पाई चार्ट

प्रतिशत पाई चार्ट पढ़ना

पाई चार्ट एक वृत्त होता है, जो कई त्रिज्यखंडों (sector) में बँटा होता है। हर त्रिज्यखंड पूरे का एक भाग दिखाता है। जो भाग जितना बड़ा होता है, उसका त्रिज्यखंड भी उतना ही बड़ा होता है।

प्रतिशत पाई चार्ट में हर त्रिज्यखंड पर लिखा होता है कि कुल में उसका हिस्सा कितने प्रतिशत है। इसलिए सब लेबलों को जोड़ें, तो 100% आता है।

यह चार्ट एक परिवार का एक महीने का व्यय दिखाता है, जो कुल ₹ 48,000 है। किसी मद पर कितने रुपये गए, यह जानना हो तो कुल का उतना प्रतिशत निकालिए, जितना उस मद का हिस्सा है।

$$\text{त्रिज्यखंड का मान} = \frac{\text{प्रतिशत}}{100} \times \text{कुल}$$

इस परिवार के तीन मद देखिए।

• भोजन पर $\frac{30}{100} \times 48000 = 14400$, यानी ₹ 14,400 खर्च हुए।
• शिक्षा का हिस्सा 12.5% है, जो $\frac{1}{8}$ के बराबर है। तो शिक्षा पर $\frac{48000}{8} = 6000$, यानी ₹ 6,000 खर्च हुए।
• चिकित्सा का हिस्सा 7.5% है, जो 15% का आधा है। बचत का हिस्सा 15% है, जो ₹ 7,200 हुआ। तो चिकित्सा पर इसका आधा, ₹ 3,600 गया।

एक ही चार्ट पर कई प्रश्न हों, तो कुल का 1% एक ही बार निकाल लीजिए। यहाँ ₹ 48,000 का 1% = ₹ 480 है। अब हर मद के लिए बस एक गुणा करना है। भोजन के लिए $30 \times 480 = 14400$ और किराए के लिए $25 \times 480 = 12000$।

दो त्रिज्यखंड एक साथ: दो या अधिक त्रिज्यखंड मिलाकर पूछे जाएँ, तो पहले उनके प्रतिशत जोड़िए, फिर एक ही गुणा कीजिए। भोजन और किराया मिलकर 55% हैं, तो $55 \times 480 = 26400$, यानी ₹ 26,400।

कुल कहाँ दिया होता है: कुल कभी चार्ट के शीर्षक में छपा होता है, कभी चार्ट के नीचे लिखा होता है, और कभी केवल प्रश्न में दिया होता है। कुल कहीं न दिया हो, तब भी हिस्सों और अनुपात वाले प्रश्न हल हो जाते हैं, जैसे किराया : बचत = 25 : 15 = 5 : 3। बस रुपयों वाले प्रश्न हल नहीं होते।

शुरू करने से पहले सारे प्रतिशत जोड़कर देख लीजिए। योग 100 से कम आए, तो या तो कोई त्रिज्यखंड छूट गया है, या कोई लेबल गलत पढ़ा गया है।

कुछ भिन्नें हर पाई चार्ट पर समय बचाती हैं। $12.5\% = \frac{1}{8}$, $16\frac{2}{3}\% = \frac{1}{6}$, $20\% = \frac{1}{5}$, $25\% = \frac{1}{4}$, $33\frac{1}{3}\% = \frac{1}{3}$ और $37.5\% = \frac{3}{8}$। पूरी सूची अध्याय 3 (प्रतिशत) में दी गई है।

डिग्री पाई चार्ट

डिग्री पाई चार्ट में हर त्रिज्यखंड पर उसका केंद्रीय कोण (central angle) लिखा होता है। यह वह कोण है, जो त्रिज्यखंड वृत्त के केंद्र पर बनाता है। पूरा वृत्त 360° का होता है, इसलिए सब कोणों का योग भी 360° होता है।

किसी त्रिज्यखंड का कोण 360 में से जितना है, पूरे में उसका हिस्सा भी उतना ही है।

$$\text{त्रिज्यखंड का मान} = \frac{\text{केंद्रीय कोण}}{360^\circ} \times \text{कुल}$$

चित्र वाले कॉलेज में 2,880 विद्यार्थी हैं। वाणिज्य का त्रिज्यखंड $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ है, तो वाणिज्य में 2,880 का एक-चौथाई, यानी 720 विद्यार्थी हैं। विज्ञान के लिए $\frac{126}{360} \times 2880 = 126 \times 8 = 1008$ आता है।

विज्ञान वाले हिसाब में ही तेज़ रास्ता दिख जाता है। एक डिग्री $\frac{2880}{360} = 8$ विद्यार्थियों के बराबर है। तो किसी भी त्रिज्यखंड के कोण को 8 से गुणा कर दीजिए, उसके विद्यार्थी मिल जाएँगे। कला में $72 \times 8 = 576$ विद्यार्थी हैं, व्यावसायिक में $45 \times 8 = 360$ और अन्य में $27 \times 8 = 216$।

1° का मान एक बार निकाल लीजिए। फिर उस चार्ट के हर प्रश्न में वही काम आता है।

गुणा करने से पहले काट लीजिए। जो कोण बार-बार आते हैं, वे वृत्त के आसान भाग हैं।

जैसे 2,400 के कुल में 54° का त्रिज्यखंड हो, तो $\frac{3}{20} \times 2400 = 360$। कोई लंबा भाग नहीं करना पड़ा।

दो त्रिज्यखंडों का अंतर: पहले कोण घटाइए। विज्ञान, कला से $126 - 72 = 54$ डिग्री अधिक है, तो विज्ञान में $54 \times 8 = 432$ विद्यार्थी अधिक हैं।

अनुपात के लिए तो कुल की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। विज्ञान : कला $= 126 : 72 = 7 : 4$।

डिग्री और प्रतिशत का आपसी रूपांतरण

पूरा वृत्त 100% भी है और 360° भी। इसलिए

$$1\% = 3.6^\circ \qquad \text{और} \qquad 1^\circ = \frac{100}{360}\% = \frac{5}{18}\%$$

इससे दो नियम मिलते हैं।

• प्रतिशत से कोण निकालना हो, तो 3.6 से गुणा कीजिए।
• कोण से प्रतिशत निकालना हो, तो $\frac{5}{18}$ से गुणा कीजिए, यानी 3.6 से भाग दीजिए।

इस चार्ट में हर त्रिज्यखंड पर दोनों लेबल लिखे हैं। कोयला 45% है, तो उसका कोण $45 \times 3.6 = 162^\circ$ है। परमाणु का कोण 27° है, तो उसका हिस्सा $27 \times \frac{5}{18} = 7.5\%$ है।

मन में 3.6 से गुणा करना हो, तो पहले 4 से गुणा कीजिए, फिर नतीजे का दसवाँ भाग घटा दीजिए। 17.5% के लिए $17.5 \times 4 = 70$, और $70 - 7 = 63$। तो कोण 63° है।

एक प्रश्न में दो इकाइयाँ: कभी चार्ट डिग्री में होता है और विकल्प प्रतिशत में, या इसका उलटा। ऐसे में रूपांतरण एक ही बार कीजिए, और शुरू में ही कर लीजिए। जैसे 81° का कोण $81 \times \frac{5}{18} = 22.5\%$ है, और 32% का हिस्सा $32 \times 3.6 = 115.2^\circ$ है।

अंतर का रूपांतरण: अंतर भी इसी तरह बदलता है। दो त्रिज्यखंडों में 7.5 प्रतिशत अंक (percentage points) का अंतर हो, तो उनके कोणों में $7.5 \times 3.6 = 27^\circ$ का अंतर होगा। चित्र में जलविद्युत (20%) और सौर (12.5%) में ठीक इतना ही अंतर है। उनके कोण 72° और 45° हैं।

केवल राशि निकालनी हो, तो डिग्री को प्रतिशत में बदलने की कभी ज़रूरत नहीं पड़ती। $\frac{\text{कोण}}{360} \times \text{कुल}$ से राशि सीधे निकल आती है। रूपांतरण तभी कीजिए, जब प्रश्न उत्तर दूसरी इकाई में माँगे।

[SSC टिप] अक्सर किसी विकल्प में चार्ट वाली संख्या ही दूसरी इकाई के साथ लिखी होती है, जैसे चार्ट में 54° हो और विकल्प में 54%। यह विकल्प उस छात्र के लिए रखा जाता है जो रूपांतरण करना भूल जाए। 54° तो केवल 15% है।

लुप्त त्रिज्यखंड ज्ञात करना

सारे त्रिज्यखंड मिलकर पूरा वृत्त भरते हैं। इसलिए जिस त्रिज्यखंड पर लेबल न हो, उसे बाकी सबको घटाकर निकाल लेते हैं।

$$\text{लुप्त कोण} = 360^\circ - (\text{बाकी सबका योग}), \qquad \text{लुप्त प्रतिशत} = 100\% - (\text{बाकी सबका योग})$$

चित्र में ज्ञात कोणों का योग $120 + 90 + 54 + 36 + 18 = 318^\circ$ है। तो दालों का कोण $360 - 318 = 42^\circ$ है।

गाँव 1,440 हेक्टेयर का है, तो 1° = $\frac{1440}{360} = 4$ हेक्टेयर। यानी दालें $42 \times 4 = 168$ हेक्टेयर में हैं।

प्रतिशत चार्ट में भी यही होता है। चार त्रिज्यखंड 22%, 18%, 25% और 15% हों, तो पाँचवाँ $100 - 80 = 20\%$ होगा।

व्यंजक वाले त्रिज्यखंड: कभी कोण किसी अज्ञात के पदों में दिए होते हैं। मान लीजिए पाँच त्रिज्यखंड $3x$, $4x$, $5x$, $6x$ और $2x$ डिग्री के हैं। सबको जोड़ने पर $20x = 360$ आता है, तो $x = 18$। यानी त्रिज्यखंड 54°, 72°, 90°, 108° और 36° के हैं।

कोई त्रिज्यखंड $(x + 15)^\circ$ जैसा लिखा हो, तो 15 को साथ रखिए। हल करने से पहले उसे ज्ञात कोणों में जोड़ दीजिए।

एक त्रिज्यखंड दूसरे के सहारे: मान लीजिए चावल का कोण दालों के कोण का 1.5 गुना है, और दोनों मिलकर 150° हैं। यानी 150°, दालों के कोण का ढाई गुना है। दालें $\frac{150}{2.5} = 60^\circ$ हैं, और चावल 90°।

एक मान ज्ञात हो, कुल नहीं: मान लीजिए गेहूँ (120°) 480 हेक्टेयर में है। तो 1° = 4 हेक्टेयर, और पूरा गाँव $360 \times 4 = 1440$ हेक्टेयर का है।

याद रखिए, किसी एक त्रिज्यखंड का मान और उसका कोण पता हो, तो बाकी हर त्रिज्यखंड निकल आता है।

दो त्रिज्यखंडों की तुलना: अंतर, अनुपात, प्रतिशत

इस चार्ट वाले मकान की कुल लागत ₹ 40 लाख है।

अंतर: पहले प्रतिशत घटाइए, फिर कुल से एक ही बार गुणा कीजिए। मज़दूरी (24%), इस्पात (15%) से ₹ 40 लाख का 9% अधिक है। तो $\frac{9}{100} \times 40 = 3.6$, यानी ₹ 3.6 लाख। दोनों राशियाँ अलग-अलग निकालकर घटाएँ, तब भी यही उत्तर आएगा, पर काम दोगुना हो जाएगा।

अनुपात: इसमें कुल कट जाता है, तो सीधे प्रतिशत (या कोण) लीजिए। इस्पात : मज़दूरी $= 15 : 24 = 5 : 8$। दोनों राशियाँ, ₹ 6 लाख और ₹ 9.6 लाख, भी इसी अनुपात में हैं।

A, B का कितना प्रतिशत: यहाँ भी कुल कट जाता है। पर्यवेक्षण, सीमेंट का $\frac{8}{20} \times 100 = 40\%$ है।

A, B से कितने प्रतिशत अधिक या कम: अंतर को उस मान से भाग दीजिए, जिससे तुलना हो रही है, यानी "B से" वाले B से।

• मज़दूरी, सीमेंट से $\frac{24 - 20}{20} \times 100 = 20\%$ अधिक है।
• सीमेंट, मज़दूरी से $\frac{24 - 20}{24} \times 100 = 16\frac{2}{3}\%$ कम है।

दोनों में अंतर वही 4 है, बदला है केवल आधार। आधार प्रश्न के शब्दों से लीजिए, इस बात से नहीं कि कौन-सी संख्या बड़ी है।

प्रतिशत अंक: मज़दूरी का हिस्सा सीमेंट के हिस्से से 4 प्रतिशत अंक अधिक है (24% और 20%), पर मज़दूरी की लागत सीमेंट से 20% अधिक है। प्रश्न में "कितने प्रतिशत अंक" लिखा हो, तो सीधा अंतर, 4, लीजिए। "कितने प्रतिशत" लिखा हो, तो 20%। यह फ़र्क अध्याय 3 (प्रतिशत) में भी समझाया गया है।

कुल का, या किसी भाग का: आधार प्रश्न से ही पढ़िए। "इस्पात और ईंटें मिलकर कुल लागत का कितना प्रतिशत हैं?" इसका उत्तर बस $15 + 12 = 27\%$ है। पर "इस्पात, इस्पात और ईंटों की मिली-जुली लागत का कितना प्रतिशत है?" इसमें $\frac{15}{27} \times 100 = 55\frac{5}{9}\%$ आता है।

मान से कोण, एक त्रिज्यखंड से कुल

कुछ पाई चार्ट में त्रिज्यखंडों पर असली मान लिखे होते हैं, और प्रश्न में कोण या प्रतिशत पूछा जाता है। तब यह सूत्र लगाइए।

$$\text{केंद्रीय कोण} = \frac{\text{मान}}{\text{कुल}} \times 360^\circ$$

चित्र वाले डीलर ने $240 + 180 + 90 + 60 + 30 = 600$ वाहन बेचे। बाइक का कोण $\frac{240}{600} \times 360 = 144^\circ$ है, और कारों का $\frac{90}{600} \times 360 = 54^\circ$।

भिन्न को पहले छोटा कर लें, तो काम आसान हो जाता है। $\frac{90}{600} = \frac{3}{20}$, और 360 का $\frac{3}{20}$ = 54।

यहाँ भी एक स्थिर गुणक काम आता है। हर वाहन $\frac{360}{600} = 0.6^\circ$ के बराबर है। तो स्कूटर का कोण $180 \times 0.6 = 108^\circ$ है और ऑटो का $60 \times 0.6 = 36^\circ$।

कुल बदल जाए तो: मान लीजिए डीलर ने 120 कारें और बेची होतीं। तब कुल 720 होता, और कारों का कोण $\frac{210}{720} \times 360 = 105^\circ$ हो जाता। बाकी हर त्रिज्यखंड छोटा हो जाता, क्योंकि वृत्त तो अब भी 360° का ही है। पुराना कुल 600 रखकर हल करेंगे, तो 126° आएगा, जो गलत है।

एक त्रिज्यखंड से कुल: किसी परिवार के व्यय का डिग्री पाई चार्ट लीजिए। परिवहन का कोण 54° है, और उस पर हर महीने ₹ 10,800 खर्च होते हैं। तो 1° = $\frac{10800}{54} = 200$ रुपये। पूरा बजट $360 \times 200 = 72000$, यानी ₹ 72,000 है। अब 81° वाला त्रिज्यखंड $81 \times 200 = 16200$, यानी ₹ 16,200 का हुआ।

कुल निकालना हमेशा ज़रूरी नहीं है। मान उसी अनुपात में होते हैं जिसमें कोण। तो 81° वाला त्रिज्यखंड सीधे $\frac{81}{54} \times 10800 = 16200$ आ जाता है।

अलग-अलग कुल वाले दो पाई चार्ट

दोनों चार्ट एक कंपनी की बिक्री का पाँच क्षेत्रों में बँटवारा दिखाते हैं। 2022 में बिक्री ₹ 50 करोड़ थी और 2025 में ₹ 80 करोड़।

किसी प्रतिशत का मतलब तभी निकलता है, जब पता हो कि वह किस कुल का है। उत्तर क्षेत्र का हिस्सा 32% से घटकर 25% रह गया, फिर भी उसकी बिक्री बढ़ी। हिसाब देखिए।

• 2022 में ₹ 50 करोड़ का 32% = ₹ 16 करोड़।
• 2025 में ₹ 80 करोड़ का 25% = ₹ 20 करोड़।

बड़े कुल का छोटा हिस्सा भी ज़्यादा रुपयों का हो सकता है। मध्य क्षेत्र का हिस्सा दोनों वर्षों में 10% ही रहा, पर उसकी बिक्री ₹ 5 करोड़ से बढ़कर ₹ 8 करोड़ हो गई। यह 60% की वृद्धि है।

इसलिए प्रतिशतों की सीधी तुलना केवल एक ही चार्ट के भीतर कीजिए। दोनों चार्टों में एक ही त्रिज्यखंड की तुलना करनी हो, तो पहले दोनों को राशि में बदलिए, या यह सूत्र लगाइए।

$$\frac{\text{नया मान}}{\text{पुराना मान}} = \frac{\text{नया हिस्सा}}{\text{पुराना हिस्सा}} \times \frac{\text{नया कुल}}{\text{पुराना कुल}}$$

उत्तर क्षेत्र के लिए $\frac{25}{32} \times \frac{80}{50} = \frac{25}{32} \times \frac{8}{5} = \frac{5}{4}$, यानी 25% की वृद्धि। पश्चिम के लिए $\frac{20}{15} \times \frac{80}{50} = \frac{32}{15}$, यानी $113\frac{1}{3}\%$ की वृद्धि। यह पाँचों क्षेत्रों में सबसे अधिक है।

ऐसे दो चार्टों पर ये प्रश्न पूछे जाते हैं।

• एक वर्ष से दूसरे वर्ष तक किसी त्रिज्यखंड में कितना परिवर्तन हुआ, राशि में या प्रतिशत में।
• कितने त्रिज्यखंडों का मान बढ़ा या घटा।
• एक वर्ष के किसी त्रिज्यखंड और दूसरे वर्ष के किसी त्रिज्यखंड का अनुपात।

तीनों तरह के प्रश्नों में गलत विकल्प केवल प्रतिशतों से बनाए जाते हैं, मानो दोनों कुल बराबर हों।

[SSC टिप] प्रश्न में दो वर्ष या दो चार्ट हों, तो कोई भी तुलना करने से पहले पूछे गए त्रिज्यखंडों की राशियाँ लिख लीजिए। इसमें कुछ सेकंड ही लगते हैं, और केवल हिस्सों से बने विकल्पों से आप बच जाते हैं।

पाई चार्ट के साथ तालिका

कई प्रश्न-समूहों में पाई चार्ट हर भाग का आकार बताता है, और साथ की तालिका बताती है कि वह भाग आगे कैसे बँटा है, जैसे पुरुषों और महिलाओं में। ऐसे प्रश्न दो कदम में होते हैं। पहले भाग पाई चार्ट से निकालिए, फिर उसका बँटवारा तालिका से।

इस कंपनी में 4,000 कर्मचारी हैं, जो चित्र के अनुसार विभागों में बँटे हैं। तालिका में हर विभाग के पुरुषों और महिलाओं का अनुपात दिया है।

उत्पादन में महिलाएँ: उत्पादन विभाग 4,000 का 32% है, यानी 1,280 कर्मचारी। महिलाएँ $3 + 1 = 4$ भागों में से 1 भाग हैं, तो $\frac{1}{4} \times 1280 = 320$ महिलाएँ।

आईटी में पुरुष: आईटी 4,000 का 25% है, यानी 1,000 कर्मचारी। पुरुष 5 में से 2 भाग हैं, तो $\frac{2}{5} \times 1000 = 400$।

सब विभागों का योग: पाँचों विभागों की महिलाएँ जोड़नी हों, तो हर विभाग की अलग निकालिए। उत्पादन में 320, विपणन में $\frac{1}{6} \times 720 = 120$, लेखा में $\frac{1}{3} \times 600 = 200$, मानव संसाधन में $\frac{1}{2} \times 400 = 200$ और आईटी में $\frac{3}{5} \times 1000 = 600$। कुल 1,440 महिलाएँ हैं।

आईटी की महिलाएँ सब महिलाओं का $\frac{600}{1440} = \frac{5}{12}$ हैं, यानी लगभग 42%, जबकि पूरे स्टाफ़ में आईटी का हिस्सा केवल 25% है।

ऐसे प्रश्न-समूह यही परखते हैं। सबसे बड़े त्रिज्यखंड वाले विभाग में ही सबसे अधिक महिलाएँ हों, यह ज़रूरी नहीं। महिलाओं में किसी विभाग का हिस्सा, पाई में उसके हिस्से के बराबर नहीं होता। इसलिए हर बार दोनों कदम कीजिए।

कभी तालिका में अनुपात की जगह प्रतिशत दिया होता है। मान लीजिए विपणन के 45% कर्मचारी स्नातक हैं। तब दूसरे कदम में एक भाग का प्रतिशत निकालना होता है। विपणन के 720 कर्मचारियों का 45%, यानी $0.45 \times 720 = 324$, स्नातक हैं।

कुल का दंड आरेख, हिस्सों का पाई चार्ट

मिश्रित प्रश्न-समूहों में अक्सर एक चार्ट कई कुल देता है, और दूसरा उनमें से किसी एक कुल को भागों में बाँटता है। यहाँ दंड आरेख एक इस्पात संयंत्र का वार्षिक उत्पादन दिखाता है, और पाई चार्ट 2024 के उत्पादन का उत्पादों में बँटवारा।

सही कुल: पाई चार्ट 2024 का है, इसलिए उसके प्रतिशत 2024 वाले दंड पर ही लगेंगे, जो 600 हज़ार टन है। छड़ें 600 का 35% = 210 हज़ार टन हैं, और पाइप 600 का 20% = 120 हज़ार टन।

बिना कहे दूसरे वर्ष पर नहीं: पाई में 2022 या 2023 के बारे में कुछ नहीं दिया है, इसलिए उसके प्रतिशत किसी और वर्ष पर न लगाइए। हाँ, प्रश्न में यह जोड़ा हो कि 2023 में भी पाइप का हिस्सा 2024 जितना था, तो 2023 में पाइप 520 का 20% = 104 हज़ार टन होंगे। तब 2024 तक वृद्धि $\frac{120 - 104}{104} \times 100 \approx 15.4\%$ हुई।

एक वर्ष का भाग, दूसरे वर्ष का कुल: मान लीजिए प्रश्न है, "2024 में बने तार, 2020 के कुल उत्पादन का कितना प्रतिशत हैं?" 2024 में 600 का 12% = 72 हज़ार टन तार बने, तो $\frac{72}{400} \times 100 = 18\%$।

कुल में परिवर्तन: 2023 से 2024 तक कुल उत्पादन में वृद्धि $\frac{600 - 520}{520} \times 100 \approx 15.4\%$ है, ठीक पाइप जितनी। यह संयोग नहीं है। जिस भाग का हिस्सा वही रहे, वह कुल की दर से ही बढ़ता है। इसलिए प्रश्न कहे कि हिस्सा नहीं बदला, तो कुल की वृद्धि ही ले लीजिए, बाकी हिसाब की ज़रूरत नहीं।

जो प्रश्न केवल दंड आरेख पर हों, जैसे सबसे अधिक वृद्धि वाला वर्ष, उनके लिए "दंड आरेख" वाले खंड की विधियाँ लगाइए।

पाई चार्ट प्रश्नों में गति

एक पाई चार्ट पर तीन-चार प्रश्नों का समूह आता है। हिसाब छोटा रखें, तो पूरा समूह लगभग दो मिनट में हो जाता है। इसके लिए ये बातें याद रखिए।

• इकाई मान एक बार: कुल का 1%, या 1° का मान, एक ही बार निकालिए। फिर हर त्रिज्यखंड के लिए उसी से गुणा कीजिए।
• कुल अंत में: त्रिज्यखंडों का योग या अंतर चाहिए, तो पहले प्रतिशत (या कोण) जोड़िए या घटाइए। फिर कुल से एक ही बार गुणा कीजिए।
• अनुपात में कुल नहीं: अनुपात के लिए कुल की ज़रूरत नहीं पड़ती, बशर्ते दोनों त्रिज्यखंड एक ही चार्ट में हों।
• 360 से जल्दी काटना: $\frac{54}{360} \times 4800$ के लिए पहले $\frac{54}{360} = \frac{3}{20}$ कीजिए। उत्तर $3 \times 240 = 720$ आ जाता है।
• प्रतिशत की जगह भिन्न: 6,400 का 37.5% सीधे $\frac{3}{8} \times 6400 = 2400$ है।
• विकल्प दूर-दूर हों तो अनुमान: 2,180 का 23.7% चाहिए और विकल्प 410, 520, 640 और 780 हैं। 2,200 का 24% लीजिए, जो लगभग 528 आता है। तो उत्तर 520 है।
• आँकड़ों का योग जाँचना: प्रतिशतों का योग 100 और कोणों का 360 होना चाहिए। ऐसा न हो, तो या कोई लेबल गलत पढ़ा गया है, या कोई त्रिज्यखंड लुप्त है, जिसे पहले निकालना होगा।

आधार पढ़ना: प्रश्न के ये तीन वाक्यांश तीन अलग गणनाएँ माँगते हैं।

डिग्री चार्ट में पहली पंक्ति के लिए भी रूपांतरण करना पड़ता है। जैसे 81° वाला त्रिज्यखंड कुल का 22.5% है।

उत्तर पर निशान लगाने से पहले ख़ुद से तीन प्रश्न पूछिए। डिग्री को डिग्री और प्रतिशत को प्रतिशत पढ़ा या नहीं? दो चार्ट हों, तो हिस्सों की नहीं, राशियों की तुलना की? "से अधिक" वाला प्रतिशत सही आधार से निकाला? इन समूहों के गलत विकल्प ठीक इन्हीं तीन गलतियों से बनते हैं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

दिया गया पाई चार्ट दर्शाता है कि एक खेल क्लब अपना ₹ 64 लाख का वार्षिक बजट किस प्रकार खर्च करता है।

क्लब उपकरणों पर कितना खर्च करता है? (a) ₹ 8 लाख (b) ₹ 12.8 लाख (c) ₹ 9.6 लाख (d) ₹ 6.4 लाख

उत्तर: चार्ट में उपकरणों का हिस्सा 15% है। ₹ 64 लाख का 15% = $\frac{15}{100} \times 64 = 9.6$, तो क्लब उपकरणों पर (c) ₹ 9.6 लाख खर्च करता है। जल्दी करना हो, तो पहले 10% लेते हैं, जो 6.4 है, फिर उसमें उसी का आधा, 3.2, जोड़ देते हैं।

प्रश्न 2

वेतन पर व्यय, यात्रा पर व्यय से कितना अधिक है? (a) ₹ 11.2 लाख (b) ₹ 17.5 लाख (c) ₹ 8 लाख (d) ₹ 19.2 लाख

उत्तर: पहले प्रतिशत घटा लेते हैं, $30 - 12.5 = 17.5$। अब ₹ 64 लाख का 17.5% निकालना है, यानी $\frac{17.5}{100} \times 64 = 11.2$। तो वेतन पर यात्रा से (a) ₹ 11.2 लाख अधिक खर्च होता है। ₹ 17.5 लाख वाला विकल्प सही हो ही नहीं सकता, क्योंकि 17.5 तो प्रतिशत है, राशि नहीं।

प्रश्न 3

मैदान के रखरखाव पर व्यय, वेतन और उपकरणों पर मिलाकर हुए व्यय का कितना प्रतिशत है? (a) $66\frac{2}{3}\%$ (b) 225% (c) 35% (d) $44\frac{4}{9}\%$

उत्तर: दोनों राशियाँ एक ही बजट का भाग हैं, तो कुल कट जाता है और प्रतिशतों से ही काम चल जाता है। वेतन और उपकरण मिलकर बजट का $30 + 15 = 45\%$ हैं, और मैदान का रखरखाव 20% है। $\frac{20}{45} \times 100 = \frac{400}{9} = 44\frac{4}{9}$, तो उत्तर (d) $44\frac{4}{9}\%$ है।

प्रश्न 4

दिया गया पाई चार्ट एक रविवार को एक संग्रहालय देखने आए 2,400 व्यक्तियों के आयु-वर्ग दर्शाता है। चार्ट में दिए गए मान केंद्रीय कोण हैं।

कितने किशोर संग्रहालय देखने आए? (a) 720 (b) 480 (c) 360 (d) 432

उत्तर: यहाँ एक डिग्री $\frac{2400}{360} = \frac{20}{3}$ आगंतुकों के बराबर है, जो पूरी संख्या नहीं है। इसलिए इससे गुणा करने के बजाय भिन्न को पहले काट लेते हैं। किशोरों का त्रिज्यखंड $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$ है, और 2,400 का $\frac{1}{5}$ = 480। तो (b) 480 किशोर संग्रहालय देखने आए।

प्रश्न 5

कितने प्रतिशत आगंतुक वरिष्ठ थे? (a) 45% (b) 15% (c) 12.5% (d) 8%

उत्तर: डिग्री को प्रतिशत में बदलने के लिए $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं। वरिष्ठों का कोण 45° है, तो $45 \times \frac{5}{18} = 12.5$, यानी (c) 12.5% आगंतुक वरिष्ठ थे। जो 45° को ही 45% पढ़ लेते हैं, उनके हिसाब से लगभग आधे आगंतुक वरिष्ठ हो जाएँगे। चार्ट में वरिष्ठों का छोटा-सा त्रिज्यखंड ही बता देता है कि ऐसा नहीं है।

प्रश्न 6

18 से 40 वर्ष आयु के वयस्क आगंतुक, वरिष्ठ आगंतुकों से कितने अधिक थे? (a) 540 (b) 81 (c) 840 (d) 300

उत्तर: यहाँ भी कोण पहले घटाने हैं, $126 - 45 = 81^\circ$। फिर यह अंतर आगंतुकों में बदलते हैं, $\frac{81}{360} \times 2400 = 81 \times \frac{20}{3} = 540$। तो 18 से 40 वर्ष के वयस्क, वरिष्ठों से (a) 540 अधिक थे।

प्रश्न 7

एक विद्यालय ₹ 18 लाख का अनुदान पाँच मदों पर खर्च करता है। पाई चार्ट केंद्रीय कोण दर्शाता है, जिनमें से तीन $x$ के पदों में दिए गए हैं।

$x$ का मान क्या है? (a) 40.5 (b) 54 (c) 18 (d) 36

उत्तर: सब कोणों का योग 360° होता है, तो $2x + 81 + (x + 18) + 117 + x = 360$ लिखते हैं। सारे पद जोड़ने पर $4x + 216 = 360$ आता है। इससे $4x = 144$, और $x = 36$, यानी विकल्प (d) 36। कोष्ठक के भीतर वाला 18 छूट जाए, तो $x$ = 40.5 आता है। इसलिए कोष्ठक को हमेशा पूरा लिखते हैं।

प्रश्न 8

विद्यालय खेलों पर कितना खर्च करता है? (a) ₹ 1.8 लाख (b) ₹ 2.7 लाख (c) ₹ 3.6 लाख (d) ₹ 4.05 लाख

उत्तर: खेल का कोण $x + 18 = 54^\circ$ है। $\frac{54}{360} = \frac{3}{20}$, तो राशि $\frac{3}{20} \times 18 = 2.7$ लाख हुई। यानी विद्यालय खेलों पर (b) ₹ 2.7 लाख खर्च करता है।

प्रश्न 9

यदि रखरखाव से ₹ 90,000 हटाकर छात्रवृत्ति में दे दिए जाएँ, तो छात्रवृत्ति के त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण कितना होगा? (a) 41° (b) 18° (c) 54° (d) 72°

उत्तर: ₹ 18 लाख पूरे 360 डिग्री में बँटे हैं, तो हर डिग्री ₹ 5,000 की हुई। अब ₹ 90,000 को 5,000 से भाग दें, तो $\frac{90000}{5000} = 18^\circ$ आता है। अनुदान उतना ही रहता है, बस पैसा एक मद से दूसरे में जाता है। इसलिए छात्रवृत्ति का कोण 36° से बढ़कर $36 + 18 = 54^\circ$, यानी (c) 54° हो जाएगा।

प्रश्न 10

दिया गया पाई चार्ट एक विद्यालय के पुस्तकालय में प्रत्येक विषय की किताबों की संख्या दर्शाता है।

इतिहास के त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण कितना है? (a) 54° (b) 15° (c) 60° (d) 72°

उत्तर: पहले कुल किताबें गिन लेते हैं, $1350 + 900 + 675 + 450 + 225 + 900 = 4500$। इतिहास का कोण $\frac{675}{4500} \times 360$ होगा। यहाँ $\frac{675}{4500} = \frac{3}{20}$ है, तो कोण $\frac{3}{20} \times 360 = 54^\circ$ आता है, जो विकल्प (a) 54° है।

प्रश्न 11

पुस्तकालय में गणित की 900 नई किताबें जोड़ी जाती हैं और बाकी कुछ नहीं बदलता। अब गणित के त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण कितना होगा? (a) 108° (b) 72° (c) 36° (d) 90°

उत्तर: गणित की किताबें अब $450 + 900 = 1350$ हो गईं, और पूरे पुस्तकालय में $4500 + 900 = 5400$ किताबें। नया कोण $\frac{1350}{5400} \times 360 = \frac{1}{4} \times 360 = 90^\circ$ है, तो उत्तर (d) 90° है। पुराना कुल 4,500 ही रखते, तो 108° आता। पर वृत्त में नई किताबों के लिए भी जगह बनानी पड़ती है।

प्रश्न 12

दिए गए दो पाई चार्ट दर्शाते हैं कि 2023 और 2025 में एक संस्थान में प्रवेश पाने वाले विद्यार्थी पाँच पाठ्यक्रमों में किस प्रकार बँटे थे। 2023 में 1,500 विद्यार्थियों को प्रवेश मिला और 2025 में 2,400 को।

2023 से 2025 तक बी.एससी में प्रवेश में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई? (a) 60% (b) 28% (c) 25% (d) 7%

उत्तर: दोनों वर्षों के कुल अलग हैं, इसलिए 32% और 25% की सीधी तुलना नहीं हो सकती। पहले संख्याएँ निकाल लेते हैं। 2023 में बी.एससी में 1,500 का 32% = 480 विद्यार्थी थे, और 2025 में 2,400 का 25% = 600। 480 पर 120 की वृद्धि हुई, और $\frac{120}{480} \times 100 = 25\%$। तो उत्तर (c) 25% है। बी.एससी का हिस्सा घटा, फिर भी विद्यार्थियों की संख्या बढ़ी।

प्रश्न 13

किस पाठ्यक्रम में प्रवेश की संख्या में सबसे अधिक प्रतिशत वृद्धि हुई? (a) बीसीए (b) बी.कॉम (c) बीबीए (d) बी.एससी

उत्तर: हर पाठ्यक्रम की दोनों वर्षों की संख्या लिख लेते हैं। बी.एससी 480 से 600, बी.कॉम 420 से 720, बीए 300 से 360, बीसीए 180 से 504 और बीबीए 120 से 216। बीसीए अपनी पुरानी संख्या का लगभग तीन गुना हो गया, जबकि कोई और पाठ्यक्रम दोगुना भी नहीं हुआ। तो सबसे अधिक प्रतिशत वृद्धि (a) बीसीए में हुई। बी.कॉम में भी लगभग उतने ही विद्यार्थी जुड़े जितने बीसीए में (300 और 324), पर उसका आधार कहीं बड़ा था।

प्रश्न 14

2023 में बीए में प्रवेश पाने वाले विद्यार्थियों की संख्या और 2025 में बीए में प्रवेश पाने वाले विद्यार्थियों की संख्या का अनुपात क्या है? (a) 4 : 3 (b) 3 : 4 (c) 6 : 5 (d) 5 : 6

उत्तर: बीए में 2023 में 1,500 का 20% = 300 विद्यार्थी थे, और 2025 में 2,400 का 15% = 360। अनुपात 300 : 360 है, जिसे सरल करने पर (d) 5 : 6 आता है। जो केवल हिस्से लेकर 20 : 15, यानी 4 : 3 लिख देते हैं, वे मान बैठते हैं कि दोनों वर्षों का कुल बराबर था।

प्रश्न 15

दिया गया पाई चार्ट दर्शाता है कि एक कारखाने के 3,600 श्रमिक उसकी पाँच इकाइयों में किस प्रकार बँटे हैं, और तालिका प्रत्येक इकाई में पुरुषों और महिलाओं का अनुपात दर्शाती है।

इकाई R में कितनी महिलाएँ काम करती हैं? (a) 600 (b) 300 (c) 450 (d) 360

उत्तर: इकाई R में $\frac{90}{360} \times 3600 = 900$ श्रमिक हैं। वहाँ पुरुष : महिला = 2 : 1 है, तो 3 भागों में से 1 भाग महिलाओं का है। $\frac{1}{3} \times 900 = 300$, तो इकाई R में (b) 300 महिलाएँ हैं।

प्रश्न 16

इकाई Q और इकाई T में मिलाकर महिलाओं की संख्या, इकाई R में पुरुषों की संख्या का कितना प्रतिशत है? (a) $43\frac{1}{3}\%$ (b) 60% (c) 65% (d) 75%

उत्तर: यहाँ हर डिग्री 10 श्रमिकों के बराबर है। इकाई Q के 720 श्रमिकों में $\frac{3}{8}$ महिलाएँ हैं, जो 270 होती हैं। इकाई T के 270 श्रमिकों में $\frac{4}{9}$ महिलाएँ हैं, यानी 120। दोनों मिलाकर 390 महिलाएँ हुईं। भिन्न के हर में केवल R के पुरुष आएँगे। R के 900 श्रमिकों में $\frac{2}{3}$ पुरुष हैं, यानी 600। अब $\frac{390}{600} \times 100 = 65\%$, तो उत्तर (c) 65% है।

प्रश्न 17

किस इकाई में महिलाओं की संख्या सबसे अधिक है? (a) इकाई R (b) इकाई P (c) इकाई Q (d) इकाई S

उत्तर: हर इकाई की महिलाएँ निकाल लेते हैं। P में $\frac{2}{9} \times 1170 = 260$, Q में 270, R में 300, S में $\frac{1}{2} \times 540 = 270$ और T में 120। सबसे अधिक महिलाएँ, 300, (a) इकाई R में हैं। P सबसे बड़ी इकाई है, पर वहाँ हर 9 श्रमिकों में से केवल 2 महिलाएँ हैं।

प्रश्न 18

दिया गया दंड आरेख 2020 से 2024 तक एक कंपनी की कुल बिक्री दर्शाता है, और पाई चार्ट दर्शाता है कि 2024 में उसकी बिक्री उसके उत्पादों में किस प्रकार बँटी थी।

2024 में कंपनी की लैपटॉप की बिक्री कितनी थी? (a) ₹ 50 करोड़ (b) ₹ 96 करोड़ (c) ₹ 40 करोड़ (d) ₹ 60 करोड़

उत्तर: पाई चार्ट 2024 का है, तो कुल 2024 वाले दंड से लेते हैं, जो ₹ 240 करोड़ है। लैपटॉप का हिस्सा 25% है, यानी एक-चौथाई। $\frac{240}{4} = 60$, तो लैपटॉप की बिक्री (d) ₹ 60 करोड़ थी।

प्रश्न 19

2022 में कंपनी की बिक्री में फ़ोन का हिस्सा 45% था। 2022 से 2024 तक फ़ोन की बिक्री में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई? (a) 50% (b) $33\frac{1}{3}\%$ (c) 25% (d) $11\frac{1}{9}\%$

उत्तर: 2022 में फ़ोन की बिक्री 160 का 45% = ₹ 72 करोड़ थी। 2024 में यह 240 का 40% = ₹ 96 करोड़ हुई। 72 पर 24 की वृद्धि हुई, तो $\frac{24}{72} \times 100 = 33\frac{1}{3}\%$, यानी (b) $33\frac{1}{3}\%$। विकल्प (c), 25%, तब आता है जब यही वृद्धि 96 पर, मतलब 2024 वाले मान पर, मापी जाए। पर प्रतिशत परिवर्तन हमेशा पुराने मान पर निकाला जाता है।

प्रश्न 20

2024 में कंपनी की सेवाओं की बिक्री, 2020 में उसकी कुल बिक्री का कितना प्रतिशत थी? (a) 7.5% (b) 12% (c) 15% (d) 18%

उत्तर: 2024 में सेवाओं की बिक्री 240 का 7.5% = ₹ 18 करोड़ थी। 2020 में कुल बिक्री ₹ 120 करोड़ थी। $\frac{18}{120} \times 100 = 15\%$, तो सेवाओं की यह बिक्री 2020 की कुल बिक्री का (c) 15% थी।

प्रश्न 21

दिया गया पाई चार्ट दर्शाता है कि एक विद्यार्थी 24 घंटे का एक दिन किस प्रकार बिताता है। चार्ट में दिए गए मान केंद्रीय कोण हैं।

विद्यार्थी प्रतिदिन कितने घंटे गृहकार्य पर लगाता है? (a) 4.5 घंटे (b) 2 घंटे (c) 3 घंटे (d) 6 घंटे

उत्तर: पूरा वृत्त 24 घंटे का है, तो 1 घंटा $\frac{360}{24} = 15^\circ$ के बराबर हुआ। गृहकार्य का कोण 45° है, और $\frac{45}{15} = 3$। तो विद्यार्थी रोज़ (c) 3 घंटे गृहकार्य पर लगाता है।

प्रश्न 22

दिन का कितना प्रतिशत भाग विद्यालय और गृहकार्य में मिलाकर जाता है? (a) 37.5% (b) 25% (c) 45% (d) $33\frac{1}{3}\%$

उत्तर: विद्यालय और गृहकार्य मिलकर $90 + 45 = 135^\circ$ हैं। इसे प्रतिशत में बदलें, तो $135 \times \frac{5}{18} = 37.5\%$, यानी (a) 37.5%। जाँच भी कर लेते हैं। दोनों में $6 + 3 = 9$ घंटे जाते हैं, और 24 में से 9 घंटे दिन का $\frac{3}{8}$ हैं, जो 37.5% ही है।