शॉर्टकट और तेज़ तरीके

पहले प्रश्न, फिर आरेख

आँकड़ा निर्वचन (data interpretation, DI) का एक सेट इस तरह आता है। पहले एक तालिका या आरेख दिया होता है, और उसके बाद उस पर दो से चार प्रश्न। इनमें गणित सीधा-सादा होता है, बस प्रतिशत, अनुपात और औसत।

समय दो जगह बर्बाद होता है। पहली, छात्र आरेख की हर संख्या पढ़ने बैठ जाते हैं, जबकि प्रश्न को केवल दो-तीन मान चाहिए। दूसरी, वे लंबा भाग करते हैं, जबकि कोई जानी-पहचानी भिन्न वही काम कर देती है। आगे का हर तरीका इन्हीं दो में से किसी एक जगह समय बचाता है। कुछ तरीकों के साथ यह भी देखेंगे कि वे कहाँ काम नहीं आते।

इसलिए पहले प्रश्न पढ़िए। उसके बाद आरेख से केवल वही मान पढ़िए जो प्रश्न को चाहिए, और हर मान को उसकी इकाई के साथ लिख लीजिए। नीचे वाली तालिका पर कोई प्रश्न दो ही खानों से हल हो जाता हो, तो तालिका में दो ही बार देखना है, बीस बार नहीं।

मान लीजिए पूछा गया है कि 2021 में संयंत्र Q के उत्पादन और 2023 में संयंत्र T के उत्पादन का अनुपात क्या है। इसके लिए केवल दो खाने काम के हैं, 48 और 64। तो $48 : 64 = 3 : 4$।

इकाई पर ध्यान: शीर्षक में "(लाख टन में)" लिखा है। इसका मतलब है कि 48 असल में 48 लाख टन है। विकल्प टन में दिए हों, तो कोई विकल्प चुनने से पहले इकाई बदल लीजिए।

प्रतिशत को भिन्न की तरह देखना

प्रतिशत वाला कोई भी प्रश्न हो, पहले उसे एक भिन्न के रूप में लिखिए। जो भाग पूछा गया है उसे ऊपर रखिए और पूरी राशि को नीचे। फिर ऊपर-नीचे की संख्याएँ काटकर भिन्न छोटी कर लीजिए। अगर नीचे की तालिका वाली कोई भिन्न निकल आए, तो प्रतिशत तुरंत पता चल जाता है।

इन्हीं से इनके गुणज भी मिल जाते हैं, जैसे $\frac{3}{8} = 37.5\%$, $\frac{5}{6} = 83.33\%$, $\frac{2}{7} = 28.57\%$ और $\frac{5}{12} = 41.67\%$। इससे लंबी सूची अध्याय 3 (प्रतिशत) में दी गई है।

जैसे पूछा गया कि 1,248 में से 156 कितने प्रतिशत है। भिन्न लिखिए, $\frac{156}{1248}$। अब ध्यान दीजिए कि $156 \times 8 = 1248$ है। मतलब यह भिन्न $\frac{1}{8}$ है, यानी 12.5%।

उलटी दिशा में भी यही चलता है। ₹ 4,800 का 37.5% चाहिए, तो उसे 4,800 का $\frac{3}{8}$ समझिए। उत्तर सीधे ₹ 1,800 आ जाता है।

प्रतिशत परिवर्तन: भिन्न या गुणक

प्रतिशत परिवर्तन निकालते समय जितना परिवर्तन हुआ, उसे पहले वाले मान से भाग दीजिए और भिन्न को काटकर ऊपर वाली तालिका की किसी भिन्न तक ले आइए।

कभी दोनों मान एक-दूसरे से बहुत दूर होते हैं, या परिवर्तन की संख्या अटपटी होती है। तब दूसरा रास्ता ठीक रहता है। नए मान को पुराने मान से भाग दीजिए और जो गुणक (multiplier) आए, उससे परिवर्तन पढ़ लीजिए। कुछ गुणक ऐसे पढ़े जाते हैं।

• $\frac{5}{4}$ हो तो 25% वृद्धि, $\frac{9}{8}$ हो तो 12.5% वृद्धि, और $\frac{5}{2}$ हो तो 150% वृद्धि।
• $\frac{4}{5}$ हो तो 20% कमी, और $\frac{9}{10}$ हो तो 10% कमी।

इस आरेख में 2019 से 2020 तक देखिए। 240 पर 60 की वृद्धि हुई, जो 240 का एक-चौथाई है। तो वृद्धि 25% हुई।

2020 से 2021 के लिए गुणक लेते हैं। $\frac{270}{300} = \frac{9}{10}$, मतलब बिक्री में 10% कमी आई।

2019 से 2023 तक का गुणक $\frac{405}{240} = \frac{27}{16} = 1\frac{11}{16}$ है। इसमें एक से ऊपर वाला हिस्सा ही वृद्धि है, तो वृद्धि $\frac{11}{16} = 68.75\%$ हुई।

याद रखिए कि परिवर्तन हमेशा पहले वाले मान पर निकलता है। 2019 से 2020 वाली 60 की वृद्धि को कोई 300 पर रख दे, तो 20% आएगा। पर यह इस प्रश्न का नहीं, किसी दूसरे प्रश्न का उत्तर है।

डिग्री से प्रतिशत: $18^\circ$ के कदम

पाई चार्ट में $18^\circ$ का टुकड़ा पूरे पाई का 5% होता है। इसलिए किसी कोण को प्रतिशत में बदलना हो, तो गिनिए कि उसमें कितने 18 हैं, और उस संख्या को 5 से गुणा कर दीजिए। आधा कदम भी काम आता है, $9^\circ$ = 2.5%।

उलटी दिशा में हर 5% के लिए $18^\circ$ लीजिए। 35% का कोण चाहिए, तो $7 \times 18^\circ = 126^\circ$। इसके पीछे $1\% = 3.6^\circ$ वाला नियम है, जो "पाई चार्ट" वाले खंड में समझाया गया है।

इस पाई चार्ट में किराए का कोण $126^\circ$ है। इसमें सात कदम हैं, तो किराया 35% है। भोजन का $81^\circ$ साढ़े चार कदम है, यानी 22.5%। किताबों का $27^\circ$ डेढ़ कदम है, यानी 7.5%।

पाँचों हिस्से निकल आएँ, तो उन्हें जोड़कर देख लीजिए। $35 + 22.5 + 15 + 7.5 + 20$ का योग 100 आता है। इससे यह भी पक्का हो जाता है कि आरेख ठीक पढ़ा गया है।

पर हर कोण इतना सीधा नहीं होता। कोण $9^\circ$ का गुणज न हो, जैसे $50^\circ$, तो भाग करना ही पड़ेगा। $50 \div 3.6 \approx 13.89$, यानी लगभग 13.89%।

विकल्प कितनी गोलाई की छूट देते हैं

संख्याएँ गोल करने से पहले विकल्पों पर नज़र डालिए। देखिए कि विकल्प आपस में कितने दूर हैं, और यह दूरी उत्तर के मुकाबले कितनी बड़ी है। पास-पास वाले विकल्पों का अंतर उत्तर का पाँचवाँ भाग या एक-चौथाई हो, तो गोल करने में 2% या 3% की जो चूक होती है, उससे आपका चुनाव नहीं बदलता।

भिन्न को गोल करते समय एक बात और ध्यान रखिए। ऊपर वाली और नीचे वाली, दोनों संख्याओं को लगभग एक ही प्रतिशत से नीचे गोल कीजिए, या दोनों को ऊपर। तब दोनों की चूकें आपस में कट जाती हैं और उत्तर लगभग वहीं रहता है।

उदाहरण के लिए पूछा गया है कि 4,870, 24,310 का कितना प्रतिशत है, और विकल्प 15%, 20%, 25% और 30% हैं। विकल्पों में 5 प्रतिशत अंक का अंतर है, जो 20 का एक-चौथाई है। तो गोल करने की गुंजाइश है। 4,800 और 24,000 ले लीजिए। ये दोनों असली संख्याओं से 1.2% से 1.5% के बीच कम हैं। अब $\frac{4800}{24000} = 20\%$ आता है, जो असली मान 20.03% के बहुत पास है।

अब सोचिए कि विकल्प 19.6%, 20%, 20.4% और 20.8% होते। यहाँ पास-पास वाले विकल्पों का अंतर उत्तर का केवल 2% है। गोल किए हुए मान से इनमें से सही विकल्प नहीं छाँटा जा सकता, इसलिए पूरा भाग करना पड़ेगा।

बिना भाग किए अनुपातों की तुलना

दो भिन्नों में कौन-सी बड़ी है, यह बिना भाग किए भी पता चल जाता है। $\frac{a}{b}$, $\frac{c}{d}$ से तब बड़ी होती है जब $a \times d > b \times c$ हो। इस तरह जाँचने को तिरछा गुणा (cross-multiply) कहते हैं।

कई वर्षों की तुलना करनी हो, तो पहले कोई आसान-सा तुलना का आधार मान (benchmark) लेकर छँटाई कर लीजिए, जैसे 1 या 1.5। जो वर्ष इससे नीचे रह जाएँ, उन्हें बाहर कर दीजिए। तिरछा गुणा केवल बचे हुए वर्षों पर कीजिए।

इस आरेख पर प्रश्न है कि किस वर्ष निर्यात और आयात का अनुपात सबसे अधिक था। यहाँ हर वर्ष निर्यात, आयात से अधिक है, इसलिए 1 वाला आधार मान किसी काम का नहीं। तो 1.4 लेते हैं।

2020 का अनुपात ठीक 1.4 है, क्योंकि $65 \times 1.4 = 91$। 2021 और 2023 पीछे रह जाते हैं। उनके आयात का 1.4 गुना $75 \times 1.4 = 105$ और $78 \times 1.4 = 109.2$ है, और ये दोनों उन वर्षों के निर्यात 96 और 104 से अधिक हैं।

अब बचे 2020 और 2022, इन्हीं पर तिरछा गुणा कीजिए। 2022 के निर्यात को 2020 के आयात से गुणा करने पर $117 \times 65 = 7605$ आता है। 2020 के निर्यात को 2022 के आयात से गुणा करने पर $91 \times 81 = 7371$ आता है। पहला गुणनफल बड़ा है, तो 2022 का अनुपात अधिक है।

अनुमान से विचलन लेकर औसत

औसत निकालने के लिए पहले मानों के लगभग बीच की कोई गोल संख्या चुन लीजिए। इसी को अनुमान कहते हैं। अब देखिए कि हर मान अनुमान से कितना ऊपर है (धन) या कितना नीचे (ऋण)। इन्हें विचलन (deviation) कहते हैं। सारे विचलन जोड़िए और योग को मानों की संख्या से भाग दीजिए। जो आए, उसे अनुमान में जोड़ दीजिए।

एक कस्बे में छह महीनों की वर्षा 238, 252, 245, 261, 229 और 251 मिमी रही। अनुमान 250 लेते हैं। विचलन $-12, +2, -5, +11, -21$ और $+1$ हैं, जिनका योग $-24$ है। तो औसत = $250 - \frac{24}{6} = 246$ मिमी।

कुल वर्षा भी इसी से निकल आती है। छह महीने हैं और औसत 246 मिमी, तो कुल $6 \times 246 = 1476$ मिमी। इसके लिए छह संख्याओं का लंबा जोड़ नहीं करना पड़ा।

जोड़ियाँ बनाकर पंक्ति का योग

किसी पंक्ति या स्तंभ को जोड़ने से पहले उसमें ऐसी जोड़ियाँ ढूँढिए जिनका योग कोई गोल संख्या हो। पहले ये जोड़ियाँ जोड़िए, फिर बाकी मान।

प्रश्न में पंक्तियों के योग भी पूछे हों और स्तंभों के भी, तो एक आसान जाँच भी हाथ में रहती है। सारी पंक्तियों के योग जोड़कर जो कुल आए, वही सारे स्तंभों के योग जोड़कर भी आना चाहिए। इस तरह बिना अलग मेहनत के दोनों योगों की जाँच हो जाती है।

अब $347 + 186 + 253 + 414 + 215$ को देखिए। इसमें $347 + 253 = 600$ है और $186 + 414 = 600$। तो बस $1200 + 215 = 1415$ करना बचा।

दशमलव वाली संख्याओं में भी यही तरीका चलता है। मान लीजिए किसी स्तंभ में 2.75, 3.4, 1.25 और 4.6 लिखे हैं (₹ करोड़ में)। $2.75 + 1.25 = 4$ और $3.4 + 4.6 = 8$, तो कुल ₹ 12 करोड़ हुआ।

सबसे बड़ी प्रतिशत वृद्धि: आधार मान से परख

सबसे बड़ी प्रतिशत वृद्धि वाला वर्ष ढूँढना हो, तो हर वृद्धि को उसके आधार से भाग देने की जगह बस इतना देखिए कि वृद्धि, आधार के एक-चौथाई से अधिक है या नहीं। इसके लिए आधार का एक-चौथाई निकालिए और उसे वृद्धि से मिलाइए। यहाँ एक-चौथाई तुलना का आधार मान है। जो वर्ष यह परख पास कर लें, केवल उन्हें रखिए। फिर बचे वर्षों के लिए आधार मान थोड़ा ऊँचा कर दीजिए, जैसे एक-तिहाई।

इस रेखा आरेख पर पूछा गया है कि किस वर्ष प्रतिशत वृद्धि सबसे अधिक थी। पहले एक-चौथाई से परखते हैं। 2019 में 32 पर 8 की वृद्धि हुई, जो ठीक एक-चौथाई है। 2021 में 36 पर 12 की वृद्धि हुई, जो एक-चौथाई (9) से अधिक है। 2022 में 48 पर 15 की वृद्धि हुई, यह भी एक-चौथाई (12) से अधिक है। 2023 में 63 पर केवल 7 बढ़े, जो एक-चौथाई से बहुत कम है। और 2020 में तो कमी हुई है।

अब 2021 और 2022 को एक-तिहाई से परखिए। 36 का एक-तिहाई 12 है, तो 2021 की वृद्धि ठीक एक-तिहाई है। 48 का एक-तिहाई 16 है, जो 15 से अधिक है, तो 2022 पीछे रह गया। सबसे बड़ी प्रतिशत वृद्धि 2021 में हुई, $33\frac{1}{3}\%$।

ध्यान रहे कि रेखा पर सबसे तेज़ वृद्धि 2021 से 2022 वाले हिस्से में दिखती है, क्योंकि वही हिस्सा सबसे खड़ा है। फिर भी उत्तर 2021 ही है।

वृद्धि दर वाले आरेख: भिन्नों का गुणा

रेखा आरेख पर पिछले वर्ष की तुलना में प्रतिशत वृद्धि भी दिखाई जा सकती है। इसे वृद्धि दर (growth rate) कहते हैं। ऐसे आरेख में हर वर्ष का मान = पिछले वर्ष का मान × $\left(1 + \frac{r}{100}\right)$ होता है।

हर दर को भिन्न में बदलिए और गुणा करते जाइए। 20% के लिए $\frac{6}{5}$, 25% के लिए $\frac{5}{4}$, 10% के लिए $\frac{11}{10}$ और 10% कमी के लिए $\frac{9}{10}$ लीजिए। दो वर्ष एक साथ देखने हों, जिनकी दरें a% और b% हैं, तो कुल वृद्धि $a + b + \frac{ab}{100}$ प्रतिशत होती है। यह सूत्र अध्याय 3 (प्रतिशत) में आ चुका है।

मान लीजिए एक कारखाने ने 2019 में 400 टन उत्पादन किया। 2021 में उत्पादन $400 \times \frac{6}{5} \times \frac{5}{4} = 600$ टन हुआ। यानी दो वर्षों में वृद्धि $20 + 25 + \frac{20 \times 25}{100} = 50\%$ हुई।

फिर 2022 में उत्पादन $600 \times \frac{11}{10} = 660$ टन हुआ। ध्यान दीजिए कि यहाँ रेखा नीचे आती है, फिर भी उत्पादन बढ़ा है।

2023 में उत्पादन $660 \times \frac{9}{10} = 594$ टन रहा। यही अकेला वर्ष है जिसकी दर शून्य से नीचे है।

भार के हिसाब से संयुक्त प्रतिशत

दो समूहों को मिलाकर संयुक्त प्रतिशत निकालें, तो वह हमेशा अलग-अलग प्रतिशतों के बीच में आता है। ठीक कहाँ आएगा, यह इस पर निर्भर करता है कि कौन-सा समूह कितना बड़ा है। यहाँ समूहों के आकार ही भार का काम करते हैं।

समूह $m : n$ के अनुपात में हों और उनके प्रतिशत $p_1$ और $p_2$ हों, तो संयुक्त प्रतिशत = $\frac{m p_1 + n p_2}{m + n}$। शब्दों में कहें तो $p_1$ से $p_2$ की ओर चलिए, और रास्ते का $\frac{n}{m + n}$ भाग चलकर रुक जाइए। वहीं उत्तर है।

एक उदाहरण लीजिए। विद्यालय A के 300 विद्यार्थियों में से 80% उत्तीर्ण हुए, और विद्यालय B के 100 विद्यार्थियों में से 60%। दोनों समूह 3 : 1 के अनुपात में हैं। तो संयुक्त प्रतिशत 80 से 60 की ओर रास्ते का एक-चौथाई है, यानी $80 - \frac{1}{4} \times 20 = 75\%$।

कई छात्र यहाँ सीधा औसत लेकर 70% लिख देते हैं। सीधा औसत तभी सही होता है जब दोनों समूह बराबर आकार के हों।

हिस्से का हिस्सा: भिन्नों का गुणा

कभी एक आरेख से कुल का एक भाग मिलता है, और दूसरे आरेख से उसी भाग का एक हिस्सा। ऐसे में दोनों भिन्नों का गुणा कर दीजिए। कुल संख्या का इस्तेमाल केवल एक बार होता है।

अनुपात दिया हो, तो पहले उसे भिन्न में बदलिए। लड़के और लड़कियाँ 2 : 3 में हैं, तो उस समूह में लड़कियाँ $\frac{3}{5}$ हैं।

अब एक कॉलेज लीजिए। पाई चार्ट से पता चलता है कि उसके 5,000 विद्यार्थियों में से 30% कला में हैं, और तालिका बताती है कि कला में लड़के और लड़कियाँ 2 : 3 में हैं। तो कला की लड़कियाँ सभी विद्यार्थियों का $\frac{3}{10} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{50}$ हैं। उनकी संख्या $\frac{9}{50} \times 5000 = 900$ है।

प्रतिशत का प्रतिशत भी इसी तरह निकलता है। किसी फ़र्म के 40% कर्मचारी बिक्री विभाग में हैं, और बिक्री विभाग के 25% कर्मचारी महिलाएँ हैं। तो बिक्री विभाग की महिलाएँ सभी कर्मचारियों का $\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$ हैं।

पहले असंभव विकल्प बाहर

कुछ विकल्प बिना कोई हल किए ही कट जाते हैं, क्योंकि उत्तर एक तय दायरे में ही आ सकता है। इसके लिए ये चार बातें याद रखिए।

• औसत हमेशा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच होता है।
• संयुक्त प्रतिशत अलग-अलग प्रतिशतों के बीच होता है।
• कोई भाग अपने कुल से छोटा होता है, और भाग का हिस्सा उस भाग से छोटा।
• 100% कमी का मतलब है कि मान शून्य पर आ गया। जो राशि अब भी मौजूद है, उसकी कमी 100% से कम ही होगी।

जैसे 238, 252, 245, 261, 229 और 251 मिमी का औसत 229 और 261 के बीच ही होगा। तो 226 मिमी और 264 मिमी वाले विकल्प तुरंत बाहर हो जाते हैं।

इसी तरह ऊपर वाले दोनों विद्यालयों का संयुक्त उत्तीर्ण प्रतिशत 60% और 80% के बीच होगा। इसलिए 82% और 58% वाले विकल्प हो ही नहीं सकते।

हल किए गए उदाहरण

नीचे पंद्रह प्रश्न तेज़ तरीकों से हल किए गए हैं। ये पाँच आरेखों और तालिकाओं पर हैं, और साथ में एक छोटा शब्द-प्रश्न भी है। उत्तर पढ़ने से पहले हर प्रश्न काग़ज़ पर ख़ुद हल कीजिए। कोशिश यह रहे कि एक प्रश्न में एक मिनट से कम लगे। तीन प्रश्नों में यह भी देखेंगे कि तेज़ी से हल करने वाले को कितना समय लगता है।

प्रश्न 1

दी गई तालिका 2020 से 2023 तक चार शोरूमों द्वारा बेची गई कारों की संख्या दर्शाती है।

2020 से 2021 तक शोरूम B की बिक्री में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?

उत्तर: शोरूम B ने 2020 में 280 कारें बेचीं और 2021 में 350, तो वृद्धि 70 की हुई। आधार 2020 वाली 280 कारें हैं। $\frac{70}{280} = \frac{1}{4}$, यानी बिक्री में 25% की वृद्धि हुई।

प्रश्न 2

उसी तालिका के आधार पर, 2022 में शोरूम D की बिक्री, शोरूम C की बिक्री से कितने प्रतिशत अधिक थी?

उत्तर: 2022 में D ने 448 कारें बेचीं और C ने 336। "C से अधिक" पूछा है, तो आधार C की बिक्री है। $\frac{448 - 336}{336} = \frac{112}{336} = \frac{1}{3}$, यानी D की बिक्री $33\frac{1}{3}\%$ अधिक थी। उलटकर देखें, तो C की बिक्री D से $\frac{112}{448} = 25\%$ कम है।

प्रश्न 3

उसी तालिका के आधार पर, 2023 में प्रति शोरूम बेची गई कारों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 2023 में चारों शोरूमों की बिक्री 450, 375, 315 और 480 है। अनुमान 400 ले लेते हैं। विचलन $+50, -25, -85$ और $+80$ हैं, जिनका योग $+20$ है। तो औसत = $400 + \frac{20}{4} =$ 405 कारें।

प्रश्न 4

दिया गया पाई चार्ट दर्शाता है कि एक कंपनी ने 2023 में अपना ₹ 36 लाख का विज्ञापन बजट किस प्रकार खर्च किया।

कंपनी ने ऑनलाइन विज्ञापन पर कितनी राशि खर्च की?

उत्तर: पूरा पाई $360^\circ$ है, और यह ₹ 36 लाख के बराबर है। तो हर डिग्री ₹ 10,000 की हुई। ऑनलाइन का कोण $99^\circ$ है, इसलिए खर्च $99 \times 10000$ रुपये, यानी ₹ 9.9 लाख हुआ।

प्रश्न 5

उसी पाई चार्ट के आधार पर, बजट का कितना प्रतिशत टीवी पर खर्च हुआ?

उत्तर: टीवी का कोण $126^\circ$ है, जिसमें $18^\circ$ के सात कदम हैं। हर कदम 5% का है, तो टीवी पर बजट का $7 \times 5 =$ 35% खर्च हुआ।

प्रश्न 6

उसी पाई चार्ट के आधार पर, समाचार पत्रों की तुलना में टीवी पर कितना अधिक खर्च किया गया?

उत्तर: सीधे कोणों का अंतर लेते हैं, $126^\circ - 72^\circ = 54^\circ$। हर डिग्री ₹ 10,000 की है, तो टीवी पर ₹ 5.4 लाख अधिक खर्च हुए। दोनों राशियाँ अलग-अलग निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

इसमें लगभग 15 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 7

दिया गया रेखा आरेख एक रेलवे स्टेशन पर यात्रियों की संख्या में पिछले वर्ष की तुलना में प्रतिशत परिवर्तन दर्शाता है। 2019 में 64 लाख यात्रियों ने इस स्टेशन का उपयोग किया।

2021 में कितने यात्रियों ने स्टेशन का उपयोग किया?

उत्तर: 2020 की 25% वृद्धि के लिए $\times \frac{5}{4}$ और 2021 की 10% वृद्धि के लिए $\times \frac{11}{10}$ लगेगा। तो 2021 में $64 \times \frac{5}{4} \times \frac{11}{10} = 80 \times \frac{11}{10} =$ 88 लाख यात्रियों ने स्टेशन का उपयोग किया।

प्रश्न 8

उसी आरेख के आधार पर, 2020 से 2023 तक के कितने वर्षों में यात्रियों की संख्या पिछले वर्ष की तुलना में बढ़ी?

उत्तर: जिस वर्ष दर शून्य से ऊपर है, उस वर्ष संख्या बढ़ी, रेखा चाहे ऊपर जाए या नीचे। 2020, 2021 और 2023 में दर धनात्मक है, केवल 2022 में ऋणात्मक। तो संख्या 3 वर्षों में बढ़ी। 2020 से 2021 तक रेखा नीचे आती है, पर 2021 की 10% वृद्धि भी वृद्धि ही है।

प्रश्न 9

उसी आरेख के आधार पर, 2023 में यात्रियों की संख्या 2021 की तुलना में अधिक थी या कम, और कितने प्रतिशत?

उत्तर: 2021 के बाद पहले 25% कमी हुई और फिर 50% वृद्धि। दोनों गुणकों का गुणा $\frac{3}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$ है। तो 2023 में यात्री 2021 से 12.5% अधिक थे, यानी 88 लाख की जगह 99 लाख।

यह प्रश्न करीब 20 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 10

दिया गया दंड आरेख पाँच राज्यों में गेहूँ और चावल का उत्पादन (लाख टन में) दर्शाता है।

किस राज्य में गेहूँ के उत्पादन और चावल के उत्पादन का अनुपात सबसे अधिक है?

उत्तर: तुलना का आधार मान 1.5 ले लेते हैं। P में $64 \times 1.5 = 96$, जो ठीक उसके गेहूँ के बराबर है, तो P का अनुपात 1.5 है। Q, R और T में चावल का 1.5 गुना 135, 108 और 90 आता है। ये तीनों संख्याएँ उन राज्यों के गेहूँ से अधिक हैं, इसलिए इनके अनुपात 1.5 से नीचे हैं। S में $84 \times 1.5 = 126$, जो उसके गेहूँ 130 से कम है, तो S का अनुपात 1.5 से ऊपर है और सबसे अधिक अनुपात S का है।

प्रश्न 11

उसी आरेख के आधार पर, राज्य T का गेहूँ उत्पादन, पाँचों राज्यों के कुल गेहूँ उत्पादन का लगभग कितना प्रतिशत है? (a) 10% (b) 15% (c) 20% (d) 25%

उत्तर: पहले गेहूँ के आँकड़ों में जोड़ियाँ बनाते हैं, $96 + 84 = 180$ और $117 + 75 = 192$। तो कुल $180 + 192 + 130 = 502$ है, यानी लगभग 500। T का हिस्सा लगभग $\frac{75}{500} = 15\%$ है, इसलिए उत्तर (b) है। असली मान 14.94% है, पर विकल्पों में 5% का अंतर है, तो 500 लेना काफ़ी था।

पूरे हल में करीब 25 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 12

उसी आरेख के आधार पर, प्रति राज्य चावल का औसत उत्पादन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पाँचों राज्यों में चावल का उत्पादन 64, 90, 72, 84 और 60 लाख टन है। 75 को अनुमान मानें, तो विचलन $-11, +15, -3, +9$ और $-15$ आते हैं। इनका योग $-5$ है, तो औसत = $75 - \frac{5}{5} =$ 74 लाख टन।

प्रश्न 13

दी गई तालिका एक परीक्षा में 160 विद्यार्थियों के अंकों को संचयी "या अधिक" तालिका के रूप में दर्शाती है।

कितने विद्यार्थियों ने 40 या अधिक, किंतु 60 से कम अंक प्राप्त किए?

उत्तर: "40 या अधिक" वाली पंक्ति में 116 विद्यार्थी हैं। इनमें से 60 विद्यार्थी "60 या अधिक" में भी गिने गए हैं। तो बीच वाले विद्यार्थी $116 - 60 =$ 56 हैं।

प्रश्न 14

उसी तालिका के आधार पर, कितने प्रतिशत विद्यार्थियों ने 40 से कम अंक प्राप्त किए?

उत्तर: 40 या अधिक अंक 116 विद्यार्थियों के हैं, तो 40 से कम अंक वाले $160 - 116 = 44$ हैं। इनका प्रतिशत $\frac{44}{160} = \frac{11}{40} =$ 27.5% है।

प्रश्न 15

एक परीक्षा में 240 लड़कों में से 75% और 160 लड़कियों में से 90% उत्तीर्ण हुए। सभी विद्यार्थियों में से कितने प्रतिशत उत्तीर्ण हुए?

उत्तर: 75 और 90 का सीधा औसत 82.5 है। पर लड़कों की संख्या लड़कियों से अधिक है, इसलिए उत्तर इससे कम होना चाहिए। उत्तीर्ण हुए 180 लड़के और 144 लड़कियाँ, यानी 400 में से कुल 324। तो $\frac{324}{400} =$ 81% विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए। भार 3 : 2 लेकर यही एक पंक्ति में हो जाता है, $\frac{3 \times 75 + 2 \times 90}{5} = 81$।