रेखा आरेख, आयतचित्र और बारंबारता बहुभुज

रेखा आरेख पढ़ना

किसी एक राशि में होने वाला परिवर्तन दिखाना हो, तो रेखा आरेख (line graph) बनाया जाता है। ज़्यादातर यह परिवर्तन समय के साथ होता है। क्षैतिज अक्ष पर वर्ष या महीने लिखे होते हैं और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर मान। हर मान एक बिंदु से दिखाया जाता है, और ये बिंदु क्रम से सीधी रेखाओं से जुड़े होते हैं।

इस आरेख में एक संयंत्र का सीमेंट उत्पादन है। इसे देखकर ये बातें समझ में आती हैं।

• सबसे ऊँचा बिंदु 2024 का है (64 लाख टन) और सबसे नीचा 2018 का (40 लाख टन)।
• जो खंड ऊपर जाता है, वह बताता है कि मान एक वर्ष से अगले वर्ष बढ़ा। नीचे जाता खंड बताता है कि मान घटा। यहाँ उत्पादन 2020 और 2023 में घटा, बाकी चार वर्षों में बढ़ा।
• असली आँकड़े केवल बिंदुओं पर होते हैं। बीच की रेखाएँ तो बस देखने में आसानी के लिए खींची जाती हैं। 2020 के बीच में क्या हुआ, यह आरेख से पता नहीं चलता। इसलिए दो बिंदुओं के बीच रेखा पर से कभी कोई मान न पढ़िए।

मान पढ़ना: बिंदुओं पर मान छपे हों, तो वही ले लीजिए। न छपे हों, तो बिंदु से सीधे आड़े चलकर ऊर्ध्वाधर पैमाने तक जाइए और वहाँ मान पढ़िए। पर कुछ भी पढ़ने से पहले यह देख लीजिए कि दो ग्रिड-रेखाओं के बीच का एक खाना कितने का है। 0, 10, 20 वाले पैमाने पर छोटे खाने 2 के भी हो सकते हैं और 5 के भी।

वृद्धि वाले वर्ष: ऊपर जाते खंड गिन लीजिए। यहाँ ये खंड 2019, 2021, 2022 और 2024 के हैं, तो उत्पादन 4 वर्षों में बढ़ा। हर खंड अपने दोनों वर्षों में से बाद वाले वर्ष का गिना जाता है। "2021 में बढ़ा" का मतलब है कि 2020 से 2021 तक बढ़ा। पहला वर्ष 2018 है, और उससे पहले का कोई आँकड़ा नहीं है। इसलिए 2018 को वृद्धि या कमी में कभी नहीं गिनते।

किसी अवधि का योग: उस अवधि के बिंदु जोड़ दीजिए। जैसे 2021 से 2023 तक संयंत्र ने $52 + 58 + 55 = 165$ लाख टन सीमेंट बनाया।

दो वर्षों की तुलना: 2024 का उत्पादन 2018 के उत्पादन का $\frac{64}{40} = \frac{8}{5}$ गुना है। तो 2018 और 2024 के उत्पादन का अनुपात 5 : 8 हुआ।

इकाइयाँ: यहाँ पैमाना लाख टन में है। विकल्प टन में लिखे हों, तो 64 लाख टन को 64,00,000 टन लिखना होगा। संख्याओं की तुलना करने से पहले विकल्पों की इकाई ज़रूर देख लीजिए।

वृद्धि, कमी और सबसे तेज़ वृद्धि

रेखा आरेख पर वर्ष बराबर दूरी पर होते हैं। इसलिए किसी खंड की ढलान देखकर ही पता चल जाता है कि परिवर्तन कितना बड़ा है। खंड जितना खड़ा होगा, संख्या में वृद्धि या कमी उतनी ही बड़ी होगी।

इस आरेख से हर वर्ष का परिवर्तन निकालें, तो यह तालिका मिलती है।

• सबसे तेज़ वृद्धि: 2021 से 2022 तक, 18 हज़ार की।
• सबसे तेज़ कमी: 2019 से 2020 तक, 28 हज़ार की।
• सबसे बड़ी प्रतिशत वृद्धि: 2020 से 2021 तक, 50% की। यह सबसे खड़ा खंड नहीं है, फिर भी प्रतिशत यहीं सबसे बड़ा है, क्योंकि आधार छोटा है। 28 पर 14 की वृद्धि, 42 पर 18 की वृद्धि से प्रतिशत में बड़ी होती है।

इसलिए "सबसे अधिक वृद्धि" और "सबसे अधिक प्रतिशत वृद्धि" अलग-अलग वर्षों में भी हो सकती हैं। प्रश्न ध्यान से पढ़िए कि उसमें कौन-सी माँगी गई है।

प्रतिशत परिवर्तन इस सूत्र से निकलता है।

$$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \frac{\text{परिवर्तन}}{\text{पहले वाले वर्ष का मान}} \times 100$$

आधार हमेशा पहले वाला वर्ष होता है, रेखा ऊपर जाए या नीचे। यह वही नियम है जो अध्याय 3 (प्रतिशत) में आया था। जैसे 2019 से 2020 तक की कमी $\frac{28}{56} \times 100 = 50\%$ है। कई छात्र यहाँ 28 से भाग दे देते हैं और 100% लिख देते हैं। इसका मतलब तो यह होता कि हवाई अड्डे पर एक भी यात्री नहीं बचा।

उतनी ही प्रतिशत वृद्धि से कमी पूरी नहीं होती: 2020 में यात्री 50% घटे, यानी 56 से 28 हज़ार रह गए। 2021 में वे 50% बढ़े और 28 से 42 हज़ार हो गए। फिर भी 42 हज़ार, 56 हज़ार से कम ही है। 2019 के बाद पहली बार 2022 में यात्री 2019 से अधिक हुए।

प्रतिशत की जल्दी तुलना: सबसे बड़ा प्रतिशत परिवर्तन ढूँढने के लिए हर वर्ष का प्रतिशत निकालना ज़रूरी नहीं है। छोटे आधार पर हुई बड़ी वृद्धि का प्रतिशत ही सबसे ज़्यादा होता है। इसलिए केवल उन्हीं वर्षों की तुलना कीजिए जिनमें प्रतिशत सबसे बड़ा हो सकता है, और यह तुलना भिन्न के रूप में कीजिए। यहाँ $\frac{14}{28} = \frac{1}{2}$ है और $\frac{18}{42} = \frac{3}{7}$। $\frac{1}{2}$ बड़ा है, तो 2021 की प्रतिशत वृद्धि अधिक है।

रेखा आरेख से योग और औसत

रेखा आरेख का औसत निकालना हो, तो सब बिंदुओं का योग कीजिए और बिंदुओं की संख्या से भाग दे दीजिए।

इस आरेख में एक कस्बे की जून से नवंबर तक की वर्षा है। सब महीनों की वर्षा जोड़ते हैं।

$$120 + 280 + 250 + 180 + 90 + 40 = 960 \text{ मिमी}$$

यह 6 महीनों की वर्षा है, तो औसत $\frac{960}{6} = 160$ मिमी प्रति माह हुआ। आरेख में जो टूटी रेखा है, वह यही औसत दिखाती है। जुलाई, अगस्त और सितंबर इस रेखा से ऊपर हैं, बाकी तीन महीने नीचे।

कार्यकारी मान से जल्दी जोड़: मानों के बीच की कोई गोल संख्या मान लीजिए, जैसे 150। अब हर मान का इससे अंतर लिखिए और केवल अंतर जोड़िए। $-30 + 130 + 100 + 30 - 60 - 110 = 60$ आता है। इसे 6 महीनों में बाँटें, तो 10 मिलता है। इसलिए औसत $150 + 10 = 160$ हुआ। अंतर छोटे होते हैं, इसलिए हिसाब मन में ही हो जाता है। यह तरीका अध्याय 5 (औसत) में विस्तार से आया है।

आरेख के एक भाग का औसत: जुलाई से सितंबर तक का औसत $\frac{280 + 250 + 180}{3} = \frac{710}{3} \approx 236.7$ मिमी है। यहाँ बिंदु ध्यान से गिनिए। जुलाई से सितंबर तीन महीने हैं, दो नहीं।

औसत से लुप्त मान: मान लीजिए यह भी दिया हो कि जून से दिसंबर तक का औसत 140 मिमी है। तो सात महीनों की कुल वर्षा $7 \times 140 = 980$ मिमी हुई। इसलिए दिसंबर में $980 - 960 = 20$ मिमी वर्षा हुई।

औसत से ऊपर वाले महीने: पहले औसत निकालिए, फिर उससे ऊपर वाले बिंदु गिनिए। यहाँ ऐसे 3 महीने हैं। केवल आरेख देखकर उत्तर देना जोखिम भरा है, ख़ासकर तब जब कोई बिंदु औसत की रेखा के पास हो। ऐसे में संख्याओं की ही तुलना कीजिए।

कुल में हिस्सा: जुलाई और अगस्त की वर्षा मिलाकर पूरे मौसम की वर्षा का $\frac{280 + 250}{960} \times 100 \approx 55.2\%$ है।

बहु रेखा आरेख

कभी एक ही आरेख पर दो या तीन राशियाँ दिखाई जाती हैं। इसे बहु रेखा आरेख (multiple line graph) कहते हैं। इसमें हर राशि की अपनी रेखा होती है, जिसे रंग, चिह्न या रेखा के प्रकार से अलग पहचाना जाता है। कौन-सी रेखा किसकी है, यह संकेत बताता है। इसलिए सबसे पहले संकेत पढ़िए। रेखाएँ पास-पास चल रही हों, तो वर्ष सही होते हुए भी मान गलत रेखा से पढ़ लेना बहुत आम गलती है।

रेखाओं के बीच की दूरी: किसी वर्ष में दोनों रेखाओं के बीच जितनी दूरी है, उस वर्ष दोनों राशियों में उतना ही अंतर है। यहाँ आयात में से निर्यात घटाएँ, तो 2018 में 10, 2019 में 8, 2020 में 3, 2021 में 8 और 2022 में 2 आता है (सब ₹ हज़ार करोड़ में)। तो अंतर सबसे अधिक 2018 में है।

रेखाएँ कहाँ कटती हैं: दोनों रेखाएँ 2022 और 2023 के बीच कटती हैं। 2022 में आयात 46 था और निर्यात 44, यानी आयात अधिक था। 2023 में निर्यात 50 था और आयात 48। तो 2023 पहला वर्ष है, जब निर्यात आयात से अधिक रहा। ध्यान रखिए, जिस बिंदु पर रेखाएँ कटती हैं, वह ख़ुद कोई आँकड़ा नहीं है। ऐसे प्रश्न में असल में यह पूछा जाता है कि किस वर्ष पहली बार दूसरी राशि आगे निकली।

एक वर्ष में अनुपात या प्रतिशत: 2020 में निर्यात और आयात का अनुपात 38 : 41 है। 2024 में निर्यात, आयात का $\frac{56}{52} \times 100 \approx 107.7\%$ था।

दोनों की वृद्धि की तुलना: 2018 से 2024 तक निर्यात $\frac{56 - 30}{30} \times 100 \approx 86.7\%$ बढ़ा, जबकि आयात $\frac{52 - 40}{40} \times 100 = 30\%$ ही बढ़ा। यहाँ ढलान से धोखा हो सकता है। दो रेखाएँ बराबर मात्रा से बढ़ें, तो दोनों बराबर खड़ी दिखती हैं। पर जो रेखा नीचे से शुरू होती है, उसकी प्रतिशत वृद्धि अधिक होती है।

दोनों रेखाओं का योग: 2022 में कुल व्यापार, यानी निर्यात और आयात मिलाकर, $44 + 46 = 90$ हज़ार करोड़ रुपये था।

[SSC टिप] प्रश्न आए कि "कितने वर्षों में A, B से अधिक था", तो हर वर्ष जाँचते समय उसके आगे एक छोटा-सा निशान लगाते जाइए। अंत में निशान गिन लीजिए। सात वर्ष और दो रेखाएँ हों, और बिंदु पास-पास हों, तो कोई वर्ष छूट जाना बहुत आसान है।

प्रतिशत दर्शाने वाले रेखा आरेख

कुछ रेखा आरेख हर वर्ष की राशि नहीं, उसका प्रतिशत दिखाते हैं, जैसे प्रतिशत लाभ, वृद्धि दर (growth rate) या उत्तीर्ण प्रतिशत। ऐसे आरेख की रेखा से केवल दरों का पता चलता है। कोई भी राशि निकालनी हो, तो प्रश्न में कम से कम एक राशि अलग से दी होनी चाहिए।

प्रतिशत लाभ: प्रतिशत लाभ, आय और व्यय का संबंध यह है।

$$\text{लाभ \%} = \frac{\text{आय} - \text{व्यय}}{\text{व्यय}} \times 100, \qquad \text{अतः} \qquad \text{आय} = \text{व्यय} \times \left(1 + \frac{\text{लाभ \%}}{100}\right)$$

• कंपनी A ने 2022 में ₹ 60 करोड़ खर्च किए और उसे 30% लाभ हुआ। तो आय $60 \times 1.3 = 78$ हुई, यानी ₹ 78 करोड़।
• कंपनी B की 2021 में आय ₹ 75 करोड़ थी और लाभ 25% था। तो व्यय $\frac{75}{1.25} = 60$ हुआ, यानी ₹ 60 करोड़। कई लोग 75 में से 25% घटाकर 56.25 लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि प्रतिशत लाभ व्यय पर निकलता है, आय पर नहीं।
• मान लीजिए 2023 में A और B की आय बराबर हो। तब A और B के व्यय का अनुपात $\frac{1}{1.4} : \frac{1}{1.3}$ होगा, यानी $1.3 : 1.4 = 13 : 14$। तो जिस कंपनी का प्रतिशत लाभ अधिक है, उसने कम खर्च किया।

आरेख क्या नहीं बता सकता: इस आरेख से यह पता नहीं चलता कि रुपयों में किस कंपनी ने अधिक लाभ कमाया। यह भी पता नहीं चलता कि 2024 में A का रुपयों में लाभ घटा या नहीं। A का प्रतिशत लाभ 40% से घटकर 35% हुआ है। पर हो सकता है कि 2024 में A ने बहुत अधिक खर्च किया हो। तब प्रतिशत घटने पर भी रुपयों में उसका लाभ बढ़ गया हो। इसलिए प्रश्न कोई राशि माँगे और कोई राशि दी ही न हो, तो "ज्ञात नहीं किया जा सकता" वाला विकल्प सही हो सकता है।

वृद्धि दर वाले आरेख: ऐसे आरेख में रेखा पिछले वर्ष की तुलना में प्रतिशत वृद्धि दिखाती है। रेखा नीचे आ रही हो पर 0 से ऊपर हो, तो भी वृद्धि हुई है, बस धीमी। राशि तो केवल उसी वर्ष घटती है, जिसमें दर 0 से नीचे हो। एक बात और याद रखिए। कई वर्षों की दरें आपस में गुणा होती हैं, जुड़ती नहीं। पहले 10% और फिर 20% वृद्धि हो, तो $1.1 \times 1.2 = 1.32$ आता है। यानी कुल वृद्धि 32% हुई, 30% नहीं।

आयतचित्र

आयतचित्र (histogram) एक बारंबारता बंटन (frequency distribution) दिखाता है। यह बताता है कि हर वर्ग अंतराल (class interval) में कितनी वस्तुएँ हैं। देखने में यह दंड आरेख जैसा लगता है, पर दोनों में तीन अंतर हैं।

• आयतचित्र के क्षैतिज अक्ष पर सतत पैमाना होता है, जैसे अंक, ऊँचाई या आयु। हर आयत अपने वर्ग अंतराल पर खड़ा होता है।
• आयत आपस में सटे होते हैं, क्योंकि हर वर्ग वहीं ख़त्म होता है जहाँ से अगला शुरू होता है।
• आयत की चौड़ाई वर्ग माप (class width) होती है। सब वर्गों का वर्ग माप बराबर हो, तो आयत की ऊँचाई ही उसकी बारंबारता होती है।

वर्ग अंतराल: वर्ग 30-40 में 30 से 40 तक के अंक आते हैं, पर 40 इसमें शामिल नहीं है। ठीक 40 अंक पाने वाला विद्यार्थी 40-50 में गिना जाता है। इस वर्ग की निम्न वर्ग सीमा (lower limit) 30 है, उच्च वर्ग सीमा (upper limit) 40 है और वर्ग माप 10 है।

आयतचित्र पढ़ना: इस आयतचित्र से ये मान सीधे मिल जाते हैं।

• सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग 30-40 है, जिसमें 25 विद्यार्थी हैं।
• कुल विद्यार्थी $5 + 9 + 16 + 25 + 20 + 15 + 10 = 100$ हैं।
• 20 से कम अंक पाने वाले $5 + 9 = 14$ हैं।
• कम से कम 40, यानी 40 या अधिक अंक पाने वाले $20 + 15 + 10 = 45$ हैं।
• 20 या अधिक, पर 50 से कम अंक पाने वाले $16 + 25 + 20 = 61$ हैं।
• 50 या अधिक अंक पाने वालों का प्रतिशत $\frac{15 + 10}{100} \times 100 = 25\%$ है।

"कम से कम" और "से कम": "कम से कम 40" हो, तो 40 से शुरू होने वाले आयत से जोड़ना शुरू कीजिए। "40 से कम" हो, तो 40 पर ख़त्म होने वाले आयत तक जोड़िए। जोड़ने से पहले अक्ष पर वह किनारा ढूँढ लीजिए। एक आयत ज़्यादा या कम जुड़ जाए, तो जो संख्या आती है, वह भी विकल्पों में दी होती है और देखने में ठीक ही लगती है।

कुल में से घटाकर: "कम से कम 40" वाले विद्यार्थी, कुल में से "40 से कम" वाले घटाकर भी मिल जाते हैं। $100 - (5 + 9 + 16 + 25) = 100 - 55 = 45$। जब ज़्यादातर आयत एक तरफ़ हों, तो दूसरी तरफ़ के थोड़े-से आयत जोड़कर कुल में से घटा दीजिए।

ऐसे बंटन का माध्य, माध्यिका और बहुलक निकालना अध्याय 19 (सांख्यिकी) में आएगा। यहाँ हमें केवल चार्ट पढ़ना है।

तालिका से आयतचित्र, आयतचित्र से तालिका

तालिका से आयतचित्र बनाना: क्षैतिज अक्ष पर वर्ग सीमाएँ लिखिए और हर वर्ग पर उसकी बारंबारता जितना ऊँचा आयत बनाइए। वर्ग 0-10, 10-20 जैसे हों, यानी हर वर्ग वहीं ख़त्म हो जहाँ से अगला शुरू होता है, तो आयतचित्र सीधे बन जाता है।

आयु, गिनती या प्राप्तांक की तालिकाओं में कभी दो वर्गों के बीच खाली जगह होती है, जैसे 20-24, 25-29, 30-34। ऐसे वर्गों को समावेशी वर्ग (inclusive classes) कहते हैं। इनमें 24 वर्ष का व्यक्ति पहले वर्ग में आता है और 25 वर्ष का दूसरे में। आयतचित्र में आयतों के बीच खाली जगह नहीं हो सकती, इसलिए पहले वर्गों को सतत करना पड़ता है। 24 और 25 के बीच का अंतर 1 है। उसका आधा, 0.5, हर निम्न वर्ग सीमा में से घटाइए और हर उच्च वर्ग सीमा में 0.5 जोड़िए। इस तरह जो नई सीमाएँ मिलती हैं, उन्हें वर्ग परिसीमाएँ (class boundaries) कहते हैं।

अब आयत 19.5-24.5, 24.5-29.5 आदि पर खड़े हैं और आपस में सटे हैं। वर्ग माप 5 है (19.5 से 24.5 तक), 4 नहीं। यहाँ अक्ष 0 से शुरू नहीं हुआ है। जब पहला वर्ग 0 से बहुत दूर से शुरू हो, तो ऐसा होना आम बात है।

आयतचित्र से वापस तालिका: बाएँ से दाएँ एक-एक आयत देखते जाइए और हर वर्ग के आगे उसके आयत की ऊँचाई लिखते जाइए। अक्ष पर 29.5 और 34.5 जैसी परिसीमाएँ दिखें, तो समझ लीजिए कि मूल तालिका में वर्ग 30-34 था। इस आयतचित्र से ये मान मिलते हैं।

• 30 से 34 वर्ष के कर्मचारी 32 हैं।
• 40 वर्ष या अधिक आयु के कर्मचारी $16 + 10 = 26$ हैं।
• 30 से कम आयु के कर्मचारी $12 + 26 = 38$ हैं, जो कुल कर्मचारियों का $\frac{38}{120} \times 100 \approx 31.7\%$ है।

वर्ग चिह्न वाले आयतचित्र: कुछ आयतचित्रों में आयतों के नीचे किनारे नहीं लिखे होते, बल्कि हर वर्ग का मध्य मान छपा होता है, जैसे 22, 27, 32 आदि। इसी मध्य मान को वर्ग चिह्न (class mark) कहते हैं। यह $\frac{\text{निम्न वर्ग सीमा} + \text{उच्च वर्ग सीमा}}{2}$ होता है। हर वर्ग अपने चिह्न से आधी चौड़ाई नीचे से लेकर आधी चौड़ाई ऊपर तक होता है। चिह्न 5 के अंतर पर हों, तो चिह्न 32 का मतलब है 29.5 से 34.5, यानी तालिका का वर्ग 30-34।

संचयी बारंबारता: "से कम" और "कम से कम"

"कितने श्रमिक प्रतिदिन ₹ 600 से कम कमाते हैं?" जैसे प्रश्नों में बारंबारताएँ एक-एक करके जोड़ते चलना पड़ता है। इस तरह मिले योग को संचयी बारंबारता (cumulative frequency) कहते हैं। बाईं ओर से आयत जोड़ते चलें, तो "से कम" वाली पंक्ति मिलती है। दाईं ओर से जोड़ें, तो "कम से कम" वाली पंक्ति मिलती है।

तालिका से पता चलता है कि 36 श्रमिक ₹ 600 से कम कमाते हैं और 24 श्रमिक कम से कम ₹ 600। इन दोनों का योग हमेशा कुल के बराबर होता है, यानी 60। इससे जोड़ की झटपट जाँच हो जाती है।

बीच का कोई अंतराल: कम से कम ₹ 500, पर ₹ 700 से कम कमाने वाले श्रमिक $18 + 15 = 33$ हैं। "से कम" वाली पंक्ति से भी यही आता है, $51 - 18 = 33$।

संचयी पंक्ति से वापस वर्ग: मान लीजिए केवल "से कम" वाली पंक्ति, 6, 18, 36, 51 और 60, दी है। हर संख्या को अगली संख्या में से घटाइए। $18 - 6 = 12$, $36 - 18 = 18$, $51 - 36 = 15$ और $60 - 51 = 9$। पहले वर्ग की बारंबारता 6 ही रहती है। आयतचित्र के आयतों की ऊँचाइयाँ भी यही हैं, इसलिए संचयी तालिका से भी आयतचित्र बनाया जा सकता है। जिन प्रश्नों में केवल संचयी तालिका दी होती है, वे "तालिका" वाले खंड में मिलेंगे।

प्रतिशत: कम से कम ₹ 600 कमाने वाले श्रमिकों का प्रतिशत $\frac{24}{60} \times 100 = 40\%$ है।

शब्दों पर ध्यान: "600 से कम" में वर्ग 600-700 पूरा बाहर रहता है, क्योंकि ठीक ₹ 600 वाली मज़दूरी उसी वर्ग में आती है। "600 से अधिक" लिखा हो, तो भी 600-700 वाले वर्ग से ही गिनना शुरू कीजिए, ठीक "कम से कम 600" की तरह। तालिका से ठीक ₹ 600 कमाने वाले अलग नहीं किए जा सकते, इसलिए प्रश्नों में इन दोनों को एक जैसा ही माना जाता है।

बारंबारता बहुभुज

बारंबारता बहुभुज (frequency polygon) में वही बंटन दिखाया जाता है जो आयतचित्र में, बस आयतों की जगह रेखा होती है। आयतचित्र के ऊपर इसे ऐसे बनाते हैं।

1. हर आयत के ऊपरी किनारे का मध्य-बिंदु अंकित कीजिए। क्षैतिज अक्ष पर इस बिंदु की स्थिति वर्ग चिह्न है, यानी $\frac{\text{निम्न वर्ग सीमा} + \text{उच्च वर्ग सीमा}}{2}$।
2. इन बिंदुओं को क्रम से सीधी रेखाओं से जोड़िए।
3. बहुभुज को दोनों सिरों पर बंद कीजिए। इसके लिए पहले वर्ग से पहले एक ख़ाली वर्ग (बारंबारता 0) लीजिए और आख़िरी वर्ग के बाद एक और। फिर रेखा को नीचे लाकर क्षैतिज अक्ष पर इन दोनों के वर्ग चिह्नों से मिला दीजिए।

यहाँ वर्ग चिह्न 15, 25, 35, 45, 55 और 65 हैं। 10-20 से पहले का ख़ाली वर्ग 0-10 है, जिसका चिह्न 5 है। 60-70 के बाद वाला वर्ग 70-80 है, जिसका चिह्न 75 है। इसलिए बहुभुज $(5, 0)$ से शुरू होकर $(75, 0)$ पर ख़त्म होता है।

बहुभुज पढ़ना: बहुभुज का हर कोना एक वर्ग को दिखाता है। कोने की ऊँचाई उस वर्ग की बारंबारता है, और क्षैतिज अक्ष पर उसकी जगह वर्ग चिह्न। सबसे ऊँचा कोना चिह्न 35 पर है, 14 की ऊँचाई पर। यानी वर्ग 30-40 में सबसे अधिक पौधे हैं। अक्ष पर दोनों सिरों वाले बिंदु कोई वर्ग नहीं हैं। वे केवल आकृति बंद करते हैं।

बंद करने का कारण: इस तरह बंद करने पर बहुभुज के भीतर उतना ही क्षेत्रफल आता है, जितना आयतचित्र में है। रेखा किसी आयत से जो छोटा त्रिभुज काटती है, उसके बराबर एक त्रिभुज वह आयतों के बाहर जोड़ देती है। इसलिए बहुभुज और आयतचित्र एक ही कुल दिखाते हैं, 50 पौधे।

वर्गों के बीच परिवर्तन: बहुभुज की सबसे तेज़ चढ़ाई चिह्न 25 से 35 तक है, जहाँ पौधे 8 से 14 हो जाते हैं, यानी 6 बढ़ते हैं। सबसे तेज़ उतार 55 से 65 तक है, जहाँ पौधे 9 से 4 रह जाते हैं, यानी 5 घटते हैं। वर्ग बराबर चौड़े हैं, इसलिए रेखा आरेख की तरह यहाँ भी ढलान से पता चलता है कि परिवर्तन कितना बड़ा है।

बिना आयतचित्र के बहुभुज पढ़ना और दो बहुभुजों की तुलना

बारंबारता बहुभुज आयतचित्र के बिना भी दिया जा सकता है। तब क्षैतिज अक्ष पर केवल वर्ग चिह्न होते हैं। वर्ग पहचानने के लिए ये दो बातें देखिए।

• वर्ग माप दो पड़ोसी चिह्नों का अंतर होता है, यहाँ $35 - 25 = 10$।
• हर वर्ग अपने चिह्न से आधी चौड़ाई नीचे से लेकर आधी चौड़ाई ऊपर तक होता है। तो चिह्न 45 का मतलब है वर्ग 40-50।

अक्ष पर दोनों सिरों वाले बिंदु (यहाँ 15 और 85) बहुभुज को बंद करने वाले बिंदु हैं। उनकी बारंबारता 0 है।

इस आरेख में दो खंडों के अंक हैं, और हर खंड में 40 विद्यार्थी हैं। दोनों बहुभुज पढ़कर यह तालिका मिलती है।

• 50 या अधिक अंक पाने वाले विद्यार्थी खंड A में $12 + 7 + 3 = 22$ हैं और खंड B में $8 + 4 + 2 = 14$।
• 40 से कम अंक पाने वाले खंड A में $2 + 6 = 8$ हैं और खंड B में $4 + 9 = 13$।
• दोनों बहुभुज चिह्न 45 और 55 के बीच कटते हैं। वर्ग 40-50 तक हर वर्ग में खंड B के विद्यार्थी अधिक हैं, और 50-60 से आगे खंड A के। खंड A का बहुभुज अधिक दाईं ओर है, इसलिए खंड A का प्रदर्शन बेहतर है।
• दोनों खंडों में सबसे अधिक अंतर वर्ग 50-60 में है, $12 - 8 = 4$ विद्यार्थियों का।

यहाँ दोनों खंडों में 40-40 विद्यार्थी हैं, इसलिए संख्याओं की सीधी तुलना ठीक है। दोनों समूहों में संख्या अलग-अलग हो, तो प्रतिशत की तुलना कीजिए। दो बहुभुज एक ही अक्षों पर बनाकर आसानी से तुलना की जा सकती है। दो आयतचित्र एक ही जगह बनाएँ, तो वे एक-दूसरे को ढक लेते हैं। बारंबारता बहुभुज का सबसे बड़ा उपयोग यही है।

[Tier 2] असमान वर्ग माप और बारंबारता घनत्व

जब सब वर्गों का वर्ग माप बराबर न हो, तो बारंबारता जितने ऊँचे आयत बनाने से चित्र देखकर गलत अंदाज़ा लगता है। दोगुना चौड़ा वर्ग केवल चौड़ा होने के कारण ज़्यादा वस्तुएँ समेट लेता है, और उसका आयत ज़रूरत से बड़ा दिखता है। इसलिए हर आयत की ऊँचाई बारंबारता घनत्व (frequency density) के बराबर रखी जाती है।

$$\text{बारंबारता घनत्व} = \frac{\text{बारंबारता}}{\text{वर्ग माप}}, \qquad \text{बारंबारता} = \text{बारंबारता घनत्व} \times \text{वर्ग माप}$$

यह आयतचित्र एक स्वास्थ्य शिविर में आए 200 व्यक्तियों की आयु दिखाता है। हर आयत की ऊँचाई बताती है कि उस वर्ग में आयु के प्रति वर्ष कितने व्यक्ति हैं।

• 40 से 60 वर्ष के व्यक्ति $2.3 \times 20 = 46$ हैं। यहाँ ऊँचाई 2.3 को ही व्यक्तियों की संख्या न पढ़ लीजिए। सबसे पहले इसी गलती से बचना है।
• सबसे ऊँचा आयत 10-20 का है, पर सबसे अधिक व्यक्ति 20-40 में हैं (64, जबकि 10-20 में 36)। 20-40 का आयत नीचा है, क्योंकि उसके व्यक्ति दोगुने वर्षों में फैले हुए हैं।
• ऐसे आयतचित्र में बारंबारता आयत के क्षेत्रफल (चौड़ाई × ऊँचाई) के बराबर होती है।

समायोजित बारंबारता: यही आकृति दूसरे ढंग से भी बनाई जाती है। सबसे छोटी चौड़ाई, 10, को मानक मान लेते हैं और हर बारंबारता को उसी के हिसाब से बदल देते हैं। इस तरह मिली बारंबारता को समायोजित बारंबारता (adjusted frequency) कहते हैं। सूत्र में लिखें, तो समायोजित बारंबारता $= \text{बारंबारता} \times \frac{10}{\text{वर्ग माप}}$। 20-40 के लिए यह $64 \times \frac{10}{20} = 32$ है और 60-90 के लिए $30 \times \frac{10}{30} = 10$। इस तरह ऊँचाइयाँ 24, 36, 32, 23 और 10 आती हैं, यानी हर घनत्व का 10 गुना। ऐसे चार्ट से बारंबारता वापस पढ़नी हो, तो यही हिसाब उलटा कीजिए। वर्ग 20-40 पर 32 ऊँचा आयत है, तो उसमें $32 \times 2 = 64$ व्यक्ति हैं।

ऐसा कोई भी चार्ट पढ़ने से पहले ऊर्ध्वाधर अक्ष ज़रूर देखिए। उस पर बारंबारता घनत्व या "प्रति इकाई" लिखा हो, तो ऊँचाई को चौड़ाई से गुणा कीजिए। अगर उस पर केवल "बारंबारता" लिखा हो और वर्ग असमान हों, तो चार्ट सादी बारंबारताओं से बना है। तब ऊँचाइयाँ जैसी हैं, वैसी ही पढ़िए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

दिया गया रेखा आरेख 2017 से 2023 तक एक डीलर द्वारा बेचे गए दोपहिया वाहनों की संख्या (सौ में) दर्शाता है।

किस वर्ष बिक्री में पिछले वर्ष की तुलना में सबसे अधिक वृद्धि हुई? (a) 2020 (b) 2023 (c) 2021 (d) 2018

उत्तर: आरेख से हर वर्ष का परिवर्तन लिख लेते हैं। 2018 में $+6$, 2019 में $-3$, 2020 में $+9$, 2021 में $+9$, 2022 में $-3$ और 2023 में $+13$। सबसे बड़ी वृद्धि 13 सौ की है, तो उत्तर (b) 2023 है। आरेख पर ऊपर जाता सबसे खड़ा खंड भी इसी वर्ष का है। प्रतिशत के हिसाब से सबसे बड़ी वृद्धि 2020 में है, पर प्रश्न संख्या में वृद्धि पूछ रहा है।

प्रश्न 2

2019 से 2020 तक बिक्री में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई? (a) 25% (b) 9% (c) 50% (d) $33\frac{1}{3}\%$

उत्तर: बिक्री 27 सौ से 36 सौ हुई, तो वृद्धि 9 सौ की है। इसे पहले वाले वर्ष की बिक्री से भाग देते हैं। $\frac{9}{27} \times 100 = 33\frac{1}{3}\%$ आता है, तो (d) $33\frac{1}{3}\%$ सही है। "सौ" ऊपर और नीचे दोनों जगह है, इसलिए कट जाता है। इकाई बदलने की ज़रूरत नहीं पड़ती।

प्रश्न 3

सात वर्षों में प्रति वर्ष बेचे गए दोपहिया वाहनों की औसत संख्या कितनी थी? (a) 3,700 (b) 370 (c) 3,600 (d) 3,950

उत्तर: सब वर्षों की बिक्री जोड़ते हैं, $24 + 30 + 27 + 36 + 45 + 42 + 55 = 259$ सौ। 7 वर्षों का औसत $\frac{259}{7} = 37$ सौ है, यानी हर वर्ष 3,700 दोपहिया वाहन। तो उत्तर (a) 3,700 है। पैमाना सौ में है, इसलिए 37 को 3,700 लिखना ज़रूरी है। 370 वाला विकल्प तब आता है, जब एक शून्य छूट जाए।

प्रश्न 4

दिया गया रेखा आरेख 2019 से 2024 तक एक कंपनी की आय और व्यय (₹ करोड़ में) दर्शाता है।

किस वर्ष कंपनी को सबसे अधिक लाभ (आय − व्यय) हुआ? (a) 2023 (b) 2021 (c) 2024 (d) 2022

उत्तर: हर वर्ष ऊपरी रेखा में से निचली रेखा घटाते हैं। 2019 से 2024 तक यह अंतर 10, 12, 14, 5, 20 और 21 करोड़ आता है। सबसे बड़ा अंतर 21 करोड़ का है, जो (c) 2024 में है। 2023 में भी अंतर 20 है, जो बहुत पास है। इसलिए केवल आरेख देखकर यह तय नहीं किया जा सकता था।

प्रश्न 5

किस वर्ष प्रतिशत लाभ सबसे अधिक था? (a) 2023 (b) 2024 (c) 2019 (d) 2021

उत्तर: प्रतिशत लाभ के लिए लाभ को व्यय से भाग देते हैं। 2019 में $\frac{10}{50} = 20\%$, 2020 में $\frac{12}{60} = 20\%$, 2021 में $\frac{14}{70} = 20\%$, 2022 में $\frac{5}{70} \approx 7\%$, 2023 में $\frac{20}{80} = 25\%$ और 2024 में $\frac{21}{105} = 20\%$। सबसे अधिक 25% है, इसलिए उत्तर (a) 2023 है। रुपयों में सबसे बड़ा लाभ 2024 में था, पर वह लाभ कहीं बड़े व्यय पर हुआ।

प्रश्न 6

छह वर्षों में कंपनी का प्रति वर्ष औसत व्यय कितना था? (a) ₹ 87 करोड़ (b) ₹ 70 करोड़ (c) ₹ 77.5 करोड़ (d) ₹ 72.5 करोड़

उत्तर: व्यय के सब बिंदु जोड़ते हैं, $50 + 60 + 70 + 70 + 80 + 105 = 435$। वर्ष छह हैं, तो औसत $\frac{435}{6} = 72.5$ हुआ, यानी (d) ₹ 72.5 करोड़। भाग 6 से देना है, क्योंकि बिंदु 6 हैं। वर्षों के बीच के पाँच अंतरालों का यहाँ कोई काम नहीं है।

प्रश्न 7

दिया गया रेखा आरेख 2020 से 2024 तक दो कंपनियों P और Q का प्रतिशत लाभ दर्शाता है, जहाँ $\text{लाभ \%} = \frac{\text{आय} - \text{व्यय}}{\text{व्यय}} \times 100$ है।

2022 में P का व्यय ₹ 45 करोड़ था। 2022 में उसकी आय कितनी थी? (a) ₹ 56.25 करोड़ (b) ₹ 54 करोड़ (c) ₹ 9 करोड़ (d) ₹ 63 करोड़

उत्तर: 2022 में P का लाभ 20% है। तो आय, व्यय से 20% अधिक होगी, यानी $45 \times 1.2 = 54$। आय (b) ₹ 54 करोड़ है। ₹ 9 करोड़ तो केवल लाभ है, आय नहीं।

प्रश्न 8

2021 में P और Q की आय बराबर थी। 2021 में P के व्यय और Q के व्यय का अनुपात क्या था? (a) 26 : 25 (b) 6 : 5 (c) 25 : 26 (d) 5 : 6

उत्तर: 2021 में P को 30% लाभ हुआ और Q को 25%। दोनों की आय बराबर है, तो P के व्यय में 30% जोड़ें या Q के व्यय में 25%, संख्या एक ही आनी चाहिए। यानी $E_P \times 1.3 = E_Q \times 1.25$। इससे $E_P : E_Q = 1.25 : 1.3 = 125 : 130 = 25 : 26$ मिलता है, जो (c) 25 : 26 है। यह बात समझ में भी आती है। P का प्रतिशत लाभ अधिक है, तो उतनी ही आय के लिए उसने कम खर्च किया होगा।

प्रश्न 9

2024 में Q की आय ₹ 90 करोड़ थी। 2024 में उसका व्यय कितना था? (a) ₹ 60 करोड़ (b) ₹ 45 करोड़ (c) ₹ 135 करोड़ (d) ₹ 72 करोड़

उत्तर: आरेख में 2024 पर Q का लाभ 50% है, तो आय $= 1.5 \times$ व्यय। इसलिए व्यय $= \frac{90}{1.5} = 60$, यानी (a) ₹ 60 करोड़। यहाँ 90 का आधा नहीं लेना है। 1.5 से भाग देना है, क्योंकि 50% व्यय पर गिना जाता है।

प्रश्न 10

दिया गया आयतचित्र एक विद्यालय के 120 विद्यार्थियों का भार (किग्रा में) दर्शाता है।

कितने विद्यार्थियों का भार 45 किग्रा या अधिक है? (a) 94 (b) 56 (c) 34 (d) 64

उत्तर: 45 किग्रा या अधिक का मतलब है कि 45 से शुरू होने वाले आयत से गिनना है। वह आयत और उसके बाद वाले आयत जोड़ते हैं, $34 + 20 + 10 = 64$, तो उत्तर (d) 64 है। जल्दबाज़ी में लोग एक आयत पहले से, यानी 40 से, जोड़ना शुरू कर देते हैं और 94 लिख देते हैं।

प्रश्न 11

कितने प्रतिशत विद्यार्थियों का भार 40 किग्रा से कम है? (a) 15% (b) $21\frac{2}{3}\%$ (c) 26% (d) $46\frac{2}{3}\%$

उत्तर: 40 किग्रा से कम में पहले दो आयत आते हैं, $8 + 18 = 26$ विद्यार्थी। प्रतिशत में यह $\frac{26}{120} \times 100 = \frac{65}{3} = 21\frac{2}{3}\%$ है, यानी (b) $21\frac{2}{3}\%$।

प्रश्न 12

सबसे अधिक बारंबारता वाले वर्ग के विद्यार्थियों की संख्या और वर्ग 35-40 के विद्यार्थियों की संख्या का अनुपात क्या है? (a) 5 : 3 (b) 9 : 17 (c) 17 : 9 (d) 17 : 10

उत्तर: सबसे ऊँचा आयत 45-50 का है, जिसमें 34 विद्यार्थी हैं। वर्ग 35-40 में 18 विद्यार्थी हैं। अनुपात $34 : 18 = 17 : 9$ आता है, जो विकल्प (c) 17 : 9 है।

प्रश्न 13

दी गई तालिका दर्शाती है कि 40 दिनों में प्रतिदिन कितने ग्राहक एक दुकान पर आए।

इस तालिका से एक आयतचित्र बनाया जाता है। वर्ग 30-39 का आयत क्षैतिज अक्ष पर किन दो मानों के बीच खड़ा होगा? (a) 29.5 और 39.5 (b) 30 और 39 (c) 30 और 40 (d) 29 और 39

उत्तर: यहाँ वर्गों के बीच खाली जगह है। एक वर्ग 19 पर ख़त्म होता है और अगला 20 से शुरू होता है, फिर 29 के बाद 30 से, और इसी तरह आगे। यह अंतर 1 है, तो हर निम्न वर्ग सीमा में से 0.5 घटाते हैं और हर उच्च वर्ग सीमा में 0.5 जोड़ते हैं। इस तरह वर्ग 30-39 बदलकर 29.5-39.5 हो जाता है। यही विकल्प (a) 29.5 और 39.5 है।

प्रश्न 14

इस आयतचित्र के प्रत्येक आयत की चौड़ाई कितनी है? (a) 9 (b) 9.5 (c) 5 (d) 10

उत्तर: बदलाव के बाद हर वर्ग एक परिसीमा से अगली परिसीमा तक जाता है, जैसे 29.5 से 39.5 तक। तो चौड़ाई $39.5 - 29.5 = 10$ है। उत्तर (d) 10 है। कई लोग छपी हुई सीमाएँ घटाकर, $39 - 30$, 9 लिख देते हैं। ऐसा करने में दोनों सिरों पर 0.5-0.5 छूट जाता है।

प्रश्न 15

कितने दिनों में दुकान पर कम से कम 40 ग्राहक आए? (a) 29 (b) 17 (c) 23 (d) 15

उत्तर: कम से कम 40 ग्राहक वाले दिन वर्ग 40-49, 50-59 और 60-69 में हैं। इन तीनों वर्गों को जोड़ते हैं, $10 + 5 + 2 = 17$। तो ऐसे (b) 17 दिन थे।

प्रश्न 16

दिया गया बारंबारता बहुभुज एक शहर की 75 टैक्सियों द्वारा एक दिन में तय की गई दूरी (किमी में) दर्शाता है। वर्ग 60-70, 70-80 आदि हैं।

कितनी टैक्सियों ने कम से कम 90 किमी, किंतु 110 किमी से कम दूरी तय की? (a) 35 (b) 22 (c) 34 (d) 20

उत्तर: यहाँ वर्ग 90-100 और 100-110 चाहिए, जिनके वर्ग चिह्न 95 और 105 हैं। बहुभुज 95 के ऊपर 20 पर है और 105 के ऊपर 14 पर। तो $20 + 14 = 34$ टैक्सियाँ हुईं, यानी (c) 34। विकल्प (a) का 35, 85 और 95 के ऊपर वाले बिंदुओं को जोड़ने से आता है। पर वे बिंदु वर्ग 80-90 और 90-100 के हैं।

प्रश्न 17

किस वर्ग में टैक्सियों की संख्या सबसे अधिक है? (a) 90-100 (b) 95-105 (c) 85-95 (d) 80-90

उत्तर: बहुभुज का सबसे ऊँचा बिंदु 20 की ऊँचाई पर है, चिह्न 95 के ऊपर। वर्ग 10 किमी चौड़े हैं, तो चिह्न 95 के दोनों ओर 5 किमी लेते हैं। इस तरह वर्ग 90 से 100 तक का हुआ, यानी (a) 90-100।

प्रश्न 18

कितने प्रतिशत टैक्सियों ने 100 किमी या अधिक दूरी तय की? (a) 27% (b) 64% (c) $18\frac{2}{3}\%$ (d) 36%

उत्तर: 100 किमी या अधिक में चिह्न 105, 115 और 125 वाले वर्ग आते हैं, $14 + 8 + 5 = 27$ टैक्सियाँ। प्रतिशत में $\frac{27}{75} \times 100 = 36\%$ आता है। इसलिए (d) 36% सही है। 27 तो टैक्सियों की संख्या है, प्रतिशत नहीं।

प्रश्न 19

दिए गए बारंबारता बहुभुज एक कोचिंग केंद्र के बैच 1 के 40 विद्यार्थियों और बैच 2 के 40 विद्यार्थियों के एक परीक्षा में प्राप्तांक (60 में से) दर्शाते हैं। वर्ग 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 और 50-60 हैं।

40 या अधिक प्राप्तांक पाने वाले विद्यार्थी, बैच 2 की तुलना में बैच 1 में कितने अधिक थे? (a) 4 (b) 5 (c) 16 (d) 6

उत्तर: 40 या अधिक प्राप्तांक का मतलब है वर्ग 40-50 और 50-60, यानी चिह्न 45 और 55। बैच 1 में $11 + 5 = 16$ और बैच 2 में $7 + 4 = 11$ विद्यार्थी हैं। अंतर $16 - 11 = 5$ है, तो बैच 1 में (b) 5 विद्यार्थी अधिक थे।

प्रश्न 20

किस वर्ग में दोनों बैचों के विद्यार्थियों की संख्या का अंतर सबसे अधिक है? (a) 30-40 (b) 10-20 (c) 20-30 (d) 40-50

उत्तर: हर वर्ग चिह्न पर दोनों बहुभुजों का अंतर निकालते हैं। 15 पर $6 - 2 = 4$, 25 पर $13 - 7 = 6$, 35 पर $15 - 10 = 5$, 45 पर $11 - 7 = 4$ और 55 पर $5 - 4 = 1$। सबसे बड़ा अंतर 6 है, जो चिह्न 25 पर है। तो वर्ग (c) 20-30 है।

प्रश्न 21

[Tier 2] दिया गया आयतचित्र एक महीने में 300 परिवारों द्वारा उपयोग की गई बिजली दर्शाता है। वर्गों का वर्ग माप असमान है, और प्रत्येक आयत की ऊँचाई उस वर्ग में प्रति 10 यूनिट परिवारों की संख्या है।

कितने परिवारों ने कम से कम 200, किंतु 300 से कम यूनिट बिजली का उपयोग किया? (a) 90 (b) 9 (c) 45 (d) 180

उत्तर: 200-300 वाले आयत की ऊँचाई 9 है, यानी हर 10 यूनिट पर 9 परिवार। यह वर्ग 100 यूनिट चौड़ा है, तो इसमें 10 यूनिट के 10 हिस्से हैं। इसलिए बारंबारता $9 \times 10 = 90$ है, यानी (a) 90। ऊँचाई को ही परिवारों की संख्या पढ़ने वाले 9 लिख देते हैं।

प्रश्न 22

[Tier 2] कितने परिवारों ने 150 या अधिक यूनिट बिजली का उपयोग किया? (a) 25 (b) 150 (c) 275 (d) 230

उत्तर: हर आयत को वापस बारंबारता में बदलते हैं। इसके लिए ऊँचाई को चौड़ाई से गुणा करके 10 से भाग देते हैं। 150-200 के लिए $12 \times 5 = 60$, 200-300 के लिए $9 \times 10 = 90$ और 300-500 के लिए $4 \times 20 = 80$। कुल $60 + 90 + 80 = 230$ परिवार हुए, तो उत्तर (d) 230 है।

प्रश्न 23

[Tier 2] किस वर्ग में परिवारों की संख्या सबसे अधिक है? (a) 150-200 (b) 200-300 (c) 300-500 (d) 100-150

उत्तर: पिछले प्रश्न की तरह हर आयत की ऊँचाई और चौड़ाई से पाँचों वर्गों की बारंबारताएँ निकालते हैं। ये 25, 45, 60, 90 और 80 आती हैं। सबसे अधिक 90 है, जो वर्ग (b) 200-300 में है। सबसे ऊँचा आयत 150-200 का है, पर वह वर्ग केवल 50 यूनिट चौड़ा है, इसलिए उसमें 60 परिवार ही हैं।