हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से कैसे अभ्यास करें

यहाँ 30 प्रश्न हैं, जो आँकड़ों के ग्यारह सेटों पर बने हैं। इनमें तालिकाएँ हैं, दंड आरेख (bar graph) हैं, एक पाई चार्ट है, रेखा आरेख (line graph) और आयतचित्र (histogram) हैं, और एक बारंबारता बहुभुज (frequency polygon) भी है। दो सेट ऐसे हैं, जिनमें दो आरेख साथ पढ़ने पड़ते हैं। एक में पाई चार्ट के साथ तालिका है, और दूसरे में दंड आरेख के साथ रेखा आरेख।

हर सेट पर दो या तीन प्रश्न हैं, ठीक वैसे ही जैसे परीक्षा में आते हैं। सेट के बाद वाले प्रश्नों में कदम ज़्यादा होते हैं।

हिसाब शुरू करने से पहले एक बार अपने शब्दों में कह लीजिए कि इस प्रश्न के लिए कौन-कौन से मान चाहिए। प्रश्न में प्रतिशत हो, तो यह भी कह लीजिए कि वह किस पर निकलेगा, यानी उसका आधार क्या है।

आँकड़ा निर्वचन में हिसाब की गलती से उतने अंक नहीं कटते, जितने गलत वर्ष, गलत शृंखला या गलत आधार लेने से कटते हैं। गलत शृंखला का मतलब है कि आरेख में दो दंड या दो रेखाएँ हों और मान गलत दंड या गलत रेखा से पढ़ लिया जाए।

अंतिम दो प्रश्नों पर [Tier 2] का निशान है। इनमें ऐसा आयतचित्र है, जिसके वर्गों के वर्ग माप (class width) अलग-अलग हैं।

इनके अलावा कोई प्रश्न लगभग डेढ़ मिनट से ज़्यादा ले, तो शॉर्टकट और तेज़ तरीके वाले खंड में उस तरह के प्रश्न की विधि देख लीजिए। फिर अगले दिन पूरा सेट दोबारा हल कीजिए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

दी गई तालिका पाँच कॉलेजों में तीन संकायों के विद्यार्थियों की संख्या दर्शाती है।

पाँचों कॉलेजों में वाणिज्य के कुल विद्यार्थियों की संख्या, पाँचों कॉलेजों में कला के कुल विद्यार्थियों की संख्या से कितने प्रतिशत अधिक है?

उत्तर: कला और वाणिज्य, दोनों स्तंभ जोड़ने हैं। जोड़ियाँ बनाकर जोड़ें, तो जल्दी हो जाता है। कला का कुल $(480 + 540) + (380 + 400 + 200) = 1020 + 980 = 2000$ आता है, और वाणिज्य का $(420 + 480) + (380 + 520) + 450 = 900 + 900 + 450 = 2250$। तो वाणिज्य में 250 विद्यार्थी अधिक हैं। यहाँ वाणिज्य की तुलना कला से हो रही है, इसलिए आधार कला का कुल होगा। $\frac{250}{2000} = \frac{1}{8}$, यानी 12.5% अधिक।

प्रश्न 2

उसी तालिका के आधार पर, किस कॉलेज के सभी विद्यार्थियों में विज्ञान के विद्यार्थियों का हिस्सा सबसे अधिक है?

उत्तर: यहाँ विज्ञान के विद्यार्थियों की गिनती नहीं, उनका हिस्सा देखना है। इसलिए पहले हर कॉलेज का कुल निकाल लेते हैं। P में 1,500 विद्यार्थी हैं, Q में 1,280, R में 1,520, S में 1,600 और T में 1,250। अब विज्ञान का हिस्सा देखते हैं। P में यह $\frac{600}{1500} = 40\%$ है, Q में 40% से थोड़ा अधिक और R में लगभग 30%। S में $\frac{720}{1600} = 45\%$ है और T में $\frac{600}{1250} = 48\%$। तो उत्तर T है। गिनती में विज्ञान के विद्यार्थी S में ज़्यादा हैं, फिर भी हिस्सा T का बड़ा है। T और S में कौन आगे है, यह पक्का करने के लिए तिरछा गुणा कर लेते हैं। $600 \times 1600 = 960000$, जो $720 \times 1250 = 900000$ से अधिक है।

प्रश्न 3

उसी तालिका के आधार पर, कॉलेज P में कला के 20% विद्यार्थी और विज्ञान के 30% विद्यार्थी लड़कियाँ हैं, तथा P के सभी विद्यार्थियों में 40% लड़कियाँ हैं। P के वाणिज्य के विद्यार्थियों में कितनी लड़कियाँ हैं?

उत्तर: पहले P की सारी लड़कियाँ गिन लेते हैं। P में 1,500 विद्यार्थी हैं, तो लड़कियाँ 1,500 का 40% = 600 हुईं। इनमें से कला में 480 का 20% = 96 लड़कियाँ हैं, और विज्ञान में 600 का 30% = 180। बाकी सारी लड़कियाँ वाणिज्य में ही होंगी, यानी $600 - 96 - 180 =$ 324 लड़कियाँ।

प्रश्न 4

दिया गया दंड आरेख 2019 से 2023 तक एक कंपनी की आय और व्यय (₹ करोड़ में) दर्शाता है। लाभ = आय − व्यय।

किस वर्ष व्यय के प्रतिशत के रूप में लाभ सबसे अधिक था?

उत्तर: सबसे पहले हर वर्ष का लाभ चाहिए, जो आय में से व्यय घटाकर मिलता है। पाँचों वर्षों के लाभ 20, 25, 24, 36 और 40 करोड़ हैं। अब हर लाभ को उसी वर्ष के व्यय से भाग देते हैं। 2019 में $\frac{20}{100} = 20\%$, 2020 में $\frac{25}{125} = 20\%$ और 2021 में $\frac{24}{120} = 20\%$ आता है। 2022 में $\frac{36}{144} = 25\%$ है, और 2023 में $\frac{40}{180}$, जो लगभग 22.2% है। सबसे ऊँचा प्रतिशत 2022 का है। सबसे बड़ा लाभ तो 2023 में हुआ, पर वह बड़े व्यय पर कमाया गया था, इसलिए वहाँ प्रतिशत कम रह गया।

प्रश्न 5

उसी आरेख के आधार पर, 2021 से 2022 तक कंपनी की आय में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?

उत्तर: इस बार केवल आय वाले दंड पढ़ने हैं। आय 2021 में 144 करोड़ थी और 2022 में 180 करोड़, यानी 144 पर 36 की वृद्धि हुई। $\frac{36}{144} = \frac{1}{4}$, तो आय 25% बढ़ी।

प्रश्न 6

उसी आरेख के आधार पर, 2024 में कंपनी का व्यय 2023 की तुलना में 10% अधिक है, और व्यय के प्रतिशत के रूप में उसका लाभ 2022 के बराबर है। 2024 में कंपनी की आय कितनी है?

उत्तर: 2024 का व्यय 2023 से 10% अधिक है, तो वह $180 \times \frac{11}{10} = 198$ करोड़ हुआ। 2022 की तरह लाभ व्यय का 25% है, मतलब व्यय का एक-चौथाई। तो आय, व्यय से एक-चौथाई ज़्यादा होगी, और इसके लिए व्यय को $\frac{5}{4}$ से गुणा कर देते हैं। $198 \times \frac{5}{4} = 247.5$, तो 2024 की आय ₹ 247.5 करोड़ है।

प्रश्न 7

दिया गया पाई चार्ट दर्शाता है कि एक परिवार अपनी ₹ 90,000 की मासिक आय का उपयोग किस प्रकार करता है।

परिवार शिक्षा की तुलना में भोजन पर कितना अधिक खर्च करता है?

उत्तर: पूरा वृत्त $360^\circ$ का है, और वह पूरी ₹ 90,000 की आय दिखाता है। तो $1^\circ$ के हिस्से ₹ 250 आते हैं। अब भोजन और शिक्षा के त्रिज्यखंडों के कोणों का अंतर लेते हैं, $117^\circ - 54^\circ = 63^\circ$। इसे रुपयों में बदलें, तो $63 \times 250 = 15750$। मतलब भोजन पर ₹ 15,750 अधिक खर्च होते हैं।

प्रश्न 8

उसी पाई चार्ट के आधार पर, आय का कितना प्रतिशत किराए और परिवहन पर मिलाकर खर्च होता है?

उत्तर: किराए और परिवहन के कोण जोड़ लेते हैं, $90^\circ + 36^\circ = 126^\circ$। अब डिग्री को प्रतिशत में बदलना है, तो $126 \div 3.6 = 35$। यानी आय का 35% इन दोनों पर खर्च होता है।

प्रश्न 9

उसी पाई चार्ट के आधार पर, परिवार की आय 25% बढ़ जाती है। वह हर मद पर पहले जितनी ही राशि खर्च करता है और शेष राशि बचा लेता है। वह नई आय का कितना प्रतिशत बचाता है?

उत्तर: आय बढ़ी है, खर्च नहीं, तो सारी बढ़त बचत में जाएगी। नई आय $90000 \times \frac{5}{4} = 112500$ रुपये हुई। बचत को छोड़कर बाकी मदों का कोण $360^\circ - 45^\circ = 315^\circ$ है, तो उन पर $315 \times 250 = 78750$ रुपये खर्च होते हैं, और यह राशि नहीं बदलती। इसलिए नई बचत $112500 - 78750 = 33750$ रुपये है। नई आय में इसका हिस्सा $\frac{33750}{112500} =$ 30% है। आय बढ़ने से पहले बचत आय का केवल 12.5% थी।

प्रश्न 10

दिया गया रेखा आरेख 2018 से 2023 तक एक कारखाने द्वारा उत्पादित इकाइयों की संख्या और बेची गई इकाइयों की संख्या (हज़ार में) दर्शाता है।

किस वर्ष कारखाने ने अपनी उत्पादित इकाइयों का सबसे अधिक प्रतिशत बेचा?

उत्तर: बिक्री को उसी वर्ष के उत्पादन से भाग दें, तो पता चलता है कि बनी हुई इकाइयों में से कितने प्रतिशत बिकीं। 2018 में $\frac{45}{50} = 90\%$ और 2019 में $\frac{48}{60} = 80\%$ है। 2020 में $\frac{50}{55}$ है, जो लगभग 90.9% आता है। 2021 में $\frac{63}{70} = 90\%$ और 2022 में $\frac{72}{80} = 90\%$ है, और 2023 में $\frac{76}{90}$ लगभग 84.4% है। तीन वर्ष ठीक 90% पर हैं और 2020 उनसे थोड़ा ऊपर है, तो उत्तर 2020 है। बिना बिकी इकाइयों से देखें, तब भी यही आता है। 2020 में 55 हज़ार में से केवल 5 हज़ार इकाइयाँ बिना बिके रह गईं, जो दसवें भाग से भी कम है।

प्रश्न 11

उसी आरेख के आधार पर, 2020 से 2021 तक बेची गई इकाइयों की संख्या में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?

उत्तर: "बेची गईं" वाली रेखा 2020 में 50 हज़ार पर है और 2021 में 63 हज़ार पर। मतलब 50 पर 13 की वृद्धि हुई। $\frac{13}{50} = \frac{26}{100}$, यानी 26%।

प्रश्न 12

उसी आरेख के आधार पर, कितने वर्षों में बिना बिकी इकाइयाँ, उत्पादित इकाइयों के 10% से अधिक थीं?

उत्तर: हर वर्ष दोनों रेखाओं के बीच जितना अंतर है, उतनी इकाइयाँ बिना बिके रह गईं। छह वर्षों में यह अंतर 5, 12, 5, 7, 8 और 14 हज़ार है। अब हर वर्ष के उत्पादन का 10% लेते हैं, तो 5, 6, 5.5, 7, 8 और 9 आता है। अंतर इससे बड़ा केवल 2019 (12 बनाम 6) और 2023 (14 बनाम 9) में है। 2018, 2021 और 2022 में अंतर ठीक 10% है, और ठीक 10% को "10% से अधिक" नहीं कह सकते। तो उत्तर 2 वर्ष है।

प्रश्न 13

दिया गया आयतचित्र एक परीक्षा में 150 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंक दर्शाता है।

कितने विद्यार्थियों ने कम से कम 40 अंक प्राप्त किए?

उत्तर: "कम से कम 40" का मतलब है 40 या उससे ज़्यादा। तो 40 से आगे वाले आयत लेने हैं, यानी वर्ग 40 से 50, 50 से 60 और 60 से 70। इनमें $30 + 24 + 15 =$ 69 विद्यार्थी हैं।

प्रश्न 14

उसी आयतचित्र के आधार पर, कितने प्रतिशत विद्यार्थियों ने 30 से कम अंक प्राप्त किए?

उत्तर: 30 से कम अंक वाले विद्यार्थी पहले तीन आयतों में हैं। इनमें $6 + 15 + 24 = 45$ विद्यार्थी आते हैं। कुल में इनका हिस्सा $\frac{45}{150} = \frac{3}{10}$ है, तो 30% विद्यार्थियों के अंक 30 से कम हैं।

प्रश्न 15

उसी आयतचित्र के आधार पर, 30 से 50 अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या और 50 से 70 अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या का अनुपात क्या है?

उत्तर: दोनों तरफ़ दो-दो आयत जोड़ने हैं। 30 से 50 वाले $36 + 30 = 66$ विद्यार्थी हैं, और 50 से 70 वाले $24 + 15 = 39$। अनुपात $66 : 39$ हुआ। दोनों को 3 से भाग दें, तो 22 : 13 आता है।

प्रश्न 16

दिया गया पाई चार्ट दर्शाता है कि एक कॉलेज के 4,800 विद्यार्थी छह पाठ्यक्रमों में किस प्रकार बँटे हैं, और तालिका प्रत्येक पाठ्यक्रम में लड़कों और लड़कियों का अनुपात देती है।

बी.एससी. में कितनी लड़कियाँ पढ़ती हैं?

उत्तर: पाई चार्ट में बी.एससी. का हिस्सा 25% है, तो बी.एससी. में 4,800 का 25% = 1,200 विद्यार्थी हैं। तालिका में बी.एससी. के लिए लड़के : लड़कियाँ = 7 : 5 दिया है। मतलब लड़कियाँ 1,200 का $\frac{5}{12}$ हैं, जो 500 लड़कियाँ होती हैं।

प्रश्न 17

उसी पाई चार्ट और तालिका के आधार पर, बी.कॉम और बीसीए में मिलाकर कितने लड़के पढ़ते हैं?

उत्तर: बी.कॉम में 4,800 का 15% = 720 विद्यार्थी हैं, और बीसीए में 12%, यानी 576। तालिका में दोनों पाठ्यक्रमों के लिए लड़के : लड़कियाँ = 5 : 3 है। जब अनुपात एक ही हो, तो दोनों के विद्यार्थी पहले जोड़ सकते हैं। लड़के = $720 + 576 = 1296$ का $\frac{5}{8}$, तो कुल 810 लड़के हुए।

प्रश्न 18

उसी पाई चार्ट और तालिका के आधार पर, बी.ए. में लड़कियों की संख्या, बी.एससी. में लड़कियों की संख्या से कितने प्रतिशत अधिक है?

उत्तर: प्रश्न 16 में हम देख चुके हैं कि बी.एससी. में 500 लड़कियाँ हैं। अब बी.ए. लेते हैं। वहाँ 4,800 का 20% = 960 विद्यार्थी हैं, और इनमें से $\frac{5}{8}$ लड़कियाँ हैं, यानी 600। मतलब बी.ए. में 100 लड़कियाँ ज़्यादा हैं। पूछा गया है कि बी.एससी. से कितने प्रतिशत अधिक, तो 100 को बी.एससी. की 500 लड़कियों से भाग देंगे। $\frac{100}{500} =$ 20% अधिक।

प्रश्न 19

दी गई तालिका चार महीनों में एक दुकान द्वारा बेचे गए पेन, पेंसिल और रबड़ की संख्या दर्शाती है। कुछ प्रविष्टियाँ लुप्त हैं (? द्वारा दर्शाई गई हैं)। चारों महीनों में पेनों की औसत मासिक बिक्री 270 है।

फ़रवरी में कितने पेन बिके?

उत्तर: औसत से विचलन लेकर चलें, तो यह प्रश्न जल्दी हो जाता है। औसत 270 से जनवरी का विचलन $-30$ है, मार्च का $+30$ और अप्रैल का $-20$। इन तीनों का योग $-20$ हुआ। चारों महीनों के विचलनों का योग शून्य होना ही चाहिए, इसलिए फ़रवरी का विचलन $+20$ होगा। यानी फ़रवरी में 290 पेन बिके। जाँच भी कर लेते हैं, $240 + 290 + 300 + 250 = 1080 = 4 \times 270$।

प्रश्न 20

उसी तालिका के आधार पर, मार्च में पेंसिलों की बिक्री, पेनों की बिक्री से कितने प्रतिशत कम थी?

उत्तर: मार्च की पेंसिलें तालिका में नहीं दी हैं, पर मार्च का कुल 590 दिया है। इसमें से पेन और रबड़ घटा दें, तो पेंसिलें $590 - 300 - 90 = 200$ आती हैं। पेन 300 बिके थे, तो पेंसिलें उनसे 100 कम बिकीं। कमी पेनों के मुकाबले पूछी गई है, इसलिए 100 को 300 से भाग देंगे। $\frac{100}{300} = \frac{1}{3}$, तो पेंसिलों की बिक्री पेनों से $33\frac{1}{3}\%$ कम थी।

प्रश्न 21

दिया गया घटक दंड आरेख 2020 से 2023 तक एक कंपनी द्वारा कार के तीन मॉडलों X, Y और Z का उत्पादन (हज़ार में) दर्शाता है।

2021 से 2022 तक कंपनी के कुल उत्पादन में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?

उत्तर: घटक दंड आरेख में हर वर्ष का एक ही दंड होता है, और उसके तीनों भाग जोड़ने पर उस वर्ष का कुल मिलता है। 2021 का कुल $30 + 21 + 21 = 72$ हज़ार है और 2022 का $28 + 35 + 21 = 84$ हज़ार। यानी 72 पर 12 की वृद्धि हुई, जो $\frac{1}{6}$ है। तो कुल उत्पादन $16\frac{2}{3}\%$ बढ़ा।

प्रश्न 22

उसी आरेख के आधार पर, चारों वर्षों में मॉडल X का कुल उत्पादन, मॉडल Y के कुल उत्पादन से कितने प्रतिशत अधिक है?

उत्तर: X के चारों वर्षों का उत्पादन जोड़ें, तो $24 + 30 + 28 + 38 = 120$ हज़ार आता है। Y का कुल $18 + 21 + 35 + 26 = 100$ हज़ार है। X को Y से मिलाकर देखना है, इसलिए आधार Y का 100 है। 100 पर 20 अधिक, तो X का उत्पादन 20% अधिक है।

प्रश्न 23

उसी आरेख के आधार पर, किस वर्ष कुल उत्पादन में मॉडल Z का हिस्सा सबसे अधिक था?

उत्तर: Z का हिस्सा हर वर्ष अलग से निकालते हैं। 2020 में $\frac{18}{60} = 30\%$, 2021 में $\frac{21}{72}$, जो लगभग 29.2% है, और 2022 में $\frac{21}{84} = 25\%$। 2023 में $\frac{28}{92}$ है, जो 30% के बहुत पास है। इसलिए 2023 और 2020 में तिरछा गुणा करके देखते हैं, $28 \times 60 = 1680$ और $18 \times 92 = 1656$। तो 2023 का हिस्सा अधिक है, पर बहुत थोड़े अंतर से।

प्रश्न 24

दिया गया दंड आरेख पाँच विद्यालयों से एक परीक्षा में बैठे विद्यार्थियों की संख्या दर्शाता है, और रेखा आरेख उनमें से उत्तीर्ण विद्यार्थियों का प्रतिशत दर्शाता है।

किस विद्यालय के उत्तीर्ण विद्यार्थियों की संख्या सबसे अधिक थी?

उत्तर: हर विद्यालय के बैठे विद्यार्थियों को उसके उत्तीर्ण प्रतिशत से गुणा करना है। A में $400 \times 0.8 = 320$, B में $360 \times 0.75 = 270$ और C में $500 \times 0.72 = 360$ विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए। D में $300 \times 0.9 = 270$ और E में $440 \times 0.75 = 330$ उत्तीर्ण हुए। तो उत्तर C है, भले ही सबसे ऊँचा उत्तीर्ण प्रतिशत D का हो।

प्रश्न 25

उन्हीं दोनों आरेखों के आधार पर, विद्यालय A और B में मिलाकर कितने विद्यार्थी अनुत्तीर्ण हुए?

उत्तर: A में 20% विद्यार्थी अनुत्तीर्ण हुए, तो वहाँ 400 का 20% = 80 विद्यार्थी अनुत्तीर्ण रहे। B में 25% अनुत्तीर्ण हुए, यानी 360 का 25% = 90। दोनों मिलाकर 170 विद्यार्थी अनुत्तीर्ण हुए।

प्रश्न 26

उन्हीं दोनों आरेखों के आधार पर, पाँचों विद्यालयों को मिलाकर उत्तीर्ण प्रतिशत कितना था?

उत्तर: पाँचों विद्यालयों का एक साथ उत्तीर्ण प्रतिशत चाहिए, तो कुल उत्तीर्ण विद्यार्थियों को कुल बैठे विद्यार्थियों से भाग देंगे। प्रश्न 24 वाली उत्तीर्ण संख्याएँ जोड़ दें, तो $320 + 270 + 360 + 270 + 330 = 1550$ आता है। बैठे विद्यार्थी $400 + 360 + 500 + 300 + 440 = 2000$ हैं। तो उत्तीर्ण प्रतिशत $\frac{1550}{2000} =$ 77.5% हुआ। पाँचों प्रतिशतों का सीधा औसत 78.4% आता है, पर वह उत्तर नहीं है, क्योंकि हर विद्यालय में विद्यार्थियों की संख्या अलग-अलग है।

प्रश्न 27

दिया गया बारंबारता बहुभुज एक दिन एक क्लिनिक में आए 100 रोगियों की आयु दर्शाता है। प्रत्येक बिंदु अपने आयु वर्ग के मध्य पर अंकित किया गया है।

कितने रोगियों की आयु 30 वर्ष या उससे अधिक, किंतु 50 वर्ष से कम थी?

उत्तर: ऐसे रोगी दो आयु वर्गों में आते हैं, 30 से 40 और 40 से 50। बहुभुज में इन वर्गों के बिंदु उनके मध्य पर, यानी 35 और 45 पर हैं। इन दोनों बिंदुओं की ऊँचाई 27 और 21 है, तो $27 + 21 =$ 48 रोगी।

प्रश्न 28

उसी बारंबारता बहुभुज के आधार पर, कितने प्रतिशत रोगियों की आयु 50 वर्ष या उससे अधिक थी?

उत्तर: 50 वर्ष या उससे अधिक आयु वाले रोगी 55 और 65 वाले बिंदुओं पर हैं। इन पर 15 और 9 रोगी दिखाए गए हैं, यानी कुल 24। 100 रोगियों में से 24 का मतलब है 24%। 5 और 75 वाले बिंदु नहीं गिनने हैं। वे केवल बहुभुज को दोनों सिरों पर शून्य तक लाकर बंद करते हैं, उन आयु वर्गों में कोई रोगी है ही नहीं।

प्रश्न 29

[Tier 2] दिया गया आयतचित्र 80 विद्यार्थियों के अंक दर्शाता है। वर्गों के वर्ग माप असमान हैं, इसलिए प्रत्येक आयत की ऊँचाई प्रति 10 अंक विद्यार्थियों की संख्या है।

कितने विद्यार्थियों ने 40 से 60 अंक प्राप्त किए?

उत्तर: इस आयतचित्र में वर्ग बराबर चौड़े नहीं हैं, इसलिए ऊँचाई के साथ चौड़ाई भी देखनी पड़ती है। वर्ग 40 से 60 की चौड़ाई 20 अंक है, जो मानक माप 10 का दोगुना है। इस आयत की ऊँचाई बताती है कि प्रति 10 अंक 11 विद्यार्थी हैं। तो इस वर्ग में $11 \times 2 =$ 22 विद्यार्थी हैं। ऊँचाई को ही सीधे बारंबारता मान लें, तो केवल 11 आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 30

[Tier 2] उसी आयतचित्र के आधार पर, कितने प्रतिशत विद्यार्थियों ने 40 या अधिक अंक प्राप्त किए?

उत्तर: वर्ग 40 से 60 के 22 विद्यार्थी प्रश्न 29 में मिल चुके हैं। वर्ग 60 से 100 की चौड़ाई 40 अंक है, यानी मानक माप की चार गुनी। इसलिए इसकी ऊँचाई को चार से गुणा करते हैं, $4 \times 4 = 16$। तो 40 या उससे अधिक अंक वाले 38 विद्यार्थी हुए, और 80 में से 38 का हिस्सा $\frac{38}{80} = \frac{19}{40}$ है, यानी 47.5%। आख़िर में कुल का मिलान कर लेते हैं। वर्ग 0 से 20 में $5 \times 2 = 10$ विद्यार्थी हैं, और $10 + 14 + 18 + 22 + 16 = 80$, तो पूरे 80 विद्यार्थी गिनती में आ गए।