एलीगेशन का नियम और लाभ के लिए मिश्रण

एलीगेशन का नियम और क्रॉस

दो चीज़ें मिलाई जाएँ और दोनों के मूल्य अलग हों, तो मिश्रण का मूल्य हमेशा इन दोनों मूल्यों के बीच में कहीं आता है। मात्राएँ पता हों और मिश्रण का मूल्य निकालना हो, तो यह सीधा प्रश्न है। ऐसे प्रश्न "मिश्रण की मूल बातें: अनुपात, सांद्रता और औसत मूल्य" वाले खंड में कर चुके हैं।

एलीगेशन (alligation) में इसका उलटा होता है। यहाँ दोनों चीज़ों के मूल्य पता होते हैं, और यह भी पता होता है कि मिश्रण किस मूल्य का चाहिए। पूछा जाता है कि दोनों को किस अनुपात में मिलाएँ।

नियम: मान लीजिए सस्ती किस्म का मूल्य C है, महँगी किस्म का D, और मिश्रण का माध्य मूल्य (mean price) M है। तब

$$\frac{\text{सस्ती किस्म की मात्रा}}{\text{महँगी किस्म की मात्रा}} = \frac{D - M}{M - C}$$

क्रॉस: एक उदाहरण लेते हैं। दाल की दो किस्में हैं, एक ₹72 प्रति किग्रा की और दूसरी ₹96 प्रति किग्रा की। दुकान को ₹82 प्रति किग्रा वाला मिश्रण चाहिए। दोनों मूल्य ऊपर लिखिए और माध्य मूल्य बीच में। अब तिरछे घटाइए। हर अंतर नीचे उस कोने में लिखिए जो उस मूल्य के ठीक तिरछे सामने है, जिससे वह अंतर निकला है।

तो सस्ती : महँगी = 14 : 10 = 7 : 5।

ध्यान दीजिए, नीचे बाएँ कोने की संख्या सस्ती किस्म का हिस्सा है, जबकि वह महँगे मूल्य से निकली है। क्रॉस में असली बात यही है कि अंतर तिरछा जाकर दूसरी किस्म के नीचे लिखा जाता है।

यह नियम सही क्यों है: सस्ती दाल का हर किग्रा माध्य मूल्य से ₹10 कम है, और महँगी दाल का हर किग्रा ₹14 अधिक। सस्ती दाल के 7 किग्रा में कुल कमी 7 × 10 = ₹70 है, और महँगी दाल के 5 किग्रा में कुल अधिकता 5 × 14 = ₹70। दोनों आपस में कट जाते हैं, इसलिए 12 किग्रा मिश्रण का मूल्य ठीक ₹82 प्रति किग्रा आता है। जाँच भी कर लेते हैं। 7 × 72 + 5 × 96 = 504 + 480 = 984, और 984 ÷ 12 = 82।

कब लगाएँ: यह नियम तभी लगता है जब ये तीन बातें हों।

1. दो ही चीज़ें मिल रही हों। तीन या उससे ज़्यादा हों, तो जोड़ियाँ बनाकर हल करते हैं। यह तरीका इसी खंड में आगे है।
2. माध्य मूल्य दोनों मानों के बीच हो, किसी एक के बराबर नहीं। ₹72 और ₹96 वाली दालों से ₹100 प्रति किग्रा का मिश्रण बन ही नहीं सकता। इसी से कुछ विकल्प तुरंत हट जाते हैं।
3. मान उसी चीज़ की "प्रति इकाई" हो, जिसका अनुपात चाहिए। मूल्य प्रति किग्रा हो, तो किग्रा का अनुपात मिलेगा, और प्रति लीटर हो, तो लीटर का।

झटपट जाँच: माध्य मूल्य उस किस्म के पास रहता है जो ज़्यादा मिलाई गई है। यहाँ ₹82 सस्ते मूल्य से ₹10 दूर है और महँगे से ₹14, तो सस्ती दाल ज़्यादा होनी चाहिए। 7 : 5 इससे मेल खाता है। माध्य मूल्य ठीक बीचोंबीच हो, तो अनुपात 1 : 1 होता है। उलटा अनुपात, यहाँ 5 : 7, लगभग हर बार विकल्पों में दिया होता है। इस जाँच से वह तुरंत पकड़ में आ जाता है।

क्रॉस से चार तरह के प्रश्न

इसी एक क्रॉस से चार तरह के प्रश्न बनते हैं। हर बार जो मान पता हैं, उन्हें क्रॉस पर भर दीजिए। जो जगह खाली बचे, वही मान निकालना है।

1. अनुपात से माध्य मूल्य: ₹110 और ₹150 प्रति लीटर वाले दो तेल 3 : 5 में मिलाए गए। माध्य मूल्य निकालने के लिए सस्ते मूल्य में दोनों मूल्यों के अंतर का उतना हिस्सा जोड़ दीजिए, जितना हिस्सा महँगे तेल का है।

$$M = C + \frac{\text{महँगी किस्म के भाग}}{\text{कुल भाग}} \times (D - C) = 110 + \frac{5}{8} \times 40 = 135$$

मिश्रण ₹135 प्रति लीटर का हुआ। जाँच कर लीजिए। (3 × 110 + 5 × 150) ÷ 8 = (330 + 750) ÷ 8 = 1080 ÷ 8 = 135।

2. अज्ञात मूल्य: एक पंसारी ₹64 प्रति किग्रा वाले चावल में दूसरा चावल 2 : 3 में मिलाता है, और मिश्रण ₹76 प्रति किग्रा का पड़ता है। मिश्रण ₹64 से महँगा है, तो दूसरा चावल महँगी किस्म है। क्रॉस पर ₹64 वाले चावल के सामने D − 76 आएगा और दूसरे के सामने 76 − 64 = 12।

$$\frac{D - 76}{12} = \frac{2}{3} \Rightarrow D - 76 = 8 \Rightarrow D = 84$$

दूसरा चावल ₹84 प्रति किग्रा का है। जाँच कर लेते हैं। (2 × 64 + 3 × 84) ÷ 5 = (128 + 252) ÷ 5 = 380 ÷ 5 = 76।

3. एक मात्रा से दूसरी: ऊपर वाला ₹82 का दाल का मिश्रण फिर से लीजिए। ₹96 वाली दाल 25 किग्रा है, तो ₹72 वाली कितनी मिलानी होगी? अनुपात 7 : 5 है। महँगी दाल के 25 किग्रा 5 भाग हैं, तो 1 भाग 5 किग्रा का हुआ। सस्ती दाल = 7 × 5 = 35 किग्रा। जाँच के लिए 35 × 72 + 25 × 96 = 2520 + 2400 = 4920, और 4920 ÷ 60 = 82।

4. कुल को बाँटना हो, या अंतर दिया हो: उसी मिश्रण का 84 किग्रा बनाना है, तो 84 को 7 : 5 में बाँटिए। 1 भाग 7 किग्रा का है, तो सस्ती दाल 49 किग्रा और महँगी 35 किग्रा होगी। अब मान लीजिए प्रश्न में कहा है कि दुकान ने सस्ती दाल, महँगी से 18 किग्रा ज़्यादा ली। यह 18 किग्रा का अंतर 7 − 5 = 2 भाग है, तो 1 भाग 9 किग्रा का हुआ, और दोनों दालें 63 किग्रा और 45 किग्रा हैं।

पहले से रखे माल में मिलाना: एक व्यापारी के पास ₹260 प्रति किग्रा वाली 40 किग्रा चाय है। उसमें ₹340 प्रति किग्रा वाली कितनी चाय मिलाए कि पूरी चाय ₹290 प्रति किग्रा की हो जाए?

₹260 वाली : ₹340 वाली = 50 : 30 = 5 : 3। व्यापारी की 40 किग्रा चाय 5 भाग है, तो 1 भाग 8 किग्रा का हुआ। अब ₹340 वाली चाय 3 × 8 = 24 किग्रा मिलानी होगी। जाँच के लिए 40 × 260 + 24 × 340 = 10,400 + 8,160 = 18,560, और 18,560 ÷ 64 = 290।

पहले से रखा माल ख़ुद भी कोई मिश्रण हो सकता है। इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता। बस उसका प्रति किग्रा मूल्य पता होना चाहिए।

[SSC टिप] जिस किस्म की मात्रा दी हो, उसे उसी किस्म के भागों से भाग दीजिए, तब एक भाग का मान मिलता है। यहाँ 40 किग्रा को 3 भाग मान लें, तो $66\frac{2}{3}$ किग्रा आता है। यह गलत उत्तर अक्सर विकल्पों में दिया होता है।

प्रतिशत पर एलीगेशन: दो सांद्रताएँ

किसी द्रव में दूध, अम्ल या अल्कोहल कितने प्रतिशत है, यह भी एक "प्रति लीटर मान" ही है, बिल्कुल मूल्य की तरह। इसलिए क्रॉस सांद्रताओं पर भी लगता है। यहाँ औसत लीटरों के हिसाब से निकलता है, तो क्रॉस से दोनों द्रवों के आयतन का, यानी लीटरों का अनुपात मिलता है।

दो मान हमेशा तय रहते हैं।

• सादे पानी में दूसरा द्रव 0% होता है।
• शुद्ध द्रव 100% होता है।

दो सांद्रताएँ, एक लक्ष्य: 22% और 37% अम्ल वाले विलयन मिलाकर 27% अम्ल वाला विलयन बनाना है।

22% वाला विलयन : 37% वाला विलयन = 10 : 5 = 2 : 1। जाँच कर लेते हैं। पहले विलयन के 2 लीटर में 0.44 लीटर अम्ल है और दूसरे के 1 लीटर में 0.37 लीटर। कुल 3 लीटर में 0.81 लीटर अम्ल हुआ, जो 27% है।

तेज़ विलयन में कमज़ोर विलयन: 50% वाले 15 लीटर विलयन में 20% वाला विलयन कितने लीटर मिलाएँ कि 26% वाला विलयन बने?

20% : 50% = (50 − 26) : (26 − 20) = 24 : 6 = 4 : 1

50% वाले 15 लीटर 1 भाग हैं, तो 20% वाला 4 × 15 = 60 लीटर मिलाना होगा। जाँच के लिए रसायन गिन लीजिए। 12 + 7.5 = 19.5 लीटर रसायन है, कुल 75 लीटर में, यानी 26%।

पानी मिलाना: 75% अल्कोहल वाले 36 लीटर विलयन को 60% पर लाना है। कितना पानी मिलाएँ? पानी में अल्कोहल 0% है, तो

पानी : विलयन = (75 − 60) : (60 − 0) = 15 : 60 = 1 : 4

36 लीटर विलयन के लिए 9 लीटर पानी चाहिए। जाँच कीजिए, 45 लीटर में 27 लीटर अल्कोहल है, जो 60% है। "मिश्रण की मूल बातें: अनुपात, सांद्रता और औसत मूल्य" वाले खंड में यही प्रश्न अल्कोहल की मात्रा को स्थिर मानकर किया गया है। दोनों तरीकों से एक ही उत्तर आता है, तो जो तेज़ लगे, वही कीजिए।

शुद्ध द्रव मिलाना: 70% दूध वाले 40 लीटर मिश्रण में कितना शुद्ध दूध मिलाएँ कि दूध 76% हो जाए? शुद्ध दूध 100% है। मिश्रण : दूध = (100 − 76) : (76 − 70) = 24 : 6 = 4 : 1, तो 10 लीटर दूध मिलाना है। जाँच के लिए दूध गिन लीजिए। 28 + 10 = 38 लीटर दूध है, 50 लीटर में, यानी 76%।

भिन्न भी इसी तरह: कभी सांद्रता भिन्न में दी होती है, जैसे $\frac{2}{3}$ दूध या $\frac{3}{4}$ दूध। इन्हें भी क्रॉस पर ठीक प्रतिशत की तरह रखिए। बस पहले सारी भिन्नों के हर बराबर कर लीजिए, जैसा आगे अनुपातों वाले प्रश्नों में करेंगे।

कभी बर्तन से कुछ द्रव निकालकर उसकी जगह दूसरी सांद्रता वाला द्रव डाला जाता है। ऐसे प्रश्न भी इसी क्रॉस से हो जाते हैं। ये "निकासी और प्रतिस्थापन" वाले खंड में हैं।

एक बात ध्यान रखिए। क्रॉस से जो अनुपात मिलता है, वह दोनों द्रवों के आयतनों का है, उनमें मौजूद अम्ल की मात्राओं का नहीं। दूसरी बात, शुरू से अंत तक एक ही घटक का प्रतिशत लीजिए। प्रश्न में पानी के प्रतिशत दिए हों, तो क्रॉस पर भी पानी के ही प्रतिशत रखिए, या फिर सबको दूसरे द्रव के प्रतिशत में बदल लीजिए।

अनुपातों पर एलीगेशन

कई प्रश्नों में हर बर्तन के मिश्रण का अनुपात दिया होता है, जैसे दूध : पानी = 7 : 3। पर क्रॉस पर हर बर्तन के लिए एक ही संख्या रखी जाती है। इसके लिए पूरे मिश्रण में एक घटक का भिन्नात्मक भाग लीजिए।

• दूध : पानी = 7 : 3 हो, तो दूध मिश्रण का $\frac{7}{10}$ है।
• दूध : पानी = 2 : 3 हो, तो दूध मिश्रण का $\frac{2}{5}$ है।

फिर इन भिन्नों पर ठीक प्रतिशत की तरह एलीगेशन लगाइए।

भिन्नों के हर एक जैसे हों: बर्तन A में दूध और पानी 7 : 3 में हैं, और बर्तन B में 2 : 3 में। दूध और पानी 3 : 2 में पाने के लिए इन्हें किस अनुपात में मिलाएँ? दूध का भाग A में $\frac{7}{10}$ है, B में $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$, और लक्ष्य $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$ है। तो पूरा हिसाब दसवें भागों में कर लेते हैं।

B : A = 1 : 2, यानी A : B = 2 : 1। जाँच कर लेते हैं। A के 2 लीटर में 1.4 लीटर दूध है और B के 1 लीटर में 0.4 लीटर। 3 लीटर में 1.8 लीटर दूध और 1.2 लीटर पानी हुआ, यानी 3 : 2।

भिन्नों के हर अलग-अलग हों: तब तीनों भिन्नों को उनके हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) पर ले आइए। इसे छोटे में ल.स. लिखते हैं। जैसे A में दूध : पानी = 5 : 3 है, यानी दूध $\frac{5}{8}$ है। B में 3 : 4 है, यानी दूध $\frac{3}{7}$ है। लक्ष्य 1 : 1 है, यानी दूध $\frac{1}{2}$। 8, 7 और 2 का ल.स. 56 है, तो भिन्नें $\frac{35}{56}$, $\frac{24}{56}$ और $\frac{28}{56}$ हो जाती हैं। अब केवल अंशों पर एलीगेशन लगाइए। A : B = (28 − 24) : (35 − 28) = 4 : 7। जाँच के लिए देखिए, A के 4 लीटर में 2.5 लीटर दूध है और B के 7 लीटर में 3 लीटर। 11 लीटर में 5.5 लीटर दूध हुआ, यानी ठीक आधा।

अनुपात को सीधे क्रॉस पर रखने की गलती: 7 : 3 को क्रॉस पर $\frac{7}{3}$ की तरह रखना गलत है, क्योंकि यह पानी के प्रति लीटर दूध है। पहले प्रश्न में ऐसा करें, तो $\frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$ और $\frac{7}{3} - \frac{3}{2} = \frac{5}{6}$ आते हैं, और अनुपात 1 : 1 निकलता है। पर दोनों का 1-1 लीटर मिलाने पर असल में 1.1 लीटर दूध और 0.9 लीटर पानी मिलता है। यह 11 : 9 है, 3 : 2 नहीं। गड़बड़ इसलिए होती है कि "पानी के प्रति लीटर दूध" पानी के लीटरों के हिसाब से है, जबकि हम लीटर पूरे मिश्रण के मिला रहे हैं। इसलिए भाग हमेशा पूरे मिश्रण में ही लीजिए।

मिश्रधातुएँ भी इसी तरह: एक मिश्रधातु में ताँबा और जस्ता 7 : 5 में हैं, और दूसरी में 1 : 2 में। दूसरी मिश्रधातु 24 किग्रा है। इसके साथ पहली मिश्रधातु कितने किग्रा पिघलाएँ कि ताँबा और जस्ता बराबर हो जाएँ? ताँबे का भाग पहली में $\frac{7}{12}$ है, दूसरी में $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, और लक्ष्य $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$ है। पहली : दूसरी = (6 − 4) : (7 − 6) = 2 : 1। तो दूसरी के 24 किग्रा के लिए पहली 48 किग्रा चाहिए। जाँच कीजिए, 72 किग्रा में ताँबा 28 + 8 = 36 किग्रा है, यानी आधा।

कोई भी घटक लें, उत्तर वही: पहले वाला प्रश्न पानी का भाग लेकर हल कीजिए। पानी का भाग $\frac{3}{10}$ और $\frac{6}{10}$ है, और लक्ष्य $\frac{4}{10}$। A : B = (6 − 4) : (4 − 3) = 2 : 1, यानी उत्तर वही आया।

कभी दो मिश्रण किसी दिए हुए अनुपात में मिलाए जाते हैं और नया अनुपात पूछा जाता है। यह सीधा प्रश्न है, जो "मिश्रण की मूल बातें: अनुपात, सांद्रता और औसत मूल्य" वाले खंड में आ चुका है।

मिश्रण के बाहर एलीगेशन

क्रॉस केवल मिश्रण के लिए नहीं है। दो दरों का कोई भी औसत हो, उस पर यह लगता है। बस यह पता होना चाहिए कि दर किसके प्रति नापी गई है। "प्रति" के बाद जो चीज़ आती है, औसत उसी के हिसाब से निकलता है, और क्रॉस से उसी चीज़ का अनुपात मिलता है।

ब्याज की दो दरें: ₹48,000 दो भागों में उधार दिए गए, एक भाग 6% और दूसरा 11% वार्षिक ब्याज पर। एक वर्ष का कुल ब्याज ₹3,840 है। औसत दर = 3,840 ÷ 48,000 × 100 = 8%। अब 6% वाली राशि : 11% वाली राशि = (11 − 8) : (8 − 6) = 3 : 2। तो ₹28,800 पर 6% ब्याज है और ₹19,200 पर 11%। जाँच कर लेते हैं, 1,728 + 2,112 = 3,840।

[Tier 2] कई वर्षों का ब्याज: ब्याज कई वर्षों का दिया हो, तो पहले उसे वर्षों की संख्या से भाग दीजिए। मान लीजिए उसी ₹48,000 पर 3 वर्ष में ₹11,520 ब्याज मिला। यह ₹3,840 प्रति वर्ष हुआ, और औसत दर फिर वही 8% आती है।

कुछ पर लाभ, बाकी पर हानि: एक व्यापारी के पास 600 किग्रा चीनी है। उसने कुछ चीनी 12% लाभ पर बेची और बाकी 4% हानि पर। कुल मिलाकर उसे 6% लाभ हुआ। हानि को ऋणात्मक लाभ मानिए, यानी क्रॉस पर −4 रखिए।

लाभ वाला भाग : हानि वाला भाग = (6 − (−4)) : (12 − 6) = 10 : 6 = 5 : 3

तो 12% लाभ पर 375 किग्रा चीनी बिकी। जाँच के लिए हर किग्रा का क्रय मूल्य ₹c मान लीजिए। 375 × 0.12c − 225 × 0.04c = 45c − 9c = 36c, और यह 600c का 6% है। वैसे लाभ % क्रय मूल्य पर निकलता है, इसलिए क्रॉस से असल में क्रय मूल्यों का अनुपात मिलता है। यहाँ वही किग्रा का अनुपात भी है, क्योंकि हर किग्रा का क्रय मूल्य एक ही है।

दो चालें: एक व्यक्ति 5 घंटे में 54 किमी जाता है। कुछ रास्ता वह 6 किमी/घंटा से पैदल चलता है और बाकी 18 किमी/घंटा से साइकिल पर। उसकी औसत चाल 10.8 किमी/घंटा है।

पैदल का समय : साइकिल का समय = (18 − 10.8) : (10.8 − 6) = 7.2 : 4.8 = 3 : 2

तो वह 3 घंटे पैदल चला, यानी 18 किमी। चाल किमी प्रति घंटा में है, इसलिए क्रॉस से घंटों का ही अनुपात मिलता है। यहाँ सबसे आम गलती यही होती है कि 3 : 2 को दूरियों का अनुपात मान लिया जाता है। तब पैदल दूरी 32.4 किमी आती है, जो गलत है।

दो समूह: किसी परीक्षा में 70% लड़के और 55% लड़कियाँ उत्तीर्ण हुईं। सब विद्यार्थियों को मिलाकर 64% उत्तीर्ण हुए। तो लड़के : लड़कियाँ = (64 − 55) : (70 − 64) = 9 : 6 = 3 : 2।

सिक्के: एक थैले में ₹2 और ₹5 के 120 सिक्के हैं, जिनका कुल मूल्य ₹348 है। एक सिक्के का औसत मूल्य = 348 ÷ 120 = ₹2.90। तो ₹2 के सिक्के : ₹5 के सिक्के = (5 − 2.9) : (2.9 − 2) = 2.1 : 0.9 = 7 : 3। यानी 84 सिक्के ₹2 के हैं और 36 सिक्के ₹5 के। जाँच कर लीजिए, 168 + 180 = 348।

तीन या अधिक किस्में

तीन या उससे ज़्यादा मूल्य हों, तो माध्य मूल्य से नीचे वाले हर मूल्य की जोड़ी ऊपर वाले किसी मूल्य से बनाइए। हर जोड़ी पर अलग क्रॉस लगाइए। जो किस्म दो जोड़ियों में आए, उसके दोनों हिस्से जोड़ दीजिए।

दो सस्ती, एक महँगी: ₹31, ₹37 और ₹55 प्रति किग्रा वाले चावल से ₹43 प्रति किग्रा वाला चावल बनाना है। ₹31 और ₹37 तो ₹43 से नीचे हैं, और ₹55 ऊपर।

• ₹31 की जोड़ी ₹55 से बनाइए। ₹31 का हिस्सा 55 − 43 = 12 और ₹55 का 43 − 31 = 12 है।
• ₹37 की जोड़ी भी ₹55 से बनाइए। ₹37 का हिस्सा 55 − 43 = 12 और ₹55 का 43 − 37 = 6 है।

₹31 : ₹37 : ₹55 = 12 : 12 : 18 = 2 : 2 : 3। जाँच कर लेते हैं। 2 × 31 + 2 × 37 + 3 × 55 = 62 + 74 + 165 = 301, और 301 ÷ 7 = 43।

कई उत्तर सही: पहली जोड़ी को किसी भी मात्रा में लीजिए और दूसरी को भी, माध्य मूल्य ₹43 ही रहेगा। इसलिए सही अनुपात अनगिनत हैं। जैसे 1 : 2 : 2 भी सही है, क्योंकि 31 + 74 + 110 = 215, और 215 ÷ 5 = 43। इसीलिए SSC यह प्रश्न इस तरह पूछता है, "निम्नलिखित में से कौन-सा अनुपात हो सकता है", और साथ में चार विकल्प देता है। ऐसे में एक अनुपात निकालकर उसे विकल्पों में ढूँढने से काम नहीं चलेगा। विकल्पों को ही जाँचिए।

संतुलन जाँच: माध्य मूल्य से नीचे वाली किस्म का हर किग्रा, माध्य मूल्य से अपनी दूरी जितना कम पड़ता है। ऊपर वाली किस्म का हर किग्रा भी अपनी दूरी जितना अधिक पड़ता है। अनुपात तभी सही है जब कुल कमी और कुल अधिकता बराबर हों।

• 2 : 2 : 3 में कमी = 2 × 12 + 2 × 6 = 36 और अधिकता = 3 × 12 = 36 है, तो यह सही है।
• 3 : 2 : 2 में कमी = 3 × 12 + 2 × 6 = 48 और अधिकता = 2 × 12 = 24 है, तो यह गलत है।

यह हर विकल्प का पूरा औसत निकालने से कहीं तेज़ है।

अनुपात का एक पद पता न हो: ₹66, ₹78 और ₹102 प्रति किग्रा वाली दालें 2 : 3 : x में मिलाई गईं, और मिश्रण ₹84 प्रति किग्रा का पड़ा। कमी = 2 × 18 + 3 × 6 = 54 और अधिकता = x × 18। दोनों बराबर हैं, तो 18x = 54, यानी x = 3। जाँच कीजिए, (132 + 234 + 306) ÷ 8 = 672 ÷ 8 = 84।

पहले दो का मिश्रण, फिर तीसरी: ₹210 और ₹270 प्रति किग्रा वाली चाय 2 : 1 में मिलाई गई। फिर इस मिश्रण को ₹310 प्रति किग्रा वाली चाय के साथ मिलाकर ₹250 प्रति किग्रा वाला मिश्रण बनाया गया। तीनों चायों का अंतिम अनुपात क्या है?

• पहला मिश्रण (2 × 210 + 270) ÷ 3 = ₹230 प्रति किग्रा का है।
• पहला मिश्रण : तीसरी चाय = (310 − 250) : (250 − 230) = 60 : 20 = 3 : 1 है।
• पहले मिश्रण के 3 भाग 2 : 1 में बँटते हैं, तो तीनों चाय 2 : 1 : 1 में हैं। जाँच के लिए (420 + 270 + 310) ÷ 4 = 1000 ÷ 4 = 250।

एक सस्ती, दो महँगी: तब अकेले सस्ते मूल्य की जोड़ी हर महँगे मूल्य से बनाइए, और उसके दोनों हिस्से जोड़ दीजिए। बाकी सब वैसा ही है।

लाभ के लिए मिश्रण: पहले क्रय मूल्य

CGL के पेपर में एलीगेशन के प्रश्न में अक्सर विक्रय मूल्य (selling price, SP) भी दिया होता है। प्रश्न कुछ ऐसा होता है, "मिश्रण को ₹x प्रति किग्रा पर बेचने से y% लाभ होता है"।

यहाँ ध्यान रखिए कि दोनों किस्मों के जो मूल्य दिए हैं, वे उनके क्रय मूल्य (cost price, CP) हैं। इसलिए क्रॉस पर मिश्रण का भी क्रय मूल्य चाहिए, विक्रय मूल्य नहीं। तो पहले मिश्रण का क्रय मूल्य निकालिए, उसके बाद एलीगेशन लगाइए। छोटे में इन्हें क्र.मू. और वि.मू. लिख लेते हैं।

$$\text{मिश्रण का क्र.मू.} = \text{वि.मू.} \times \frac{100}{100 + \text{लाभ}\%} \quad \text{या} \quad \text{वि.मू.} \times \frac{100}{100 - \text{हानि}\%}$$

लाभ के साथ: चावल की दो किस्में ₹54 और ₹69 प्रति किग्रा की हैं। मिश्रण ₹72 प्रति किग्रा पर बेचने से 20% लाभ हुआ। दोनों को किस अनुपात में मिलाया गया?

• मिश्रण का क्र.मू. = 72 × $\frac{100}{120}$ = ₹60 प्रति किग्रा।
• अब क्रय मूल्यों पर क्रॉस लगाइए, (69 − 60) : (60 − 54) = 9 : 6 = 3 : 2।

जाँच के लिए इसी अनुपात में मिलाकर मिश्रण का मूल्य निकालिए। (3 × 54 + 2 × 69) ÷ 5 = (162 + 138) ÷ 5 = ₹60, और 60 पर 20% अधिक 72 होता है।

हानि के साथ: तेल की दो किस्में ₹155 और ₹200 प्रति लीटर की हैं। मिश्रण ₹168 प्रति लीटर पर बेचने से 4% हानि हुई।

• मिश्रण का क्र.मू. = 168 × $\frac{100}{96}$ = ₹175 प्रति लीटर।
• क्रॉस से (200 − 175) : (175 − 155) = 25 : 20 = 5 : 4।

जाँच कर लीजिए। (5 × 155 + 4 × 200) ÷ 9 = (775 + 800) ÷ 9 = 1575 ÷ 9 = 175, और 175 से 4% कम 168 है।

दो चूकें, जिनसे गलत विकल्प बनते हैं:

1. विक्रय मूल्य पर एलीगेशन: यहाँ ₹168 भी ₹155 और ₹200 के बीच ही है, इसलिए इसे सीधे क्रॉस पर रख देने की भूल आसानी से हो जाती है। ऐसा करने पर (200 − 168) : (168 − 155) = 32 : 13 आता है, जो गलत है।
2. विक्रय मूल्य में से लाभ घटाना: चावल वाले प्रश्न में कोई 72 − (72 का 20%) = 57.6 लिख दे, तो यह क्रय मूल्य नहीं है। 20% लाभ क्रय मूल्य पर है, इसलिए 1.2 से भाग देना होता है। 57.6 लेने पर (69 − 57.6) : (57.6 − 54) = 11.4 : 3.6 = 19 : 6 आता है।

भिन्न वाले लाभ: आम लाभ प्रतिशतों को भिन्न में लिखें, तो काम और जल्दी होता है।

• लाभ 25% = $\frac{1}{4}$ हो, तो क्र.मू. = वि.मू. × $\frac{4}{5}$
• लाभ 20% = $\frac{1}{5}$ हो, तो क्र.मू. = वि.मू. × $\frac{5}{6}$
• लाभ $16\frac{2}{3}\%$ = $\frac{1}{6}$ हो, तो क्र.मू. = वि.मू. × $\frac{6}{7}$
• लाभ $12\frac{1}{2}\%$ = $\frac{1}{8}$ हो, तो क्र.मू. = वि.मू. × $\frac{8}{9}$
• 10% हानि हो, तो क्र.मू. = वि.मू. × $\frac{10}{9}$

तीन कदम:

1. विक्रय मूल्य और लाभ या हानि से मिश्रण का क्रय मूल्य निकालिए।
2. वह दोनों क्रय मूल्यों के बीच आएगा। उसके दोनों ओर के क्रय मूल्यों पर एलीगेशन लगाइए।
3. अब इसी अनुपात से वह निकालिए जो पूछा गया है, चाहे अनुपात हो, कोई मात्रा हो या मूल्य।

[SSC टिप] मिश्रण का क्रय मूल्य हमेशा दोनों क्रय मूल्यों के बीच ही आता है। आपका निकाला क्र.मू. इनसे बाहर चला जाए, तो समझिए कि लाभ या हानि उलटी ओर लगा दी गई है।

लाभ के लिए मिश्रण: मात्रा, मूल्य, लाभ

प्रश्न किसी भी रूप में आए, हर बार यही तीन कदम करने हैं। बस हर बार पूछी गई चीज़ बदल जाती है। कभी मात्रा पूछी जाती है, कभी मूल्य, तो कभी लाभ।

मात्रा: ₹180 प्रति किग्रा वाली 36 किग्रा चाय में ₹225 प्रति किग्रा वाली कितने किग्रा चाय मिलाएँ कि मिश्रण ₹231 प्रति किग्रा पर बेचने से 10% लाभ हो?

• मिश्रण का क्र.मू. = 231 × $\frac{100}{110}$ = ₹210।
• ₹180 वाली : ₹225 वाली = (225 − 210) : (210 − 180) = 15 : 30 = 1 : 2।
• ₹180 वाली 36 किग्रा चाय 1 भाग है, तो ₹225 वाली 72 किग्रा चाहिए।

जाँच कर लेते हैं। 36 × 180 + 72 × 225 = 6,480 + 16,200 = 22,680, और यह 108 किग्रा का मूल्य है। प्रति किग्रा ₹210 हुआ, और इस पर 10% अधिक ₹231 है।

अनुपात दिया हो, लाभ पूछा हो: ₹23 और ₹32 प्रति किग्रा वाला गेहूँ 5 : 4 में मिलाकर ₹32.40 प्रति किग्रा पर बेचा गया। लाभ प्रतिशत क्या है?

• क्र.मू. = (5 × 23 + 4 × 32) ÷ 9 = (115 + 128) ÷ 9 = 243 ÷ 9 = ₹27। चाहें तो 23 + $\frac{4}{9}$ × 9 = 27 से भी निकाल सकते हैं।
• लाभ ₹27 पर ₹5.40 है, यानी 20%।

लाभ हमेशा क्रय मूल्य पर निकलता है। ₹32.40 पर ₹5.40 लेकर $16\frac{2}{3}\%$ लिखना गलत है।

लक्ष्य लाभ के लिए विक्रय मूल्य: उसी गेहूँ पर 25% लाभ चाहिए, तो उसे 27 × 1.25 = ₹33.75 प्रति किग्रा पर बेचना होगा।

अज्ञात मूल्य: एक पंसारी ₹44 प्रति किग्रा वाले चावल में दूसरा चावल 3 : 1 में मिलाता है। मिश्रण ₹57 प्रति किग्रा पर बेचने से उसे 20% लाभ होता है। दूसरे चावल का मूल्य क्या है?

• मिश्रण का क्र.मू. = 57 × $\frac{5}{6}$ = ₹47.50।
• मिश्रण के 4 किग्रा का मूल्य 4 × 47.5 = ₹190 है। पहले चावल के 3 किग्रा ₹132 के हैं, तो दूसरे चावल का 1 किग्रा ₹58 का है।

क्रॉस से भी जाँच लीजिए। (58 − 47.5) : (47.5 − 44) = 10.5 : 3.5 = 3 : 1।

महँगी किस्म के मूल्य पर बिक्री: ₹39 और ₹54 प्रति किग्रा वाली चीनी मिलाई गई, और मिश्रण ₹54 प्रति किग्रा पर बेचने से 20% लाभ हुआ। क्र.मू. = 54 × $\frac{5}{6}$ = ₹45, तो ₹39 वाली : ₹54 वाली = (54 − 45) : (45 − 39) = 9 : 6 = 3 : 2। जाँच कीजिए, (3 × 39 + 2 × 54) ÷ 5 = (117 + 108) ÷ 5 = 45।

[Tier 2] मिलाने का अनुपात बदलना: वही चीनी अब 2 : 3 में मिलाई जाए और उसी ₹54 पर बिके, तो क्र.मू. = (78 + 162) ÷ 5 = ₹48 होता है। अब लाभ ₹48 पर केवल ₹6 है, यानी 12.5%। महँगी किस्म ज़्यादा हो, तो क्रय मूल्य ऊँचा हो जाता है, और उसी विक्रय मूल्य पर लाभ घट जाता है।

मुफ़्त पानी: क्रय मूल्य पर बिक्री

पानी का कोई मूल्य नहीं होता, तो क्रॉस पर उसे ₹0 लिखते हैं। ग्वाला दूध में पानी मिलाकर मिश्रण को शुद्ध दूध के क्रय मूल्य पर बेचे, तब भी उसे लाभ होता है। यह लाभ केवल इसलिए है कि पानी भी दूध के भाव बिक रहा है।

क्रय मूल्य पर बिक्री: दूध ₹63 प्रति लीटर का है। ग्वाला उसमें पानी मिलाकर मिश्रण ₹63 प्रति लीटर पर बेचता है, और उसे 12.5% लाभ होता है।

• मिश्रण का क्र.मू. = 63 × $\frac{8}{9}$ = ₹56 प्रति लीटर।
• पानी (₹0) : दूध (₹63) = (63 − 56) : (56 − 0) = 7 : 56 = 1 : 8।

बिक्री क्रय मूल्य पर ही हो, तो इससे भी जल्दी हो जाता है। ऐसे में लाभ प्रतिशत ठीक उतना होता है, जितना पानी दूध का प्रतिशत है। तो पानी : दूध = लाभ% : 100 = 12.5 : 100 = 1 : 8।

$$\text{लाभ}\% = \frac{\text{पानी}}{\text{दूध}} \times 100 \quad \text{(दूध के क्रय मूल्य पर बेचने पर)}$$

उलटी तरफ़ से देखें, तो हर 8 लीटर दूध में 1 लीटर पानी मिलाकर क्रय मूल्य पर बेचने से 12.5% लाभ होता है।

मिश्रण में पानी का हिस्सा: 1 : 8 वाले मिश्रण में पानी पूरे का $\frac{1}{9}$ है, यानी $11\frac{1}{9}\%$, 12.5% नहीं। प्रश्न पूछे कि मिश्रण में पानी कितने प्रतिशत है, तो $\frac{g}{100 + g} \times 100$ लगाइए, जहाँ g लाभ प्रतिशत है।

कितना पानी मिलाएँ: ₹52 प्रति लीटर वाले 56 लीटर दूध में कितना पानी मिलाएँ कि मिश्रण ₹52 प्रति लीटर पर बेचने से 25% लाभ हो? पानी दूध का 25% होगा, यानी 14 लीटर। जाँच कर लेते हैं। 70 लीटर की बिक्री 70 × 52 = ₹3,640 है और लागत 56 × 52 = ₹2,912। लाभ ₹728 हुआ, जो 25% है। पानी को मिश्रण का 25% मान लें, तो $18\frac{2}{3}$ लीटर आता है। यह गलत विकल्प भी दिया होता है।

क्रय मूल्य से ऊपर बिक्री: दूध ₹45 प्रति लीटर का है। ग्वाला पानी मिलाकर ₹48 प्रति लीटर पर बेचता है और 28% लाभ कमाता है। मिश्रण का क्र.मू. = 48 ÷ 1.28 = ₹37.50। तो पानी : दूध = (45 − 37.5) : (37.5 − 0) = 7.5 : 37.5 = 1 : 5। जाँच कीजिए, 5 लीटर दूध की लागत ₹225 है और 6 लीटर मिश्रण की बिक्री ₹288। लाभ ₹63 हुआ, जो 28% है।

क्रय मूल्य से नीचे बिक्री, फिर भी लाभ: एक डेयरी पतला किया हुआ दूध, दूध के क्रय मूल्य से 10% कम पर बेचती है, फिर भी उसे 20% लाभ होता है। दूध ₹100 प्रति लीटर मान लीजिए। मिश्रण ₹90 पर बिका, तो उसकी लागत = 90 ÷ 1.2 = ₹75। पानी : दूध = (100 − 75) : (75 − 0) = 25 : 75 = 1 : 3।

इसकी जाँच एक पंक्ति में हो जाती है। (मिश्रण ÷ दूध) × (वि.मू. ÷ दूध का क्र.मू.) = 1 + लाभ। यहाँ $\frac{4}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{6}{5}$ है, यानी 20% लाभ।

जूस, तेल, कुछ भी: पानी मिलाकर पतला किया गया जूस हो या कोई और द्रव, नियम यही रहता है। पर मिलाई गई चीज़ मुफ़्त न हो, जैसे सस्ता तेल, तो प्रश्न ऊपर वाले सामान्य दो मूल्यों वाले प्रश्नों जैसा हो जाता है।

[SSC टिप] बिक्री क्रय मूल्य पर हो, तो लाभ = पानी ÷ दूध होता है, पानी ÷ मिश्रण नहीं। विकल्पों में ये दोनों उत्तर हमेशा दिए होते हैं, इसलिए देख लीजिए कि प्रश्न कौन-सा माँग रहा है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक पंसारी ₹68 प्रति किग्रा और ₹89 प्रति किग्रा वाली दाल की दो किस्मों को किस अनुपात में मिलाए कि मिश्रण का मूल्य ₹77 प्रति किग्रा हो? (a) 3 : 4 (b) 4 : 3 (c) 5 : 4 (d) 7 : 5

उत्तर: माध्य मूल्य ₹77 सस्ते मूल्य से 9 ऊपर है और महँगे से 12 नीचे। क्रॉस में सस्ती दाल के हिस्से में महँगी वाली दूरी आती है, तो सस्ती : महँगी = (89 − 77) : (77 − 68) = 12 : 9 = 4 : 3, यानी (b) 4 : 3। मिलाकर देख लेते हैं, 4 × 68 + 3 × 89 = 272 + 267 = 539, और 539 ÷ 7 = 77। ₹77, ₹68 के ज़्यादा पास है, तो सस्ती दाल ज़्यादा होनी ही थी।

प्रश्न 2

₹43 प्रति किग्रा वाली कितने किग्रा चीनी को ₹52 प्रति किग्रा वाली 32 किग्रा चीनी के साथ मिलाया जाए कि मिश्रण का मूल्य ₹47 प्रति किग्रा हो? (a) 25.6 किग्रा (b) 36 किग्रा (c) 40 किग्रा (d) 44 किग्रा

उत्तर: सस्ती : महँगी = (52 − 47) : (47 − 43) = 5 : 4। दी गई 32 किग्रा चीनी महँगी वाली है, यानी 4 भाग। तो 1 भाग 8 किग्रा का हुआ, और सस्ती चीनी 5 × 8 = (c) 40 किग्रा मिलानी होगी। अब 40 किग्रा सस्ती और 32 किग्रा महँगी चीनी का कुल मूल्य देखते हैं, 40 × 43 + 32 × 52 = 1720 + 1664 = 3384, और यह 72 किग्रा का है। 3384 ÷ 72 = 47 ही आता है। जल्दबाज़ी में कुछ लोग 32 किग्रा को 5 भाग मान लेते हैं और 25.6 किग्रा लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 3

चाय की दो किस्मों को 5 : 3 के अनुपात में मिलाया जाता है। पहली किस्म का मूल्य ₹240 प्रति किग्रा है और मिश्रण का मूल्य ₹270 प्रति किग्रा है। दूसरी किस्म का प्रति किग्रा मूल्य क्या है? (a) ₹288 (b) ₹300 (c) ₹350 (d) ₹320

उत्तर: मिश्रण ₹240 से महँगा है, तो दूसरी चाय महँगी किस्म है, और 8 में से 3 भाग उसी के हैं। इसलिए माध्य मूल्य ₹240 से उतना ऊपर है, जितना दोनों मूल्यों के अंतर का $\frac{3}{8}$ होता है। तो 270 = 240 + $\frac{3}{8}$ × (D − 240), जिससे D − 240 = 80 और D = 320 आता है। दूसरी चाय (d) ₹320 प्रति किग्रा की है। इसी अनुपात में मिलाकर देखें, तो 5 × 240 + 3 × 320 = 1200 + 960 = 2160, और 2160 ÷ 8 = 270 ही आता है।

प्रश्न 4

एक दुकानदार ₹37 प्रति किग्रा और ₹61 प्रति किग्रा वाले दो प्रकार के चावल से ₹45 प्रति किग्रा मूल्य का 63 किग्रा मिश्रण बनाना चाहता है। उसे सस्ता चावल कितने किग्रा लेना चाहिए? (a) 42 किग्रा (b) 21 किग्रा (c) 31.5 किग्रा (d) 36 किग्रा

उत्तर: सस्ता : महँगा = (61 − 45) : (45 − 37) = 16 : 8 = 2 : 1। पूरा 63 किग्रा 3 भाग है, तो 1 भाग 21 किग्रा का हुआ, और सस्ता चावल 2 × 21 = (a) 42 किग्रा लेना चाहिए। 42 किग्रा सस्ता और 21 किग्रा महँगा चावल लेकर हिसाब पक्का कर लेते हैं, 42 × 37 + 21 × 61 = 1554 + 1281 = 2835, और 2835 ÷ 63 = 45।

प्रश्न 5

38% अम्ल वाले 18 लीटर विलयन में 8% अम्ल वाला कितने लीटर विलयन मिलाया जाए कि 20% अम्ल वाला विलयन प्राप्त हो? (a) 12 लीटर (b) 27 लीटर (c) 36 लीटर (d) 30 लीटर

उत्तर: क्रॉस लगाते हैं। 8% वाला : 38% वाला = (38 − 20) : (20 − 8) = 18 : 12 = 3 : 2। 38% वाले 18 लीटर 2 भाग हैं, तो 1 भाग 9 लीटर का हुआ। इसलिए 8% वाला विलयन 3 × 9 = 27 लीटर चाहिए, यानी विकल्प (b) 27 लीटर। अब अम्ल गिनकर देखते हैं। 2.16 + 6.84 = 9 लीटर अम्ल है, कुल 45 लीटर में, और यह 20% ही है।

प्रश्न 6

बर्तन A के दूध में 55% शुद्ध दूध है (शेष पानी) और बर्तन B के दूध में 85% शुद्ध दूध है। 75% दूध वाला 45 लीटर मिश्रण बनाने के लिए बर्तन A से कितने लीटर लेना चाहिए? (a) 30 लीटर (b) 22.5 लीटर (c) 15 लीटर (d) 18 लीटर

उत्तर: A : B = (85 − 75) : (75 − 55) = 10 : 20 = 1 : 2। मतलब 3 भागों में से 1 भाग A का है, तो A से $\frac{1}{3}$ × 45 = (c) 15 लीटर लेना है। अब A के 15 लीटर और B के 30 लीटर में दूध गिनें, तो 15 × 0.55 + 30 × 0.85 = 8.25 + 25.5 = 33.75 लीटर आता है, और 45 लीटर का 75% भी 33.75 ही है।

प्रश्न 7

दो बर्तनों में दूध और पानी क्रमशः 4 : 1 और 3 : 7 के अनुपात में हैं। दोनों बर्तनों के मिश्रणों को किस अनुपात में मिलाया जाए कि दूध और पानी का अनुपात 1 : 1 हो जाए? (a) 3 : 2 (b) 4 : 21 (c) 1 : 1 (d) 2 : 3

उत्तर: हर अनुपात को पूरे मिश्रण में दूध के भाग में बदल लेते हैं। पहले बर्तन में दूध $\frac{4}{5} = \frac{8}{10}$ है, दूसरे में $\frac{3}{10}$, और लक्ष्य $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$ है। अब दसवें भागों में क्रॉस लगाते हैं, पहला : दूसरा = (5 − 3) : (8 − 5) = 2 : 3, यानी (d) 2 : 3। पहले बर्तन के 2 लीटर में 1.6 लीटर दूध है और दूसरे के 3 लीटर में 0.9 लीटर। 5 लीटर में 2.5 लीटर दूध हुआ, जो ठीक आधा है। अगर कोई 4, $\frac{3}{7}$ और 1 पर, यानी पानी के प्रति लीटर दूध पर, एलीगेशन लगा दे, तो 4 : 21 आएगा। वह गलत माप पर लगाया गया क्रॉस है।

प्रश्न 8

मिश्रधातु P में ताँबा और टिन 7 : 2 के अनुपात में हैं और मिश्रधातु Q में 5 : 7 के अनुपात में। ताँबा और टिन 2 : 1 के अनुपात वाली मिश्रधातु पाने के लिए P के कितने किग्रा को Q के 48 किग्रा के साथ पिघलाना होगा? (a) 96 किग्रा (b) 108 किग्रा (c) $21\frac{1}{3}$ किग्रा (d) 120 किग्रा

उत्तर: पूरे में ताँबे का भाग P में $\frac{7}{9}$ है, Q में $\frac{5}{12}$, और लक्ष्य $\frac{2}{3}$ है। 9, 12 और 3 का ल.स. 36 है, तो ये $\frac{28}{36}$, $\frac{15}{36}$ और $\frac{24}{36}$ हो जाते हैं। अब 28, 15 और 24 पर क्रॉस लगाते हैं, P : Q = (24 − 15) : (28 − 24) = 9 : 4। Q के 48 किग्रा 4 भाग हैं, तो 1 भाग 12 किग्रा का हुआ, और P की मात्रा 9 × 12 = (b) 108 किग्रा है। 108 किग्रा P और 48 किग्रा Q में ताँबा गिन लेते हैं। 84 + 20 = 104 किग्रा ताँबा है, कुल 156 किग्रा में, और यह $\frac{2}{3}$ ही है।

प्रश्न 9

₹56,000 की राशि दो भागों में उधार दी जाती है, एक भाग 7% और दूसरा 12% वार्षिक साधारण ब्याज पर। एक वर्ष का कुल ब्याज ₹5,040 है। 12% पर कितनी राशि उधार दी गई? (a) ₹33,600 (b) ₹28,000 (c) ₹24,000 (d) ₹22,400

उत्तर: औसत दर = 5,040 ÷ 56,000 × 100 = 9%। 7% वाली राशि : 12% वाली राशि = (12 − 9) : (9 − 7) = 3 : 2। 12% वाला भाग ₹56,000 का $\frac{2}{5}$ है, यानी ₹22,400। बाकी ₹33,600 पर 7% से 2,352 ब्याज मिलता है और 22,400 पर 12% से 2,688। दोनों मिलकर 5,040 हो जाते हैं, तो 12% पर (d) ₹22,400 उधार दिए गए थे।

प्रश्न 10

एक व्यापारी ने दो वस्तुएँ कुल ₹27,000 में ख़रीदीं। उसने एक वस्तु 15% लाभ पर और दूसरी 9% हानि पर बेची, और कुल मिलाकर उसे 5% लाभ हुआ। लाभ पर बेची गई वस्तु का क्रय मूल्य क्या था? (a) ₹15,750 (b) ₹11,250 (c) ₹13,500 (d) ₹16,200

उत्तर: हानि को ऋणात्मक लाभ मान लेते हैं, तो दोनों दरें +15% और −9% हुईं, और कुल दर +5%। पहली का क्र.मू. : दूसरी का क्र.मू. = (5 − (−9)) : (15 − 5) = 14 : 10 = 7 : 5। तो लाभ वाली वस्तु का क्र.मू. $\frac{7}{12}$ × 27,000 = ₹15,750 है। हिसाब मिला लेते हैं। 15,750 पर 15% लाभ 2,362.50 है और 11,250 पर 9% हानि 1,012.50। कुल मिलाकर 1,350 का लाभ बचा, जो 27,000 का 5% है। तो लाभ वाली वस्तु (a) ₹15,750 की थी।

प्रश्न 11

रवि 6 घंटे में 69 किमी की दूरी तय करता है। वह कुछ दूरी 4.5 किमी/घंटा की चाल से पैदल चलता है और शेष दूरी 15 किमी/घंटा की चाल से साइकिल पर तय करता है। वह कितनी दूरी पैदल चलता है? (a) 23 किमी (b) 9 किमी (c) 60 किमी (d) 12 किमी

उत्तर: औसत चाल = 69 ÷ 6 = 11.5 किमी/घंटा। चाल प्रति घंटा में है, इसलिए क्रॉस से समयों का अनुपात मिलेगा। पैदल का समय : साइकिल का समय = (15 − 11.5) : (11.5 − 4.5) = 3.5 : 7 = 1 : 2। पैदल का समय $\frac{1}{3}$ × 6 = 2 घंटे है, तो पैदल दूरी 2 × 4.5 = (b) 9 किमी हुई। पैदल 9 किमी, और बाकी 4 घंटे में साइकिल से 4 × 15 = 60 किमी। कुल 9 + 60 = 69 किमी, यानी पूरी दूरी मिल गई। कई लोग 1 : 2 को दूरियों का अनुपात मान लेते हैं और 23 किमी लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 12

₹135, ₹165 और ₹225 प्रति किग्रा वाली चाय की तीन किस्मों को इस प्रकार मिलाया जाता है कि मिश्रण का मूल्य ₹185 प्रति किग्रा हो। निम्नलिखित में से कौन-सा इन्हें मिलाने का अनुपात हो सकता है? (a) 1 : 2 : 3 (b) 3 : 1 : 2 (c) 2 : 1 : 3 (d) 2 : 3 : 1

उत्तर: ₹185 के हिसाब से संतुलन जाँचते हैं। ₹135 वाली चाय का हर किग्रा 50 कम है, ₹165 वाली का 20 कम, और ₹225 वाली का 40 अधिक। अब विकल्प देखते हैं। (a) 1 : 2 : 3 में कमी = 50 + 40 = 90 और अधिकता = 120, तो यह नहीं। (b) 3 : 1 : 2 में कमी = 150 + 20 = 170 और अधिकता = 80, यह भी नहीं। (c) 2 : 1 : 3 में कमी = 100 + 20 = 120 और अधिकता = 120, दोनों बराबर हैं। (d) 2 : 3 : 1 में कमी = 100 + 60 = 160 और अधिकता = 40, यह भी नहीं चलेगा। तो अनुपात (c) 2 : 1 : 3 ही हो सकता है। पूरा औसत निकालकर भी देख लें, 2 × 135 + 165 + 3 × 225 = 270 + 165 + 675 = 1110, और 1110 ÷ 6 = 185।

प्रश्न 13

₹41 प्रति किग्रा वाले चावल और ₹53 प्रति किग्रा वाले चावल को 1 : 2 के अनुपात में मिलाया जाता है। फिर इस मिश्रण को ₹69 प्रति किग्रा वाले चावल के साथ मिलाकर ₹54 प्रति किग्रा मूल्य का मिश्रण बनाया जाता है। अंत में तीनों प्रकार के चावल किस अनुपात में मिले हैं? (a) 1 : 2 : 1 (b) 2 : 1 : 1 (c) 1 : 2 : 3 (d) 1 : 1 : 1

उत्तर: पहले मिश्रण का मूल्य = (41 + 2 × 53) ÷ 3 = 147 ÷ 3 = ₹49 प्रति किग्रा। अब ₹54 के दोनों ओर ₹49 और ₹69 हैं। क्रॉस से पहला मिश्रण : तीसरा चावल = (69 − 54) : (54 − 49) = 15 : 5 = 3 : 1। पहले मिश्रण के 3 भागों में ₹41 वाले चावल का 1 भाग है और ₹53 वाले के 2 भाग, तो तीनों चावल 1 : 2 : 1 में मिले हैं, यानी विकल्प (a) 1 : 2 : 1। इन 4 किग्रा का मूल्य जोड़ें तो 41 + 106 + 69 = 216, और 216 ÷ 4 = 54।

प्रश्न 14

₹46 प्रति किग्रा और ₹64 प्रति किग्रा वाली चावल की दो किस्मों को मिलाकर मिश्रण ₹60.75 प्रति किग्रा पर बेचा जाता है, जिससे 12.5% लाभ होता है। दोनों किस्मों को किस अनुपात में मिलाया गया था? (a) 4 : 5 (b) 13 : 59 (c) 5 : 4 (d) 4 : 3

उत्तर: पहले मिश्रण का क्र.मू. निकालते हैं। 12.5% = $\frac{1}{8}$, तो वि.मू. क्र.मू. का $\frac{9}{8}$ है, और क्र.मू. = 60.75 × $\frac{8}{9}$ = ₹54 प्रति किग्रा। अब क्रय मूल्यों पर क्रॉस लगाते हैं, (64 − 54) : (54 − 46) = 10 : 8 = 5 : 4, यानी (c) 5 : 4। इसी अनुपात में मिलाएँ तो 5 × 46 + 4 × 64 = 230 + 256 = 486, और 486 ÷ 9 = 54। 54 पर 12.5% अधिक 60.75 होता है, तो हिसाब ठीक है। जल्दबाज़ी में कुछ लोग ₹60.75 को ही क्रॉस पर रख देते हैं। तब (64 − 60.75) : (60.75 − 46) = 3.25 : 14.75 = 13 : 59 आता है, जो गलत है।

प्रश्न 15

एक व्यापारी ₹520 प्रति किग्रा और ₹640 प्रति किग्रा वाले दो प्रकार के घी मिलाकर मिश्रण ₹532 प्रति किग्रा पर बेचता है, जिससे उसे 5% हानि होती है। उसने इन्हें किस अनुपात में मिलाया? (a) 2 : 1 (b) 1 : 2 (c) 9 : 1 (d) 3 : 1

उत्तर: 5% हानि का मतलब है कि वि.मू. क्र.मू. का 95% है। तो क्र.मू. = 532 × $\frac{100}{95}$ = ₹560 प्रति किग्रा। क्रॉस से (640 − 560) : (560 − 520) = 80 : 40 = 2 : 1, यानी (a) 2 : 1। उलटकर देखें, तो (2 × 520 + 640) ÷ 3 = 1680 ÷ 3 = 560। 560 का 5% = 28 है, और 28 कम करने पर 532 बचता है, जो बिक्री का भाव है।

प्रश्न 16

₹51 प्रति किग्रा वाली कितने किग्रा चीनी को ₹63 प्रति किग्रा वाली 30 किग्रा चीनी के साथ मिलाया जाए कि मिश्रण को ₹66 प्रति किग्रा पर बेचने से 20% लाभ हो? (a) 15 किग्रा (b) 45 किग्रा (c) 75 किग्रा (d) 60 किग्रा

उत्तर: मिश्रण का क्र.मू. = 66 × $\frac{5}{6}$ = ₹55। क्रॉस लगाते हैं, ₹51 वाली : ₹63 वाली = (63 − 55) : (55 − 51) = 8 : 4 = 2 : 1। ₹63 वाली 30 किग्रा चीनी 1 भाग है, तो ₹51 वाली चीनी 2 × 30 = (d) 60 किग्रा मिलानी होगी। अब 60 किग्रा और 30 किग्रा की लागत देखते हैं, 60 × 51 + 30 × 63 = 3060 + 1890 = 4950, और यह 90 किग्रा की है। यानी ₹55 प्रति किग्रा, और इस पर 20% अधिक ₹66 होता है।

प्रश्न 17

₹52 प्रति किग्रा वाले चावल और ₹70 प्रति किग्रा वाले चावल को 4 : 5 के अनुपात में मिलाकर मिश्रण ₹74.40 प्रति किग्रा पर बेचा जाता है। लाभ प्रतिशत क्या है? (a) $16\frac{2}{3}\%$ (b) 24% (c) 20% (d) 22%

उत्तर: 9 किग्रा की लागत = 4 × 52 + 5 × 70 = 208 + 350 = ₹558, तो क्र.मू. = 558 ÷ 9 = ₹62 प्रति किग्रा। लाभ = 74.40 − 62 = ₹12.40, जो ₹62 का ठीक 20% है। इसलिए लाभ प्रतिशत (c) 20% है। ध्यान रहे, लाभ हमेशा क्रय मूल्य पर ही निकलता है। ₹74.40 पर ₹12.40 का प्रतिशत लेंगे, तो $16\frac{2}{3}\%$ आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 18

एक व्यापारी ₹84 प्रति किग्रा वाली दाल को दूसरी दाल के साथ 3 : 2 के अनुपात में मिलाता है। वह मिश्रण को ₹110.40 प्रति किग्रा पर बेचकर 15% लाभ कमाता है। दूसरी दाल का प्रति किग्रा मूल्य क्या है? (a) ₹104 (b) ₹114 (c) ₹150 (d) ₹120

उत्तर: मिश्रण का क्र.मू. = 110.40 ÷ 1.15 = ₹96 प्रति किग्रा। मिश्रण के 5 किग्रा का मूल्य 5 × 96 = ₹480 हुआ। पहली दाल के 3 किग्रा 3 × 84 = ₹252 के हैं, तो दूसरी दाल के 2 किग्रा ₹228 के हैं, यानी दूसरी दाल (b) ₹114 प्रति किग्रा की है। क्रॉस पर ₹114 रखकर देखें, तो (114 − 96) : (96 − 84) = 18 : 12 = 3 : 2, यानी वही अनुपात जो दिया था।

प्रश्न 19

एक दुकानदार ₹264 प्रति किग्रा और ₹354 प्रति किग्रा वाली चाय की दो किस्में मिलाता है और मिश्रण को महँगी चाय के मूल्य, ₹354 प्रति किग्रा, पर बेचता है। उसे 18% लाभ होता है। उसने दोनों किस्मों को किस अनुपात में मिलाया? (a) 3 : 2 (b) 2 : 3 (c) 9 : 5 (d) 5 : 3

उत्तर: मिश्रण का क्र.मू. = 354 ÷ 1.18 = ₹300 प्रति किग्रा। क्रॉस से (354 − 300) : (300 − 264) = 54 : 36 = 3 : 2, यानी (a) 3 : 2। इस अनुपात में 5 किग्रा की लागत 3 × 264 + 2 × 354 = 792 + 708 = 1500 है, यानी ₹300 प्रति किग्रा, और इस पर 18% अधिक ₹354 होता है।

प्रश्न 20

एक ग्वाला दूध में पानी मिलाकर मिश्रण को शुद्ध दूध के क्रय मूल्य पर बेचता है। उसे $14\frac{2}{7}\%$ लाभ होता है। मिश्रण में पानी कितने प्रतिशत है? (a) $14\frac{2}{7}\%$ (b) 12.5% (c) $16\frac{2}{3}\%$ (d) 87.5%

उत्तर: बिक्री क्रय मूल्य पर है, तो जितना लाभ प्रतिशत है, पानी दूध का उतना ही प्रतिशत है। $14\frac{2}{7}\% = \frac{1}{7}$, यानी पानी : दूध = 1 : 7। 8 लीटर मिश्रण में 1 लीटर पानी है, जो मिश्रण का $\frac{1}{8}$ यानी 12.5% है। तो विकल्प (b) 12.5% ठीक है। विकल्प (a) वाला $14\frac{2}{7}\%$ पानी की तुलना दूध से करके निकलता है, मिश्रण से नहीं, इसलिए वह गलत है।

प्रश्न 21

दूध का मूल्य ₹56 प्रति लीटर है। एक ग्वाला इसमें पानी मिलाकर मिश्रण को ₹63 प्रति लीटर पर बेचता है और 31.25% लाभ कमाता है। मिश्रण में पानी और दूध का अनुपात क्या है? (a) 5 : 16 (b) 1 : 7 (c) 1 : 5 (d) 1 : 6

उत्तर: मिश्रण का क्र.मू. = 63 ÷ 1.3125 = ₹48 प्रति लीटर। पानी का मूल्य ₹0 है, तो क्रॉस से पानी : दूध = (56 − 48) : (48 − 0) = 8 : 48 = 1 : 6, यानी (d) 1 : 6। मान लीजिए ग्वाले ने 6 लीटर दूध लिया, जिसकी लागत ₹336 है। 1 लीटर पानी मिलाकर 7 लीटर की बिक्री 7 × 63 = ₹441 होती है, तो लाभ ₹105 हुआ, और ₹336 पर ₹105 का लाभ 31.25% है। विकल्प (a) का 5 : 16 तभी सही होता, जब मिश्रण ₹56 पर बिकता। यहाँ बिक्री क्रय मूल्य से ऊपर हुई है, तो लाभ ऊँचे भाव से भी आया है।

प्रश्न 22

एक विक्रेता के पास 60 लीटर जूस है, जिसका क्रय मूल्य ₹50 प्रति लीटर है। वह इसमें पानी मिलाकर मिश्रण ₹48 प्रति लीटर पर बेचता है और फिर भी 20% लाभ कमाता है। उसने कितने लीटर पानी मिलाया? (a) 12 लीटर (b) 20 लीटर (c) 15 लीटर (d) 16 लीटर

उत्तर: मिश्रण का क्र.मू. = 48 ÷ 1.2 = ₹40 प्रति लीटर। पानी : जूस = (50 − 40) : (40 − 0) = 10 : 40 = 1 : 4। जूस 60 लीटर है, तो पानी $\frac{1}{4}$ × 60 = (c) 15 लीटर मिलाया गया। 60 लीटर जूस में 15 लीटर पानी मिलकर 75 लीटर हुआ, जिसकी बिक्री 75 × 48 = ₹3,600 है और जूस की लागत ₹3,000, तो ₹600 का लाभ हुआ, जो ठीक 20% है।