दंड आरेख

साधारण दंड आरेख पढ़ना

दंड आरेख (bar graph) में हर मान एक दंड की ऊँचाई से दिखाया जाता है। वर्ष, महीने या शहर जैसी श्रेणियाँ एक अक्ष पर होती हैं। मान दूसरे अक्ष पर होते हैं, और उन्हें एक पैमाने से नापा जाता है।

कोई भी प्रश्न हल करने से पहले आरेख की चार बातें देख लीजिए।

• शीर्षक: इससे पता चलता है कि दंड किस चीज़ के हैं।
• अक्ष का नाम और उसकी इकाई: इस आरेख में अक्ष पर "बेची गई कारें (सौ में)" लिखा है। 2022 वाले दंड पर 50 लिखा है, तो उस वर्ष 5,000 कारें बिकीं।
• पैमाना: यहाँ पैमाना 0 से शुरू होता है, और रेखाएँ 10-10 के अंतर पर हैं।
• दंडों पर मान छपे हैं या नहीं: मान छपे हों, तो वही संख्याएँ लीजिए। ऊँचाई देखकर अंदाज़ा न लगाइए।

एक नज़र में: सबसे ऊँचा दंड उच्चतम मान बताता है। यहाँ वह 2024 का है, 63 सौ। सबसे छोटा दंड निम्नतम मान बताता है, जो 2021 का है, 28 सौ। एक दंड से अगले दंड तक ऊँचाई जितनी चढ़ती या उतरती है, उतनी ही वृद्धि या कमी होती है। सबसे बड़ी बढ़त 2021 से 2022 के बीच है, पूरे 22 सौ की। ऐसे प्रश्नों में कोई हिसाब करना ही नहीं पड़ता।

इकाई के साथ कुल: छह वर्षों में कितनी कारें बिकीं, यह जानना हो तो सब दंड जोड़ दीजिए। $35 + 42 + 28 + 50 + 56 + 63 = 274$ सौ, यानी 27,400 कारें। प्रश्न में "कितनी कारें" पूछा गया है, तो उत्तर 27,400 है। विकल्पों में 274 भी दिया होता है, पर उसमें इकाई छूट गई है, इसलिए वह गलत है।

दंडों का क्रम: दंड वर्षों के हों, तो वे समय के क्रम में लगे होते हैं। तब जिस साल वृद्धि हुई, उस साल का दंड अपने बाईं ओर वाले दंड से ऊँचा दिखता है। पर दंड शहरों या उत्पादों के हों, तो उनके क्रम का कोई अर्थ नहीं होता। ऐसे में "दूसरा सबसे ऊँचा" पूछा जाए, तो मानों को ख़ुद क्रम में लगाइए।

ऊँचाइयों की तुलना: मान लीजिए पूछा गया, "किस वर्ष बिक्री, 2023 की बिक्री की आधी थी?" 2023 में 56 सौ कारें बिकीं, और 56 का आधा 28 है। तो उत्तर 2021 है। आधे, दोगुने या बराबर दंड केवल ऊँचाई देखकर पहचाने जा सकते हैं। फिर छपी संख्याओं से पक्का कर लीजिए।

क्षैतिज दंड आरेख

जब श्रेणियों के नाम लंबे हों, या श्रेणियाँ बहुत सारी हों, तो दंड पन्ने पर आड़े बनाए जाते हैं। ऐसे क्षैतिज दंड आरेख को ठीक ऊर्ध्वाधर दंड आरेख की तरह पढ़ते हैं। दंड की लंबाई को नीचे वाले पैमाने से नापिए, वही उसका मान है।

इस आरेख में तीन बातें देखिए।

• श्रेणियाँ बाईं ओर ऊपर से नीचे लिखी होती हैं। मान नीचे वाले अक्ष पर बाएँ से दाएँ बढ़ते हैं।
• सबसे लंबा दंड सबसे बड़ा मान बताता है। यहाँ वह आगरा का है, 72 लाख।
• दंड आकार के क्रम में नहीं लगे हैं। इसलिए "दूसरा सबसे अधिक" या "दूसरा सबसे कम" पूछा जाए, तो मानों को ख़ुद क्रम में लगाइए। बड़े से छोटे के क्रम में ये 72, 64, 58, 45, 31, 30 हैं। तो दूसरा सबसे अधिक जयपुर (64) है और दूसरा सबसे कम मैसूरु (31)।

योग और औसत: छहों शहरों के पर्यटक जोड़िए। $72 + 58 + 64 + 31 + 30 + 45 = 300$ लाख। तो औसत $\frac{300}{6} = 50$ लाख प्रति शहर है। आगरा, गोवा और जयपुर औसत से ऊपर हैं, बाकी तीन नीचे।

अंतर: सबसे अधिक और सबसे कम पर्यटकों वाले शहरों का अंतर $72 - 30 = 42$ लाख है। यहाँ एक बात पर ध्यान दीजिए। मैसूरु और उदयपुर के दंड लगभग बराबर लंबे दिखते हैं। मैसूरु पर 31 छपा है और उदयपुर पर 30। दोनों में फ़र्क इन संख्याओं से ही पता चलता है। इसलिए पास-पास के दंडों पर हमेशा संख्याएँ पढ़िए।

कुल में हिस्सा: प्रश्न आ सकता है, "इन छह शहरों में आए पर्यटकों में से कितने प्रतिशत वाराणसी गए?" वाराणसी में 45 लाख पर्यटक आए, तो $\frac{45}{300} \times 100 = 15\%$। ऊपर निकाला गया 300 का कुल यहाँ फिर काम आ गया। इसीलिए कुल को पहली बार में ही लिख लेना फ़ायदेमंद है।

बड़ी इकाइयाँ: 72 लाख को 72,00,000 भी लिख सकते हैं और 7.2 मिलियन भी, क्योंकि 1 मिलियन 10 लाख के बराबर होता है। विकल्पों में उत्तर इनमें से किसी भी रूप में लिखा हो सकता है।

ग्रिड रेखाओं से मान पढ़ना

हर दंड आरेख पर मान छपे नहीं होते। ऐसे आरेख में हर दंड का मान पैमाने से पढ़ना पड़ता है। इसके लिए सबसे पहले यह जान लीजिए कि एक ग्रिड रेखा कितने की है।

एक खाने का मान: इस आरेख में संख्या वाली रेखाएँ 0, 10, 20 हैं, और इसी तरह 80 तक जाती हैं। हर दो संख्या वाली रेखाओं के ठीक बीच एक हल्की रेखा है। संख्या वाली रेखाओं में 10 का अंतर है, इसलिए हल्की रेखा अपने नीचे वाली संख्या से 5 ऊपर होती है।

ऊपरी किनारा पढ़ना: दंड के ऊपरी सिरे से बिल्कुल सीध में बाईं ओर पैमाने तक देखिए। चाहें तो वहाँ किसी कागज़ का किनारा रख लीजिए। जैसे 2019 का दंड 40 वाली रेखा पर रुका है। 2020 का दंड 50 और 60 के बीच वाली हल्की रेखा पर है, यानी 55। 2022 का दंड 70 पर है। इसी तरह छहों मान पढ़ें, तो 40, 55, 45, 70, 65, 75 आते हैं।

मान लिख लीजिए: हर दंड का पढ़ा हुआ मान रफ़ कागज़ पर उस दंड के नाम के साथ लिख लीजिए। आरेख के दो-तीन प्रश्न इन्हीं मानों से हल होते हैं। और जब संख्याएँ साथ-साथ लिखी हों, तो कोई गलत मान तुरंत पकड़ में आ जाता है।

कटा हुआ अक्ष: ऊँचाइयों की तुलना करने से पहले मान वाले अक्ष की सबसे छोटी संख्या देख लीजिए।

इस आरेख का अक्ष 40 से शुरू होता है, 0 से नहीं। इसीलिए अप्रैल का दंड जनवरी के दंड से दोगुना ऊँचा दिखता है। पर दोनों के मान 56 और 48 हैं। यानी अप्रैल के 56, जनवरी के 48 से केवल $\frac{8}{48} = 16\frac{2}{3}\%$ अधिक हैं। अक्ष इस तरह कटा हो, तो ऊँचाइयों की तुलना आँख से न कीजिए। मान पढ़िए, फिर हिसाब लगाइए।

[SSC टिप] परीक्षा में जिन आरेखों पर मान नहीं छपे होते, उनमें दंड या तो किसी ग्रिड रेखा पर ख़त्म होता है, या दो रेखाओं के ठीक बीच में। कोई मान इनके अलावा कहीं और पड़ता दिखे, तो उसे दोबारा पढ़िए। हो सकता है आपने दंड को गलत रेखा से मिलाकर पढ़ लिया हो।

दो दंडों के बीच प्रतिशत परिवर्तन

दो दंडों के बीच प्रतिशत परिवर्तन ठीक वैसे ही निकलता है, जैसे "तालिका" वाले खंड में तालिका से निकाला था। परिवर्तन को पहले वाले दंड से भाग दीजिए।

$$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \frac{\text{बाद वाला दंड} - \text{पहले वाला दंड}}{\text{पहले वाला दंड}} \times 100$$

पड़ोसी दंड: 2020 से 2021 तक लाभ 54 से बढ़कर 72 हुआ। तो वृद्धि $\frac{18}{54} \times 100 = \frac{1}{3} \times 100 = 33\frac{1}{3}\%$ हुई। 2021 से 2022 तक लाभ 72 से घटकर 63 रह गया। यहाँ $\frac{9}{72} = \frac{1}{8}$, यानी 12.5% की कमी हुई।

दूर-दूर के दंड: 2019 से 2024 तक का परिवर्तन चाहिए, तो $\frac{90 - 48}{48} = \frac{42}{48} = \frac{7}{8}$, यानी 87.5% की वृद्धि। इसमें केवल दोनों सिरों वाले दंड लगते हैं। बीच वाले दंड देखने की ज़रूरत ही नहीं।

आधार वाला दंड: आधार प्रश्न पढ़कर तय कीजिए। "2021 की तुलना में 2022 का लाभ कितने प्रतिशत घटा?" में आधार 72 है। पर "2021 का लाभ, 2022 के लाभ से कितने प्रतिशत अधिक था?" में आधार 63 है, तो $\frac{9}{63} = \frac{1}{7} = 14\frac{2}{7}\%$। दोनों बार अंतर वही ₹ 9 करोड़ है। बस आधार बदला, और उत्तर भी बदल गया।

प्रतिशत से वापस दंड तक: कभी प्रश्न उलटा भी आता है। मान लीजिए 2025 का लाभ 2024 से 20% अधिक होना है। तो 2025 में लाभ $90 \times \frac{6}{5} = 108$ करोड़ होना चाहिए। r% वृद्धि हो तो $\frac{100 + r}{100}$ से गुणा कीजिए, और r% कमी हो तो $\frac{100 - r}{100}$ से।

जल्दी के लिए भिन्नें: इस आरेख में 54 पर 18 मतलब $\frac{1}{3}$, 72 पर 9 मतलब $\frac{1}{8}$, 48 पर 6 मतलब $\frac{1}{8}$ और 63 पर 21 मतलब $\frac{1}{3}$। पहले भिन्न को काटकर सरल कर लीजिए, और प्रतिशत में अंत में बदलिए। भाग देकर फिर 100 से गुणा करने से यह कहीं तेज़ है। भिन्नों की तालिका अध्याय 3 (प्रतिशत) में दी गई है।

सबसे अधिक वृद्धि वाला वर्ष

प्रश्न ऐसे आता है, "किस वर्ष पिछले वर्ष की तुलना में प्रतिशत वृद्धि सबसे अधिक थी?" इसमें पड़ोसी दंडों के हर जोड़े की तुलना करनी पड़ती है। दो दंडों की ऊँचाई का फ़र्क आँख से देखकर उत्तर न चुनिए। झटपट एक सूची बना लीजिए।

सबसे बड़ी बढ़त और सबसे बड़ी दर: संख्या में सबसे बड़ी बढ़त 2023 में है, जब विद्यार्थी 10 हज़ार बढ़े। पर सबसे अधिक प्रतिशत वृद्धि 2021 में है, जहाँ 27 के आधार पर 9 की बढ़त हुई। क्या देखना है, यह प्रश्न के शब्द तय करते हैं। "सबसे अधिक वृद्धि" पूछा हो, तो सबसे बड़ी बढ़त देखिए। "सबसे अधिक प्रतिशत वृद्धि" या "सबसे अधिक वृद्धि दर" पूछा हो, तो सबसे बड़ी भिन्न।

झटपट छँटाई: जिस वर्ष की वृद्धि बड़ी नहीं है और आधार बड़ा है, वह वर्ष सबसे आगे हो ही नहीं सकता। जैसे 2022 में 36 पर 4 की वृद्धि है, जबकि 2019 में 20 पर ही 4 की वृद्धि थी। तो 2022 तुरंत पीछे रह जाता है। 2020 (24 पर 3) भी इसी तरह बाहर हो जाता है। असली तुलना केवल उन वर्षों में बचती है, जिनकी वृद्धि बड़ी है या आधार छोटा। यहाँ वे 2021 और 2023 हैं। $\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$ और $\frac{10}{40} = \frac{1}{4}$ में पहली भिन्न बड़ी है, तो उत्तर 2021 है।

सबसे कम वृद्धि: सबसे कम वृद्धि पूछी जाए, तो मुकाबला 2022 ($\frac{4}{36}$) और 2024 ($\frac{5}{50}$) के बीच है। तिरछा गुणा कर लीजिए। $4 \times 50 = 200$ और $5 \times 36 = 180$। यानी $\frac{4}{36}$ बड़ी भिन्न है, और सबसे कम वृद्धि 2024 की है, 10%।

जब किसी वर्ष कमी आए: कोई दंड अपने पिछले दंड से छोटा हो, तो उस वर्ष वृद्धि ऋणात्मक है। "सबसे बड़ी कमी" पूछी जाए, तो उत्तर वही वर्ष होगा। और "सबसे अधिक वृद्धि" वाले प्रश्न से वह वर्ष तुरंत बाहर हो जाता है।

दो दंडों का अनुपात, कई दंडों का औसत

दो दंडों का अनुपात: दोनों मान उसी क्रम में लिखिए, जिस क्रम में प्रश्न उनका नाम लेता है। फिर काटकर छोटा कीजिए। जैसे एक परिवार की बिजली खपत वाले आरेख में जनवरी और मई की खपत का अनुपात $180 : 330 = 6 : 11$ है। यहाँ दोनों को 30 से भाग दिया गया। प्रश्न में "मई और जनवरी" लिखा होता, तो उत्तर $11 : 6$ होता।

दो योगों का अनुपात: पहले तीन महीनों की खपत की तुलना अंतिम तीन महीनों से करनी हो, तो दोनों ओर के दंड जोड़िए। $(180 + 150 + 210) : (270 + 330 + 300) = 540 : 900 = 3 : 5$।

कई दंडों का औसत: दंडों को जोड़िए, और जितने दंड जोड़े हैं उतने से भाग दे दीजिए। छहों महीनों का औसत $\frac{1440}{6} = 240$ यूनिट है। केवल मार्च से मई तक का औसत $\frac{210 + 270 + 330}{3} = \frac{810}{3} = 270$ यूनिट है।

कल्पित औसत: यहाँ भी कल्पित औसत काम आता है। मान लीजिए हम 240 को औसत मानकर चलते हैं। दंडों का उससे अंतर $-60, -90, -30, +30, +90, +60$ है। इनका योग 0 है, तो 240 ही ठीक-ठीक औसत है। अगर अंतरों का योग $+30$ आता, तो औसत $240 + \frac{30}{6} = 245$ होता। इस तरीके पर और बातें अध्याय 5 (औसत) में हैं।

औसत से ऊपर वाले दंड: अप्रैल, मई और जून की खपत 240 से ऊपर है, और जनवरी, फ़रवरी और मार्च की नीचे। ऐसे दंड गिनने हों, तो आरेख पर औसत की ऊँचाई पर एक आड़ी रेखा की कल्पना कीजिए। जो दंड उस रेखा से ऊपर निकलें, उन्हें गिन लीजिए।

औसत से तुलना: प्रश्न आ सकता है, "मई की खपत, छह महीनों के औसत का कितना प्रतिशत है?" मई की खपत को औसत से भाग दीजिए। $\frac{330}{240} = \frac{11}{8}$, यानी 137.5%। किसी भी दंड की औसत से तुलना इसी तरह कीजिए। आधार औसत ही रहेगा।

बहु दंड आरेख: दो शृंखलाएँ

बहु दंड आरेख (grouped/multiple bar graph) में हर श्रेणी के लिए दो या उससे अधिक दंड अगल-बगल बने होते हैं। हर शृंखला का एक दंड होता है। कौन-सा दंड किसका है, यह आरेख पर बना संकेत (legend) बताता है। यहाँ सादा दंड उत्पादन का है और धारीदार दंड बिक्री का। हर समूह में यही क्रम है।

एक बार में एक शृंखला: पहले दोनों शृंखलाओं के मान अलग-अलग लिख लीजिए। उत्पादन 60, 75, 70, 90, 100 है, और बिक्री 48, 72, 65, 80, 95। दोनों सूचियाँ लिखने में दस सेकंड लगते हैं। पर इससे किसी जोड़े में गलत दंड का मान पढ़ लेने की गलती नहीं होती।

दोनों शृंखलाओं का अंतर: हर वर्ष कितना माल बिना बिका रह गया, यह उत्पादन में से बिक्री घटाकर निकलता है। ये 12, 3, 5, 10 और 5 हज़ार हैं। सबसे बड़ा अंतर 2019 में है, जबकि उसी वर्ष दोनों दंड सबसे छोटे हैं।

एक शृंखला, दूसरी का प्रतिशत: प्रश्न आता है, "किस वर्ष बिक्री, उत्पादन का सबसे अधिक प्रतिशत थी?" हर वर्ष की भिन्न निकालिए। 2019 में $\frac{48}{60} = 80\%$, 2020 में $\frac{72}{75} = 96\%$, 2021 में $\frac{65}{70} \approx 92.9\%$, 2022 में $\frac{80}{90} \approx 88.9\%$ और 2023 में $\frac{95}{100} = 95\%$। तो उत्तर 2020 है। सबसे ऊँचे दंडों वाला 2023 का जोड़ा बहुत थोड़े अंतर से दूसरे स्थान पर है।

हर शृंखला का कुल: पाँच वर्षों का उत्पादन $60 + 75 + 70 + 90 + 100 = 395$ हज़ार है, और बिक्री $48 + 72 + 65 + 80 + 95 = 360$ हज़ार। यानी बिक्री उत्पादन का $\frac{360}{395}$ है, लगभग 91%।

एक शृंखला के भीतर गिनती: प्रश्न हो, "कितने वर्षों में बिक्री पिछले वर्ष से बढ़ी?" 2020 में बिक्री 48 से 72 हुई, तो बढ़ी। 2021 में 72 से घटकर 65 रह गई। 2022 में 65 से 80 हुई और 2023 में 80 से 95। तो तीन वर्षों में बिक्री बढ़ी, 2020, 2022 और 2023 में। यहाँ केवल बिक्री वाले दंड देखने हैं। उत्पादन वाले दंडों का इस प्रश्न से कोई लेना-देना नहीं है।

बहु दंड आरेख: तीन शृंखलाएँ

तीन शृंखलाएँ हों, तो हर समूह में दंड बहुत पास-पास आ जाते हैं। तब संकेत को और हर दंड के पैटर्न को ध्यान से देखना और भी ज़रूरी हो जाता है। कुछ भी पढ़ने से पहले मिला लीजिए कि हर शृंखला समूह में किस जगह पर है। यहाँ मॉडल X का दंड पहला (सादा) है, मॉडल Y का दूसरा (धारीदार) और मॉडल Z का तीसरा (बिंदीदार)।

हर वर्ष का कुल: एक समूह के तीनों दंड जोड़ दीजिए। 2021 में $30 + 25 + 40 = 95$ हज़ार स्कूटर बिके। इसी तरह 2022 में 103, 2023 में 104 और 2024 में 120 हज़ार। कुल बिक्री हर वर्ष बढ़ी, जबकि 2023 में मॉडल Y की बिक्री घटी थी।

हर शृंखला का कुल: अब हर मॉडल के चारों वर्षों के दंड जोड़िए। मॉडल X के 150, मॉडल Y के 100 और मॉडल Z के 172 हज़ार स्कूटर बिके। यानी चारों वर्षों में सबसे अधिक बिक्री मॉडल Z की रही।

एक वर्ष में किसी शृंखला का हिस्सा: मान लीजिए पूछा गया, "2024 में बिके स्कूटरों में कितने प्रतिशत मॉडल X के थे?" उस वर्ष कुल 120 हज़ार स्कूटर बिके और मॉडल X के 45 हज़ार। तो $\frac{45}{120} = \frac{3}{8} = 37.5\%$। यहाँ आधार उस वर्ष के समूह का कुल है, मॉडल X की पूरी शृंखला का कुल नहीं।

किसी शृंखला का औसत: मॉडल Y का वार्षिक औसत $\frac{25 + 30 + 20 + 25}{4} = \frac{100}{4} = 25$ हज़ार है।

एक वर्ष में दो शृंखलाएँ: 2023 में मॉडल X के 40 हज़ार और मॉडल Y के 20 हज़ार स्कूटर बिके। तो X की बिक्री, Y से $\frac{40 - 20}{20} \times 100 = 100\%$ अधिक थी। ऐसे प्रश्न आगे इसी खंड के "A, B से कितने प्रतिशत अधिक?" वाले अंश में देखेंगे।

सबसे अधिक वृद्धि वाली शृंखला: 2021 से 2024 तक मॉडल X की बिक्री 30 से 45 हुई, यानी 50% बढ़ी। मॉडल Y की बिक्री 2024 में फिर 25 पर आ गई, जहाँ से वह शुरू हुई थी। मॉडल Z 40 से 50 पर पहुँचा, यानी 25% बढ़ा। X की वृद्धि संख्या में भी सबसे अधिक है और प्रतिशत में भी। पर प्रश्न इन दोनों में से कोई भी बात पूछ सकता है, और दोनों के उत्तर हर बार एक हों, यह ज़रूरी नहीं। इसलिए ध्यान से पढ़िए कि कौन-सी बात माँगी गई है।

A, B से कितने प्रतिशत अधिक?

दो दंडों की तुलना "से अधिक" या "से कम" में पूछी जाए, तो ये दो सूत्र लगते हैं।

$$\text{A, B से कितना अधिक: } \frac{A - B}{B} \times 100\% \qquad \text{B, A से कितना कम: } \frac{A - B}{A} \times 100\%$$

दोनों सूत्रों में ऊपर लिखा अंतर एक ही है। बदलता केवल आधार है। आधार वह मान होता है जो "से" के ठीक पहले आता है। "B से अधिक" में आधार B है, और "A से कम" में A।

से अधिक: चिराग का वेतन ₹ 75 हज़ार है और आशा का ₹ 60 हज़ार। तो चिराग, आशा से $\frac{15}{60} \times 100 = 25\%$ अधिक कमाता है।

से कम: उलटा पूछा जाए, तो आशा, चिराग से $\frac{15}{75} \times 100 = 20\%$ कम कमाती है। अंतर वही 15 हज़ार है, पर आधार अलग है, इसलिए उत्तर भी अलग है।

याद रखने लायक जोड़े: A, B से r% अधिक हो, तो B, A से $\frac{r}{100 + r} \times 100\%$ कम होता है। ये जोड़े याद कर लीजिए।

जैसे आशा, दीपा से $\frac{15}{45} = 33\frac{1}{3}\%$ अधिक कमाती है। तो तालिका से सीधे पता चल जाता है कि दीपा, आशा से 25% कम कमाती है। दोबारा भाग देने की ज़रूरत नहीं।

"का" और "से अधिक": चिराग का वेतन, दीपा के वेतन का $\frac{75}{45} \times 100 = 166\frac{2}{3}\%$ है। यानी वह दीपा के वेतन से $66\frac{2}{3}\%$ अधिक है। "A, B का $166\frac{2}{3}\%$ है" और "A, B से $66\frac{2}{3}\%$ अधिक है" एक ही बात है। इन दोनों संख्याओं में हमेशा ठीक 100 का अंतर होता है। प्रश्न "से अधिक" पूछे, तो उत्तर दोनों में से छोटी संख्या है। जल्दी में लोग बड़ी संख्या लिख देते हैं, जो "का" वाले प्रश्न का उत्तर है।

बहु दंड आरेख में भी: एक समूह के भीतर भी यही नियम चलता है। "2022 में निर्यात, आयात से कितने प्रतिशत अधिक था?" में आधार उस वर्ष का आयात वाला दंड है। प्रतिशत में तुलना की पूरी बात अध्याय 3 (प्रतिशत) में है।

घटक दंड आरेख

घटक दंड आरेख (stacked/component bar graph) में हर दंड किसी कुल को दिखाता है, जो कई भागों में बँटा होता है। ये भाग एक के ऊपर एक बने होते हैं। कौन-सा रंग किस भाग का है, यह संकेत से पता चलता है। पूरे दंड की ऊँचाई कुल बताती है, और एक टुकड़े की लंबाई वह भाग।

इस आरेख में हर टुकड़े का मान उसके भीतर छपा है, और कुल दंड के ऊपर। जैसे 2023 में विद्यालय ने वेतन पर ₹ 48 लाख, रखरखाव पर ₹ 15 लाख और अन्य मदों पर ₹ 12 लाख ख़र्च किए। कुल व्यय ₹ 75 लाख हुआ।

एक भाग का हिस्सा: 2023 में वेतन, कुल व्यय का $\frac{48}{75} \times 100 = 64\%$ था।

भाग और कुल: 2021 से 2024 तक कुल व्यय 60 से 84 हो गया, यानी $\frac{24}{60} = 40\%$ बढ़ा। इसी दौरान रखरखाव 12 से 18 हुआ, यानी 50% बढ़ा, जो कुल से तेज़ है। वेतन 40 से 54 हुआ, यानी 35% बढ़ा, जो कुल से धीमा है। कोई भाग पूरे कुल से तेज़ भी बढ़ सकता है और धीमे भी। इसलिए देखिए कि प्रश्न किसका नाम ले रहा है।

एक भाग, अलग-अलग दंड: अक्ष पर केवल सबसे नीचे वाला टुकड़ा टिका होता है। ऊपर वाले टुकड़े हर दंड में अलग-अलग ऊँचाई से शुरू होते हैं। इसलिए उनकी तुलना उनके मानों से कीजिए, या उनकी लंबाइयों से। उनके शीर्ष कितनी ऊँचाई पर हैं, इससे तुलना कभी न कीजिए। जैसे 2024 में "अन्य" वाले टुकड़े का शीर्ष 84 पर है, पर "अन्य" पर व्यय केवल 12 है।

दो भागों की तुलना: प्रश्न आ सकता है, "2024 में रखरखाव पर व्यय, वेतन पर व्यय का कितना प्रतिशत था?" यहाँ $\frac{18}{54} = \frac{1}{3} = 33\frac{1}{3}\%$। आधार वह भाग है जो "का" से ठीक पहले आता है, यानी वेतन। पूरा दंड आधार नहीं है।

बिना छपे मानों वाले घटक दंड

घटक आरेख पर मान न छपे हों, तो हर टुकड़े का मान पैमाने पर पढ़ी गई दो संख्याओं का अंतर होता है। टुकड़ा जिस संख्या पर ख़त्म होता है, उसमें से वह संख्या घटाइए जहाँ से वह शुरू होता है।

सबसे नीचे वाला टुकड़ा: यह 0 से शुरू होता है, तो इसका शीर्ष ही इसका मान है। जैसे जन.-मार्च में वयस्कों का टुकड़ा 30 वाली रेखा तक जाता है। यानी उस तिमाही में 30 हज़ार वयस्क आए।

ऊपर वाला टुकड़ा: यह वहीं से शुरू होता है, जहाँ नीचे वाला टुकड़ा ख़त्म होता है। अप्रैल-जून में बच्चों का टुकड़ा 25 से शुरू होकर 45 पर ख़त्म होता है। तो बच्चे $45 - 25 = 20$ हज़ार आए। कई छात्र 45 को ही बच्चों की संख्या पढ़ लेते हैं। पर 45 तो उस तिमाही का कुल है।

चारों दंड इसी तरह पढ़ें, तो ये मान मिलते हैं।

कुल सीधे पढ़िए: हर दंड का शीर्ष ही कुल है, कुछ जोड़ना नहीं पड़ता। जैसे आगंतुक पहली तिमाही के 40 हज़ार से बढ़कर अंतिम तिमाही में 60 हज़ार हो गए। यह $\frac{20}{40} = 50\%$ की वृद्धि है।

प्रतिशत वाले दंड: कुछ घटक आरेखों में हर दंड 100% ऊँचा होता है, और टुकड़े प्रतिशत दिखाते हैं। ऐसा आरेख यह नहीं बताता कि कुल कितना बड़ा है। अलग-अलग दंडों के दो बराबर टुकड़े असल में बहुत अलग संख्याएँ हो सकते हैं। अगर कुल अलग से दिए हों, तो तुलना से पहले हर प्रतिशत को उसके अपने कुल से गुणा कर लीजिए। अलग-अलग कुल वाले दो पाई चार्टों में भी यही सावधानी चाहिए। उसे "पाई चार्ट" वाले खंड में देखेंगे।

[SSC टिप] उत्तर देने से पहले ऊपर जैसी छोटी तालिका बना लीजिए। मान लिख लेने के बाद घटक आरेख का प्रश्न सीधा तालिका का प्रश्न हो जाता है। फिर हर टुकड़े का घटाव केवल एक बार करना पड़ता है।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

दिया गया दंड आरेख 2018 से 2024 तक एक दुकान द्वारा बेचे गए लैपटॉप की संख्या (सौ में) दर्शाता है।

2018 में बेचे गए लैपटॉप और 2022 में बेचे गए लैपटॉप का अनुपात क्या है? (a) 12 : 7 (b) 7 : 12 (c) 4 : 5 (d) 5 : 8

उत्तर: 2018 का दंड 28 पर है और 2022 का 48 पर। दोनों 4 से कट जाते हैं, तो $28 : 48 = 7 : 12$, यानी (b) 7 : 12। प्रश्न में 2018 पहले लिखा है, इसलिए अनुपात में उसका मान भी पहले लिखेंगे।

प्रश्न 2

सात वर्षों में प्रति वर्ष बेचे गए लैपटॉप की औसत संख्या कितनी थी? (a) 40 (b) 3,500 (c) 4,500 (d) 4,000

उत्तर: सातों दंड जोड़ लेते हैं। $28 + 35 + 30 + 40 + 48 + 44 + 55 = 280$ सौ। इसे 7 से भाग देने पर 40 सौ आता है, यानी औसत (d) 4,000 लैपटॉप। विकल्प में अकेला 40 भी दिया है, पर दंड सौ में हैं, तो 40 बहुत छोटा उत्तर है।

प्रश्न 3

किस वर्ष बिक्री में पिछले वर्ष की तुलना में प्रतिशत वृद्धि सबसे अधिक थी? (a) 2021 (b) 2024 (c) 2022 (d) 2019

उत्तर: बिक्री चार वर्षों में बढ़ी, 2019 में (28 से 35), 2021 में (30 से 40), 2022 में (40 से 48) और 2024 में (44 से 55)। वृद्धियाँ 7, 10, 8 और 11 हैं, पर यहाँ असली फ़र्क आधार से पड़ता है। $\frac{7}{28} = \frac{1}{4}$, $\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$, $\frac{8}{40} = \frac{1}{5}$ और $\frac{11}{44} = \frac{1}{4}$। सबसे बड़ी भिन्न $\frac{1}{3}$ है, लगभग 33%, तो उत्तर (a) 2021 है। संख्या में सबसे बड़ी बढ़त 2024 की है, पर उसका आधार भी बड़ा है।

प्रश्न 4

दिया गया दंड आरेख छह इंजीनियरिंग कॉलेजों, A से F, में सीटों की संख्या दर्शाता है।

कॉलेज C की सीटें, कॉलेज B की सीटों से कितने प्रतिशत अधिक हैं? (a) 40% (b) 60% (c) $66\frac{2}{3}\%$ (d) $166\frac{2}{3}\%$

उत्तर: कॉलेज C में 600 सीटें हैं और B में 360, यानी अंतर 240। "B की सीटों से अधिक" पूछा है, तो आधार B है। $\frac{240}{360} = \frac{2}{3}$, यानी (c) $66\frac{2}{3}\%$। C को आधार ले लिया तो 40% आएगा। वह "B की सीटें, C की सीटों से कितने प्रतिशत कम हैं" का उत्तर है।

प्रश्न 5

छह कॉलेजों की कुल सीटों में से कितने प्रतिशत सीटें कॉलेज F में हैं? (a) 20% (b) 18% (c) 25% (d) $22\frac{2}{9}\%$

उत्तर: छहों दंड जोड़ते हैं, $480 + 360 + 600 + 420 + 300 + 540 = 2700$। कॉलेज F में 540 सीटें हैं, तो $\frac{540}{2700} = \frac{1}{5}$, यानी (a) 20%।

प्रश्न 6

कितने कॉलेजों में सीटों की संख्या, प्रति कॉलेज सीटों की औसत संख्या से अधिक है? (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5

उत्तर: कुल पिछले प्रश्न में निकल चुका है, तो औसत $\frac{2700}{6} = 450$ है। A (480), C (600) और F (540) इससे ऊपर हैं। D (420) पास है, पर नीचे है। तो उत्तर (b) 3 कॉलेज।

प्रश्न 7

दिया गया दंड आरेख एक सप्ताह के छह दिनों में एक डेयरी द्वारा एकत्र किया गया दूध (हज़ार लीटर में) दर्शाता है। मान पैमाने से पढ़िए।

छह दिनों में कुल मिलाकर डेयरी ने कितना दूध एकत्र किया? (a) 2,80,000 लीटर (b) 2,90,000 लीटर (c) 2,85,000 लीटर (d) 28,500 लीटर

उत्तर: यहाँ हल्की रेखाओं में 5 का अंतर है। हर दंड पढ़ लेते हैं। सोमवार को 35, मंगलवार को 45, बुधवार को 40, गुरुवार को 55, शुक्रवार को 50 और शनिवार को 60। कुल $35 + 45 + 40 + 55 + 50 + 60 = 285$ हज़ार लीटर, यानी (c) 2,85,000 लीटर। एक भी दंड एक हल्की रेखा ऊपर या नीचे पढ़ लिया, तो कुल 5 हज़ार खिसक जाता है। इसलिए जोड़ने से पहले हर मान दोबारा देख लेते हैं।

प्रश्न 8

गुरुवार को एकत्र किया गया दूध, बुधवार को एकत्र किए गए दूध से कितने प्रतिशत अधिक था? (a) $27\frac{3}{11}\%$ (b) 15% (c) 25% (d) 37.5%

उत्तर: गुरुवार को 55 हज़ार लीटर दूध आया और बुधवार को 40 हज़ार। तुलना बुधवार से हो रही है, तो आधार 40 है। 40 पर 15 अधिक, यानी $\frac{15}{40} = \frac{3}{8}$। और $\frac{3}{8}$ मतलब 37.5%, तो उत्तर (d) 37.5% है।

प्रश्न 9

सोमवार को एकत्र किए गए दूध और शनिवार को एकत्र किए गए दूध का अनुपात क्या है? (a) 7 : 12 (b) 12 : 7 (c) 1 : 2 (d) 2 : 3

उत्तर: सोमवार का दंड 30 और 40 के ठीक बीच में रुका है, यानी 35। शनिवार का दंड 60 वाली रेखा पर है। दोनों को 5 से भाग देने पर $35 : 60 = 7 : 12$, यानी (a) 7 : 12।

प्रश्न 10

दिया गया दंड आरेख 2020 से 2024 तक एक विद्यालय के उन लड़कों और लड़कियों की संख्या दर्शाता है, जो एक परीक्षा में बैठे।

किस वर्ष लड़कों और लड़कियों का अनुपात सबसे अधिक था? (a) 2020 (b) 2021 (c) 2024 (d) 2022

उत्तर: हर वर्ष लड़कों की संख्या को लड़कियों की संख्या से भाग देते हैं। 2020 में $\frac{120}{100} = 1.2$, 2021 में $\frac{140}{110} \approx 1.27$, 2022 में ठीक 1, 2023 में 1 से कम और 2024 में $\frac{160}{130} \approx 1.23$। यह अनुपात (b) 2021 में सबसे अधिक है। 2024 में लड़के सबसे ज़्यादा थे, पर उस वर्ष लड़कियाँ भी बहुत थीं।

प्रश्न 11

पाँच वर्षों में लड़कियों की कुल संख्या, लड़कों की कुल संख्या का कितना प्रतिशत है? (a) $111\frac{1}{9}\%$ (b) 80% (c) 90% (d) 95%

उत्तर: लड़कियाँ $100 + 110 + 150 + 140 + 130 = 630$ हैं और लड़के $120 + 140 + 150 + 130 + 160 = 700$। यहाँ आधार लड़कों की कुल संख्या है, तो 700 हर में जाएगा। $\frac{630}{700} = \frac{9}{10}$, यानी (c) 90%।

प्रश्न 12

कितने वर्षों में लड़कियों की संख्या लड़कों से कम थी? (a) 4 (b) 2 (c) 1 (d) 3

उत्तर: 2020, 2021 और 2024 में लड़कियों का दंड छोटा है। 2022 में दोनों दंड बराबर हैं, दोनों 150 पर। 2023 में लड़कियाँ अधिक थीं। तो उत्तर (d) 3 वर्ष।

प्रश्न 13

दिया गया दंड आरेख 2021 से 2024 तक एक राज्य में गेहूँ, चावल और दालों का उत्पादन (लाख टन में) दर्शाता है।

2021 से 2023 तक तीनों फ़सलों के कुल उत्पादन में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई? (a) 23% (b) 20% (c) 12.5% (d) 80%

उत्तर: 2021 में कुल उत्पादन $50 + 40 + 10 = 100$ था और 2023 में $60 + 45 + 18 = 123$। 100 के आधार पर 23 की वृद्धि हुई, तो उत्तर (a) 23%। आधार ठीक 100 है, इसलिए जितनी वृद्धि हुई, वही प्रतिशत है।

प्रश्न 14

चार वर्षों में चावल का प्रति वर्ष औसत उत्पादन कितना था? (a) 45 लाख टन (b) $62\frac{2}{3}$ लाख टन (c) 47 लाख टन (d) 48 लाख टन

उत्तर: चावल हर समूह का बीच वाला दंड है। उसके मान 40, 48, 45 और 55 हैं। इनका योग 188 है, और $\frac{188}{4} = 47$। तो उत्तर (c) 47 लाख टन।

प्रश्न 15

2024 में दालों का उत्पादन, गेहूँ के उत्पादन का कितना प्रतिशत था? (a) 400% (b) $36\frac{4}{11}\%$ (c) 20% (d) 25%

उत्तर: 2024 में दालें 20 लाख टन थीं और गेहूँ 80 लाख टन। प्रश्न गेहूँ के उत्पादन का प्रतिशत पूछ रहा है, तो गेहूँ से भाग देंगे। $\frac{20}{80} = \frac{1}{4}$, यानी (d) 25%।

प्रश्न 16

दिया गया दंड आरेख 2020 से 2024 तक एक कंपनी का निर्यात और आयात (₹ करोड़ में) दर्शाता है।

2023 में आयात, निर्यात से कितने प्रतिशत अधिक था? (a) 20% (b) 25% (c) 21% (d) $33\frac{1}{3}\%$

उत्तर: 2023 में आयात 105 है और निर्यात 84, यानी अंतर 21। "निर्यात से अधिक" पूछा है, तो निर्यात नीचे, यानी हर में जाएगा। $\frac{21}{84} = \frac{1}{4}$, यानी (b) 25%।

प्रश्न 17

2023 में निर्यात, आयात से कितने प्रतिशत कम था? (a) 20% (b) 25% (c) 21% (d) $16\frac{2}{3}\%$

उत्तर: अंतर वही 21 है, पर अब आधार आयात है, यानी 105। $\frac{21}{105} = \frac{1}{5}$, तो उत्तर (a) 20%। पिछले प्रश्न में भी अंतर यही 21 था, बस आधार दूसरा था। इसीलिए दोनों के उत्तर अलग आते हैं।

प्रश्न 18

कितने वर्षों में निर्यात, आयात से कम से कम 25% अधिक था? (a) 2 (b) 4 (c) 3 (d) 1

उत्तर: आयात से कम से कम 25% अधिक का मतलब है, आयात का कम से कम $1.25$ गुना। अब हर वर्ष देखते हैं। 2020 में $1.25 \times 48 = 60$, जो ठीक निर्यात जितना है, तो यह वर्ष गिना जाएगा। 2021 में $1.25 \times 64 = 80$ चाहिए, पर निर्यात 75 ही है, तो नहीं। 2022 में $1.25 \times 70 = 87.5$ चाहिए, और निर्यात 90 है, तो हाँ। 2023 में आयात ही बड़ा है, तो नहीं। 2024 में $1.25 \times 80 = 100$, फिर ठीक बराबर, तो हाँ। उत्तर (c) 3 वर्ष, 2020, 2022 और 2024। अगर प्रश्न में "कम से कम 25%" की जगह "25% से अधिक" लिखा होता, तो बराबर वाले दोनों वर्ष बाहर हो जाते।

प्रश्न 19

दिया गया घटक दंड आरेख 2021 से 2024 तक एक विश्वविद्यालय के तीन संकायों में विद्यार्थियों की संख्या (सौ में) दर्शाता है।

2023 में विश्वविद्यालय में कितने विद्यार्थी थे? (a) 50 (b) 2,400 (c) 4,500 (d) 5,000

उत्तर: 2023 का पूरा दंड 50 तक जाता है। यह कुल दंड के ऊपर छपा भी है, और जाँच के लिए $15 + 24 + 11 = 50$। इकाई सौ है, तो उत्तर (d) 5,000 विद्यार्थी।

प्रश्न 20

2024 में कितने प्रतिशत विद्यार्थी विज्ञान संकाय में थे? (a) 27% (b) 45% (c) 40% (d) 50%

उत्तर: 2024 का कुल 60 है और विज्ञान का टुकड़ा 27। $\frac{27}{60} = \frac{9}{20}$, यानी (b) 45%। विकल्पों में 27% भी है, पर 27 तो विज्ञान के विद्यार्थियों की संख्या है (सौ में), प्रतिशत नहीं। इसे सीधे उत्तर नहीं मान सकते।

प्रश्न 21

किस वर्ष विश्वविद्यालय के कुल विद्यार्थियों में कला संकाय के विद्यार्थियों का हिस्सा सबसे अधिक था? (a) 2022 (b) 2024 (c) 2021 (d) 2023

उत्तर: हर वर्ष के कुल में कला का भाग निकालते हैं। 2021 में $\frac{12}{40} = 30\%$, 2022 में $\frac{14}{45} \approx 31.1\%$, 2023 में $\frac{15}{50} = 30\%$ और 2024 में $\frac{16}{60} \approx 26.7\%$। तो कला का हिस्सा (a) 2022 में सबसे बड़ा था। कला का टुकड़ा 2024 में सबसे बड़ा है, पर उस वर्ष कुल उससे भी तेज़ी से बढ़ा।

प्रश्न 22

दिया गया घटक दंड आरेख 2020 से 2023 तक एक कंपनी के दो उत्पादों, P और Q, की बिक्री (₹ लाख में) दर्शाता है। मान पैमाने से पढ़िए।

2022 में उत्पाद Q की बिक्री कितनी थी? (a) ₹ 60 लाख (b) ₹ 25 लाख (c) ₹ 35 लाख (d) ₹ 30 लाख

उत्तर: 2022 में नीचे वाला उत्पाद P का टुकड़ा 25 पर ख़त्म होता है। उसके ऊपर उत्पाद Q का टुकड़ा 60 पर ख़त्म होता है। तो Q की बिक्री $60 - 25 = 35$, यानी (c) ₹ 35 लाख। 60 पूरे दंड का शीर्ष है, यानी दोनों उत्पादों की कुल बिक्री। उसे Q की बिक्री मान लेना गलत है।

प्रश्न 23

2020 से 2023 तक दोनों उत्पादों की कुल बिक्री में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई? (a) $28\frac{4}{7}\%$ (b) 20% (c) 50% (d) 40%

उत्तर: दंडों के शीर्ष ही कुल बताते हैं। 2020 में कुल 50 था और 2023 में 70। 50 के आधार पर 20 की वृद्धि हुई, जो $\frac{2}{5}$ है। तो उत्तर (d) 40%।