शॉर्टकट और तेज़ तरीके

मिश्रण में हर घटक का भिन्नात्मक भाग

मिश्रण के प्रश्नों में अनुपात दिया हो, तो सबसे पहले देखिए कि हर घटक पूरे का कितना भिन्नात्मक भाग है। मिश्रण की ज़्यादातर तेज़ विधियाँ यहीं से शुरू होती हैं।

टियर 1 में एक प्रश्न के लिए लगभग 36 सेकंड ही मिलते हैं। इसलिए आगे हर विधि में पहले देखेंगे कि वह कब लगती है, फिर एक छोटा उदाहरण करेंगे, और अंत में यह कि उसमें गलती कहाँ होती है। जैसे कोई विक्रय मूल्य (selling price) पर ही एलीगेशन (alligation) लगा देता है, या प्रतिस्थापन वाले प्रश्न में हर बार निकाली गई मात्रा सीधे घटाता चला जाता है।

अनुपात से भिन्न, और भिन्न से मात्रा

अनुपात और कुल मात्रा दी हो, और किसी एक घटक की मात्रा, उसका भिन्नात्मक भाग या प्रतिशत पूछा जाए, तो यह तरीका लगाइए। मान लीजिए दूध : पानी = a : b है। तब दूध मिश्रण का $\frac{a}{a + b}$ है और पानी $\frac{b}{a + b}$। कुल मात्रा को (a + b) से भाग दीजिए, तो एक इकाई मिल जाएगी। फिर उसे अनुपात में उस घटक की संख्या से गुणा कर दीजिए।

जैसे 91 लीटर दूध-पानी के मिश्रण में अनुपात 8 : 5 है। एक इकाई = 91 ÷ 13 = 7 लीटर। तो 56 लीटर दूध है और 35 लीटर पानी। दूध मिश्रण का $\frac{8}{13}$ है, जो लगभग 61.5% होता है।

उलटी दिशा में भी यही चलता है। 28% अम्ल वाले विलयन में अम्ल : पानी = 28 : 72 = 7 : 18 होता है।

तीन घटक, और एक घटक दूसरे का कितना प्रतिशत

तीन घटक हों तब भी इकाई वाला तरीका ही लगता है। ताँबा, जस्ता और टिन की एक मिश्रधातु में अनुपात 7 : 4 : 1 है, यानी कुल 12 इकाई। 54 किग्रा मिश्रधातु में एक इकाई 4.5 किग्रा की है। तो ताँबा 31.5 किग्रा, जस्ता 18 किग्रा और टिन 4.5 किग्रा है।

ऐसे प्रश्न में ध्यान से पढ़िए कि प्रतिशत किसके मुक़ाबले पूछा गया है। पूछा हो कि ताँबा, जस्ते का कितना प्रतिशत है, तो $\frac{7}{4}$ = 175%। और पूछा हो कि ताँबा, पूरी मिश्रधातु का कितना प्रतिशत है, तो $\frac{7}{12}$, यानी लगभग 58.3%।

यहाँ दो गलतियाँ बहुत होती हैं।

• दूध : पानी = 8 : 5 हो, तो पानी मिश्रण का $\frac{5}{13}$ है, पर दूध का $\frac{5}{8}$। "पानी, दूध का कितना प्रतिशत है" का उत्तर 62.5% है, और "पानी, मिश्रण का कितना प्रतिशत है" का लगभग 38.5%। विकल्पों में प्रायः ये दोनों संख्याएँ दी होती हैं।
• अनुपात को मात्रा न समझिए। "अनुपात 8 : 5 है" का मतलब यह नहीं कि दूध 8 लीटर है। पहले इकाई निकालिए।

इसलिए शुरू में ही हर मिश्रण को इकाइयों में लिख लीजिए, और अंत तक उन्हीं इकाइयों में काम कीजिए। आगे की ज़्यादातर विधियों में एक घटक की इकाइयाँ बदलती हैं और दूसरा घटक जस का तस रहता है। उत्तर इकाइयों की गिनती से ही निकल आता है।

पानी या कोई एक घटक मिलाना

न बदलने वाले घटक की संख्या बराबर कीजिए

कभी मिश्रण में केवल पानी (या कोई एक घटक) मिलाया जाता है, या केवल एक घटक निकाला जाता है, और पुराना और नया अनुपात दिया होता है। यहाँ एक ही घटक बदला है, तो दूसरा घटक जितना था उतना ही रहता है। दोनों अनुपातों को ऐसे बढ़ाइए कि न बदलने वाले घटक की संख्या दोनों में बराबर हो जाए। अब दूसरे घटक की इकाइयाँ जितनी बदलीं, उतनी ही इकाइयाँ मिलाई गई हैं।

जैसे 96 लीटर दूध-पानी के मिश्रण में अनुपात 7 : 5 है, और पानी मिलाकर इसे 4 : 5 करना है। दूध नहीं बदलता, तो दूध की संख्याएँ बराबर कर लेते हैं। 7 : 5 = 28 : 20 और 4 : 5 = 28 : 35। पानी 20 इकाई से 35 इकाई हुआ, यानी 15 इकाई बढ़ा। पुराना मिश्रण 48 इकाई है, जो 96 लीटर के बराबर है। तो एक इकाई 2 लीटर की हुई, और 30 लीटर पानी मिलाना है। जाँच कर लीजिए, अब 56 लीटर दूध और 70 लीटर पानी है, जो 4 : 5 ही है।

प्रतिशत दिया हो तब भी यही

जो घटक मिलाया नहीं जा रहा, उसकी मात्रा नहीं बदलती। पहले उसकी मात्रा निकालिए, फिर उस मात्रा को नए मिश्रण में उसके हिस्से से भाग दीजिए। नई कुल मात्रा मिल जाएगी।

जैसे 60 लीटर विलयन में 30% अम्ल है, और शुद्ध अम्ल मिलाकर इसे 40% करना है। पानी 42 लीटर है और यह नहीं बदलेगा। नए विलयन में पानी 60% होगा, तो नई कुल मात्रा = 42 ÷ 0.6 = 70 लीटर। मतलब 10 लीटर अम्ल मिलाना है।

पतला करने में भी यही होता है। 40 किग्रा नमकीन पानी में 15% नमक है, यानी 6 किग्रा नमक। नमक 12% करने के लिए नई कुल मात्रा = 6 ÷ 0.12 = 50 किग्रा होनी चाहिए। तो 10 किग्रा पानी मिलाना है।

दोनों घटक बराबर मात्रा में मिलें तो

दूध और पानी दोनों बराबर मात्रा में मिलाए जाएँ, तो कोई भी घटक स्थिर नहीं रहता। पर दोनों का अंतर नहीं बदलता। इसलिए यहाँ अंतर के सहारे हिसाब कीजिए।

जैसे 66 लीटर दूध-पानी में अनुपात 7 : 4 है, यानी 42 लीटर दूध और 24 लीटर पानी। दूध 18 लीटर आगे है। दोनों की बराबर मात्रा मिलाने पर अनुपात 5 : 4 हो जाता है। 5 : 4 में अंतर 1 इकाई है, और यह अब भी 18 लीटर है। तो दूध = 5 × 18 = 90 लीटर। पहले 42 लीटर था, यानी दोनों 48-48 लीटर मिलाए गए।

इस तरीके में ये तीन बातें ध्यान रखिए।

• नया अनुपात पुरानी कुल मात्रा पर न लगाइए। पहले उदाहरण में 96 का $\frac{5}{9}$ लेकर पानी लगभग 53.3 लीटर मान लेंगे, तो लगभग 13.3 लीटर मिलाने का उत्तर आएगा, जो गलत है। पानी डालते ही कुल मात्रा भी बढ़ जाती है।
• प्रतिशत वाले रूप में भी यही गलती होती है। नया प्रतिशत नई कुल मात्रा का होता है। पुराने 60 लीटर का 40% लेकर 24 लीटर अम्ल मानना, और फिर 6 लीटर अम्ल मिला देना, इसी वजह से गलत है।
• सुखाने में केवल पानी बाहर जाता है। वहाँ भी यही तरीका लगता है, क्योंकि सूखा भाग जितना था उतना ही रहता है।

[SSC टिप] यह पूरा हिसाब एक पंक्ति में भी हो जाता है। नई कुल मात्रा = पुरानी कुल मात्रा × $\frac{\text{स्थिर घटक का पुराना हिस्सा}}{\text{स्थिर घटक का नया हिस्सा}}$। अम्ल वाले उदाहरण में 60 × $\frac{70}{60}$ = 70 लीटर आता है, और नमकीन पानी में 40 × $\frac{15}{12}$ = 50 किग्रा।

पहले निकासी, फिर मिलाना

निकाले गए मिश्रण में अनुपात नहीं बदलता

कभी मिश्रण का कुछ भाग निकाला जाता है, और फिर एक या अधिक घटक डाले जाते हैं। यहाँ याद रखिए कि बाहर मिश्रण निकला है, कोई एक द्रव नहीं। इसलिए हर घटक उसी अनुपात में बाहर जाता है, और बचे हुए मिश्रण का अनुपात पहले जैसा ही रहता है। पहले इकाइयाँ घटाइए, फिर जोड़िए।

जैसे एक डिब्बे में 90 लीटर दूध-पानी 7 : 3 में है। इसमें से 20 लीटर मिश्रण निकाला गया और 10 लीटर पानी डाला गया। बचे 70 लीटर में अनुपात अब भी 7 : 3 है, यानी 49 लीटर दूध और 21 लीटर पानी। 10 लीटर पानी मिलाने पर अनुपात 49 : 31 हो जाता है।

तीन द्रव हों तो अंतर से उलटा हिसाब

कभी टंकी में तीन द्रव किसी अनुपात में होते हैं। कुछ मिश्रण निकाला जाता है, फिर दो द्रव कुछ मात्रा में डाले जाते हैं। बताया जाता है कि अब एक द्रव दूसरे से कितना अधिक है, और पूछा जाता है कि शुरू में कुल कितना था।

ऐसे में डालने से पहले उन दो द्रवों का अंतर देखिए। बचे मिश्रण में यह अंतर कितनी इकाई है, यह अनुपात से पता चल जाता है। अब डाली गई मात्राओं का असर हटाकर यही अंतर लीटर में निकाल लीजिए। इससे एक इकाई का मान मिल जाएगा।

जैसे एक टंकी में द्रव A, B और C का अनुपात 4 : 7 : 5 है। 32 लीटर मिश्रण निकाला गया, फिर 6 लीटर A और 2 लीटर B डाला गया। अब B, A से 14 लीटर अधिक है। शुरू में टंकी में कितना द्रव था, यह निकालना है।

डालने से A को B से 6 − 2 = 4 लीटर ज़्यादा मिला, यानी अंतर 4 लीटर घट गया। तो डालने से पहले B, A से 18 लीटर आगे था। बचे मिश्रण में B − A = 7 − 4 = 3 इकाई है, तो एक इकाई 6 लीटर की हुई। बचा मिश्रण 16 इकाई है, यानी 96 लीटर। शुरू में टंकी में 96 + 32 = 128 लीटर द्रव था।

जाँच कर लीजिए। 128 लीटर में से 32 लीटर निकालने पर बचे 96 लीटर में A = 24 और B = 42 लीटर हैं। डालने के बाद A = 30 और B = 44, यानी अंतर 14 ही है।

यहाँ ये तीन बातें ध्यान रखिए।

• 20 लीटर केवल दूध में से न घटाइए। हर घटक अपने हिस्से के हिसाब से बाहर जाता है। पहले उदाहरण में 14 लीटर दूध और 6 लीटर पानी बाहर गया था।
• निकाले गए लीटर वापस जोड़ना न भूलिए। इकाई से जो मिलता है, वह बचा हुआ मिश्रण है। दूसरे उदाहरण में 96 लीटर पर रुक जाना यही गलती है, और यह संख्या विकल्पों में अक्सर दी होती है।
• बराबर मात्रा निकालकर बार-बार पानी वापस डाला जाए, तो यह निकासी और प्रतिस्थापन (removal and replacement) है। इसके लिए घात वाला सूत्र आगे आएगा, जो कदम-दर-कदम हिसाब से कहीं तेज़ है।

दो मिश्रणों को मिलाना

बराबर मात्राएँ हों तो अनुपातों के योग बराबर कीजिए

दो मिश्रणों की बराबर मात्राएँ मिलाई जाएँ, या एक ही आकार के दो भरे बर्तन एक बड़े बर्तन में उँडेल दिए जाएँ, तो पहले दोनों अनुपातों के योग बराबर कीजिए। इसके लिए दोनों योगों का लघुत्तम समापवर्त्य, यानी ल.स. (LCM), लीजिए। फिर घटक-घटक जोड़ दीजिए।

जैसे बराबर मात्राओं वाले दो मिश्रणों में दूध : पानी = 5 : 1 और 7 : 5 है। इनके योग 6 और 12 हैं। पहले अनुपात को 10 : 2 लिखिए। अब 10 : 2 और 7 : 5 को जोड़ने पर 17 : 7 आता है।

मात्राएँ या मिलाने का अनुपात दिया हो

दोनों मिश्रणों की मात्राएँ लीटर में दी हों, या मिलाने का अनुपात दिया हो, तो हर मिश्रण में एक ही घटक का भिन्नात्मक भाग लीजिए। उसे ली गई मात्रा से गुणा कीजिए और जोड़ दीजिए। कुल में से इसे घटाने पर दूसरा घटक मिल जाता है।

जैसे जार A में अम्ल : पानी = 9 : 1 है और जार B में 1 : 4। A और B को 2 : 3 में मिलाया गया। अम्ल A का $\frac{9}{10}$ है और B का $\frac{2}{10}$। मिश्रण की 5 इकाइयों में अम्ल = 2 × $\frac{9}{10}$ + 3 × $\frac{2}{10}$ = $\frac{24}{10}$। पानी = 5 − $\frac{24}{10}$ = $\frac{26}{10}$। तो अम्ल : पानी = 12 : 13।

यहाँ दोनों भिन्नें एक ही हर पर, यानी दसवें भाग में, लिखी हैं। इसलिए जोड़ते समय बस अंश जोड़ने पड़ते हैं। मिश्रधातु के प्रश्न भी इसी तरह होते हैं, बस अम्ल-पानी की जगह ताँबा-जस्ता या सोना-चाँदी आ जाते हैं।

इन प्रश्नों में तीन गलतियाँ आम हैं।

• अनुपात जस के तस जोड़ देना। 5 : 1 और 7 : 5 को सीधे जोड़कर 12 : 6 = 2 : 1 लिखना गलत है, क्योंकि दोनों अनुपातों में एक इकाई अलग-अलग मात्रा की है। ऐसा जोड़ तभी सही है जब दोनों योग पहले से बराबर हों।
• बराबर योग वाली विधि हर जगह लगा देना। यह केवल बराबर मात्राओं पर लगती है। मिलाने का अनुपात 2 : 3 हो, तो पहले मिश्रण के 2 हिस्से लिए गए हैं और दूसरे के 3।
• एक जार से अम्ल का भाग और दूसरे से पानी का भाग ले लेना। पूरे समय एक ही घटक का हिसाब रखिए।

जाँच का एक आसान तरीका भी है। नए मिश्रण में किसी घटक का हिस्सा हमेशा दोनों पुराने मिश्रणों वाले हिस्सों के बीच रहता है। अम्ल दोनों जारों में $\frac{2}{10}$ और $\frac{9}{10}$ है, तो नए मिश्रण में भी इनके बीच ही होगा। $\frac{12}{25}$ बीच में ही है। इस सीमा से बाहर वाला विकल्प तुरंत हटा दीजिए।

बर्तनों के बीच स्थानांतरण

दो बर्तनों से तीसरे बर्तन में

दो बर्तनों से कुछ मात्रा निकालकर तीसरे बर्तन में डाली जाए, तो केवल एक घटक का हिसाब रखिए। हर बर्तन से ली गई मात्रा को उस बर्तन में उस घटक के भिन्नात्मक भाग से गुणा कीजिए। दूसरा घटक कुल में से घटाकर निकल आता है।

जैसे बर्तन A में अल्कोहल : पानी = 3 : 5 है और B में 4 : 1। A से 24 लीटर और B से 10 लीटर बर्तन C में डाला गया। अल्कोहल = 24 × $\frac{3}{8}$ + 10 × $\frac{4}{5}$ = 9 + 8 = 17 लीटर। कुल 34 लीटर में 17 लीटर अल्कोहल है, तो पानी भी 17 लीटर है। C में अल्कोहल : पानी = 1 : 1।

एक से दूसरे में, फिर वापस

कभी कुछ द्रव A से B में डाला जाता है, और फिर उतना ही B से वापस A में। वापस डालने के बाद हर बर्तन में उतना ही आयतन होता है जितना शुरू में था। इसलिए A से दूध का जो भी लीटर निकला, उसकी जगह एक लीटर पानी आ गया। मतलब A में जितना पानी है, B में उतना ही दूध है।

जैसे जग A में 40 लीटर शुद्ध दूध है और जग B में 40 लीटर पानी। A से 10 लीटर B में डाला, हिलाया और 10 लीटर वापस A में डाल दिया। B में 50 लीटर में से 10 लीटर दूध था। वापस डाले गए 10 लीटर B का $\frac{1}{5}$ हैं, तो उनमें 2 लीटर दूध और 8 लीटर पानी था। अब A में 32 लीटर दूध और 8 लीटर पानी है, और B में 8 लीटर दूध और 32 लीटर पानी।

इन प्रश्नों में ये तीन बातें ध्यान रखिए।

• "A से 24 लीटर" को A के अनुपात की 24 इकाइयाँ न मान लीजिए। लिए गए लीटर असली मात्रा हैं, इसलिए उन्हें भिन्नात्मक भाग से गुणा कीजिए।
• वापस डाले गए द्रव में मिश्रण होता है, शुद्ध पानी नहीं। अगर कोई मान ले कि 10 लीटर पानी लौटा, तो A में 8 की जगह 10 लीटर पानी आ जाएगा।
• बर्तनों का अंतिम आयतन शुरुआती आयतन से अलग हो, तो "A का पानी = B का दूध" वाला नियम नहीं लगता। तब लीटर-लीटर का हिसाब कीजिए।

[SSC टिप] द्रव दो या अधिक बार आगे-पीछे जाए, तो हर बर्तन के लिए दूध और पानी के दो स्तंभों वाली छोटी तालिका बना लीजिए। हर बार डालने के बाद उसमें नई संख्याएँ लिखते जाइए। इसमें 20 सेकंड लगते हैं, और कोई लीटर हिसाब से नहीं छूटता।

सीधे प्रश्न में औसत मूल्य, उलटे प्रश्न में एलीगेशन

प्रश्न सीधा है या उलटा

अलग-अलग मूल्य वाली किस्में मिलाने के प्रश्न दो तरह के होते हैं।

• सीधा प्रश्न: मात्राएँ (या उनका अनुपात) और मूल्य दिए हैं, और मिश्रण का मूल्य पूछा गया है। यह भारित औसत (weighted average) है।
• उलटा प्रश्न: मिश्रण का मूल्य दिया है, और अनुपात या कोई मात्रा पूछी गई है। यहाँ एलीगेशन लगता है, जिसका क्रॉस आगे देखेंगे।

पहचानने के लिए प्रश्न की आख़िरी पंक्ति पहले पढ़िए। मूल्य पूछा हो तो प्रश्न सीधा है। अनुपात या "कितने किग्रा" पूछा हो तो उलटा।

सीधे प्रश्न में आधार वाली विधि

किसी एक मूल्य को आधार चुन लीजिए। हर किस्म का उस आधार से अंतर लेकर उसकी मात्रा से गुणा कीजिए। सब जोड़िए और कुल मात्रा से भाग दे दीजिए। जो आए, उसे आधार में जोड़ दीजिए।

जैसे ₹110 वाली 10 किग्रा दाल, ₹125 वाली 15 किग्रा और ₹145 प्रति किग्रा वाली 25 किग्रा दाल मिलाई गई। आधार ₹125 लेते हैं। तब 10 × (−15) + 25 × (+20) = −150 + 500 = 350 आता है। इसे 50 किग्रा पर बाँटें, तो हर किग्रा पर +7 आता है। मिश्रण का मूल्य ₹132 प्रति किग्रा हुआ।

मात्राओं की जगह अनुपात दिया हो, तो मिश्रण का मूल्य = सस्ता मूल्य + अंतर × महँगी किस्म का हिस्सा। ₹56 और ₹66 वाले चावल 2 : 3 में मिलाए गए, तो मिश्रण 56 + 10 × $\frac{3}{5}$ = ₹62 का हुआ।

बराबर मात्रा या बराबर धन

• हर किस्म की बराबर मात्रा ली गई हो, तो मिश्रण का मूल्य सीधा सादा औसत है।
• हर किस्म पर बराबर धन खर्च हुआ हो, तो सस्ती किस्म ज़्यादा आती है और मिश्रण का मूल्य सादे औसत से कम रहता है। दो किस्मों के लिए यह $\frac{2ab}{a + b}$ होता है।

जैसे ₹90 और ₹135 प्रति किग्रा वाली दो चायों में से हर एक पर ₹1,080 खर्च हुए। तो 12 किग्रा और 8 किग्रा चाय आई। 20 किग्रा चाय ₹2,160 की हुई, यानी मिश्रण ₹108 प्रति किग्रा का है। यहाँ सादा औसत ₹112.50 नहीं लगेगा।

पानी को ₹0 वाली किस्म मान लीजिए। ₹56 प्रति लीटर वाले 15 लीटर दूध में 5 लीटर पानी मिलाया, तो 20 लीटर मिश्रण ₹840 का हुआ, यानी ₹42 प्रति लीटर।

यहाँ दो गलतियाँ आम हैं।

• मात्राएँ अलग हों, फिर भी सादा औसत ले लेना। दाल वाले उदाहरण में यह लगभग ₹126.67 आता है, जो बहुत कम है, क्योंकि ₹145 वाली दाल ज़्यादा है।
• बराबर धन को बराबर मात्रा समझ लेना। चाय वाले उदाहरण में ₹112.50 इसी गलती से आता है।

जाँच के लिए याद रखिए कि मिश्रण का मूल्य हमेशा उस किस्म के पास रहता है जो ज़्यादा मात्रा में है। चावल वाले उदाहरण में ₹66 वाले की 3 इकाई हैं और ₹56 वाले की 2। तो मिश्रण का मूल्य बीच वाले ₹61 से ऊपर होना चाहिए। ₹62 एक नज़र में ठीक लगता है।

मूल्य, प्रतिशत और भिन्न पर एलीगेशन क्रॉस

क्रॉस कैसे लगाएँ

मिश्रण का माध्य मूल्य (mean price) पता हो, और दोनों किस्मों का अनुपात या किसी एक की मात्रा पूछी जाए, तो एलीगेशन क्रॉस लगाइए। मूल्य की जगह सांद्रता या भिन्नात्मक भाग दिया हो, तब भी यही क्रॉस लगता है।

सस्ता मूल्य c और महँगा मूल्य d ऊपर लिखिए, और माध्य मूल्य m बीच में। फिर अंतरों को तिरछा, यानी क्रॉस में, लिखिए।

$$\text{सस्ती किस्म} : \text{महँगी किस्म} = (d - m) : (m - c)$$

हर किस्म को दूसरी ओर वाला अंतर मिलता है।

जैसे ₹42 और ₹57 प्रति किग्रा वाला चावल मिलाकर ₹51 प्रति किग्रा का मिश्रण बना। सस्ता : महँगा = (57 − 51) : (51 − 42) = 6 : 9 = 2 : 3। सीधे हिसाब से जाँच भी कर लीजिए, 42 + 15 × $\frac{3}{5}$ = 51।

प्रतिशत और सांद्रता पर क्रॉस

क्रॉस हर उस मान पर लगता है जो "प्रति" के हिसाब से दिया हो, जैसे अम्ल का %, दूध का % या सोने का %। पानी को 0% वाला विलयन मानिए और शुद्ध द्रव को 100%।

जैसे 58% अम्ल वाले 15 लीटर विलयन में 22% अम्ल वाला विलयन मिलाकर 31% अम्ल वाला विलयन बनाना है। 22% वाला : 58% वाला =(58 − 31) : (31 − 22) = 27 : 9 = 3 : 1। मतलब 22% वाला विलयन तिगुना लेना है, यानी 45 लीटर। जाँच करें तो 9.9 + 8.7 = 18.6 लीटर अम्ल 60 लीटर में है, जो 31% है।

दो मिश्रणों का अनुपात, भिन्न में

हर मिश्रण में और लक्ष्य में एक ही घटक का भिन्नात्मक भाग लीजिए, और सबको एक ही हर पर ले आइए। फिर अंशों का क्रॉस कीजिए।

जैसे बर्तन A में दूध : पानी = 4 : 1 है और B में 1 : 3, और इन्हें मिलाकर 3 : 2 बनाना है। सबका हर 20 करने पर दूध के भाग $\frac{16}{20}$, $\frac{5}{20}$ और $\frac{12}{20}$ हैं। अब 16, 5 और 12 का क्रॉस कीजिए। A को 12 − 5 = 7 मिलता है और B को 16 − 12 = 4। तो A : B = 7 : 4।

यहाँ तीन बातें ध्यान रखिए।

• अनुपात उलटा न लिख दीजिए। सस्ती किस्म के सामने लिखी संख्या महँगे मूल्य से आती है। सीधे हिसाब से छोटी-सी जाँच कर लीजिए। माध्य मूल्य उसी किस्म के पास होना चाहिए जिसका हिस्सा बड़ा है। उलटा अनुपात तुरंत पकड़ में आ जाएगा।
• अलग-अलग घटकों के भिन्नात्मक भाग न मिलाइए, जैसे A से दूध और B से पानी। पूरे समय एक ही घटक लीजिए।
• देखिए कि अनुपात किसका निकला। क्रॉस से उसी चीज़ का अनुपात आता है जिसके "प्रति" मान दिया है। प्रति किग्रा मूल्य हो तो भार का अनुपात आता है, और आयतन के हिसाब से % सांद्रता हो तो आयतन का।

[SSC टिप] पानी हो तो क्रॉस और भी जल्दी होता है। मान लीजिए 64% अम्ल वाले 21 लीटर विलयन को 48% पर लाना है। 48 के आसपास 64 और 0 का क्रॉस कीजिए। पानी : अम्ल वाला विलयन = 16 : 48 = 1 : 3। तो 7 लीटर पानी मिलाना है।

मिश्रण के बाहर भी एलीगेशन

कभी कोई पूरी राशि दो हिस्सों में बँटी होती है, दोनों पर अलग दर लगती है, और पूरी राशि की औसत दर दी होती है। जैसे किसी राशि के दो हिस्सों पर ब्याज की दरें अलग हों, माल के दो हिस्सों पर लाभ % अलग हो, यात्रा के दो हिस्सों में चाल अलग हो, या दो स्कूलों के उत्तीर्ण प्रतिशत अलग हों। यहाँ भी वही क्रॉस लगता है। बस ध्यान रखिए कि अनुपात उसी चीज़ का आता है, जिसके "प्रति" दर दी है।

• ब्याज की दर मूलधन के प्रति ₹100 पर होती है, इसलिए क्रॉस से उधार दी गई राशियों का अनुपात मिलता है।
• लाभ % क्रय मूल्य (cost price) के प्रति ₹100 पर होता है, इसलिए क्रॉस से क्रय मूल्यों का अनुपात मिलता है। प्रति किग्रा क्रय मूल्य एक जैसा हो, तो यही मात्राओं का अनुपात भी है।
• चाल प्रति घंटे की दूरी है, इसलिए क्रॉस से समयों का अनुपात मिलता है, दूरियों का नहीं।

ब्याज का उदाहरण लीजिए। ₹30,000 दो हिस्सों में 7% और 12% वार्षिक साधारण ब्याज पर उधार दिए गए। सालाना ब्याज ₹2,700 है, जो पूरी राशि का 9% है। क्रॉस से 7% वाला हिस्सा : 12% वाला हिस्सा = (12 − 9) : (9 − 7) = 3 : 2। तो ₹18,000 7% पर दिए गए और ₹12,000 12% पर।

लाभ-हानि में हानि को ऋणात्मक लिखिए। मान लीजिए कोई व्यापारी माल का एक हिस्सा 10% हानि पर और बाकी 15% लाभ पर बेचता है, और कुल 5% लाभ होता है। हानि को −10 लिखिए। तो हानि वाला हिस्सा : लाभ वाला हिस्सा = (15 − 5) : (5 + 10) = 10 : 15 = 2 : 3।

चाल में भी यही होता है। एक कार 5 घंटे में 230 किमी चली, कुछ समय 40 किमी/घंटा से और कुछ समय 55 किमी/घंटा से। औसत चाल 46 किमी/घंटा है। 40 वाला समय : 55 वाला समय = (55 − 46) : (46 − 40) = 9 : 6 = 3 : 2। तो कार 3 घंटे 40 किमी/घंटा से चली, यानी 120 किमी, और 2 घंटे 55 किमी/घंटा से, यानी 110 किमी।

इन प्रश्नों में तीन बातें याद रखिए।

• चाल वाले प्रश्न में 3 : 2 को दूरियों का अनुपात मान लें, तो 40 किमी/घंटा पर 138 किमी आता है, जो गलत है। चाल प्रति घंटे की होती है, प्रति किमी की नहीं।
• दोनों दूरियाँ बराबर हों, तो औसत चाल = $\frac{2ab}{a + b}$। यह वही नियम है जो दो मूल्यों पर बराबर धन खर्च करने में लगता है।
• कई वर्षों के चक्रवृद्धि ब्याज पर क्रॉस सीधे नहीं लगता। क्रॉस केवल साधारण ब्याज (या एक वर्ष के ब्याज) के लिए है।

दो समूहों के औसत दिए हों, तो उनकी संख्या का अनुपात भी क्रॉस से निकलता है। मान लीजिए लड़कों का औसत 64 अंक है, लड़कियों का 72 और पूरी कक्षा का 67। तो लड़के : लड़कियाँ = (72 − 67) : (67 − 64) = 5 : 3।

लाभ वाले मिश्रण में एलीगेशन और मुफ़्त पानी

पहले मिश्रण का क्रय मूल्य निकालिए

कभी मिश्रण किसी दिए गए मूल्य पर, दिए गए लाभ (या हानि) % से बिकता है, और मिलाने का अनुपात या कोई मात्रा पूछी जाती है। ऐसे में पहले विक्रय मूल्य से मिश्रण का क्रय मूल्य निकालिए। फिर क्रय मूल्यों पर एलीगेशन लगाइए।

$$\text{मिश्रण का क्रय मूल्य} = \text{विक्रय मूल्य} \times \frac{100}{100 + \text{लाभ}}$$

हानि हो, तो नीचे 100 − हानि रखिए।

जैसे ₹290 और ₹350 प्रति किग्रा वाली चाय मिलाई गई, और मिश्रण ₹396 प्रति किग्रा पर बेचने से 20% लाभ हुआ। मिश्रण का क्रय मूल्य = 396 × $\frac{100}{120}$ = ₹330। अब क्रॉस कीजिए, (350 − 330) : (330 − 290) = 20 : 40 = 1 : 2।

मात्रा वाला प्रश्न भी देख लीजिए। ₹38 वाले 36 किग्रा चावल में ₹56 वाला चावल मिलाना है, ताकि मिश्रण ₹55.20 प्रति किग्रा पर बेचने से 15% लाभ हो। मिश्रण का क्रय मूल्य = 55.20 ÷ 1.15 = ₹48। क्रॉस से ₹38 वाला : ₹56 वाला = (56 − 48) : (48 − 38) = 8 : 10 = 4 : 5। 36 किग्रा 4 इकाई है, तो ₹56 वाला चावल 5 इकाई होगा, यानी 45 किग्रा।

मुफ़्त पानी

पानी का कोई मूल्य नहीं लगता, तो इसे ₹0 वाली सस्ती किस्म मान लीजिए।

• मिश्रण शुद्ध दूध के क्रय मूल्य पर बिके और x% लाभ हो, तो सारा लाभ पानी से आता है। तब पानी : दूध = x : 100। जैसे 10% लाभ हो, तो पानी : दूध = 1 : 10।
• किसी और मूल्य पर बिके, तो पहले मिश्रण का क्रय मूल्य निकालिए, फिर दूध और ₹0 का क्रॉस कीजिए। मान लीजिए दूध ₹77 प्रति लीटर है, और मिश्रण दूध के मूल्य से कम, ₹73.50 प्रति लीटर पर बिका, फिर भी 5% लाभ हुआ। मिश्रण का क्रय मूल्य = 73.50 ÷ 1.05 = ₹70। तो दूध : पानी = 70 : (77 − 70) = 70 : 7 = 10 : 1।

यहाँ तीन बातें ध्यान रखिए।

• विक्रय मूल्य पर एलीगेशन न लगाइए। चाय वाले उदाहरण में ₹396 दोनों मूल्यों से ऊपर है, तो क्रॉस हो ही नहीं सकता। "माध्य मूल्य" दोनों मूल्यों के बाहर आए, तो समझ जाइए कि क्रय मूल्य निकालना भूल गए हैं।
• लाभ क्रय मूल्य पर होता है, इसलिए 1.15 से भाग दीजिए। ₹55.20 में से 15% घटाकर ₹46.92 लिखना गलत है।
• पानी : दूध = x : 100 तभी लगता है, जब मिश्रण शुद्ध दूध के क्रय मूल्य पर बिके। किसी और मूल्य पर बिके, तो क्रॉस ही लगाइए।

तीन या अधिक किस्में

माध्य के दोनों ओर से जोड़े बनाइए

तीन या अधिक किस्में हों, मिश्रण का मूल्य पता हो और अनुपात पूछा जाए, तो माध्य से नीचे वाली हर किस्म का जोड़ा माध्य से ऊपर वाली किसी किस्म से बनाइए। हर जोड़े पर एलीगेशन लगाइए, और हर किस्म को जो मिला, उसे जोड़ दीजिए।

ऐसे प्रश्नों में सही अनुपात एक से अधिक होते हैं। इसलिए परीक्षा में अपना अनुपात बनाने की जगह विकल्प जाँचिए।

जैसे ₹29, ₹35 और ₹51 प्रति किग्रा वाले चावल से ₹41 प्रति किग्रा का मिश्रण बनाना है। जोड़ा (29, 51) लें, तो 29 को 10 और 51 को 12 मिलते हैं। जोड़ा (35, 51) लें, तो 35 को 10 और 51 को 6। मिलाकर 29 : 35 : 51 = 10 : 10 : 18 = 5 : 5 : 9। जाँच कर लीजिए, 145 + 175 + 459 = 779, और 779 ÷ 19 = 41।

एक पंक्ति में विकल्प की जाँच

माध्य मूल्य को आधार मानिए। अनुपात x : y : z सही हो, तो x × (पहला अंतर) + y × (दूसरा अंतर) + z × (तीसरा अंतर) = 0 होना चाहिए।

उसी चावल को लीजिए। ₹41 से अंतर −12, −6 और +10 हैं।

• 1 : 3 : 3 लें तो −12 − 18 + 30 = 0, यानी यह सही है।
• 2 : 1 : 3 लें तो −24 − 6 + 30 = 0, यह भी सही है।
• 1 : 1 : 2 लें तो −12 − 6 + 20 = 2, यानी यह नहीं हो सकता।

इसीलिए तीन किस्मों वाला प्रश्न प्रायः ऐसे पूछा जाता है, "इनमें से कौन-सा अनुपात हो सकता है?"

दो किस्में तय अनुपात में हों तो

दो किस्में किसी तय अनुपात में हों, तो पहले उन दोनों को मिलाकर एक किस्म मान लीजिए। फिर तीसरी किस्म से एलीगेशन कीजिए।

जैसे ₹62 और ₹71 प्रति किग्रा वाली चाय और एक तीसरी चाय 1 : 1 : 2 में मिलाई गई, और मिश्रण ₹80 प्रति किग्रा का बना। पहली दोनों मिलकर 2 किग्रा हैं और उनका औसत ₹66.50 है। तीसरी भी 2 किग्रा है, इसलिए ₹80 ठीक बीच में है। तो तीसरी चाय = 80 + (80 − 66.50) = ₹93.50 प्रति किग्रा।

यहाँ दो गलतियाँ होती हैं।

• सारी किस्में माध्य मूल्य से सस्ती हों, या सारी महँगी, तो ऐसा मिश्रण बन ही नहीं सकता। ऐसे में जो भी विकल्प कोई मिलाने का अनुपात बताए, वह गलत है।
• अपने बनाए अनुपात को ही इकलौता उत्तर मान लेना। वह विकल्पों में न हो, तो हर विकल्प जाँचिए। कोई दूसरा सही अनुपात वहाँ ज़रूर होगा।

[SSC टिप] जिस किस्म का मूल्य ठीक माध्य मूल्य के बराबर हो, उसे कितनी भी मात्रा में डालिए, मिश्रण का मूल्य नहीं बदलता। विकल्प जाँचते समय केवल बाकी किस्मों का संतुलन देखिए।

निकासी और प्रतिस्थापन में बचने वाली भिन्न का गुणा

बचे द्रव का सूत्र

V लीटर द्रव में से x लीटर निकालकर उतना ही पानी (या कोई दूसरा द्रव) मिलाया जाए, और ऐसा n बार हो, तो यह सूत्र लगाइए। हर प्रक्रिया में जितना द्रव था, उसका $\left(1 - \frac{x}{V}\right)$ बचता है। तो n प्रक्रियाओं के बाद

$$\text{बचा द्रव} = V\left(1 - \frac{x}{V}\right)^n$$

जैसे 75 लीटर शुद्ध दूध में से 15 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया, और ऐसा तीन बार किया। हर प्रक्रिया में दूध का $\frac{4}{5}$ बचता है। बचा दूध = 75 × $\frac{64}{125}$ = 38.4 लीटर। पानी 36.6 लीटर है, और दूध : पानी = 64 : 61।

अनुपात निकालना हो तो आयतन की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। दूध बर्तन का $\frac{64}{125}$ है, बस इतना काफ़ी है।

x या n निकालना

x निकालना हो तो बचने वाली भिन्न का n-वाँ मूल लीजिए। मान लीजिए 112 लीटर शुद्ध अम्ल पर दो प्रक्रियाएँ हुईं और अंत में अम्ल : पानी = 49 : 15 है। अम्ल बर्तन का $\frac{49}{64} = \left(\frac{7}{8}\right)^2$ है, तो हर प्रक्रिया में $\frac{7}{8}$ बचता है। इसलिए x = 112 का $\frac{1}{8}$ = 14 लीटर।

n निकालना हो तो बचने वाली भिन्न से तब तक गुणा करते जाइए, जब तक दी हुई मात्रा न आ जाए। जैसे 162 लीटर शुद्ध जूस से हर बार 54 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। हर प्रक्रिया में $\frac{2}{3}$ बचता है। 162 × $\left(\frac{2}{3}\right)^4$ = 32, तो जूस 32 लीटर तक लाने में 4 प्रक्रियाएँ लगती हैं।

हर बार अलग मात्रा निकाली जाए, तो हर प्रक्रिया की अपनी भिन्न लेकर गुणा कीजिए। 60 लीटर दूध में से पहले 15 लीटर निकालकर पानी मिलाया गया, फिर 20 लीटर। बचा दूध = 60 × $\frac{45}{60}$ × $\frac{40}{60}$ = 30 लीटर।

एक ही कदम में लक्ष्य तक

प्रश्न ऐसे आता है, "मिश्रण का कितना भाग निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाए कि अनुपात इतना हो जाए?" यहाँ उस घटक को देखिए जो वापस नहीं डाला जाता। वह केवल घटता है, और बचने वाली भिन्न के हिसाब से ही घटता है। तो बदला जाने वाला भाग = 1 − $\frac{\text{नया हिस्सा}}{\text{पुराना हिस्सा}}$, जहाँ दोनों हिस्से इसी घटक के हैं।

जैसे दूध : पानी = 8 : 1 है, यानी दूध $\frac{8}{9}$ है। 2 : 1 करने के लिए दूध $\frac{2}{3}$ होना चाहिए। बचने वाली भिन्न $\frac{2}{3} \div \frac{8}{9} = \frac{3}{4}$ है। तो मिश्रण का $\frac{1}{4}$ निकालकर पानी मिलाना है।

ऊपर से डाला जाने वाला द्रव कोई दूसरा हो, जैसे शुद्ध दूध, तो यही हिसाब पानी पर कीजिए।

इन प्रश्नों में तीन बातें ध्यान रखिए।

• बदलाव जोड़िए नहीं। हर बार 20% निकालने वाली तीन प्रक्रियाओं के बाद दूध का $(0.8)^3$ = 51.2% बचता है, 40% नहीं। पहले उदाहरण में 15 लीटर तीन बार घटाकर 30 लीटर लिख देना एक आम गलत विकल्प है।
• ऊपर से डाला जाने वाला द्रव खुद मिश्रण हो, पानी या कोई शुद्ध द्रव नहीं, तो सूत्र नहीं लगता। तब हर प्रक्रिया में दोनों घटकों का अलग-अलग हिसाब कीजिए।
• बर्तन में शुरू में ही मिश्रण हो, तो सूत्र केवल उस घटक पर लगाइए जो वापस नहीं डाला जाता। जैसे दूध-पानी के मिश्रण को पानी से भरें, तो सूत्र दूध पर लगेगा।

विकल्प हटाना

पूरा हल करने से पहले विकल्पों पर नज़र डालिए। कभी-कभी इसी से प्रश्न हल हो जाता है। विकल्पों पर ये चार जाँचें कीजिए।

• माध्य मूल्य बीच में: मिश्रण का मूल्य (या सांद्रता) हमेशा सबसे सस्ती और सबसे महँगी किस्म के बीच होता है, और जो किस्म ज़्यादा है, उसके पास होता है।
• योग से पूरा भाग: 7 : 5 वाले मिश्रण में हर घटक पूरे लीटर में हो, तो कुल मात्रा 12 का गुणज होगी, और हर घटक इकाई का गुणज होगा।
• दिशा: पानी मिलाने से सांद्रता घटती है, शुद्ध द्रव मिलाने से बढ़ती है, और पानी से हर प्रतिस्थापन के बाद बचा द्रव घटता है।
• प्रतिस्थापन की सीमा: n प्रक्रियाओं के बाद बचा द्रव V − nx से ज़्यादा होता है। वजह यह है कि पहली के बाद हर प्रक्रिया कुछ पानी भी बाहर निकालती है।

जैसे ₹44 और ₹62 प्रति किग्रा वाला चावल मिलाकर ₹56 प्रति किग्रा का मिश्रण बना। 54 किग्रा मिश्रण में ₹62 वाला चावल कितना है, इसके विकल्प हैं (a) 18 किग्रा (b) 36 किग्रा (c) 30 किग्रा (d) 40 किग्रा।

₹56, ₹62 के पास है, तो महँगा चावल ज़्यादा है, यानी 54 किग्रा के आधे से ज़्यादा। इससे (a) तुरंत हट जाता है। अब क्रॉस कीजिए। सस्ता : महँगा = (62 − 56) : (56 − 44) = 6 : 12 = 1 : 2। तो महँगा चावल 54 का $\frac{2}{3}$ = (b) 36 किग्रा है। ध्यान दीजिए कि (a) 18 किग्रा उलटे अनुपात से आने वाला उत्तर है।

एक और उदाहरण लीजिए। 75 लीटर दूध में से 15 लीटर निकालकर पानी मिलाया गया, और ऐसी तीन प्रक्रियाएँ हुईं। कोई विकल्प कहे कि 30 लीटर दूध बचा, तो वह सीमा वाली जाँच से तुरंत हट जाता है। 75 − 3 × 15 = 30 तो निचली सीमा है, उत्तर इससे ऊपर ही होगा।

इन जाँचों में दो बातें याद रखिए।

• पूरी संख्या वाली जाँच केवल उन्हीं घटकों पर लगाइए जो पूरी संख्या में हों। मूल्य, प्रतिशत और कुछ मात्राएँ भिन्न में भी होती हैं। इसलिए यह जाँच तभी कीजिए जब विकल्प पूरे लीटर या किग्रा में हों।
• चारों विकल्प सारी जाँचें पास कर लें, तो पूरी विधि से हल करना ही पड़ेगा।

[SSC टिप] जाल वाले विकल्प प्रायः किसी एक चूक से बनते हैं, जैसे उलटा अनुपात, विक्रय मूल्य पर एलीगेशन, नया अनुपात पुरानी कुल मात्रा पर लगाना, या प्रतिस्थापन की प्रक्रियाओं में गुणा की जगह घटाना। आपका उत्तर ऐसे किसी विकल्प से मेल खाए, तो निशान लगाने से पहले वही एक कदम दोबारा जाँच लीजिए।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं। हर प्रश्न तेज़ तरीके से करेंगे, और साथ में यह भी देखेंगे कि उसमें लगभग कितना समय लगता है।

प्रश्न 1

108 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 7 : 5 है। अनुपात 3 : 2 करने के लिए इसमें कितना दूध मिलाना होगा?

उत्तर: यहाँ केवल दूध मिलाया जा रहा है, तो पानी नहीं बदलेगा। इसलिए पानी की संख्या बराबर कर लेते हैं। 7 : 5 = 14 : 10 और 3 : 2 = 15 : 10, यानी दूध 1 इकाई बढ़ा। पुराना मिश्रण 24 इकाई है, तो एक इकाई = 108 ÷ 24 = 4.5 लीटर। मतलब 4.5 लीटर दूध मिलाना है। मिलाने के बाद 67.5 लीटर दूध और 45 लीटर पानी हो जाता है, जो 3 : 2 ही है। पूरा हल करीब 20 सेकंड का है।

प्रश्न 2

75 लीटर के एक विलयन में 36% अल्कोहल है। अल्कोहल को घटाकर 27% करने के लिए इसमें कितना पानी मिलाना होगा?

उत्तर: पानी मिलाने से अल्कोहल की मात्रा नहीं बदलती। तो नई कुल मात्रा = 75 × $\frac{36}{27}$ = 100 लीटर। मतलब 25 लीटर पानी मिलाना है। 100 लीटर में 27 लीटर अल्कोहल, यानी ठीक 27%। यह लगभग 15 सेकंड का काम है।

प्रश्न 3

एक ड्रम में तीन तेल P, Q और R, 5 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। इसमें से 36 लीटर मिश्रण निकाला जाता है, और फिर 3 लीटर P तथा 9 लीटर Q डाला जाता है। अब ड्रम में P की मात्रा, Q से 12 लीटर अधिक है। आरंभ में ड्रम में कितना तेल था?

उत्तर: डाली गई मात्राओं से Q को P से 9 − 3 = 6 लीटर ज़्यादा मिला। अब भी P, Q से 12 लीटर आगे है, तो डालने से पहले P, Q से 12 + 6 = 18 लीटर आगे था। बचे मिश्रण में यह अंतर 5 − 3 = 2 इकाई है, तो एक इकाई 9 लीटर की हुई। बचा मिश्रण 12 इकाई है, यानी 108 लीटर। शुरू में ड्रम में 108 + 36 = 144 लीटर तेल था। जाँच के लिए, 144 लीटर में से 36 लीटर निकालने पर बचे 108 लीटर में P = 45 और Q = 27 लीटर हैं, और डालने के बाद P = 48 और Q = 36 हो जाते हैं। इस तरीके से करीब 30 सेकंड लगते हैं। x मानकर समीकरण बनाने बैठें, तो एक मिनट या उससे भी ज़्यादा चला जाता है।

प्रश्न 4

एक ही आकार के दो बर्तन दूध और पानी के मिश्रण से भरे हैं; एक में दूध और पानी का अनुपात 4 : 1 है और दूसरे में 5 : 7। दोनों बर्तनों को एक बड़े टब में खाली कर दिया जाता है। टब में दूध और पानी का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों बर्तन एक ही आकार के हैं, तो मात्राएँ बराबर हैं। इसलिए पहले दोनों अनुपातों के योग बराबर करते हैं। योग 5 और 12 हैं, और इनका ल.स. 60 है। 4 : 1 = 48 : 12 और 5 : 7 = 25 : 35। अब घटक-घटक जोड़ने पर 73 : 47 आता है, और यह 20 सेकंड के आसपास हो जाता है। कई लोग 4 : 1 और 5 : 7 को सीधे जोड़कर 9 : 8 लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 5

जार A में अम्ल और पानी 2 : 3 के अनुपात में हैं, और जार B में 7 : 1 के अनुपात में। A से 30 लीटर और B से 8 लीटर एक खाली जार C में डाला जाता है। C में भरे द्रव का कितना प्रतिशत अम्ल है?

उत्तर: केवल अम्ल का हिसाब रखते हैं। A से अम्ल = 30 × $\frac{2}{5}$ = 12 लीटर, और B से 8 × $\frac{7}{8}$ = 7 लीटर। C में कुल 38 लीटर में से 19 लीटर अम्ल है, यानी 50%। यह लगभग 20 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 6

एक व्यापारी ₹36, ₹54 और ₹108 प्रति किग्रा मूल्य वाली तीन तरह की दालों में से प्रत्येक पर ₹2,160 खर्च करता है और उन्हें आपस में मिला देता है। मिश्रण का प्रति किग्रा मूल्य क्या है?

उत्तर: यहाँ हर दाल पर धन बराबर खर्च हुआ है, मात्रा बराबर नहीं है। ₹2,160 में ₹36 वाली दाल 60 किग्रा आती है, ₹54 वाली 40 किग्रा और ₹108 वाली 20 किग्रा। कुल ₹6,480 में 120 किग्रा दाल आई, तो मिश्रण ₹54 प्रति किग्रा का है। मूल्यों का सादा औसत ₹66 लेना गलत है। हल में करीब 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 7

₹34 प्रति किग्रा वाले कितने किग्रा गेहूँ को ₹27 प्रति किग्रा वाले 42 किग्रा गेहूँ के साथ मिलाया जाए कि मिश्रण का मूल्य ₹31 प्रति किग्रा हो?

उत्तर: क्रॉस लगाते हैं। ₹27 वाला गेहूँ : ₹34 वाला गेहूँ = (34 − 31) : (31 − 27) = 3 : 4। 42 किग्रा 3 इकाई है, तो एक इकाई 14 किग्रा की हुई। इसलिए ₹34 वाला गेहूँ 56 किग्रा मिलाना है। उलटा जाँचें तो 1,134 + 1,904 = 3,038, और 3,038 ÷ 98 = 31 आता है। पूरा प्रश्न 15 सेकंड के आसपास का है।

प्रश्न 8

36% अम्ल वाले 30 लीटर विलयन में 8% अम्ल वाला कितने लीटर विलयन मिलाया जाए कि 16% अम्ल वाला विलयन बन जाए?

उत्तर: 16 के आसपास 8 और 36 का क्रॉस करते हैं। 8% अम्ल : 36% अम्ल = (36 − 16) : (16 − 8) = 20 : 8 = 5 : 2। 30 लीटर 2 इकाई है, तो एक इकाई 15 लीटर की हुई। मतलब 8% वाला विलयन 75 लीटर मिलाना है। जाँच करें तो 6 + 10.8 = 16.8 लीटर अम्ल 105 लीटर में है, यानी 16%। समय करीब 20 सेकंड लगता है।

प्रश्न 9

बर्तन A में दूध और पानी 5 : 3 के अनुपात में हैं, और बर्तन B में 3 : 5 के अनुपात में। A और B को किस अनुपात में मिलाया जाए कि दूध और पानी का अनुपात 9 : 7 हो?

उत्तर: दूध A का $\frac{5}{8}$ है, B का $\frac{3}{8}$ और लक्ष्य का $\frac{9}{16}$। सबका हर 16 करने पर ये 10, 6 और 9 हो जाते हैं। अब क्रॉस करते हैं। A को 9 − 6 = 3 मिलता है और B को 10 − 9 = 1, तो A : B = 3 : 1। पूरा काम करीब 20 सेकंड में निपट जाता है।

प्रश्न 10

एक व्यापारी ने 80 किग्रा प्याज़ खरीदा। उसने इसका कुछ भाग 12% लाभ पर और शेष 4% हानि पर बेचा, और पूरे माल पर उसे 7% लाभ हुआ। उसने कितने किग्रा प्याज़ लाभ पर बेचा?

उत्तर: हानि को −4 लिखते हैं और 7 के आसपास क्रॉस करते हैं। लाभ वाला भाग : हानि वाला भाग = (7 + 4) : (12 − 7) = 11 : 5। कुल 16 इकाई 80 किग्रा के बराबर है, तो एक इकाई 5 किग्रा की हुई। लाभ पर 55 किग्रा प्याज़ बिका। मिलाकर देखिए, 55 × 12 − 25 × 4 = 560, और 80 × 7 भी 560 ही है। यह भी लगभग 20 सेकंड का प्रश्न है।

प्रश्न 11

₹49 और ₹64 प्रति किग्रा वाले दो तरह के चावल मिलाए जाते हैं, और मिश्रण को ₹63.25 प्रति किग्रा पर बेचने पर 15% लाभ होता है। उन्हें किस अनुपात में मिलाया गया था?

उत्तर: पहले मिश्रण का क्रय मूल्य निकालते हैं, 63.25 ÷ 1.15 = ₹55। अब क्रॉस करने पर सस्ता : महँगा = (64 − 55) : (55 − 49) = 9 : 6 = 3 : 2 आता है। (147 + 128) ÷ 5 = 55 से इसकी जाँच भी हो जाती है। कुल मिलाकर लगभग 25 सेकंड लगते हैं। अगर ₹63.25 पर ही सीधे क्रॉस कर दिया, तो 0.75 : 14.25 जैसा अजीब अनुपात आता है। इसी से पता चल जाता है कि पहले क्रय मूल्य निकालना छूट गया है।

प्रश्न 12

एक ग्वाला ₹52 प्रति लीटर पर दूध खरीदता है, उसमें पानी मिलाता है, और मिश्रण को ₹54.60 प्रति लीटर पर बेचकर 40% लाभ कमाता है। मिश्रण में पानी और दूध का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मिश्रण का क्रय मूल्य = 54.60 ÷ 1.4 = ₹39 प्रति लीटर। अब ₹39 के आसपास दूध (₹52) और पानी (₹0) का क्रॉस करते हैं। दूध : पानी = 39 : 13 = 3 : 1, तो पानी : दूध = 1 : 3। पक्का करने के लिए देखिए, 3 लीटर दूध ₹156 का आया और 4 लीटर मिश्रण ₹218.40 में बिका, तो ₹62.40 का लाभ हुआ, जो 40% ही है। इतना करने में करीब 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 13

₹150, ₹185 और ₹240 प्रति किग्रा वाली चाय को मिलाकर ₹200 प्रति किग्रा मूल्य की चाय बनाई जाती है। निम्नलिखित में से कौन-सा, इन्हें मिलाने का अनुपात हो सकता है: 2 : 1 : 3, 1 : 1 : 1, 1 : 2 : 2 या 2 : 2 : 3?

उत्तर: ₹200 से तीनों चायों का अंतर −50, −15 और +40 है। अब हर विकल्प जाँचते हैं। 2 : 1 : 3 से +5 बचता है, 1 : 1 : 1 से −25 और 2 : 2 : 3 से −10। 1 : 2 : 2 लें तो −50 − 30 + 80 = 0 आता है। तो 1 : 2 : 2 सही है। मूल्य से भी देख लीजिए, 150 + 370 + 480 = 1,000, जो 5 किग्रा का मूल्य है, यानी ₹200 प्रति किग्रा। विकल्प जाँचने में लगभग 25 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 14

एक डिब्बे में 140 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 35 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और यह प्रक्रिया कुल तीन बार की जाती है। अंत में दूध और पानी का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर प्रक्रिया में दूध का $\frac{3}{4}$ बचता है। तीन प्रक्रियाओं के बाद दूध डिब्बे का $\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$ है। बाकी $\frac{37}{64}$ पानी है, तो दूध : पानी = 27 : 37। अनुपात निकालने में 140 लीटर का कोई काम ही नहीं पड़ा। इसमें 15 सेकंड के आसपास लगते हैं।

प्रश्न 15

180 लीटर के एक मिश्रण में अल्कोहल और पानी का अनुपात 7 : 3 है। इसमें से कितने लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही शुद्ध अल्कोहल मिलाया जाए कि अनुपात 5 : 1 हो जाए?

उत्तर: यहाँ शुद्ध अल्कोहल वापस डाला जा रहा है, तो पानी का हिसाब रखते हैं, क्योंकि पानी केवल घटता है। पानी अभी $\frac{3}{10}$ है और इसे $\frac{1}{6}$ बनाना है। बचने वाली भिन्न $\frac{1}{6} \div \frac{3}{10} = \frac{5}{9}$ है, तो मिश्रण का $\frac{4}{9}$, यानी 80 लीटर, बदलना होगा। जाँच के लिए देखिए, शुरू में 126 लीटर अल्कोहल और 54 लीटर पानी है। 80 लीटर निकालने पर ये 70 और 30 रह जाते हैं, और 80 लीटर अल्कोहल मिलाने पर 150 : 30 = 5 : 1 हो जाता है। पूरे हल में करीब 25 सेकंड लगते हैं।