तालिका

तालिका पढ़ना: शीर्षक, पंक्ति, स्तंभ, इकाई

आँकड़ों की तालिका में ऊपर एक शीर्षक होता है, और उसके नीचे खानों में संख्याएँ भरी होती हैं। कोई भी हिसाब शुरू करने से पहले दस सेकंड लगाइए और तालिका में ये चार बातें देख लीजिए।

1. शीर्षक: इससे पता चलता है कि क्या गिना गया है। बिक्री है, उत्पादन है, विद्यार्थी हैं या अंक हैं।
2. इकाई: शीर्षक के साथ अक्सर "(₹ लाख में)", "(हज़ार में)" या "(टन में)" लिखा होता है। तालिका की हर संख्या इसी इकाई में होती है। पर विकल्प किसी दूसरी इकाई में भी दिए जा सकते हैं।
3. पंक्तियाँ और स्तंभ: पंक्ति पन्ने पर आड़ी चलती है, बाएँ से दाएँ। स्तंभ खड़ा होता है, ऊपर से नीचे। नीचे वाली तालिका में हर पंक्ति एक वर्ष की है और हर स्तंभ एक शहर का।
4. कुल वाली पंक्ति या स्तंभ: किसी तालिका में कुल दिया होता है, किसी में नहीं। दिया हो, तो उसी को लीजिए। न दिया हो, तो ख़ुद जोड़िए, पर तभी जब किसी प्रश्न में उसकी ज़रूरत पड़े।

इस तालिका में एक वस्त्र कंपनी की बिक्री दी गई है। 2022 वाली पंक्ति और मुंबई वाला स्तंभ जिस खाने में मिलते हैं, उसमें 80 लिखा है। इसके साथ इकाई जोड़िए, तो 2022 में मुंबई में बिक्री ₹ 80 लाख हुई, यानी ₹ 0.8 करोड़, क्योंकि 1 करोड़ = 100 लाख।

प्रश्न में चारों वर्षों की पुणे की कुल बिक्री ₹ करोड़ में भी पूछी जा सकती है। पुणे वाला स्तंभ जोड़िए, $30 + 36 + 40 + 45 = 151$ लाख। तो उत्तर ₹ 1.51 करोड़ है। इकाई भूल जाने वाले छात्र ₹ 151 करोड़ चुन लेते हैं, और यह विकल्प वहाँ ज़रूर होगा।

दिया हुआ कुल एक बार जाँचिए: जैसे 2020 वाली पंक्ति जोड़िए, $45 + 60 + 30 + 25 = 160$। यह कुल वाले स्तंभ से मेल खाता है। इस जाँच में कुछ ही सेकंड लगते हैं, और साथ में यह भी समझ आ जाता है कि तालिका बनी कैसे है। कुल वाला स्तंभ हो, तो आगे का काम भी जल्दी होता है। 2023 की बिक्री में दिल्ली का हिस्सा सीधे $\frac{60}{225}$ लिख सकते हैं। कुछ जोड़ना ही नहीं पड़ा।

आम तौर पर मिलने वाली इकाइयाँ: ये तीन बातें याद रखिए।

• "हज़ार में" वाली तालिका में 72 का मतलब है 72,000।
• "लाख में" वाली तालिका में 2.5 का मतलब है 2,50,000।
• 1 लाख = 100 हज़ार, और 1 करोड़ = 100 लाख।

अनुपात या प्रतिशत में इकाई कट जाती है। बिक्री लाख में हो या करोड़ में, $\frac{60}{225}$ वही भिन्न रहेगी। इकाई का असर केवल तब पड़ता है, जब उत्तर कोई राशि हो। इसीलिए विकल्प चुनने से पहले देख लीजिए कि विकल्प किस ढंग से लिखे गए हैं, जैसे 151, 1.51 या 15,100।

पंक्ति या स्तंभ का कुल और औसत

किसी एक पंक्ति की संख्याएँ आड़ी दिशा में जोड़ें, तो पंक्ति का कुल मिलता है। किसी एक स्तंभ की संख्याएँ ऊपर से नीचे जोड़ें, तो स्तंभ का कुल मिलता है। औसत निकालने के लिए कुल को उतनी संख्या से भाग दीजिए, जितनी प्रविष्टियाँ आपने जोड़ी हैं।

• ज़िला A के तीनों वर्ष जोड़िए, $48 + 52 + 56 = 156$ हज़ार टन। तो उसका वार्षिक औसत $\frac{156}{3} = 52$ हज़ार टन है।
• 2023 में पाँचों ज़िलों का उत्पादन जोड़िए, $56 + 38 + 66 + 30 + 50 = 240$ हज़ार टन। प्रति ज़िला औसत $\frac{240}{5} = 48$ हज़ार टन हुआ।

सबसे ज़्यादा अंक इसी में कटते हैं कि भाग किस संख्या से दिया जाए, यानी भाजक क्या हो। "ज़िला C का औसत उत्पादन" पूछा जाए, तो 3 से भाग दीजिए, क्योंकि वर्ष तीन हैं। "2022 में प्रति ज़िला औसत उत्पादन" पूछा जाए, तो 5 से भाग दीजिए, क्योंकि ज़िले पाँच हैं। भाग देने से पहले मन में एक बार कह लीजिए कि आपने क्या-क्या जोड़ा है।

कल्पित औसत से तेज़ जोड़: स्तंभ की संख्याएँ आपस में पास-पास हों, तो यह तरीका काम आता है। बीच के आस-पास की कोई गोल संख्या चुन लीजिए। इसे कल्पित औसत (working mean) कहते हैं। अब हर संख्या का इससे अंतर, यानी विचलन, लिखिए और केवल इन अंतरों को जोड़िए। 2023 वाले स्तंभ के लिए 50 चुनते हैं। अंतर $+6, -12, +16, -20, 0$ हैं, और इनका योग $-10$ है।

$$\text{औसत} = 50 + \frac{-10}{5} = 50 - 2 = 48$$

तो कुल $5 \times 48 = 240$ हुआ। पाँच दो-अंकीय संख्याओं में इससे थोड़ा ही समय बचता है। पर आठ तीन-अंकीय संख्याएँ जोड़नी हों, तो काफ़ी समय बचता है। यह तरीका क्यों चलता है, यह अध्याय 5 (औसत) में समझाया गया है।

बिना भाग दिए उच्चतम औसत: अक्सर पूछा जाता है, "तीनों वर्षों में किस ज़िले का औसत सबसे अधिक रहा?" हर ज़िले की तीन प्रविष्टियाँ हैं, तो उच्चतम औसत उसी ज़िले का होगा जिसका पंक्ति-कुल उच्चतम है। C का कुल $62 + 58 + 66 = 186$ है, और कोई दूसरी पंक्ति इसके आस-पास भी नहीं है। प्रविष्टियों की गिनती बराबर हो, तो कुल की ही तुलना कीजिए। भाग अंत में एक बार दीजिए, और वह भी तभी जब ज़रूरत हो।

पंक्ति के एक हिस्से का औसत: मान लीजिए ज़िला D का 2021 और 2022 का औसत पूछा है। तब केवल वही दो खाने लीजिए, $\frac{27 + 33}{2} = 30$ हज़ार टन। 2023 वाला खाना बाहर रहेगा, क्योंकि वह पूछा ही नहीं गया।

कुल का प्रतिशत या दूसरे मान का प्रतिशत

ये दो प्रश्न देखने में एक जैसे लगते हैं, पर असल में अलग हैं।

• "कुल का कितना प्रतिशत X है?" इसमें X को कुल से भाग देते हैं।
• "X, Y का कितना प्रतिशत है?" इसमें X को Y से भाग देते हैं।

दोनों में एक ही बात याद रखिए। जिस राशि का प्रतिशत पूछा गया है, वही भिन्न के नीचे, यानी हर में जाती है। यह वह राशि है, जो "का कितना प्रतिशत" से ठीक पहले लिखी होती है।

कुल का प्रतिशत: 2023 में परिवार का कुल खर्च ₹ 30,000 है, और इसमें किराया ₹ 7,500 है।

$$\frac{7500}{30000} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25\%$$

पहले भिन्न को काटकर सरल कर लीजिए, और 100 से गुणा सबसे अंत में कीजिए। इसी तरह भोजन कुल का $\frac{9000}{30000} = \frac{3}{10} = 30\%$ है, और परिवहन $\frac{2400}{30000} = \frac{8}{100} = 8\%$।

एक मान, दूसरे मान का प्रतिशत: प्रश्न है, "2023 में शिक्षा पर खर्च, भोजन पर खर्च का कितना प्रतिशत था?" यहाँ $\frac{4500}{9000} \times 100 = 50\%$ आता है। उलटा पूछा जाए, तो भोजन, शिक्षा का $\frac{9000}{4500} \times 100 = 200\%$ है। दोनों संख्याएँ अपने-अपने प्रश्न के लिए सही हैं, इसलिए विकल्पों में अक्सर दोनों ही दी होती हैं।

दो स्तंभों के बीच: अब यह प्रश्न देखिए, "2024 में भोजन पर खर्च, 2023 में भोजन पर खर्च का कितना प्रतिशत?" यहाँ $\frac{10800}{9000} = \frac{6}{5} = 120\%$ है। दूसरे शब्दों में, भोजन का खर्च 20% बढ़ा। प्रतिशत परिवर्तन भी ठीक इसी तरह निकलता है। इस पर आगे "वर्ष-दर-वर्ष प्रतिशत वृद्धि या कमी" वाले अंश में बात करेंगे।

कुछ काम की भिन्नें: इन भिन्नों के प्रतिशत ज़बानी याद होने चाहिए। $\frac{1}{8} = 12.5\%$, $\frac{1}{6} = 16\frac{2}{3}\%$, $\frac{3}{8} = 37.5\%$, $\frac{5}{6} = 83\frac{1}{3}\%$ और $\frac{1}{12} = 8\frac{1}{3}\%$। जैसे 2024 में परिवहन कुल का $\frac{3000}{36000} = \frac{1}{12}$ है। तो उसका हिस्सा $8\frac{1}{3}\%$ है, और कोई लंबा भाग नहीं करना पड़ा। पूरी सूची अध्याय 3 (प्रतिशत) में दी गई है।

[SSC टिप] एक तालिका पर अक्सर दो-तीन प्रश्न आते हैं। तालिका में कुल वाली पंक्ति न हो और पहले प्रश्न में कुल की ज़रूरत पड़े, तो उसी समय कुल निकालकर तालिका के बगल में लिख लीजिए। उसी तालिका के अगले प्रश्न में भी शायद वही कुल लगेगा।

वर्ष-दर-वर्ष प्रतिशत वृद्धि या कमी

प्रतिशत परिवर्तन का सूत्र यह है।

$$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \frac{\text{नया मान} - \text{पुराना मान}}{\text{पुराना मान}} \times 100$$

यहाँ आधार हमेशा पुराना मान होता है, यानी पहले वाले वर्ष का मान। इस सूत्र पर विस्तार से बात अध्याय 3 (प्रतिशत) में हुई है।

हर वर्ष की तुलना ठीक उससे पिछले वर्ष से कीजिए।

आधार बदला, तो उत्तर बदला: निर्यात 100 से घटकर 90 हुआ, तो यह 10% की कमी है। पर 90 से वापस 100 तक की बढ़त $\frac{10}{90} = 11\frac{1}{9}\%$ है, 10% नहीं। नए मान से भाग देने की गलती से बचिए।

राशि में या प्रतिशत में: राशि में सबसे बड़ी वृद्धि पूछी जाए या प्रतिशत में, ये दो अलग प्रश्न हैं। 2022 और 2023, दोनों में ₹ 30 करोड़ की वृद्धि हुई। पर प्रतिशत में 2022 आगे है, क्योंकि वही 30 छोटे आधार पर जुड़ा। 2022 में आधार 90 था, जबकि 2023 में 120। तो प्रतिशत में सबसे अधिक वृद्धि 2022 में हुई, जबकि ₹ करोड़ में देखें तो 2022 और 2023 बराबरी पर हैं।

प्रतिशतों की नहीं, भिन्नों की तुलना: सबसे बड़ी प्रतिशत वृद्धि खोजनी हो, तो हर वर्ष का केवल $\frac{\text{वृद्धि}}{\text{आधार}}$ लिख लेना काफ़ी है। यहाँ ये भिन्नें $\frac{20}{80}$, $\frac{30}{90}$, $\frac{30}{120}$ और $\frac{15}{150}$ हैं। एक नज़र में दिख जाता है कि $\frac{30}{90} = \frac{1}{3}$ है, जो $\frac{20}{80} = \frac{1}{4}$ से बड़ा है। सबसे बड़ी भिन्न को प्रतिशत में तभी बदलिए, जब प्रश्न में वह प्रतिशत पूछा गया हो।

सबसे कम वृद्धि: यहाँ प्रश्न के शब्द ध्यान से पढ़िए। "सबसे कम प्रतिशत वृद्धि" पूछी हो, तो केवल वे वर्ष देखिए जिनमें वृद्धि हुई। यहाँ वह वर्ष 2024 है (10%)। "सबसे बड़ी कमी" पूछी हो, तो उत्तर 2021 है, क्योंकि कमी केवल उसी वर्ष हुई।

कई वर्षों का परिवर्तन: 2019 से 2024 तक की वृद्धि निकालनी हो, तो केवल दोनों सिरों के मान लीजिए। वृद्धि $\frac{165 - 80}{80} \times 100 = \frac{85}{80} \times 100 = 106.25\%$ हुई। हर वर्ष के प्रतिशत जोड़ दें, तो $25 - 10 + 33\frac{1}{3} + 25 + 10 = 83\frac{1}{3}$ आता है, पर यह कुल परिवर्तन नहीं है, क्योंकि हर वर्ष का प्रतिशत अलग आधार पर निकला है।

पंक्तियों और स्तंभों के बीच अनुपात

अनुपात दो प्रविष्टियों या दो कुलों की तुलना है। इसे ठीक उसी क्रम में लिखिए, जिस क्रम में प्रश्न में उनके नाम आए हैं। "कला और विज्ञान का अनुपात" पूछा हो, तो कला पहले आएगी।

दो खाने: 2023 में कला और विज्ञान का अनुपात $300 : 400 = 3 : 4$ है। दोनों पदों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड से, यहाँ 100 से, एक ही बार में भाग दीजिए। छोटे-छोटे कदमों में काटने की ज़रूरत नहीं।

दो कुल: चारों वर्षों में कला का कुल $240 + 260 + 300 + 280 = 1080$ है, और विज्ञान का कुल $320 + 360 + 400 + 420 = 1500$। अनुपात $1080 : 1500$ हुआ। दोनों को 60 से भाग दीजिए, तो $18 : 25$ आता है। उभयनिष्ठ गुणनखंड साफ़ न दिखे, तो पहले 10 से भाग दीजिए। फिर छोटी अभाज्य संख्याओं 2, 3 और 5 से भाग देते जाइए, जब तक कुछ और न कटे।

औसतों का अनुपात: कला और विज्ञान, दोनों उन्हीं चार वर्षों में गिने गए हैं। इसलिए उनके औसतों का अनुपात भी कुलों वाला ही है, $18 : 25$। औसत निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। पर यह तभी चलता है, जब दोनों ओर प्रविष्टियों की गिनती बराबर हो। कला का चार वर्षों का औसत और विज्ञान का दो वर्षों का औसत पूछा हो, तो दोनों औसत अलग-अलग निकालने होंगे।

एक स्तंभ, दो वर्ष: 2021 में वाणिज्य और 2024 में वाणिज्य का अनुपात $280 : 360 = 7 : 9$ है। इस अनुपात से वृद्धि भी दिख जाती है। 7 भागों पर 2 भाग और जुड़े, तो वाणिज्य में $\frac{2}{7}$ की वृद्धि हुई, जो लगभग 28.6% है।

एक खाने के भीतर अनुपात: मान लीजिए प्रश्न में यह भी दिया है कि 2022 में विज्ञान में लड़कों और लड़कियों का अनुपात $7 : 5$ है। तालिका से 2022 में विज्ञान के विद्यार्थी 360 हैं। तो लड़कियाँ $\frac{5}{12} \times 360 = 150$ हुईं। भागों से असली संख्या निकालने का यही तरीका है। कुल को भागों के योग से भाग दीजिए, फिर जितने भाग चाहिए, उनसे गुणा कीजिए। इसकी पूरी बात अध्याय 4 (अनुपात, समानुपात और साझेदारी) में है।

पदों का क्रम: "2024 में विज्ञान और 2021 में कला का अनुपात" पूछा हो, तो पहला पद 420 है और दूसरा 240। अनुपात $420 : 240 = 7 : 4$ आता है। उलटा अनुपात $4 : 7$ भी विकल्पों में ज़रूर होगा। इसलिए काटने से पहले दोनों संख्याएँ उसी क्रम में लिख लीजिए, जिस क्रम में प्रश्न में उनका ज़िक्र है।

गिनती वाले प्रश्न: "कितने वर्षों में …?"

कुछ प्रश्नों में हिसाब नहीं, केवल गिनती करनी होती है। जैसे, "कितने वर्षों में डीलर X ने डीलर Y से अधिक कारें बेचीं?" इसका कोई सूत्र नहीं है। पंक्ति-दर-पंक्ति नीचे जाइए और हर पंक्ति पर निशान लगाते जाइए।

अब हर वर्ष देखिए कि X आगे है या नहीं। 2017 हाँ, 2018 नहीं, 2019 हाँ, 2020 नहीं, 2021 हाँ, 2022 नहीं, 2023 हाँ और 2024 हाँ। तो डीलर X 5 वर्षों में आगे रहा।

पिछले वर्ष से वृद्धि: अब पूछा जाए, "कितने वर्षों में X की बिक्री उससे पिछले वर्ष से अधिक रही?" यहाँ हर प्रविष्टि की तुलना ठीक ऊपर वाली प्रविष्टि से कीजिए। 450 > 420 और 480 > 450, पर 390 < 480। उसके बाद 510, 530, 560 और 600 आते हैं, और चारों में वृद्धि है। कुल 6 वर्ष हुए। 2017 को गिनती में नहीं लेते, क्योंकि तालिका में उससे पहले का कोई वर्ष है ही नहीं।

औसत से ऊपर: प्रश्न है, "कितने वर्षों में X की बिक्री उसके अपने औसत से अधिक रही?" कुल 3940 है, तो औसत $\frac{3940}{8} = 492.5$ हुआ। केवल 510, 530, 560 और 600 इससे ऊपर हैं, यानी 4 वर्ष। वैसे यहाँ सटीक औसत की ज़रूरत ही नहीं थी। इतना दिख जाए कि औसत 500 से ज़रा कम है, तो काफ़ी है, क्योंकि हर प्रविष्टि साफ़ तौर पर इसके किसी एक ओर है।

सबसे बड़ा अंतर: एक और प्रश्न देखिए, "किस वर्ष दोनों डीलरों की बिक्री का अंतर सबसे अधिक था?" हर वर्ष का अंतर लिख लीजिए, 40, 20, 25, 20, 5, 30, 15 और 10। सबसे बड़ा 40 है, जो 2017 में है। यहाँ केवल अंतर का आकार देखना है। आगे कोई भी डीलर हो, इससे फ़र्क नहीं पड़ता।

गिनती की आदतें: ये तीन आदतें डाल लीजिए।

• हर पंक्ति पर निशान लगाइए, "नहीं" वाली पंक्तियों पर भी। फिर दोबारा गिनना पड़े, तो कुछ ही सेकंड लगते हैं।
• पास-पास वाले जोड़ों पर दोबारा नज़र डालिए, जैसे 2021 में 510 और 505। गलती सबसे ज़्यादा इन्हीं में होती है।
• देखिए कि प्रश्न में "से अधिक" लिखा है या "कम से कम"। बराबर वाला जोड़ा "कम से कम" में गिना जाता है, "से अधिक" में नहीं।

[SSC टिप] गिनती वाले प्रश्नों में विकल्पों से उलटी जाँच काम नहीं आती, क्योंकि चारों विकल्प पास-पास की संख्याएँ होते हैं, जैसे 3, 4, 5 और 6। इसलिए हर पंक्ति पर कागज़ पर निशान लगाइए। मन में रखी गिनती आसानी से एक कम या एक ज़्यादा हो जाती है।

दो-तरफ़ा तालिका

दो-तरफ़ा तालिका (two-way table) में उन्हीं लोगों को, या उसी उत्पादन को, एक साथ दो तरह से बाँटा जाता है। यहाँ हर विद्यार्थी किसी एक कक्षा में है, और साथ ही वह लड़का है या लड़की। इसलिए हर खाना दो बातें बताता है। जैसे कक्षा IX की लड़कियों वाले खाने में 40 लिखा है।

अंतिम स्तंभ हर पंक्ति का योग है, यानी एक कक्षा के सारे विद्यार्थी। अंतिम पंक्ति हर स्तंभ का योग है, यानी सारे लड़के और सारी लड़कियाँ। कोने वाले खाने में 440 है, जो कुल योग है। यह कुल वाले स्तंभ के योग के बराबर भी है और कुल वाली पंक्ति के योग के बराबर भी। तालिका ठीक पढ़ी या नहीं, इसकी यह अच्छी जाँच है।

आधार कौन-सा कुल है: दो-तरफ़ा तालिका में ज़्यादातर गलतियाँ गलत कुल से भाग देने की होती हैं। कक्षा IX की लड़कियों वाले एक ही खाने से तीन अलग उत्तर निकल सकते हैं।

• "कक्षा IX के विद्यार्थियों में कितने प्रतिशत लड़कियाँ हैं?" यहाँ आधार कक्षा IX है, तो $\frac{40}{100} = 40\%$।
• "सभी लड़कियों में से कितने प्रतिशत कक्षा IX में हैं?" यहाँ आधार सभी लड़कियाँ हैं, तो $\frac{40}{200} = 20\%$।
• "विद्यालय के सभी विद्यार्थियों में कितने प्रतिशत कक्षा IX की लड़कियाँ हैं?" यहाँ आधार सभी विद्यार्थी हैं, तो $\frac{40}{440} = 9\frac{1}{11}\%$।

भाग देने से पहले प्रश्न में उस समूह के नीचे रेखा खींच लीजिए, जिसमें से प्रतिशत पूछा गया है। वही आधार है।

एक पंक्ति का अनुपात और पूरे का अनुपात: पूरे विद्यालय में लड़कों और लड़कियों का अनुपात $240 : 200 = 6 : 5$ है, जबकि कक्षा VIII में $40 : 50 = 4 : 5$ है। कक्षा VIII में लड़कियाँ अधिक हैं, पर पूरे विद्यालय में लड़के अधिक हैं। मतलब एक पंक्ति के अनुपात से पूरे विद्यालय के बारे में कुछ पता नहीं चलता।

उत्पादन की तालिकाएँ भी दो-तरफ़ा होती हैं: मान लीजिए उत्पादन कंपनी (पंक्तियाँ) और वर्ष (स्तंभ) के अनुसार दिया है। तब पंक्ति का कुल एक कंपनी का सारे वर्षों का उत्पादन है, और स्तंभ का कुल एक वर्ष में सारी कंपनियों का उत्पादन। "2023 के उत्पादन में कंपनी B का हिस्सा" पूछा हो, तो 2023 वाले स्तंभ के कुल से भाग दीजिए। "कंपनी B के उत्पादन में 2023 का हिस्सा" पूछा हो, तो B की पंक्ति के कुल से भाग दीजिए।

खाली खाना: कोई खाना खाली हो, तो उसकी पंक्ति या स्तंभ के कुल से उसे भरा जा सकता है। जैसे कक्षा X की लड़कियाँ $= 200 - (35 + 36 + 50 + 40) = 39$।

संचयी बारंबारता तालिका: "से कम" और "से अधिक"

संचयी बारंबारता (cumulative frequency) वाली तालिका हर वर्ग की अपनी संख्या नहीं देती। इसकी हर प्रविष्टि एक चलता हुआ योग होती है। "30 से कम: 40" का मतलब है कि 40 विद्यार्थियों के अंक 30 से नीचे हैं। इसमें सबसे कम अंक वाले विद्यार्थी से लेकर ऊपर तक, सबकी गिनती है।

एक वर्ग की संख्या वापस निकालना: किसी वर्ग की संख्या दो पड़ोसी प्रविष्टियों का अंतर होती है। जैसे 30 या अधिक, पर 40 से कम अंक वाले विद्यार्थी $72 - 40 = 32$ हैं। हर पंक्ति के साथ यही कीजिए, तो यह तालिका मिलती है।

जाँच के लिए सब वर्ग जोड़ लीजिए। योग 120 आता है, जो तालिका की अंतिम प्रविष्टि है।

दो सीमाओं के बीच: 20 या अधिक, पर 50 से कम अंक वाले विद्यार्थी $100 - 18 = 82$ हैं। इसके लिए अलग-अलग वर्ग निकालने की ज़रूरत नहीं। ऊपरी सिरे की प्रविष्टि में से निचले सिरे की प्रविष्टि घटा दीजिए।

"कम से कम" वाले प्रश्न: 30 या अधिक अंक वाले विद्यार्थी गिनने हों, तो सबमें से 30 से कम वाले घटा दीजिए, $120 - 40 = 80$।

"से अधिक" वाला रूप: यही आँकड़े ऊपर की ओर से भी गिने जा सकते हैं।

इसमें दाईं ओर जाते हुए प्रविष्टियाँ घटती जाती हैं। वर्ग की संख्या फिर से अंतर से ही निकलती है। जैसे 40-50 वाले वर्ग में $48 - 20 = 28$ विद्यार्थी हैं। पहली प्रविष्टि सबको गिनती है, और अंतिम प्रविष्टि केवल सबसे ऊपर वाले वर्ग को।

सबसे अधिक विद्यार्थियों वाला वर्ग: यह सबसे बड़े अंतर से पता चलता है, सबसे बड़ी प्रविष्टि से नहीं। "से कम" वाली तालिका में सबसे बड़ी प्रविष्टि हमेशा अंतिम होती है, क्योंकि वह सबको गिनती है। यहाँ सबसे बड़ा अंतर 32 है, तो वर्ग 30-40 है।

[SSC टिप] जिसके अंक ठीक सीमा पर हों, वह उसी वर्ग में गिना जाता है जो वहाँ से शुरू होता है। ठीक 30 अंक वाला विद्यार्थी "30 से कम" में नहीं आता, उसकी गिनती 30-40 में होती है। प्रश्न में "30 या अधिक, पर 40 से कम" जैसे शब्द हों, तो उनमें यही नियम साफ़-साफ़ लिखा होता है।

ऐसे आँकड़ों की माध्यिका और वर्गीकृत आँकड़ों का बाकी काम अध्याय 19 (सांख्यिकी) में है।

प्रतिशत की तालिका: अलग-अलग अधिकतम अंक

कुछ तालिकाओं में अंक नहीं, अंकों का प्रतिशत दिया होता है। हर विषय के नाम के नीचे कोष्ठक में उसके अधिकतम अंक लिखे होते हैं। ऐसे में अंक जोड़ने से पहले हर प्रविष्टि को अंकों में बदलिए।

$$\text{अंक} = \frac{\text{प्रतिशत}}{100} \times \text{अधिकतम अंक}$$

आशा के अंक देखिए। गणित में $\frac{80}{100} \times 150 = 120$, विज्ञान में 72, अंग्रेज़ी में $\frac{64}{100} \times 75 = 48$ और हिंदी में $\frac{90}{100} \times 50 = 45$। कुल अधिकतम अंक $150 + 100 + 75 + 50 = 375$ हैं, और इनमें से उसे $120 + 72 + 48 + 45 = 285$ अंक मिले।

कुल प्रतिशत: आशा का कुल प्रतिशत $\frac{285}{375} \times 100 = 76\%$ है। चारों प्रतिशतों का औसत $\frac{80 + 72 + 64 + 90}{4} = 76.5\%$ लेना गलत है। वजह यह है कि गणित 150 में से है और हिंदी 50 में से, तो गणित का भार हिंदी का तीन गुना है। दोनों तरीकों से एक ही उत्तर तभी आता है, जब हर विषय के अधिकतम अंक एक जैसे हों।

जब बदलने की ज़रूरत नहीं: एक ही विषय में हर विद्यार्थी के अधिकतम अंक वही होते हैं। वहाँ प्रतिशतों की सीधी तुलना कर सकते हैं। अंग्रेज़ी में मीना (88) ने सुनील (80) से अच्छा किया। अंकों में दोनों का अंतर $\frac{8}{100} \times 75 = 6$ है।

प्रतिशत अंक: विज्ञान में मीना का प्राप्तांक आशा से $90 - 72 = 18$ प्रतिशत अंक (percentage points) ऊपर है। पर प्रतिशत में देखें, तो यह $\frac{18}{72} \times 100 = 25\%$ अधिक है। प्रश्न में "कितने प्रतिशत अधिक" पूछा हो, तो उत्तर 25 है, 18 नहीं। प्रतिशत अंक की पूरी बात अध्याय 3 (प्रतिशत) में है।

एक विद्यार्थी के दो विषयों की तुलना: सुनील को गणित में 92% मिले और विज्ञान में 60%। अंकों में ये 138 और 60 हैं। तो अंतर 78 अंक का है, जबकि प्रतिशतों में अंतर केवल 32 है। विषय अलग हों, तो अंकों की तुलना कीजिए, प्रतिशतों की नहीं।

लुप्त मान वाली तालिका

कभी तालिका में किसी प्रविष्टि की जगह प्रश्नचिह्न लगा होता है। प्रश्न में कुल, औसत या प्रतिशत दिया होता है, और उसी से वह मान निकालना होता है।

कुल से: छह महीनों का योग 1,500 है। पाँच ज्ञात महीनों का योग $220 + 260 + 240 + 300 + 230 = 1250$ है। तो मार्च में $1500 - 1250 = 250$ सेट बिके।

औसत से: मान लीजिए प्रश्न में कुल की जगह लिखा हो कि औसत मासिक बिक्री 250 है। तब कुल $6 \times 250 = 1500$ हुआ, और आगे का काम वही है। औसत दिया हो, तो एक और तेज़ रास्ता है। हर ज्ञात महीने का 250 से अंतर लिखिए, $-30, +10, -10, +50, -20$। इनका योग 0 है। तो लुप्त महीने का अंतर भी शून्य होना चाहिए, यानी मार्च की बिक्री ठीक 250 है।

प्रतिशत से: प्रश्न में "मार्च की बिक्री, मई की बिक्री से $16\frac{2}{3}\%$ कम थी" जैसी पंक्ति हो, तब भी मार्च की बिक्री निकल आती है, $300 \times \frac{5}{6} = 250$।

दो लुप्त मान: कभी तालिका के दो खानों में प्रश्नचिह्न होते हैं, और साथ में दो कुल दिए होते हैं, जैसे एक पंक्ति का कुल और एक स्तंभ का कुल। तब पहले वह पंक्ति या स्तंभ लीजिए, जिसमें केवल एक अज्ञात है। उससे वह खाना निकालिए, फिर उसी की मदद से दूसरा। ध्यान रखिए, एक कुल से दो अज्ञात नहीं निकलते।

निकाला गया मान तालिका में लिख दीजिए: उसी तालिका के अगले प्रश्न में अक्सर लुप्त मान की ज़रूरत पड़ती है। जैसे मार्च से मई तक की प्रतिशत वृद्धि $\frac{300 - 250}{250} = \frac{50}{250} = 20\%$ है। इसलिए मान मिलते ही प्रश्नचिह्न की जगह उसे भर दीजिए, ताकि बाद के प्रश्नों में सही संख्या सामने रहे।

विकल्प दूर-दूर हों तो सन्निकटन

परीक्षा की तालिकाओं में संख्याएँ अक्सर गोल नहीं होतीं। $\frac{703}{2481}$ जैसी भिन्न का भाग करने में समय लगता है। इसलिए शुरू करने से पहले विकल्प देख लीजिए। विकल्प दूर-दूर हों, तो अनुमान काफ़ी है। पास-पास हों, तो सटीक हल करना होगा।

जब अनुमान काफ़ी हो: मान लीजिए पूछा है कि 2024 की आमदनी का कितना प्रतिशत शाखा S से आया, और विकल्प 22%, 28%, 34% और 40% हैं। 2024 का कुल $452 + 498 + 341 + 703 + 487 = 2481$ है, जो 2500 के पास है। S की आमदनी लगभग 700 है, तो $\frac{700}{2500} = \frac{28}{100} = 28\%$। विकल्पों में 6 प्रतिशत अंकों का फ़ासला है, और गोल करने से आई त्रुटि इससे बहुत छोटी है। इसलिए 28% बेझिझक चुन सकते हैं। सटीक मान लगभग 28.3% है।

कितना गोल करें: दो बातें ध्यान रखिए।

• दो सार्थक अंक काफ़ी हैं। 703 को 700, 2481 को 2500 और 341 को 340 कर लीजिए।
• भिन्न में ऊपर की संख्या नीचे की ओर गोल हो और नीचे की संख्या ऊपर की ओर, जैसे यहाँ हुआ, तो अनुमान थोड़ा कम आता है। कोई विकल्प आपके आँकड़े से ज़रा ऊपर हो, तो यह बात याद रखिए।

विकल्प पास-पास हों तो: शाखा R की आमदनी 296 से 341 हुई, तो वृद्धि $\frac{45}{296}$ है। विकल्प 10%, 15%, 20% और 25% हों, तो $\frac{45}{300} = 15\%$ से फ़ैसला हो जाता है। पर विकल्प 14.8%, 15.2%, 15.6% और 16% हों, तो भाग करना ही पड़ेगा। $\frac{45}{296} \approx 0.152$, यानी 15.2%।

मोटा-मोटा कुल: मान लीजिए 2023 में पाँचों शाखाओं की कुल आमदनी का अंदाज़ा चाहिए। तब हर एक को निकटतम 10 तक गोल करके जोड़िए, $390 + 510 + 300 + 640 + 420 = 2260$। सटीक योग 2256 है। विकल्पों में 100 या उससे अधिक का अंतर हो, तो इतनी सटीकता काफ़ी है।

जब अनुमान से फ़ैसला न हो: प्रश्न है, "किस शाखा की प्रतिशत वृद्धि सबसे अधिक रही?" मोटे तौर पर P की वृद्धि $\frac{65}{387}$ है, लगभग 17%। Q में तो कमी हुई है। R में लगभग 15% की वृद्धि है। S की वृद्धि $\frac{60}{643}$ है, लगभग 9%, और T की $\frac{69}{418}$, लगभग 16.5%। P और T का फ़ैसला गोल करने से नहीं होता, क्योंकि P लगभग 16.8% पर है और T लगभग 16.5% पर। इन दोनों की सटीक तुलना तिरछे गुणा से कीजिए। $65 \times 418 = 27170$ और $69 \times 387 = 26703$। पहला बड़ा है, तो P की वृद्धि सबसे अधिक है। तरीका यही है कि जो अनुमान में साफ़ पीछे हैं, उन्हें पहले हटा दीजिए, फिर बचे हुए दो का सटीक हिसाब लगाइए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

दी गई तालिका 2020 से 2024 तक एक कंपनी द्वारा बनाए गए वाहनों की संख्या (हज़ार में) दर्शाती है।

प्रति वर्ष बनाई गई बाइकों की औसत संख्या कितनी थी? (a) 1,00,000 (b) 80,000 (c) 8,000 (d) 85,000

उत्तर: बाइक वाला स्तंभ जोड़ लेते हैं, $60 + 72 + 80 + 90 + 98 = 400$ हज़ार। वर्ष पाँच हैं, तो औसत $\frac{400}{5} = 80$ हज़ार हुआ। इकाई हज़ार की है, इसलिए यह 80 असल में 80,000 बाइकें हैं, यानी (b) 80,000। गलती से कोई 4 से भाग दे दे, तो 1,00,000 आ जाता है।

प्रश्न 2

2023 से 2024 तक बनाई गई कारों की संख्या में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई? (a) 20% (b) 9% (c) 25% (d) $66\frac{2}{3}\%$

उत्तर: कारें 36 हज़ार से 45 हज़ार हुईं, यानी 9 हज़ार की वृद्धि। आधार पहले वाला वर्ष है, तो 36 नीचे जाएगा। $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$, तो वृद्धि (c) 25% हुई। कुछ लोग 9 को 45 से भाग देकर 20% लिख देते हैं। पर वह तो यह बताता है कि 2023 का आँकड़ा 2024 से कितना कम था।

प्रश्न 3

पाँच वर्षों में बने स्कूटरों की कुल संख्या और कारों की कुल संख्या का अनुपात क्या है? (a) 40 : 27 (b) 27 : 40 (c) 3 : 2 (d) 7 : 5

उत्तर: स्कूटर जोड़ते हैं, $36 + 42 + 45 + 54 + 63 = 240$, और कारें $24 + 30 + 27 + 36 + 45 = 162$। अनुपात $240 : 162$ हुआ। दोनों सम हैं, तो आधा करके $120 : 81$ मिला। अब दोनों 3 से कटते हैं, तो $40 : 27$ आया। उत्तर (a) 40 : 27 है। स्कूटर पहले लिखे, क्योंकि प्रश्न में उनका नाम पहले आया है।

प्रश्न 4

दी गई तालिका एक कंपनी के पाँच विभागों में काम करने वाले पुरुषों और महिलाओं की संख्या दर्शाती है।

कंपनी के कर्मचारियों में कितने प्रतिशत महिलाएँ हैं? (a) $33\frac{1}{3}\%$ (b) 50% (c) 40% (d) $66\frac{2}{3}\%$

उत्तर: पहले महिलाएँ जोड़ लेते हैं, $24 + 27 + 8 + 56 + 45 = 160$। सभी कर्मचारी कुल वाले स्तंभ से मिलेंगे, $40 + 60 + 80 + 140 + 160 = 480$। महिलाओं का हिस्सा $\frac{160}{480} = \frac{1}{3}$ है, तो उत्तर (a) $33\frac{1}{3}\%$ है। 50% तब आता है, जब महिलाओं की तुलना पुरुषों से कर दी जाए, यानी 320 में से 160। पर प्रश्न में तुलना सभी कर्मचारियों से है।

प्रश्न 5

किस विभाग के कर्मचारियों में महिलाओं का हिस्सा सबसे अधिक है? (a) आईटी (b) लेखा (c) उत्पादन (d) मानव संसाधन

उत्तर: यहाँ हर विभाग में महिलाओं का हिस्सा देखना है, तो हर पंक्ति का अपना आधार होगा। मानव संसाधन में $\frac{24}{40} = 60\%$, लेखा में $\frac{27}{60} = 45\%$, बिक्री में $\frac{8}{80} = 10\%$, आईटी में $\frac{56}{140} = 40\%$ और उत्पादन में $\frac{45}{160}$, लगभग 28%। सबसे बड़ा हिस्सा (d) मानव संसाधन में है। महिलाएँ सबसे ज़्यादा आईटी में हैं (56), पर वह विभाग भी बड़ा है, इसलिए वहाँ उनका हिस्सा छोटा रह जाता है।

प्रश्न 6

आईटी विभाग में काम करने वाली महिलाएँ, कंपनी की सभी महिलाओं का कितना प्रतिशत हैं? (a) 40% (b) 35% (c) $11\frac{2}{3}\%$ (d) 56%

उत्तर: अब आधार सभी महिलाएँ हैं, यानी 160, जो इसी तालिका के पहले प्रश्न में निकाला था। $\frac{56}{160} = \frac{7}{20}$, और $\frac{7}{20} \times 100 = 35$। तो आईटी की महिलाएँ सभी महिलाओं का (b) 35% हैं। पिछले प्रश्न वाला 40% यहाँ नहीं चलेगा, क्योंकि उसका आधार आईटी का अपना कुल था। "सभी महिलाओं का" शब्दों से आधार बदल गया है।

प्रश्न 7

दी गई तालिका 2023 और 2024 के मानसून महीनों में एक शहर में हुई वर्षा (मिमी में) दर्शाती है।

2023 से 2024 तक जुलाई की वर्षा में कितने प्रतिशत का परिवर्तन हुआ? (a) $14\frac{2}{7}\%$ की कमी (b) 12.5% की कमी (c) 12.5% की वृद्धि (d) 40% की कमी

उत्तर: जुलाई में वर्षा 320 मिमी से 280 मिमी हुई, यानी 40 मिमी कम। आधार 2023 है, तो $\frac{40}{320} = \frac{1}{8}$ आया। $\frac{1}{8}$ मतलब 12.5%, तो जुलाई की वर्षा में (b) 12.5% की कमी हुई।

प्रश्न 8

2023 से 2024 तक किस महीने की वर्षा में प्रतिशत वृद्धि सबसे अधिक थी? (a) जून (b) अगस्त (c) जुलाई (d) सितंबर

उत्तर: 2024 में ज़्यादा वर्षा केवल जून और अगस्त में हुई। जून में $\frac{40}{160} = 25\%$ की वृद्धि है और अगस्त में $\frac{60}{300} = 20\%$ की। अगस्त में मिलीमीटर ज़्यादा बढ़े, पर उसका आधार भी बड़ा था। इसलिए बड़ी प्रतिशत वृद्धि (a) जून की है।

प्रश्न 9

2024 की कुल मानसून वर्षा, 2023 की कुल मानसून वर्षा से कितने प्रतिशत अधिक थी? (a) $4\frac{16}{21}\%$ (b) 10% (c) 2.5% (d) 5%

उत्तर: 2023 की कुल वर्षा $160 + 320 + 300 + 220 = 1000$ मिमी है, और 2024 की $200 + 280 + 360 + 210 = 1050$ मिमी। 1000 के आधार पर 50 मिमी की बढ़त हुई, तो वर्षा (d) 5% अधिक थी। 1050 को नीचे रखें, तो उत्तर 5% से थोड़ा कम आता है। पर प्रश्न में "2023 की वर्षा से अधिक" पूछा है, तो हर में 2023 ही जाएगा।

प्रश्न 10

दी गई तालिका एक कारखाने के 160 कर्मचारियों की आयु दर्शाती है। कोई भी कर्मचारी न तो 20 वर्ष से कम आयु का है और न ही 50 वर्ष या उससे अधिक आयु का।

कितने कर्मचारियों की आयु 30 वर्ष या अधिक, किंतु 40 वर्ष से कम है? (a) 34 (b) 36 (c) 70 (d) 86

उत्तर: तालिका में 30 या अधिक आयु वाले 120 कर्मचारी हैं, और 40 या अधिक वाले 50। इन दोनों के बीच वाले $120 - 50 = 70$ कर्मचारी हुए, यानी (c) 70।

प्रश्न 11

किस आयु वर्ग में कर्मचारियों की संख्या सबसे अधिक है? (a) 30-35 वर्ष (b) 20-25 वर्ष (c) 45-50 वर्ष (d) 35-40 वर्ष

उत्तर: हर वर्ग की संख्या पड़ोसी प्रविष्टियों का अंतर है। 20-25 में $160 - 146 = 14$, 25-30 में 26, 30-35 में 34, 35-40 में 36 और 40-45 में 28। अंतिम वर्ग 45-50 की संख्या सीधे अंतिम प्रविष्टि से मिलती है, यानी 22, क्योंकि 50 या उससे अधिक आयु का कोई कर्मचारी नहीं है। इनमें 36 सबसे बड़ा है, तो उत्तर (d) 35-40 वर्ष है। यह 30-35 वाले वर्ग से ज़रा ही आगे है। तालिका की सबसे बड़ी संख्या 160 तो सबको गिनती है, इसलिए उससे किसी एक वर्ग का पता नहीं चलता।

प्रश्न 12

कितने प्रतिशत कर्मचारियों की आयु 30 वर्ष से कम है? (a) 25% (b) 75% (c) 16.25% (d) 8.75%

उत्तर: 30 से कम आयु वाले वे सब हैं, जो 30 या अधिक वालों में नहीं हैं, तो $160 - 120 = 40$। $\frac{40}{160} = \frac{1}{4}$, इसलिए (a) 25% कर्मचारी 30 से कम आयु के हैं। 75% तो 30 या अधिक आयु वालों का हिस्सा है, जो तालिका से सीधे पढ़ लिया जाता है।

प्रश्न 13

दी गई तालिका तीन विषयों में चार विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत दर्शाती है। प्रत्येक विषय के अधिकतम अंक कोष्ठक में दिए गए हैं।

तीनों विषयों में बीना के कुल अंक कितने हैं? (a) 218 (b) 245 (c) 215 (d) 208

उत्तर: हर प्रतिशत को उस विषय के अधिकतम अंकों के हिसाब से अंकों में बदलते हैं। भौतिकी में $\frac{85}{100} \times 80 = 68$, रसायन विज्ञान में $\frac{70}{100} \times 60 = 42$ और गणित में $\frac{90}{100} \times 120 = 108$। कुल $68 + 42 + 108 = 218$ हुआ, तो बीना के कुल अंक (a) 218 हैं। तीनों प्रतिशत सीधे जोड़ने पर 245 आता है, पर ऐसा करना प्रतिशत को ही अंक मान लेना है।

प्रश्न 14

दिव्या को गणित में भौतिकी से कितने अंक अधिक मिले? (a) 5 (b) 18 (c) 30 (d) 24

उत्तर: दिव्या का प्रतिशत भौतिकी (90) में गणित (85) से अधिक है, पर दोनों विषयों के अधिकतम अंक अलग हैं। गणित में $\frac{85}{100} \times 120 = 102$ अंक हैं और भौतिकी में $\frac{90}{100} \times 80 = 72$। तो गणित में $102 - 72 = 30$ अंक अधिक मिले। उत्तर (c) 30 है।

प्रश्न 15

तीनों विषयों में चेतन का कुल प्रतिशत कितना है? (a) $76\frac{2}{3}\%$ (b) 75% (c) 72.5% (d) 78%

उत्तर: पहले अंक निकालते हैं। भौतिकी में $\frac{60}{100} \times 80 = 48$, रसायन विज्ञान में $\frac{95}{100} \times 60 = 57$ और गणित में $\frac{75}{100} \times 120 = 90$। $80 + 60 + 120 = 260$ में से कुल $48 + 57 + 90 = 195$ अंक मिले। $\frac{195}{260} = \frac{3}{4}$, तो चेतन का कुल प्रतिशत (b) 75% है। 60, 95 और 75 का सीधा औसत लेने का मन होता है, पर उसमें 60 अंक वाला पर्चा 120 अंक वाले पर्चे के बराबर मान लिया जाता है।

प्रश्न 16

दी गई तालिका चार संयंत्रों द्वारा उत्पादित सीमेंट (लाख टन में) दर्शाती है। 2023 में चारों संयंत्रों का औसत उत्पादन 44 लाख टन था, और 2024 में उनका कुल उत्पादन 200 लाख टन था।

2023 में संयंत्र C ने कितना सीमेंट उत्पादित किया? (a) 44 लाख टन (b) 48 लाख टन (c) 52 लाख टन (d) 72 लाख टन

उत्तर: चारों संयंत्रों का औसत 44 है, तो 2023 का कुल $4 \times 44 = 176$ हुआ। बाकी तीन संयंत्रों का उत्पादन $40 + 36 + 52 = 128$ है। तो C का उत्पादन $176 - 128 = 48$ लाख टन है, यानी (b) 48 लाख टन। प्रश्न में 2023 का दिया हुआ आँकड़ा केवल औसत है। 200 वाला आँकड़ा तो 2024 का है।

प्रश्न 17

2023 से 2024 तक संयंत्र B के उत्पादन में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई? (a) $33\frac{1}{3}\%$ (b) 18% (c) 25% (d) 50%

उत्तर: पहले 2024 में B का लुप्त आँकड़ा निकालते हैं, $200 - (44 + 52 + 50) = 54$। B का उत्पादन 36 से 54 हुआ, यानी 36 के आधार पर 18 की वृद्धि। $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$, तो वृद्धि (d) 50% की हुई।

प्रश्न 18

2024 के कुल उत्पादन का कितना प्रतिशत संयंत्र B से आया? (a) 26% (b) $30\frac{15}{22}\%$ (c) 27% (d) 22%

उत्तर: 2024 में B का उत्पादन 54 लाख टन है, जो पिछले प्रश्न में निकाला था, और कुल 200 है। $\frac{54}{200} \times 100 = 27$, तो उत्तर (c) 27% है। आधार 2024 का कुल ही लेना है, क्योंकि प्रश्न 2024 के उत्पादन के बारे में है।

प्रश्न 19

दी गई तालिका 2020 से 2023 तक एक स्टोर की तीन शाखाओं की बिक्री (₹ लाख में) दर्शाती है।

2023 में हुई कुल बिक्री का लगभग कितना प्रतिशत शाखा Q से आया? (a) 46% (b) 36% (c) 56% (d) 26%

उत्तर: 2023 का कुल $317 + 456 + 226 = 999$ है, यानी लगभग 1000 ही। Q का हिस्सा लगभग $\frac{456}{1000} = 45.6\%$ है, तो निकटतम विकल्प (a) 46% है। विकल्पों में 10 प्रतिशत अंकों का फ़ासला है, इसलिए इससे अधिक सटीकता की ज़रूरत नहीं।

प्रश्न 20

चार में से कितने वर्षों में शाखा P की बिक्री, शाखा Q की बिक्री के 60% से अधिक थी? (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 1

उत्तर: हर वर्ष Q की बिक्री का 60% निकालते हैं। 2020 में $0.6 \times 412 = 247.2$, 2021 में 238.8, 2022 में 262.2 और 2023 में 273.6। P इनसे ऊपर 2021 (262), 2022 (291) और 2023 (317) में है, पर 2020 में नहीं (238 बनाम 247.2)। तो ऐसे (c) 3 वर्ष हैं। 2020 में दोनों आँकड़े सबसे पास थे, इसलिए उसी का हिसाब पूरा करके देखा।

प्रश्न 21

2020 से 2023 तक शाखा P की बिक्री में लगभग कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई? (a) 25% (b) 43% (c) 18% (d) 33%

उत्तर: P की बिक्री 238 से 317 हुई, यानी 79 की वृद्धि। आधार 238 है, जो लगभग 240 है। $\frac{79}{238}$ लगभग $\frac{80}{240} = \frac{1}{3}$ के बराबर है, तो वृद्धि लगभग 33% हुई, और उत्तर (d) 33% है। कोई 79 को बाद वाले वर्ष के आँकड़े 317 से भाग दे दे, तो लगभग 25% आता है, पर आधार तो पहले वाला वर्ष है।

प्रश्न 22

दी गई तालिका 2019 से 2024 तक दो विद्यालयों, A और B, से कक्षा 10 की परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले विद्यार्थियों की संख्या दर्शाती है।

कितने वर्षों में विद्यालय A से उत्तीर्ण होने वाले विद्यार्थियों की संख्या, विद्यालय B से अधिक थी? (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 5

उत्तर: हर पंक्ति पर देखते हैं कि कौन-सा विद्यालय आगे है और वहीं निशान लगाते हैं। 2019 में A (156 बनाम 140), 2020 में B, 2021 में A, 2022 में B, 2023 में A और 2024 में B। तो विद्यालय A (b) 3 वर्षों में आगे रहा।

प्रश्न 23

कितने वर्षों में विद्यालय B से उत्तीर्ण होने वाले विद्यार्थियों की संख्या, छह वर्षों के विद्यालय B के औसत से अधिक थी? (a) 3 (b) 4 (c) 2 (d) 1

उत्तर: B का कुल $140 + 162 + 165 + 190 + 168 + 205 = 1030$ है, तो औसत $\frac{1030}{6}$ हुआ, जो 172 से थोड़ा कम है। केवल 190 (2022) और 205 (2024) इससे ऊपर हैं, तो उत्तर (c) 2 है। 2023 का 168 औसत के पास तो है, पर उससे नीचे है।