि में ये गलतियाँ होती हैं।

• अनुपात उलट देना। बड़ा समूह कुल औसत के ज़्यादा पास होता है। ऊपर लड़कों की दूरी 4 है, पर अनुपात में 4 लड़कियों के साथ जाता है। लड़के : लड़कियाँ = 4 : 7 लिख देना यही जाल है।
• कुल औसत हमेशा दोनों समूह-औसतों के बीच होता है। जो विकल्प इस दायरे से बाहर हो, उसे हटा दीजिए।
• यह नियम औसतों पर चलता है। प्रश्न में कुल वेतन या कुल अंक दिए हों, तो पहले उन्हें औसत में बदलिए।

अध्याय 6 (मिश्रण और एलीगेशन) में एलीगेशन पढ़ेंगे। वह भी यही सी-सॉ है, बस क्रॉस के रूप में लिखा जाता है।

औसतों के औसत का जाल

सीधा औसत कब चलता है

जब भी दो या ज़्यादा समूहों के औसत मिलाए जा रहे हों, यह बात याद रखिए। औसतों का सीधा औसत तभी सही है जब सारे समूह बराबर आकार के हों। नहीं तो हर औसत को उसके समूह के आकार का भार दीजिए, या पिछले भाग वाली सी-सॉ विधि लगाइए।

जैसे अनुभाग A में 40 विद्यार्थी हैं जिनका औसत 70 है, और अनुभाग B में 60 विद्यार्थी हैं जिनका औसत 60 है। सीधा औसत 65 आता है, जो गलत है। B बड़ा है, तो उत्तर 60 की ओर झुकेगा। सही औसत 60 + 10 × $\frac{40}{100}$ = 64 है।

अलग-अलग अधिकतम अंक और प्रतिशत

हर प्रतिशत को अंकों में बदलिए, अंक जोड़िए, और कुल अधिकतम अंकों से भाग दीजिए।

जैसे किसी ने 150 अंकों के प्रश्नपत्र में 84% और 50 अंकों के प्रश्नपत्र में 64% अंक पाए। अंकों में यह 200 में से 126 + 32 = 158 हुआ। तो कुल 79% हुआ, 74% नहीं।

औसत मूल्य, मात्रा बराबर हो या पैसा

यहाँ दो हालतें आती हैं।

• मात्राएँ अलग-अलग हों, तो हर मूल्य को उसकी मात्रा का भार दीजिए। 24 किग्रा ₹35 के भाव से और 16 किग्रा ₹50 के भाव से लिया, तो औसत मूल्य ₹41 प्रति किग्रा है, ₹42.50 नहीं।
• दो मूल्यों पर बराबर पैसा खर्च हो, तो सस्ती चीज़ ज़्यादा मिलती है। तब औसत मूल्य $\frac{2ab}{a + b}$ होता है, जो सीधे औसत से कम है। ₹30 प्रति किग्रा वाले चावल पर ₹600 और ₹20 प्रति किग्रा वाले पर भी ₹600 खर्च किए। 20 किग्रा + 30 किग्रा = 50 किग्रा चावल ₹1,200 में आया, तो औसत ₹24 प्रति किग्रा है।

बराबर दूरियाँ अलग-अलग चाल से तय की जाएँ, तो औसत चाल भी बराबर पैसे वाले नियम से ही निकलती है।

यहाँ ये बातें ध्यान रखिए।

• संयुक्त समूह वाले लगभग हर प्रश्न के विकल्पों में सीधा औसत दिया होता है। समूह अलग आकार के हों, तो वह गलत है।
• मात्राएँ बराबर हों तो सीधा औसत सही है, पर पैसा बराबर हो तो नहीं। इसलिए पढ़िए कि क्या स्थिर है।
• कई प्रतिशतों को मिलाकर एक प्रतिशत निकालना हो, तो पता होना चाहिए कि हर प्रतिशत किस संख्या पर है। "कक्षा A में 80% उत्तीर्ण हुए, कक्षा B में 60%", तो कक्षाओं का आकार जाने बिना संयुक्त उत्तीर्ण प्रतिशत के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता।

आयु के प्रश्नों में पूरा समूह साथ बड़ा होता है

n वर्ष में औसत भी n बदलता है

वही समूह हो और प्रश्न n वर्ष पहले या n वर्ष बाद की बात करे, तो हर सदस्य की आयु n वर्ष बदलती है। औसत n बदलता है, और योग (सदस्यों की संख्या × n) बदलता है। इसके अलावा कुछ नहीं बदलता।

जैसे 5 सदस्यों के परिवार की आज औसत आयु 31 वर्ष है। तीन वर्ष पहले उन्हीं पाँच सदस्यों का औसत 28 था, और उनका योग 15 वर्ष कम था।

बाद में जन्मा या जुड़ा सदस्य

पहले पुराने सदस्यों की आयु में बीते वर्ष जोड़कर उन्हें आज तक ले आइए। फिर दोनों योगों की तुलना कीजिए। जो अंतर आए, वही नए सदस्य की आयु है।

जैसे चार वर्ष पहले 6 सदस्यों वाले परिवार की औसत आयु 27 वर्ष थी। तब से एक बच्चे का जन्म हुआ, और आज 7 सदस्यों का औसत भी 27 है। उन छहों का आज का योग 6 × 31 = 186 है, और सातों का 7 × 27 = 189। तो बच्चा 3 वर्ष का है।

शिक्षक को शामिल करना

यह "कोई सदस्य जुड़े या हट जाए" वाला नियम ही है।

$$\text{शिक्षक} = \text{नया औसत} + (\text{विद्यार्थियों की संख्या}) \times \text{बढ़त}$$

जैसे 23 विद्यार्थियों की औसत आयु 13 वर्ष है। शिक्षक को शामिल करने पर औसत 1.25 बढ़ जाता है। शिक्षक = 14.25 + 23 × 1.25 = 14.25 + 28.75 = 43 वर्ष।

सबसे छोटे सदस्य के जन्म के समय औसत

सबसे छोटे सदस्य को अलग कर दीजिए, फिर उसकी आयु जितने वर्ष पीछे जाइए।

जैसे 5 सदस्यों के परिवार की आज औसत आयु 24 है, और सबसे छोटा सदस्य 4 वर्ष का है। बाकी चार का आज का योग 120 − 4 = 116 है। 4 वर्ष पहले यह 116 − 16 = 100 था। तो तब उनका औसत 25 था।

आयु के प्रश्नों में ये गलतियाँ होती हैं।

• जो सदस्य बाद में जन्मा, या विवाह से परिवार में आया, वह पुराने योग में नहीं था। वर्ष केवल उन्हीं में जोड़िए जो तब परिवार में थे।
• शिक्षक वाले नियम में नए औसत से शुरू कीजिए, और विद्यार्थियों की संख्या लीजिए, विद्यार्थी + 1 नहीं।
• बड़े सदस्य के स्थान पर छोटा सदस्य आए, तो किसी के बड़े हुए बिना औसत घट जाता है। यह प्रतिस्थापन वाला नियम है, यह वाला नहीं।

विकल्प हटाना

दायरा, पूर्ण संख्या और दिशा

कोई भी हल शुरू करने से पहले विकल्पों पर एक नज़र डालिए। कभी-कभी तो प्रश्न इसी से हल हो जाता है। हर विकल्प को इन चार जाँचों पर परखिए।

• दायरा: औसत हमेशा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच होता है। संयुक्त औसत समूह-औसतों के बीच होता है, और बड़े समूह के ज़्यादा पास।
• पूर्ण योग: लोग, रन और अंक पूर्ण संख्याएँ होते हैं, तो औसत × संख्या भी पूर्ण संख्या होनी चाहिए। सात विद्यार्थियों के औसत अंक 46.3 नहीं हो सकते, क्योंकि 7 × 46.3 = 324.1 आता है।
• दिशा: जो नया सदस्य औसत बढ़ाए, वह औसत से ऊपर है। जिस प्रतिस्थापन से औसत घटे, उसमें नया व्यक्ति हल्का या छोटा है। जिस बल्लेबाज़ का औसत बढ़ा, उसने नए औसत से ज़्यादा रन बनाए।
• क्रमागत संख्याएँ: क्रमागत पूर्ण संख्याओं की गिनती विषम हो, तो औसत पूर्ण संख्या होता है। गिनती सम हो, तो औसत के अंत में .5 आता है।

एक उदाहरण देखिए। 45 विद्यार्थियों की कक्षा में लड़कों के औसत अंक 57 हैं, लड़कियों के 66, और पूरी कक्षा का 60। लड़कियाँ कितनी हैं? विकल्प हैं (a) 30 (b) 15 (c) 25 (d) 20।

60, 57 के ज़्यादा पास है। मतलब लड़के बड़ा समूह हैं, और लड़कियाँ 45 के आधे से कम हैं। तो (b) 15 और (d) 20 ही बचते हैं। अब सी-सॉ लगाइए। लड़के : लड़कियाँ = 6 : 3 = 2 : 1, तो लड़कियाँ (b) 15 हैं। जाँच कर लीजिए, 1,710 + 990 = 2,700 = 45 × 60।

हाँ, यह तरीका हर जगह नहीं चलता। कभी चारों विकल्प सारी जाँचें पास कर लेते हैं, तब असली विधि लगानी ही पड़ेगी। पैसा और भार दशमलव में भी हो सकते हैं, इसलिए पूर्ण योग वाली जाँच लोगों, रनों और अंकों पर ही सबसे ज़्यादा काम आती है।

[SSC टिप] जाल वाला विकल्प अक्सर किसी एक आम गलती का नतीजा होता है, जैसे औसतों का सीधा औसत ले लेना, नई की जगह पुरानी संख्या ले लेना, या अनुपात उलट देना। आपका उत्तर ऐसे ही किसी विकल्प से मिल जाए, तो निशान लगाने से पहले वही एक कदम दोबारा जाँच लीजिए।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं। हर प्रश्न ऊपर के किसी एक तेज़ तरीके से करेंगे, और हर उत्तर के बाद देखेंगे कि उसमें लगभग कितना समय लगता है।

प्रश्न 1

मानसून के आठ दिनों में एक दुकान पर 318, 324, 309, 331, 315, 327, 312 और 320 छाते बिके। प्रतिदिन बिके छातों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आधार 320 ले लेते हैं। विचलन −2, +4, −11, +11, −5, +7, −8 और 0 आते हैं, जिनका योग −4 है। इसे 8 दिनों पर बाँटने से −0.5 आता है। इसलिए औसत 320 − 0.5 = 319.5 है। लंबे तरीके में पहले आठ तीन-अंकीय संख्याएँ जोड़नी पड़तीं। उसमें दोगुना समय लगता, और गलती की संभावना भी रहती।

यह प्रश्न लगभग 20 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 2

छह क्रमागत सम संख्याओं का औसत 47 है। इनमें से सबसे बड़ी संख्या के वर्ग और सबसे छोटी संख्या के वर्ग का अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: छह सम संख्याएँ हैं और कदम 2 है, तो दोनों सिरे औसत से 5 दूर हैं। सबसे छोटी = 47 − 5 = 42 और सबसे बड़ी = 47 + 5 = 52। वर्गों का अंतर = (52 − 42)(52 + 42) = 10 × 94 = 940। किसी संख्या का वर्ग करना ही नहीं पड़ा, क्योंकि सबसे बड़ी + सबसे छोटी तो 2 × 47 ही है।

इसमें 15 सेकंड के आसपास लगते हैं।

प्रश्न 3

प्रथम 11 प्राकृत संख्याओं के घनों के औसत और वर्गों के औसत का अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: घनों का औसत $\frac{11 \times 12^2}{4} = \frac{1584}{4}$ = 396 है। वर्गों का औसत $\frac{12 \times 23}{6}$ = 46 है। दोनों का अंतर 350 है।

दोनों सूत्र याद हों, तो पूरा हल करीब 20 सेकंड का है।

प्रश्न 4

20 कर्मचारियों का औसत मासिक वेतन ₹24,000 है। पाँच नए कर्मचारियों के जुड़ने पर औसत ₹600 घट जाता है। नए कर्मचारियों का औसत वेतन कितना है?

उत्तर: यहाँ पुराना औसत और बदलाव के बाद की संख्या लेते हैं। औसत घटा है, तो नए कर्मचारी औसत से नीचे हैं। 5 × 24,000 = 1,20,000 और 25 × 600 = 15,000। तो नए कर्मचारियों का योग 1,20,000 − 15,000 = 1,05,000 है, और हर एक का औसत वेतन ₹21,000।

इसे करने में करीब 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 5

16 डिब्बों का औसत भार 34 किग्रा है। एक डिब्बा निकाल लेने पर शेष डिब्बों का औसत भार 33.2 किग्रा हो जाता है। निकाले गए डिब्बे का भार कितना था?

उत्तर: डिब्बा निकालने से औसत 0.8 किग्रा घट गया, तो वह डिब्बा औसत से भारी था। अब पुराना औसत और बाद की संख्या लेते हैं। बचे हुए 15 डिब्बों में हर एक पर 0.8 किग्रा की कमी आई, तो डिब्बे का भार = 34 + 15 × 0.8 = 46 किग्रा।

यह तो लगभग 10 सेकंड का काम है।

प्रश्न 6

14 पुरुषों में से 61 किग्रा और 66 किग्रा भार वाले दो पुरुषों के स्थान पर दो नए पुरुष आने से उनका औसत भार 1.5 किग्रा बढ़ जाता है। दोनों नए पुरुषों का औसत भार कितना है?

उत्तर: हटने वाली जोड़ी का भार 61 + 66 = 127 किग्रा है। औसत बढ़ा है, तो योग 14 × 1.5 = 21 किग्रा बढ़ा। नई जोड़ी का भार 127 + 21 = 148 किग्रा है, और उनका औसत 74 किग्रा।

इसमें भी करीब 15 सेकंड ही लगते हैं।

प्रश्न 7

15 संख्याओं का औसत 41 निकाला गया। बाद में पता चला कि 74 को गलत लिखकर 47 और 35 को गलत लिखकर 53 कर दिया गया था। सही औसत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले शुद्ध गलती निकाल लेते हैं। (74 − 47) + (35 − 53) = 27 − 18 = 9, यानी योग 9 कम लिया गया था। इसे 15 संख्याओं पर बाँटें तो 0.6 आता है। सही औसत 41.6 है।

लगभग 15 सेकंड में सही औसत निकल आता है।

प्रश्न 8

13 परिणामों का औसत 60 है। पहले 7 परिणामों का औसत 57 और अंतिम 7 परिणामों का औसत 64 है। 7वाँ परिणाम ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 60 से विचलन देखते हैं। पहले 7 परिणामों का औसत 3 कम है, तो उनका कुल −21 हुआ। अंतिम 7 का औसत 4 ज़्यादा है, तो उनका कुल +28। 7वाँ परिणाम दोनों समूहों में गिना गया है, इसलिए 7वाँ परिणाम = 60 − 21 + 28 = 67। योग वाले रास्ते से 399 + 448 − 780 करके भी यही उत्तर आता है, पर उसमें बड़ी संख्याएँ संभालनी पड़ती हैं।

विचलन वाले रास्ते से इसमें करीब 15 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 9

सोमवार से गुरुवार तक का औसत तापमान 37°C था, और मंगलवार से शुक्रवार तक का औसत तापमान 35.25°C था। शुक्रवार का तापमान, सोमवार के तापमान का $\frac{5}{6}$ था। शुक्रवार का तापमान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मंगलवार, बुधवार और गुरुवार दोनों समूहों में हैं, इसलिए कट जाते हैं। हर समूह में 4 दिन हैं और औसतों का अंतर 1.75 है, तो सोमवार − शुक्रवार = 4 × 1.75 = 7°C। शुक्रवार, सोमवार का $\frac{5}{6}$ है, तो 7 का यह अंतर सोमवार का $\frac{1}{6}$ हुआ। इसलिए सोमवार 42°C है, और शुक्रवार 35°C।

पूरे हल में लगभग 20 सेकंड जाते हैं।

प्रश्न 10

21 पारियों के बाद एक बल्लेबाज़ का औसत 44 है। अपना औसत 46 करने के लिए उसे 22वीं पारी में कितने रन बनाने होंगे?

उत्तर: ज़रूरी रन = नया औसत + पुरानी पारियाँ × बढ़त। यहाँ औसत 2 बढ़ाना है, तो 46 + 21 × 2 = 88 रन चाहिए।

यह करीब 10 सेकंड का प्रश्न है।

प्रश्न 11

एक गेंदबाज़ का औसत 11 रन प्रति विकेट है। अपने अगले मैच में वह 29 रन देकर 4 विकेट लेता है, और उसका औसत घटकर 10.7 रह जाता है। इस मैच से पहले उसने कितने विकेट लिए थे?

उत्तर: नए औसत के हिसाब से 4 विकेटों की "क़ीमत" 4 × 10.7 = 42.8 रन होती। उसने केवल 29 रन दिए, तो 13.8 रन बच गए। यह बचत पुराने विकेटों में बँटती है, और हर विकेट पर 0.3 रन घटते हैं। तो पुराने विकेट = 13.8 ÷ 0.3 = 46। जाँच कर लेते हैं। 46 × 11 + 29 = 535, और 535 ÷ 50 = 10.7।

यह प्रश्न थोड़ा लंबा है, लगभग 25 सेकंड का।

प्रश्न 12

6 परीक्षाओं में रिया का औसत 71 है। अपना औसत 73 करने के लिए उसे 7वीं परीक्षा में कितने अंक प्राप्त करने होंगे?

उत्तर: ज़रूरी अंक = लक्ष्य + दी जा चुकी परीक्षाएँ × अंतर। रिया 6 परीक्षाएँ दे चुकी है और लक्ष्य से 2 पीछे है, तो 73 + 6 × 2 = 85 अंक चाहिए।

यहाँ भी 10 सेकंड काफ़ी हैं।

प्रश्न 13

एक कारखाने में सभी श्रमिकों का औसत मासिक वेतन ₹21,600 है। 9 तकनीशियनों का औसत वेतन ₹28,000 और शेष श्रमिकों का औसत वेतन ₹19,200 है। कारखाने में कुल कितने श्रमिक हैं?

उत्तर: ₹21,600 से दूरियाँ देखते हैं। तकनीशियन 6,400 ऊपर हैं और बाकी श्रमिक 2,400 नीचे। समूहों के आकार दूरियों के उलटे अनुपात में होते हैं, तो तकनीशियन : बाकी = 2,400 : 6,400 = 3 : 8। 9 तकनीशियन 3 इकाई हैं, तो 1 इकाई = 3। बाकी श्रमिक 24 हैं, और कुल 33 श्रमिक हैं।

इसमें करीब 25 सेकंड लग जाते हैं।

प्रश्न 14

27 विद्यार्थियों की औसत आयु 12 वर्ष है। शिक्षक की आयु को भी शामिल करने पर औसत 1.25 वर्ष बढ़ जाता है। शिक्षक की आयु कितनी है?

उत्तर: शिक्षक = नया औसत + विद्यार्थियों की संख्या × बढ़त। नया औसत 13.25 है, तो शिक्षक = 13.25 + 27 × 1.25 = 13.25 + 33.75 = 47 वर्ष।

यह लगभग 15 सेकंड का हल है।

प्रश्न 15

तीन अनुभागों में 25, 40 और 55 विद्यार्थी हैं, और उनके औसत अंक 64, 53 और 60 हैं। सभी विद्यार्थियों को मिलाकर औसत अंक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आधार 60 ले लेते हैं। 25 × (+4) + 40 × (−7) + 55 × 0 = 100 − 280 = −180। कुल 120 विद्यार्थी हैं, तो हर विद्यार्थी पर 1.5 की कमी आती है, और औसत 60 − 1.5 = 58.5 है। जल्दबाज़ी में कोई 64, 53 और 60 का सीधा औसत 59 ले ले, तो वह उत्तर के पास तो है, पर गलत है।

पूरा हिसाब करीब 25 सेकंड का है।