मिश्रण की मूल बातें: अनुपात, सांद्रता और औसत मूल्य

मिश्रण: अनुपात, भिन्न, प्रतिशत

एक ही मिश्रण को तीन तरह से बताया जा सकता है। "दूध और पानी 5 : 3 के अनुपात में", "पानी, मिश्रण का $\frac{3}{8}$ है" और "मिश्रण में 37.5% पानी है", ये तीनों एक ही मिश्रण की बात कर रहे हैं।

इसलिए सबसे पहले इतना अभ्यास कर लीजिए कि इनमें से कोई भी एक रूप दिया हो, तो बाकी रूप बिना अटके लिख सकें।

अनुपात से भिन्न। मान लीजिए दूध : पानी = a : b है। तो मिश्रण में कुल a + b बराबर भाग हैं। इसलिए मिश्रण में दूध का हिस्सा $\frac{a}{a+b}$ है और पानी का $\frac{b}{a+b}$। जैसे 5 : 3 में कुल 8 भाग हैं। दूध $\frac{5}{8}$ है, यानी 62.5%, और पानी $\frac{3}{8}$, यानी 37.5%।

हर घटक की मात्रा। कुल मात्रा को भागों की संख्या से भाग दीजिए, एक भाग की मात्रा आ जाएगी। जैसे 96 लीटर मिश्रण में दूध : पानी = 5 : 3 है। कुल 8 भाग हैं, तो एक भाग 12 लीटर का है। दूध = 5 × 12 = 60 लीटर और पानी = 3 × 12 = 36 लीटर।

प्रतिशत से अनुपात। दोनों घटकों के प्रतिशत लिखिए और उन्हें काटकर छोटा कर लीजिए। किसी विलयन में 45% अम्ल है, तो पानी 55% है, और अम्ल : पानी = 45 : 55 = 9 : 11। इसी तरह जिस मिश्रण में 20% पानी हो, उसमें दूध : पानी = 80 : 20 = 4 : 1 होगा।

सांद्रता। विलयन में सक्रिय घटक का जो प्रतिशत होता है, उसे विलयन की सांद्रता (concentration) कहते हैं। जैसे 80 लीटर विलयन में 15% अम्ल है, तो अम्ल = 80 का 15% = 12 लीटर, और पानी 68 लीटर। मतलब "सांद्रता" वाला प्रश्न असल में प्रतिशत का ही प्रश्न है, बस नाम अलग है।

प्रतिशत किसका है? प्रश्न ध्यान से पढ़िए कि प्रतिशत दूसरे घटक का दिया है या पूरे मिश्रण का।

• "पानी, मिश्रण का 25% है" का मतलब है पानी : दूध = 1 : 3।
• "पानी, दूध का 25% है" का मतलब है पानी : दूध = 1 : 4। तब पानी, मिश्रण का केवल $\frac{1}{5}$ है, यानी 20%।

दूसरी पंक्ति वाली बात और तरह से भी कही जाती है, जैसे "हर 4 लीटर दूध पर 1 लीटर पानी", "दूध, पानी का 4 गुना है" या "पानी, दूध का एक-चौथाई है"। SSC विकल्पों में दोनों उत्तर रखता है। इसलिए जो विकल्प प्रश्न वाला प्रतिशत ही दोहरा रहा हो, उसे चुनने से पहले देख लीजिए कि प्रतिशत किस पर लगा है।

तीन सवाल। कोई भी प्रश्न शुरू करने से पहले ख़ुद से ये तीन सवाल पूछिए। इनसे लगभग हर प्रश्न का रास्ता साफ़ हो जाता है।

1. कौन-सा घटक बदल रहा है और कौन-सा स्थिर है? पानी डालने पर दूध स्थिर रहता है।
2. क्या कुछ मिश्रण निकाला जा रहा है? तब दोनों घटक मिश्रण के अपने अनुपात में निकलते हैं।
3. क्या आप असली मात्राएँ जोड़ रहे हैं, अनुपात के पद नहीं? अनुपात कभी सीधे नहीं जुड़ते।

अब हर तरह के प्रश्न को एक-एक करके देखते हैं।

पानी या दूध मिलाना

मिश्रण में पानी डालें, तो केवल पानी बदलता है। बर्तन में दूध ठीक उतना ही रहता है जितना पहले था। इसलिए जो घटक नहीं बदल रहा, हिसाब उसी को स्थिर मानकर कीजिए। बदलाव केवल दूसरे घटक में होगा।

पानी मिलाकर नया अनुपात। यह प्रश्न देखिए, "63 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 5 : 2 है। अनुपात 3 : 2 करने के लिए इसमें कितना पानी मिलाना होगा?"

• एक भाग = 63 ÷ 7 = 9 लीटर, तो दूध 45 लीटर और पानी 18 लीटर है।
• दूध 45 लीटर ही रहेगा। 3 : 2 के लिए पानी = 45 × $\frac{2}{3}$ = 30 लीटर होना चाहिए।
• तो मिलाना है 30 − 18 = 12 लीटर।

इकाई वाला तरीका। दोनों अनुपातों में दूध का पद बराबर कर लीजिए। 5 : 2 = 15 : 6 और 3 : 2 = 15 : 10। अब दूध 15 इकाई पर स्थिर है और पानी 6 से 10 इकाई हो गया, यानी 4 इकाई जुड़ीं। पुराना मिश्रण 21 इकाई था, जो 63 लीटर है। तो 1 इकाई = 3 लीटर, और 4 इकाई = 12 लीटर। जब प्रश्न में बदलाव दिया हो और कुल मात्रा पूछी गई हो, तब यह तरीका ज़्यादा तेज़ पड़ता है।

पानी की जगह दूध मिलाना। दूध मिलाया जाए, तो पानी स्थिर रहता है। मान लीजिए इसी मिश्रण को 4 : 1 करना है। पानी 18 लीटर ही रहेगा, तो दूध = 4 × 18 = 72 लीटर होना चाहिए। मिलाना है 72 − 45 = 27 लीटर।

शुरुआती मिश्रण का पता लगाना। कभी प्रश्न ऐसे आता है, "एक मिश्रण में अम्ल और पानी का अनुपात 5 : 3 है। इसमें 10 लीटर पानी मिलाने पर अनुपात 1 : 1 हो जाता है। मिश्रण में कितना अम्ल है?" यहाँ अम्ल स्थिर है, तो 1 : 1 को 5 : 5 लिखिए। पानी 3 से 5 इकाई हुआ, यानी 2 इकाई = 10 लीटर। तो 1 इकाई = 5 लीटर और अम्ल = 25 लीटर। पानी पहले 15 लीटर था, यानी शुरुआत में मिश्रण 40 लीटर था।

दोनों घटक मिलाए जाएँ। "दूध और पानी के 3 : 1 अनुपात वाले 32 लीटर मिश्रण में 4 लीटर दूध और कुछ पानी मिलाया जाता है, जिससे अनुपात 7 : 3 हो जाता है। कितना पानी मिलाया गया?" दूध पहले 24 लीटर था, अब 24 + 4 = 28 लीटर है। 7 : 3 के लिए पानी = 28 × $\frac{3}{7}$ = 12 लीटर होना चाहिए। पहले 8 लीटर था, तो 4 लीटर पानी मिलाया गया। जब दोनों घटक बदलें, तो हिसाब असली लीटर में कीजिए, अनुपात के पदों से कभी नहीं।

यहाँ एक गलती बहुत होती है। कुछ छात्र 5 : 2 और 3 : 2 की सीधे तुलना करके कह देते हैं कि "दूध 2 भाग घट गया"। यह गलत है, दूध तो बिल्कुल नहीं बदला। जब तक स्थिर घटक के पद बराबर न कर लें, दोनों अनुपातों की एक इकाई बराबर लीटर की नहीं होती।

एक घटक मिलाकर लक्ष्य प्रतिशत

प्रतिशत वाले प्रश्नों में भी वही बात है जो अनुपात में थी। जिस घटक में कुछ मिलाया नहीं गया, उसकी मात्रा वही रहती है। बदलता है तो बस मिश्रण में उसका हिस्सा। इसलिए नई कुल मात्रा = स्थिर मात्रा ÷ उसका नया हिस्सा।

पानी मिलाना। "दूध और पानी के 75 लीटर मिश्रण में 16% पानी है। इसमें कितना पानी मिलाया जाए कि मिश्रण में पानी 30% हो जाए?"

• दूध = 75 का 84% = 63 लीटर, और यह 63 लीटर ही रहेगा।
• नए मिश्रण में दूध 70% होगा, तो नई कुल मात्रा = 63 ÷ 0.7 = 90 लीटर।
• मिलाना है 90 − 75 = 15 लीटर।

दूध मिलाना। वही 75 लीटर मिश्रण लीजिए, पर अब पानी को घटाकर 12% तक लाना है। पानी 12 लीटर है और यह स्थिर रहेगा। ये 12 लीटर नए मिश्रण का 12% होंगे, तो नई कुल मात्रा 100 लीटर हुई। मतलब 25 लीटर दूध मिलाना है।

विलयन में शुद्ध पदार्थ मिलाना। "48 लीटर विलयन में 25% अम्ल है। अम्ल 40% करने के लिए इसमें कितना शुद्ध अम्ल मिलाना होगा?" इस बार पानी स्थिर है, जो 36 लीटर है। नए विलयन में पानी 60% होगा, तो कुल = 36 ÷ 0.6 = 60 लीटर। यानी 12 लीटर अम्ल मिलाना है।

जाँच के दो सूत्र। मान लीजिए V लीटर मिश्रण है, और पानी मिलाकर पानी का हिस्सा $p_1\%$ से बढ़ाकर $p_2\%$ करना है। तब कितना पानी मिलाना है, यह इस सूत्र से निकलता है।

$$\text{मिलाया जाने वाला पानी} = V \times \frac{p_2 - p_1}{100 - p_2}$$

और अगर दूध मिलाकर पानी का हिस्सा $p_1\%$ से घटाकर $p_2\%$ करना हो, तो यह सूत्र लगता है।

$$\text{मिलाया जाने वाला दूध} = V \times \frac{p_1 - p_2}{p_2}$$

ऊपर के दोनों उदाहरण इनसे जाँच लीजिए। 75 × $\frac{14}{70}$ = 15 और 75 × $\frac{4}{12}$ = 25। विलयन में अम्ल डाला जा रहा हो, तो पहले सूत्र में "पानी" की जगह "अम्ल" पढ़िए। तब 48 × $\frac{15}{60}$ = 12 आता है।

अनुपात दिया हो, प्रतिशत पूछा हो। "72 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 7 : 2 है। इसमें कितना पानी मिलाया जाए कि मिश्रण में पानी 30% हो जाए?" दूध 56 लीटर है। यही नई कुल मात्रा का 70% होगा, तो कुल 80 लीटर। यानी 8 लीटर पानी मिलाना है।

मिलाने के बाद नया प्रतिशत। CGL यही बात उलटी ओर से भी पूछता है। "90 लीटर के एक मिश्रण में 40% पानी है। इसमें 30 लीटर दूध मिलाया जाता है। नए मिश्रण में पानी कितने प्रतिशत है?" पानी 36 लीटर है, और नई कुल मात्रा 120 लीटर। तो 36 ÷ 120 = 30%। यहाँ बदली केवल कुल मात्रा, पानी नहीं।

[SSC टिप] प्रतिशत का बदलाव पुराने आयतन पर न लगाइए। पानी 16% से 30% करना हो, तो "75 लीटर का 14% मिला दो" सोचकर 10.5 लीटर लिखना गलत है। नया पानी नई और बड़ी कुल मात्रा का 30% होता है। इसीलिए उत्तर 15 लीटर आया।

मिश्रण निकालना, फिर मिलाना

मिश्रण का कुछ हिस्सा उँडेल दें, तो दूध और पानी साथ-साथ निकलते हैं, और मिश्रण के अपने अनुपात में ही निकलते हैं। इसलिए अनुपात वही रहता है, बस मात्रा घट जाती है। जैसे 4 : 3 वाले मिश्रण से एक जग भर निकाल लिया, तो बचा मिश्रण भी 4 : 3 में ही रहेगा।

निकालकर पानी मिलाना। "84 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 4 : 3 है। इसमें से 21 लीटर मिश्रण निकाल लिया जाता है और फिर 9 लीटर पानी मिलाया जाता है। नया अनुपात ज्ञात कीजिए।"

• निकालने के बाद 63 लीटर बचा, और यह अब भी 4 : 3 में है। तो दूध 36 लीटर और पानी 27 लीटर है।
• 9 लीटर पानी मिलाने पर दूध 36 लीटर और पानी 36 लीटर हो गया, यानी अनुपात 1 : 1।

कई छात्र 21 लीटर केवल दूध में से, या केवल पानी में से घटा देते हैं। पर दोनों घटक साथ निकलते हैं। इसलिए निकासी कैसी भी हो, पहले हर घटक की बची मात्रा लिखिए, बाकी काम उसके बाद कीजिए।

कितना निकाला गया। "दूध : पानी = 5 : 2 वाले 70 लीटर मिश्रण में से कुछ मिश्रण निकाल लिया जाता है। फिर 9 लीटर पानी मिलाने पर अनुपात 5 : 3 हो जाता है। कितना मिश्रण निकाला गया था?" निकालने के बाद दूध फिर नहीं बदलता। तो दूध का पद एक-सा रखकर 5 : 2 और 5 : 3 की तुलना कीजिए। पानी 1 इकाई बढ़ा, और यही 9 लीटर है। निकालने के बाद बचा मिश्रण 7 इकाई था, यानी 63 लीटर। तो 70 − 63 = 7 लीटर मिश्रण निकाला गया था।

निकालकर लक्ष्य प्रतिशत तक पहुँचना। "20% पानी वाले 50 लीटर मिश्रण में से 10 लीटर मिश्रण निकाल लिया जाता है। अब इसमें कितना पानी मिलाया जाए कि पानी 50% हो जाए?" बचे 40 लीटर में अब भी 20% पानी है, तो दूध 32 लीटर है। यही दूध नई कुल मात्रा का 50% होगा, तो कुल 64 लीटर। यानी 24 लीटर पानी मिलाना है।

उबालकर पानी उड़ाना। उबालने या सुखाने पर केवल पानी निकलता है। जो चीज़ घुली हुई है, वह वहीं रहती है। अनुपात वाला यह प्रश्न देखिए, "45 किग्रा शरबत में चीनी और पानी का अनुपात 2 : 7 है। अनुपात 2 : 5 करने के लिए उबालकर कितना पानी उड़ाना होगा?" चीनी 10 किग्रा है और पानी 35 किग्रा। चीनी 10 किग्रा ही रहेगी, तो 2 : 5 के लिए पानी 25 किग्रा होना चाहिए। यानी 10 किग्रा पानी उड़ाना होगा।

जितना निकाला, उतना ही वापस डालना। पहले उदाहरण में अगर निकाले गए 21 लीटर की जगह 21 लीटर पानी डाला जाता, तो यह निकासी और प्रतिस्थापन वाला प्रश्न बन जाता। ऐसे प्रश्न, जिनमें यह काम एक बार हो या कई बार, "निकासी और प्रतिस्थापन" वाले खंड में देखेंगे।

दो या तीन मिश्रणों का मेल

दो या तीन बर्तनों के मिश्रण मिलाने हों, तो पहले हर बर्तन में हर घटक की असली मात्रा निकालिए। फिर दूध में दूध जोड़िए और पानी में पानी। अनुपात सबसे अंत में बनाइए।

सबसे आम गलत उत्तर अनुपात के पद सीधे जोड़ देने से आता है। ऐसा जोड़ तभी सही होता है जब बर्तन एक ही आकार के हों और दोनों अनुपातों का योग पहले से बराबर हो।

मात्राएँ दी हों। "दूध : पानी = 7 : 3 वाले 20 लीटर मिश्रण को दूध : पानी = 1 : 3 वाले 48 लीटर मिश्रण के साथ मिलाया जाता है। नया अनुपात ज्ञात कीजिए।"

• पहले बर्तन में दूध 14 लीटर और पानी 6 लीटर है।
• दूसरे बर्तन में दूध 12 लीटर और पानी 36 लीटर है।
• कुल दूध 26 लीटर और पानी 42 लीटर हुआ, तो अनुपात 13 : 21।

अनुपात जोड़कर (7 + 1) : (3 + 3) = 8 : 6 = 4 : 3 लिखना गलत है।

बराबर मात्राएँ। मान लीजिए एक ही आकार के दो बर्तन हैं, जिनमें अनुपात 3 : 2 और 5 : 4 है। यहाँ 3 + 5 और 2 + 4 न जोड़िए। 5 भागों वाले अनुपात का एक भाग, 9 भागों वाले अनुपात के एक भाग के बराबर नहीं होता। पहले दोनों योग बराबर कीजिए। 5 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य, यानी ल.स. (LCM), 45 है।

• 3 : 2 = 27 : 18 और 5 : 4 = 25 : 20। दोनों 45 में से हो गए।
• अब जोड़ दीजिए, 52 : 38 = 26 : 19।

किसी दिए अनुपात में मिलाना। अब मान लीजिए यही दो मिश्रण आयतन के अनुसार 2 : 3 में मिलाए गए। ऊपर की तरह पहले योग बराबर कीजिए, फिर हर एक को उसके हिस्से से गुणा कीजिए। 2 × (27 : 18) = 54 : 36 और 3 × (25 : 20) = 75 : 60। कुल 129 : 96 = 43 : 32। बर्तन अलग-अलग आकार के हों, तब भी यही तरीका है। बर्तनों के आकार 2 : 3 में होना और 2 : 3 में मिलाना एक ही बात है।

भिन्न से भी यही नतीजा आता है। दूध पहले मिश्रण का $\frac{3}{5}$ है और दूसरे का $\frac{5}{9}$। तो दूध = 2 × $\frac{3}{5}$ + 3 × $\frac{5}{9}$ = $\frac{43}{15}$, कुल 5 इकाई में से। पानी $\frac{32}{15}$ बचता है।

तीन बर्तन। तीन बराबर गिलास हैं, जिनमें दूध और पानी 1 : 1, 2 : 1 और 3 : 1 में है। योग 2, 3 और 4 हैं, जिनका ल.स. 12 है। तो इन्हें 6 : 6, 8 : 4 और 9 : 3 लिखिए। सब मिलाकर 23 : 13।

अधूरे भरे बर्तन। "दो एक जैसी बोतलें क्रमशः $\frac{2}{5}$ और $\frac{1}{3}$ भाग तक जूस से भरी हैं। दोनों को पानी से पूरा भरकर एक जग में खाली कर दिया जाता है।" जूस = $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{11}{15}$ बोतल। जग में कुल 2 बोतल हैं, तो पानी = $2 - \frac{11}{15} = \frac{19}{15}$ बोतल। यानी जूस : पानी = 11 : 19।

दो बर्तनों से तीसरे में

किसी बर्तन से जो मिश्रण निकालते हैं, वह उसी बर्तन के अनुपात में होता है। इसलिए हर बर्तन से लिए गए लीटर उसी बर्तन के अनुपात में बाँटिए। फिर हर घटक को अलग-अलग जोड़ दीजिए।

सबसे आम प्रश्न। "बर्तन A में दूध और पानी का 66 लीटर मिश्रण 5 : 1 के अनुपात में है। बर्तन B में 45 लीटर मिश्रण 4 : 5 के अनुपात में है। A से 30 लीटर और B से 18 लीटर मिश्रण एक खाली बर्तन C में डाला जाता है। C में दूध और पानी का अनुपात ज्ञात कीजिए।"

• A से 30 लीटर आया, जो 5 : 1 में है। तो दूध 25 लीटर और पानी 5 लीटर।
• B से 18 लीटर आया, जो 4 : 5 में है। तो दूध 8 लीटर और पानी 10 लीटर।
• C में दूध 33 लीटर और पानी 15 लीटर हुआ, यानी अनुपात 11 : 5।

ध्यान दीजिए, A और B का आकार, यानी 66 लीटर और 45 लीटर, यहाँ किसी काम का नहीं है। काम के केवल अनुपात और निकाले गए लीटर हैं। SSC बर्तनों का आकार इसलिए दे देता है कि आपकी रफ़्तार धीमी पड़ जाए।

C में आगे कुछ मिलाना। अब पूछा जाए, "अनुपात 3 : 2 करने के लिए C में कितना पानी मिलाना होगा?" C में दूध 33 लीटर है और यह स्थिर रहेगा। पानी = 33 × $\frac{2}{3}$ = 22 लीटर होना चाहिए, तो 22 − 15 = 7 लीटर पानी मिलाना है।

एक बर्तन से दूसरे में डालना। "बर्तन P में अम्ल और पानी का 24 लीटर मिश्रण 5 : 3 के अनुपात में है। बर्तन Q में 30 लीटर मिश्रण 1 : 2 के अनुपात में है। P से 8 लीटर मिश्रण Q में डाला जाता है।" इन 8 लीटर में अम्ल 5 लीटर और पानी 3 लीटर है। Q में पहले अम्ल 10 लीटर और पानी 20 लीटर था। अब अम्ल 15 लीटर और पानी 23 लीटर हो गया, यानी 15 : 23। P में 16 लीटर बचा, और उसका अनुपात अब भी 5 : 3 है।

अनुपात की जगह सांद्रता। "40% अम्ल वाले 12 लीटर विलयन और 15% अम्ल वाले 18 लीटर विलयन को एक खाली जार में डाला जाता है।" अम्ल = 4.8 + 2.7 = 7.5 लीटर है, और कुल 30 लीटर। तो जार में अम्ल 25% हुआ। जार की सांद्रता 40% और 15% का भारित औसत (weighted average) है। इसलिए यह दोनों के बीच ही आएगी, और उस विलयन के पास रहेगी जो ज़्यादा डाला गया।

जाँच। उत्तर लिखने से पहले दो बातें देख लीजिए।

• C में उतने ही लीटर होने चाहिए जितने डाले गए, यहाँ 30 + 18 = 48।
• C में दूध का हिस्सा A और B के दूध के हिस्सों के बीच होना चाहिए। यहाँ वे $\frac{5}{6}$ और $\frac{4}{9}$ हैं, और C में $\frac{11}{16}$ है।

अगर प्रश्न उलटा हो, जैसे "2 : 1 वाला 20 लीटर मिश्रण बनाने के लिए हर बर्तन से कितने लीटर लें?", तो एलीगेशन (alligation) लगता है।

[SSC टिप] अनुपात के पद जोड़कर (5 + 4) : (1 + 5) = 9 : 6 = 3 : 2 लिखना तभी सही है, जब निकाले गए लीटर अनुपातों के योगों के अनुपात, यानी 6 : 9 में हों। यहाँ लीटर 30 : 18 में हैं, इसलिए 3 : 2 वाला विकल्प गलत है। हर बार लीटर ठीक से बाँट लीजिए, इसमें दस सेकंड ही लगते हैं।

मिश्रधातु: अनुपात और प्रतिशत

धातुओं के मिश्रण को मिश्रधातु (alloy) कहते हैं। पीतल ताँबे और जस्ते से बनता है, और काँसा ताँबे और टिन से। गहनों वाले सोने में सोने के साथ ताँबा या चाँदी मिली होती है। इनमें भी दूध-पानी वाले नियम ही लगते हैं, बस लीटर की जगह किग्रा आ जाता है।

अनुपात से मात्रा। 45 किग्रा मिश्रधातु में ताँबा : जस्ता = 7 : 2 है। एक भाग 5 किग्रा का हुआ, तो ताँबा 35 किग्रा और जस्ता 10 किग्रा है।

एक धातु, दूसरी के प्रतिशत के रूप में। "एक मिश्रधातु में जस्ते का भार, ताँबे के भार का 60% है। 40 किग्रा मिश्रधातु में कितना ताँबा है?" जस्ता, ताँबे का $\frac{3}{5}$ है, तो ताँबा : जस्ता = 5 : 3। ताँबा = $\frac{5}{8}$ × 40 = 25 किग्रा। यहाँ कुछ छात्र 40 किग्रा का 60% निकालकर उसे जस्ता मान लेते हैं। यह गलत है, क्योंकि 60% ताँबे का है, मिश्रधातु का नहीं।

दो मिश्रधातुएँ, अलग-अलग भार। ताँबा : जस्ता = 3 : 1 वाली 20 किग्रा मिश्रधातु और ताँबा : जस्ता = 2 : 3 वाली 30 किग्रा मिश्रधातु एक साथ पिघलाई गईं। पहली से ताँबा 15 किग्रा और जस्ता 5 किग्रा आया, दूसरी से ताँबा 12 किग्रा और जस्ता 18 किग्रा। नई मिश्रधातु में ताँबा 27 किग्रा और जस्ता 23 किग्रा है, यानी 27 : 23।

बराबर भार। एक मिश्रधातु में सोना : चाँदी = 5 : 1 है और दूसरी में 3 : 5। दोनों का बराबर भार पिघलाया गया। योग 6 और 8 हैं, जिनका ल.स. 24 है। तो 20 : 4 और 9 : 15 लिखिए। कुल 29 : 19।

अलग-अलग धातुओं वाली मिश्रधातुएँ। "ताँबा : जस्ता = 2 : 3 वाली 10 किग्रा मिश्रधातु को ताँबा : टिन = 3 : 4 वाली 14 किग्रा मिश्रधातु के साथ पिघलाया जाता है। नई मिश्रधातु में ताँबा : जस्ता : टिन ज्ञात कीजिए।" पहली से ताँबा 4 किग्रा और जस्ता 6 किग्रा आया। दूसरी से ताँबा 6 किग्रा और टिन 8 किग्रा। ताँबा दोनों में है, तो वह जुड़ेगा। जस्ता और टिन एक-एक मिश्रधातु से ही आए हैं। नई मिश्रधातु में 10 : 6 : 8 = 5 : 3 : 4।

शुद्ध धातु मिलाना। यहाँ फिर वही बात है कि केवल एक घटक बदलता है। "32 किग्रा मिश्रधातु में ताँबा : टिन = 5 : 3 है। अनुपात 1 : 1 करने के लिए इसमें कितना टिन मिलाना होगा?" ताँबा 20 किग्रा है और स्थिर रहेगा, तो टिन भी 20 किग्रा होना चाहिए। अभी 12 किग्रा है, इसलिए 8 किग्रा टिन मिलाना है।

सोने की शुद्धता। शुद्ध सोना 24 कैरेट का होता है। तो 22 कैरेट सोने में $\frac{22}{24}$ भाग सोना होता है, लगभग 91.7%। जैसे 18 कैरेट सोने का 10 ग्राम का गहना है, तो उसमें सोना = $\frac{18}{24}$ × 10 = 7.5 ग्राम। SSC में यह कम ही आता है, और आए तो सीधा अनुपात वाला प्रश्न होता है।

तीन धातुओं वाले उत्तर की जाँच भी जल्दी हो जाती है। उत्तर के पदों का योग बताता है कि कुल भार कितनी इकाई है। ताँबा, जस्ता और टिन वाले उदाहरण में 5 + 3 + 4 = 12 इकाई हैं और कुल भार 24 किग्रा है, तो 1 इकाई = 2 किग्रा। जिस विकल्प के पदों का योग कुल भार को ठीक-ठीक न बाँटे, वह प्रायः गलत होता है।

मिश्रण का औसत मूल्य

अलग-अलग मूल्य वाली किस्में मिलाई जाएँ, तो मिश्रण का मूल्य = कुल लागत ÷ कुल मात्रा। यह एक भारित औसत है, जिसमें भार मात्राएँ होती हैं।

$$\text{मिश्रण का मूल्य} = \frac{q_1 p_1 + q_2 p_2 + \cdots}{q_1 + q_2 + \cdots}$$

मात्राएँ दी हों। ₹44 प्रति किग्रा वाला 25 किग्रा चावल और ₹60 प्रति किग्रा वाला 15 किग्रा चावल मिलाया गया। लागत 1,100 + 900 = ₹2,000 है, और मात्रा 40 किग्रा। तो मिश्रण ₹50 प्रति किग्रा का हुआ। दोनों मूल्यों का सीधा औसत ₹52 लेना गलत है, क्योंकि सस्ता चावल ज़्यादा है।

अनुपात दिया हो। ₹42 और ₹50 प्रति किग्रा वाली चीनी 3 : 5 में मिलाई गई। अनुपात के पदों को ही किग्रा मान लीजिए। तो (3 × 42 + 5 × 50) ÷ 8 = (126 + 250) ÷ 8 = 376 ÷ 8 = ₹47 प्रति किग्रा।

सबसे सस्ते मूल्य से अंतर। एक छोटा तरीका भी है। हर मूल्य में से सबसे सस्ता मूल्य घटा लीजिए। यहाँ अंतर 0 और 8 आते हैं। भारित अंतर = 5 × 8 ÷ 8 = 5, तो मूल्य = 42 + 5 = ₹47। मूल्य बड़े हों, तो इस तरीके में ज़्यादातर गुणा बच जाता है।

तीन या ज़्यादा किस्में। ₹140, ₹160 और ₹220 प्रति किग्रा वाली चाय 2 : 3 : 5 में मिलाई गई। कुल लागत = 280 + 480 + 1,100 = ₹1,860, और मात्रा 10 किग्रा। तो मिश्रण ₹186 प्रति किग्रा का हुआ। ₹140 को आधार मानें, तो अंतर 0, 20 और 80 हैं। भारित अंतर = (3 × 20 + 5 × 80) ÷ 10 = 46, और 140 + 46 = 186।

बराबर मात्रा या बराबर धन? यहाँ प्रश्न की पंक्ति दो बार पढ़िए।

• हर किस्म की बराबर मात्रा ली गई हो, तो मिश्रण का मूल्य सीधा औसत होता है।
• हर किस्म पर बराबर धन ख़र्च हुआ हो, तो सस्ती किस्म ज़्यादा मिलती है और मूल्य उसी की ओर झुक जाता है। दो मूल्य x और y हों, तो यह सूत्र लगता है।

$$\text{मिश्रण का मूल्य} = \frac{2xy}{x + y}$$

जैसे ₹60 और ₹90 प्रति लीटर वाला तेल बराबर राशि से ख़रीदा गया। मिश्रण का मूल्य = $\frac{2 \times 60 \times 90}{150}$ = ₹72 प्रति लीटर होगा, ₹75 नहीं।

• तीन मूल्य हों और धन बराबर, तो ऐसी रकम मान लीजिए जो हर मूल्य से पूरी-पूरी बँट जाए। जैसे ₹30, ₹40 और ₹60 प्रति किग्रा वाली दालें हैं। हर एक पर ₹120 ख़र्च करें, तो 4 + 3 + 2 = 9 किग्रा दाल ₹360 में आएगी। मिश्रण ₹40 प्रति किग्रा का हुआ।

कभी उलटा पूछा जाता है कि लक्ष्य मूल्य पाने के लिए किस अनुपात में मिलाएँ। यह एलीगेशन से होता है, जिसे "एलीगेशन का नियम और लाभ के लिए मिश्रण" वाले खंड में देखेंगे।

जाँच के लिए याद रखिए कि मिश्रण का मूल्य सबसे सस्ते और सबसे महँगे मूल्य के बीच होता है, और जो किस्म ज़्यादा ली गई, उसके पास होता है। जो विकल्प इस दायरे से बाहर हो, या सीधे औसत की गलत ओर हो, उसे तुरंत हटा दीजिए।

मुफ़्त पानी: प्रति लीटर मूल्य

पानी का कोई मूल्य नहीं होता, पर उससे आयतन बढ़ता है। इसलिए दूध-पानी के मिश्रण की लागत केवल दूध की लागत होती है, जो अब ज़्यादा लीटरों में बँट जाती है।

$$\text{मिश्रण का प्रति लीटर मूल्य} = \text{दूध का मूल्य} \times \frac{\text{दूध}}{\text{दूध} + \text{पानी}}$$

दूध और पानी किसी अनुपात में। ₹56 प्रति लीटर वाले दूध में पानी 7 : 1 में मिलाया गया। मिश्रण के 8 लीटर में 7 लीटर दूध है, जिसकी लागत 7 × 56 = ₹392 है। तो मिश्रण का एक लीटर = 392 ÷ 8 = ₹49। सूत्र से भी यही आता है, 56 × $\frac{7}{8}$ = 49।

पानी, दूध के हिस्से के रूप में। "₹60 प्रति लीटर वाले दूध में, दूध के 25% के बराबर पानी मिलाया जाता है।" यहाँ दूध : पानी = 4 : 1 है। तो मिश्रण = 60 × $\frac{4}{5}$ = ₹48 प्रति लीटर। कई छात्र यहाँ 60 × 0.75 = ₹45 लिख देते हैं। उन्होंने पानी को मिश्रण का 25% मान लिया, जो गलत है।

दो तरह का दूध और कुछ पानी। एक डेयरी ₹45 प्रति लीटर वाला 12 लीटर दूध, ₹55 वाला 18 लीटर दूध और 6 लीटर पानी मिलाती है। लागत 540 + 990 + 0 = ₹1,530 है, और मात्रा 36 लीटर। तो मिश्रण ₹42.50 प्रति लीटर का हुआ। पानी लीटरों में गिना जाता है, पर लागत में कुछ नहीं जोड़ता। ₹1,530 ÷ 30 = ₹51 लिखना गलत है। इसमें पानी छोड़ दिया गया, तो यह केवल दूध का मूल्य है।

लक्ष्य मूल्य के लिए कितना पानी। "दूध का मूल्य ₹60 प्रति लीटर है। इसके 40 लीटर में कितना पानी मिलाया जाए कि मिश्रण का मूल्य ₹50 प्रति लीटर हो जाए?" दूध, मिश्रण का $\frac{50}{60} = \frac{5}{6}$ होना चाहिए। तो दूध : पानी = 5 : 1। दूध 40 लीटर है, इसलिए 8 लीटर पानी मिलाना है। जाँच कर लीजिए, 40 × 60 = ₹2,400 की लागत 48 लीटर में बँटी, तो ₹50 प्रति लीटर आया।

कई द्रव, सबका अपना मूल्य। एक पेय विक्रेता ₹80 वाला 10 लीटर जूस, ₹40 वाला 6 लीटर शरबत और 4 लीटर पानी मिलाता है। लागत 800 + 240 = ₹1,040 है, और मात्रा 20 लीटर। तो मिश्रण ₹52 प्रति लीटर का हुआ। पानी को बस एक और किस्म समझिए, जिसका मूल्य ₹0 है।

ऐसे मिश्रण को लाभ पर बेचना भी पूछा जाता है। जैसे ग्वाला मिश्रण को शुद्ध दूध के क्रय मूल्य पर ही बेचता है और पानी की वजह से लाभ कमाता है। ये प्रश्न "एलीगेशन का नियम और लाभ के लिए मिश्रण" वाले खंड में देखेंगे।

[SSC टिप] मिश्रण में पानी हो, तो प्रति लीटर मूल्य इस्तेमाल हुए सबसे सस्ते दूध के मूल्य से भी कम होगा। कोई विकल्प उससे ऊपर हो, तो समझ लीजिए कि उसमें पानी लीटरों में गिना ही नहीं गया।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

135 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी 11 : 4 के अनुपात में हैं। इसमें कितने लीटर पानी है? (a) 36 लीटर (b) 99 लीटर (c) 45 लीटर (d) 33.75 लीटर

उत्तर: कुल भाग 11 + 4 = 15 हैं, तो एक भाग = 135 ÷ 15 = 9 लीटर। पानी 4 भाग है, यानी 36 लीटर, और दूध 99 लीटर। प्रतिशत में देखें तो पानी मिश्रण का $\frac{4}{15}$ है, यानी $26\frac{2}{3}\%$। तो पानी (a) 36 लीटर है।

प्रश्न 2

77 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 8 : 3 है। अनुपात 4 : 3 करने के लिए इसमें कितना पानी मिलाना होगा? (a) 14 लीटर (b) 28 लीटर (c) 21 लीटर (d) 35 लीटर

उत्तर: दूध 56 लीटर है और पानी 21 लीटर। पानी मिलाने से दूध नहीं बदलता, तो 4 : 3 के लिए पानी = 56 × $\frac{3}{4}$ = 42 लीटर होना चाहिए। मिलाना है 42 − 21 = (c) 21 लीटर। इकाई वाले तरीके से भी देख लेते हैं। 4 : 3 = 8 : 6, तो पानी 3 से 6 इकाई हुआ। 1 इकाई = 77 ÷ 11 = 7 लीटर, तो 3 इकाई = 21 लीटर।

प्रश्न 3

80 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 3 : 2 है। अनुपात 2 : 1 करने के लिए इसमें कितना दूध मिलाना होगा? (a) 24 लीटर (b) 16 लीटर (c) 8 लीटर (d) 32 लीटर

उत्तर: दूध 48 लीटर है और पानी 32 लीटर। अब दूध मिलाना है, तो पानी स्थिर रहेगा। 2 : 1 के लिए दूध, पानी का दोगुना यानी 64 लीटर होना चाहिए। मिलाना है 64 − 48 = (b) 16 लीटर दूध। जाँच भी कर लेते हैं, 64 : 32 = 2 : 1।

प्रश्न 4

एक मिश्रण में अम्ल और पानी का अनुपात 3 : 2 है। इसमें 10 लीटर पानी मिलाने पर अनुपात 2 : 3 हो जाता है। आरंभ में मिश्रण की मात्रा कितनी थी? (a) 25 लीटर (b) 30 लीटर (c) 12 लीटर (d) 20 लीटर

उत्तर: पानी मिलाने से अम्ल नहीं बदलता, तो उसके पद बराबर कर लेते हैं। 3 : 2 = 6 : 4 और 2 : 3 = 6 : 9। पानी 4 से 9 इकाई हुआ, यानी 5 इकाई = 10 लीटर, तो 1 इकाई = 2 लीटर। शुरुआत में मिश्रण 6 + 4 = 10 इकाई था, यानी (d) 20 लीटर, जिसमें अम्ल 12 लीटर और पानी 8 लीटर था। 10 लीटर पानी मिलाने के बाद 12 : 18 = 2 : 3 होता है, तो उत्तर ठीक है।

प्रश्न 5

64 लीटर विलयन में 15% अल्कोहल है। इसमें कितना पानी मिलाया जाए कि विलयन में अल्कोहल 12% रह जाए? (a) 16 लीटर (b) 12.8 लीटर (c) 20 लीटर (d) 8 लीटर

उत्तर: अल्कोहल = 64 का 15% = 9.6 लीटर, और पानी डालने से यह नहीं बदलता। यही 9.6 लीटर नए विलयन का 12% होगा, तो नई कुल मात्रा = 9.6 ÷ 0.12 = 80 लीटर। मिलाना है 80 − 64 = (a) 16 लीटर। सूत्र से जाँचें तो 64 × $\frac{15 - 12}{12}$ = 16 आता है। जल्दी में कोई सूत्र में 12 की जगह 15 से भाग दे दे, तो 12.8 आता है, जो गलत है।

प्रश्न 6

दूध और पानी के 45 लीटर मिश्रण में 20% पानी है। इसमें कितना दूध मिलाया जाए कि मिश्रण में पानी 15% रह जाए? (a) 12 लीटर (b) 2.25 लीटर (c) 15 लीटर (d) 9 लीटर

उत्तर: पानी = 45 का 20% = 9 लीटर। दूध डालने के बाद भी पानी 9 लीटर ही रहेगा, बस अब ये 9 लीटर मिश्रण का 15% होंगे। तो नई कुल मात्रा = 9 ÷ 0.15 = 60 लीटर, और दूध मिलाना है 60 − 45 = (c) 15 लीटर।

प्रश्न 7

दूध और पानी के 75 लीटर मिश्रण में 36% पानी है। यदि इसमें 15 लीटर दूध मिला दिया जाए, तो नए मिश्रण में पानी का प्रतिशत क्या होगा? (a) 21% (b) 30% (c) 32% (d) 45%

उत्तर: पानी = 75 का 36% = 27 लीटर। 15 लीटर दूध आने के बाद भी पानी 27 लीटर ही है, पर कुल मात्रा 75 + 15 = 90 लीटर हो गई। तो पानी = 27 ÷ 90 = (b) 30%।

प्रश्न 8

दूध : पानी = 7 : 5 वाले 120 लीटर मिश्रण में से 24 लीटर मिश्रण निकाल लिया जाता है, और फिर 12 लीटर दूध मिलाया जाता है। दूध और पानी का नया अनुपात क्या है? (a) 41 : 25 (b) 29 : 25 (c) 7 : 5 (d) 17 : 10

उत्तर: मिश्रण निकालने से अनुपात नहीं बदलता, 7 : 5 ही रहता है। बचे 96 लीटर में दूध 56 लीटर और पानी 40 लीटर है। 12 लीटर दूध मिलाने पर 68 : 40 = (d) 17 : 10। जो 24 लीटर की निकासी भूल जाते हैं, उन्हें 41 : 25 मिलता है।

प्रश्न 9

दूध : पानी = 7 : 2 वाले 90 लीटर मिश्रण में से कुछ मिश्रण निकाल लिया जाता है। फिर 12 लीटर पानी मिलाने पर अनुपात 7 : 4 हो जाता है। कितना मिश्रण निकाला गया था? (a) 36 लीटर (b) 54 लीटर (c) 30 लीटर (d) 24 लीटर

उत्तर: निकालने के बाद भी अनुपात 7 : 2 रहता है, और उसके बाद केवल पानी बदलता है। दूध का पद 7 पर स्थिर है और पानी 2 से 4 इकाई हुआ। यानी 2 इकाई = 12 लीटर, तो 1 इकाई = 6 लीटर। निकालने के बाद बचा मिश्रण 9 इकाई था, यानी 54 लीटर। तो निकाला गया 90 − 54 = (a) 36 लीटर। जाँच कर लेते हैं। 54 लीटर में दूध 42 लीटर और पानी 12 लीटर था, और 12 लीटर पानी और मिलाने पर 42 : 24 = 7 : 4 आता है।

प्रश्न 10

नमक के 75 किग्रा विलयन में नमक और पानी का अनुपात 2 : 13 है। कितना पानी वाष्पित हो कि नमक और पानी का अनुपात 1 : 4 हो जाए? (a) 15 किग्रा (b) 25 किग्रा (c) 35 किग्रा (d) 20 किग्रा

उत्तर: नमक = 75 × $\frac{2}{15}$ = 10 किग्रा, और पानी 65 किग्रा। वाष्पन में केवल पानी उड़ता है, नमक 10 किग्रा ही रहता है। 1 : 4 के लिए पानी 40 किग्रा होना चाहिए। तो 65 − 40 = (b) 25 किग्रा पानी वाष्पित करना होगा।

प्रश्न 11

दूध : पानी = 5 : 2 वाले 28 लीटर मिश्रण को दूध : पानी = 7 : 4 वाले 33 लीटर मिश्रण के साथ मिलाया जाता है। नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या है? (a) 2 : 1 (b) 20 : 41 (c) 41 : 20 (d) 35 : 26

उत्तर: पहले मिश्रण में दूध 20 लीटर और पानी 8 लीटर है। दूसरे में दूध 21 लीटर और पानी 12 लीटर। कुल दूध 41 लीटर और पानी 20 लीटर हुआ, तो अनुपात (c) 41 : 20।

प्रश्न 12

समान धारिता वाले दो बर्तन दूध और पानी के मिश्रण से भरे हैं, जिनमें दूध और पानी का अनुपात क्रमशः 3 : 1 और 4 : 5 है। दोनों को एक बड़े बर्तन में खाली कर दिया जाता है। उसमें दूध और पानी का अनुपात क्या है? (a) 7 : 6 (b) 29 : 43 (c) 3 : 2 (d) 43 : 29

उत्तर: दोनों अनुपातों के योग 4 और 9 हैं, जो अलग-अलग हैं। इसलिए दोनों को 36 में से लिखते हैं। 3 : 1 = 27 : 9 और 4 : 5 = 16 : 20। अब दूध 27 + 16 = 43 और पानी 9 + 20 = 29 हुआ, तो अनुपात (d) 43 : 29। अनुपात सीधे जोड़कर (3 + 4) : (1 + 5) = 7 : 6 लिखना गलत है, क्योंकि पहले अनुपात का एक भाग, दूसरे अनुपात के एक भाग के बराबर नहीं होता।

प्रश्न 13

दूध और पानी के दो मिश्रणों में दूध : पानी क्रमशः 3 : 1 और 3 : 5 है। इन्हें आयतन के अनुसार 2 : 3 के अनुपात में मिलाया जाता है। परिणामी मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या है? (a) 21 : 19 (b) 1 : 1 (c) 15 : 17 (d) 19 : 21

उत्तर: पहले योग बराबर करते हैं। 3 : 1 = 6 : 2, और 3 : 5 पहले से 8 में से है। अब पहले मिश्रण के 2 हिस्से और दूसरे के 3 हिस्से लेने हैं। 2 × (6 : 2) = 12 : 4 और 3 × (3 : 5) = 9 : 15। दूध 12 + 9 = 21 और पानी 4 + 15 = 19 हुआ, तो अनुपात (a) 21 : 19। 15 : 17 तब आता है जब योग बराबर किए बिना ही अनुपातों को 2 और 3 से गुणा कर दिया जाए।

प्रश्न 14

[Tier 2] तीन बर्तनों की धारिताएँ 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। ये बर्तन दूध और पानी के मिश्रणों से भरे हैं, जिनमें दूध और पानी का अनुपात क्रमशः 3 : 1, 1 : 2 और 5 : 3 है। तीनों बर्तनों को एक टंकी में खाली कर दिया जाता है। टंकी में दूध और पानी का अनुपात क्या है? (a) 3 : 2 (b) 41 : 31 (c) 5 : 4 (d) 4 : 5

उत्तर: धारिताएँ 2, 3 और 4 लीटर मान लेते हैं। दूध = 2 × $\frac{3}{4}$ + 3 × $\frac{1}{3}$ + 4 × $\frac{5}{8}$ = 1.5 + 1 + 2.5 = 5 लीटर, कुल 9 लीटर में से। तो पानी 4 लीटर है, और टंकी में अनुपात (c) 5 : 4।

प्रश्न 15

दो एक जैसे जग क्रमशः $\frac{3}{4}$ और $\frac{2}{3}$ भाग तक दूध से भरे हैं। दोनों को पानी से पूरा भरा जाता है और फिर सारा मिश्रण एक बड़े बर्तन में डाल दिया जाता है। बड़े बर्तन में दूध और पानी का अनुपात क्या है? (a) 17 : 7 (b) 7 : 17 (c) 5 : 2 (d) 3 : 1

उत्तर: दूध = $\frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{17}{12}$ जग। बड़े बर्तन में 2 पूरे जग गए, तो पानी = $2 - \frac{17}{12} = \frac{7}{12}$ जग। इसलिए दूध : पानी = (a) 17 : 7।

प्रश्न 16

बर्तन A में दूध और पानी का 40 लीटर मिश्रण 5 : 3 के अनुपात में है, और बर्तन B में 54 लीटर मिश्रण 4 : 5 के अनुपात में है। A से 16 लीटर और B से 27 लीटर मिश्रण एक खाली बर्तन C में डाला जाता है। C में दूध और पानी का अनुपात क्या है? (a) 9 : 8 (b) 22 : 21 (c) 21 : 22 (d) 25 : 24

उत्तर: A के 16 लीटर 5 : 3 में हैं, तो दूध 10 लीटर और पानी 6 लीटर। B के 27 लीटर 4 : 5 में हैं, तो दूध 12 लीटर और पानी 15 लीटर। C में दूध 22 लीटर और पानी 21 लीटर हुआ, यानी (b) 22 : 21। बर्तनों के 40 लीटर और 54 लीटर वाले आकार का यहाँ कोई काम नहीं है।

प्रश्न 17

मिश्रधातु P में ताँबा और जस्ता 4 : 1 के अनुपात में हैं, और मिश्रधातु Q में 3 : 5 के अनुपात में। P के 25 किग्रा को Q के 16 किग्रा के साथ पिघलाया जाता है। नई मिश्रधातु में ताँबे और जस्ते का अनुपात क्या है? (a) 7 : 6 (b) 15 : 26 (c) 26 : 15 (d) 4 : 1

उत्तर: P से ताँबा 20 किग्रा और जस्ता 5 किग्रा आया। Q से ताँबा 6 किग्रा और जस्ता 10 किग्रा। नई मिश्रधातु में ताँबा 26 किग्रा और जस्ता 15 किग्रा है, यानी (c) 26 : 15।

प्रश्न 18

ताँबे और जस्ते की एक मिश्रधातु में इनका अनुपात 3 : 2 है, और ताँबे और टिन की एक मिश्रधातु में इनका अनुपात 4 : 1 है। पहली मिश्रधातु के 20 किग्रा को दूसरी के 30 किग्रा के साथ पिघलाया जाता है। नई मिश्रधातु में ताँबे, जस्ते और टिन का अनुपात क्या है? (a) 7 : 2 : 1 (b) 18 : 4 : 3 (c) 9 : 2 : 3 (d) 18 : 3 : 4

उत्तर: पहली मिश्रधातु से ताँबा 12 किग्रा और जस्ता 8 किग्रा आता है। दूसरी से ताँबा 24 किग्रा और टिन 6 किग्रा। ताँबा कुल 36 किग्रा हुआ, जस्ता 8 किग्रा और टिन 6 किग्रा। तो ताँबा : जस्ता : टिन = 36 : 8 : 6 = (b) 18 : 4 : 3। दोनों का बराबर भार पिघलाया जाता, तब 7 : 2 : 1 आता। यहाँ भार 20 किग्रा और 30 किग्रा हैं।

प्रश्न 19

ताँबे और निकल की एक मिश्रधातु में निकल का भार, ताँबे के भार का 35% है। 54 किग्रा मिश्रधातु में कितना ताँबा है? (a) 35.1 किग्रा (b) 18.9 किग्रा (c) 40 किग्रा (d) 14 किग्रा

उत्तर: निकल = 0.35 × ताँबा, तो मिश्रधातु का भार ताँबे का 1.35 गुना है। ताँबा = 54 ÷ 1.35 = (c) 40 किग्रा, और निकल 14 किग्रा। 40 का 35% सचमुच 14 है। 54 का 35% निकालकर उसे निकल मान लेना गलत होगा, क्योंकि प्रश्न में 35% ताँबे के भार का दिया है।

प्रश्न 20

₹38 प्रति किग्रा वाले चावल और ₹53 प्रति किग्रा वाले चावल को 3 : 2 के अनुपात में मिलाया जाता है। मिश्रण का प्रति किग्रा मूल्य क्या है? (a) ₹45.50 (b) ₹44 (c) ₹47 (d) ₹42

उत्तर: अनुपात को 3 किग्रा और 2 किग्रा मान लेते हैं। लागत = 3 × 38 + 2 × 53 = 114 + 106 = ₹220, और यह 5 किग्रा की है। तो मिश्रण (b) ₹44 प्रति किग्रा है। छोटा तरीका भी है। महँगा चावल ₹15 अधिक है और मिश्रण का $\frac{2}{5}$ है, तो 38 + 6 = 44।

प्रश्न 21

एक दुकानदार ₹240 प्रति किग्रा वाली चाय पर ₹2,160 और ₹360 प्रति किग्रा वाली चाय पर भी ₹2,160 ख़र्च करता है, और दोनों को मिला देता है। मिश्रण का प्रति किग्रा मूल्य क्या है? (a) ₹300 (b) ₹280 (c) ₹312 (d) ₹288

उत्तर: पहली चाय 2160 ÷ 240 = 9 किग्रा आई, और दूसरी 2160 ÷ 360 = 6 किग्रा। कुल 15 किग्रा चाय ₹4,320 में आई, तो मिश्रण (d) ₹288 प्रति किग्रा है। बराबर धन वाले सूत्र से यह सीधे भी आ जाता है, $\frac{2 \times 240 \times 360}{240 + 360} = 288$।

प्रश्न 22

एक डेयरी ₹54 प्रति लीटर वाला 15 लीटर दूध और ₹62 प्रति लीटर वाला 25 लीटर दूध मिलाती है, और फिर इसमें 10 लीटर पानी मिलाती है। अंतिम मिश्रण का प्रति लीटर मूल्य क्या है? (a) ₹59 (b) ₹46.40 (c) ₹47.20 (d) ₹58

उत्तर: पानी मुफ़्त है, तो लागत केवल दूध की है। 15 × 54 + 25 × 62 = 810 + 1,550 = ₹2,360। यह लागत 15 + 25 + 10 = 50 लीटर में बँटी है, तो एक लीटर (c) ₹47.20 का हुआ। 50 की जगह 40 से भाग देने पर ₹59 आता है, पर उसमें पानी के 10 लीटर गिने ही नहीं गए।