निकासी और प्रतिस्थापन

एक बार प्रतिस्थापन: दोनों घटकों का हिसाब

बर्तन में से कुछ द्रव निकाल लिया जाए और उतनी ही मात्रा में कोई दूसरी चीज़ वापस डाल दी जाए, तो इसे निकासी और प्रतिस्थापन (removal and replacement) कहते हैं। वापस ज़्यादातर पानी ही डाला जाता है। ऐसे में बर्तन तो भरा का भरा रहता है, पर उसमें दूध हर बार कम होता जाता है। CGL के पेपरों में इस तरह के प्रश्न अक्सर आते हैं।

एक बार। मान लीजिए बर्तन में 72 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 12 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया गया।

• 12 लीटर शुद्ध दूध बाहर गया, तो 60 लीटर दूध बचा।
• फिर 12 लीटर पानी मिलाया गया। अब बर्तन में 60 लीटर दूध और 12 लीटर पानी है, यानी अनुपात 5 : 1 है। कुल मात्रा अब भी 72 लीटर ही है।

दो बार। अब इसी मिश्रण में से फिर 12 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाते हैं। ध्यान दीजिए, इस बार जो 12 लीटर निकला, वह शुद्ध दूध नहीं है। वह 5 : 1 वाला मिश्रण है, तो उसमें 10 लीटर दूध और 2 लीटर पानी है।

• निकालने के बाद बर्तन में 50 लीटर दूध और 10 लीटर पानी बचा।
• 12 लीटर पानी मिलाने पर 50 लीटर दूध और 22 लीटर पानी हो गया, यानी अनुपात 25 : 11 हुआ।

मूल बात। हर निकासी में, उस समय बर्तन में जितना दूध होता है, उसका एक ही भिन्नात्मक भाग बाहर जाता है। यहाँ 12 लीटर, 72 लीटर का $\frac{1}{6}$ है। तो हर बार दूध का $\frac{1}{6}$ बाहर जाता है और $\frac{5}{6}$ बचता है। पहले 72 × $\frac{5}{6}$ = 60, फिर 60 × $\frac{5}{6}$ = 50। पानी के लिए 72 लीटर में से दूध घटा दीजिए, 72 − 50 = 22 लीटर।

आम गलती। कई छात्र सोचते हैं कि 12 लीटर दो बार निकला, तो 24 लीटर दूध गया और 48 लीटर बचा। यह गलत है। दूसरी बार निकाले गए 12 लीटर में केवल 10 लीटर दूध था, 12 नहीं। याद रखिए, दूध का हिसाब गुणा से होता है, घटाने से नहीं। घटाने से जो 48 लीटर आता है, वह अक्सर विकल्पों में भी दिया होता है।

प्रतिशत में। कभी प्रश्न ऐसे आता है, "डिब्बे के दूध का 20% निकालकर उतना ही पानी मिलाया गया।" तब दूध का 80% बचता है। यही एक बार और किया जाए, तो उस बचे हुए का भी 80% बचेगा। 0.8 × 0.8 = 0.64, यानी डिब्बे में 64% दूध रह जाता है। मतलब 20% वाले दो कदमों से दूध का 36% बाहर जाता है, 40% नहीं।

दो नियम, पक्के याद रखिए।

1. जितनी मात्रा निकाली जाए, उतनी ही वापस मिलाई जाए, तो कुल मात्रा वही रहती है।
2. एक ही भिन्न से केवल वही घटक घटता है जो वापस नहीं डाला जाता। दूसरा घटक जानने के लिए कुल मात्रा में से इसे घटा दीजिए।

अगर मिश्रण निकालकर किसी एक घटक की कोई अलग मात्रा मिलाई जाए, तो वह प्रतिस्थापन नहीं है। ऐसे प्रश्न "मिश्रण की मूल बातें: अनुपात, सांद्रता और औसत मूल्य" वाले खंड में हैं।

[SSC टिप] कोई भी सूत्र लगाने से पहले देख लीजिए कि जितना निकाला गया, उतना ही डाला गया या नहीं। अगर नहीं डाला गया, तो कुल मात्रा बदल जाती है, और फिर हर कदम पर लीटर में हिसाब करना पड़ता है। ऐसे प्रश्न इसी खंड में आगे "अलग मात्राएँ, प्रतिशत कदम और रिसाव" वाले भाग में हैं।

n बार दोहराना: घात वाला सूत्र

हर प्रक्रिया में दूध एक ही भिन्न $\left(1 - \frac{x}{V}\right)$ से गुणा होता है। यहाँ V बर्तन में भरी मात्रा है, और x वह मात्रा है जो हर बार निकाली जाती है और उतनी ही वापस मिलाई जाती है। तो n प्रक्रियाओं के बाद

$$\text{बचा दूध} = V\left(1 - \frac{x}{V}\right)^n$$

और पानी = V − बचा दूध।

तीन बार। मान लीजिए डिब्बे में 108 लीटर शुद्ध जूस है। इसमें से 36 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और ऐसा कुल तीन बार होता है। हर बार $\frac{36}{108} = \frac{1}{3}$ बाहर जाता है और $\frac{2}{3}$ बचता है। तो बचा जूस = 108 × $\left(\frac{2}{3}\right)^3$ = 108 × $\frac{8}{27}$ = 32 लीटर। पानी = 108 − 32 = 76 लीटर। मतलब जूस : पानी = 32 : 76 = 8 : 19।

अनुपात का शॉर्टकट। बचने वाली भिन्न को सरलतम रूप में लिखिए, $1 - \frac{x}{V} = \frac{a}{b}$। तब n प्रक्रियाओं के बाद

$$\text{दूध} : \text{पानी} = a^n : \left(b^n - a^n\right)$$

ऊपर वाले जूस में a = 2, b = 3 और n = 3 है। तो अनुपात 8 : (27 − 8) = 8 : 19 हुआ। लीटर में हिसाब करने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी। इसी तरह बचने वाली भिन्न $\frac{7}{8}$ हो और प्रक्रिया तीन बार हो, तो अनुपात 343 : 169 आता है। भिन्न $\frac{4}{5}$ हो और प्रक्रिया दो बार, तो 16 : 9 आता है।

प्रतिशत में उत्तर। n प्रक्रियाओं के बाद बर्तन में दूध का हिस्सा $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ होता है। ऊपर वाले उदाहरण में जूस डिब्बे का $\frac{8}{27}$ है, यानी लगभग 29.6%।

सांद्रता। अगर बर्तन में शुरू में शुद्ध अम्ल की जगह 60% अम्ल वाला विलयन हो, तो भी अम्ल का हिस्सा इसी नियम से घटता है। मान लीजिए हर बार $\frac{1}{3}$ भाग बदला जाता है, और ऐसा दो बार होता है। तो सांद्रता = 60% × $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ = $26\frac{2}{3}\%$। फ़र्क बस शुरू वाले मान का है, बाकी हिसाब वैसा ही है।

सीधे घटाने की गलती। कुछ छात्र सोचते हैं कि $\frac{1}{3}$ तीन बार निकला, तो सारा दूध निकल गया। ऐसा नहीं है, $\frac{8}{27}$ बचता है। छोटी भिन्नों में यह गलती और आसानी से होती है, क्योंकि वहाँ घटाकर निकाला गया उत्तर सही-सा लगता है। जैसे 100 लीटर दूध में से दो बार 10-10 लीटर निकालकर पानी मिलाया जाए, तो 81 लीटर दूध बचता है, 80 नहीं।

ऐसा क्यों होता है। हर निकासी के बाद बर्तन का हर लीटर एक जैसा होता है, यानी उसमें दूध और पानी एक ही अनुपात में होते हैं। इसलिए V लीटर में से x लीटर निकालने का मतलब है हर घटक का $\frac{x}{V}$ भाग बाहर जाना। फिर जो पानी वापस डाला जाता है, वह केवल पानी में जुड़ता है। तो दूध हर बार एक ही भिन्न से घटता है, ठीक वैसे ही जैसे किसी चीज़ का मूल्य हर साल एक ही प्रतिशत से घटता है।

बचने वाली भिन्न $1 - \frac{x}{V}$ को घात लगाने से पहले सरलतम रूप में लिख लीजिए। जैसे $\frac{60}{72}$ को $\frac{5}{6}$ लिखिए। $\left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$ निकालना $\frac{60}{72}$ का वर्ग करने से कहीं आसान है।

उलटी दिशा: x, V या n

कई प्रश्नों में अंतिम नतीजा दिया होता है, और पूछा जाता है कि हर बार कितनी मात्रा निकाली गई (x), बर्तन कितना बड़ा है (V), या प्रक्रिया कितनी बार हुई (n)। ऐसे में पहले बचे दूध की भिन्न लिखिए, फिर उसका मूल लीजिए, जैसे वर्गमूल या घनमूल।

ये घातें याद कर लीजिए।

x का मान। मान लीजिए बर्तन में 125 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से x लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और ऐसा तीन बार होता है। अंत में 64 लीटर दूध बचता है, और x का मान निकालना है। बचे दूध की भिन्न $\frac{64}{125} = \left(\frac{4}{5}\right)^3$ है। मतलब हर बार $\frac{4}{5}$ बचता है और $\frac{1}{5}$ बाहर जाता है। तो x = $\frac{1}{5}$ × 125 = 25 लीटर।

V का मान। तेल के एक डिब्बे से 9 लीटर तेल निकालकर उतना ही केरोसिन भरा गया। यही एक बार और किया गया। अब तेल : केरोसिन = 16 : 33 है, और पूछा है कि डिब्बे में कितना तेल था। तेल का हिस्सा $\frac{16}{16 + 33} = \frac{16}{49} = \left(\frac{4}{7}\right)^2$ है। तो हर बार $\frac{3}{7}$ बाहर गया, यानी 9 लीटर डिब्बे का $\frac{3}{7}$ है। इसलिए V = 9 × $\frac{7}{3}$ = 21 लीटर।

n का मान। बर्तन में 40 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार 10 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। देखना है कि कितनी प्रक्रियाओं के बाद दूध : पानी = 81 : 175 होगा। हर बार $\frac{3}{4}$ बचता है। दूध का हिस्सा $\frac{81}{81 + 175} = \frac{81}{256} = \left(\frac{3}{4}\right)^4$ है, तो 4 प्रक्रियाएँ करनी होंगी।

कुछ प्रश्नों में पूछा जाता है कि दूध "पहली बार" किसी मात्रा से नीचे कब जाएगा। उनमें भी यही तरीका चलता है। बचने वाली भिन्न से बार-बार गुणा करते जाइए और कदम गिनते जाइए। जहाँ लक्ष्य पार हो जाए, वहीं रुक जाइए। जैसे हर बार $\frac{3}{4}$ बचे, तो दूध बर्तन का 75%, फिर 56.25%, फिर लगभग 42.2% होता जाता है। आधे से नीचे यह पहली बार तीसरी प्रक्रिया के बाद जाता है।

[SSC टिप] अंतिम अनुपात के दोनों पद जोड़कर देखिए। 2 प्रक्रियाओं के बाद यह योग पूर्ण वर्ग होता है, 3 के बाद पूर्ण घन, और आगे भी इसी तरह। जैसे 16 + 33 = 49 = $7^2$ और 81 + 175 = 256 = $4^4$। योग का मूल b होता है और दूध वाले पद का मूल a, तो बचने वाली भिन्न तुरंत मिल जाती है। योग पूर्ण घात न हो, तो प्रश्न दोबारा ध्यान से पढ़िए।

शुरू में मिश्रण, शुद्ध द्रव नहीं

अक्सर बर्तन में पहले से मिश्रण होता है, जैसे दूध और पानी 5 : 3 में। उसका कुछ भाग निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। यहाँ भी वही नियम चलता है, बस उसे उस घटक पर लगाइए जो वापस नहीं डाला जाता। दूध हर बार $\left(1 - \frac{x}{V}\right)$ से गुणा होता है, और कुल में से जो बचे, वह पानी है।

$$\text{बचा दूध (} n \text{ प्रक्रियाओं के बाद)} = \text{शुरू का दूध} \times \left(1 - \frac{x}{V}\right)^n$$

पूरा हल। 80 लीटर के डिब्बे में दूध : पानी = 5 : 3 है, यानी दूध 50 लीटर और पानी 30 लीटर। इसमें से 16 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और ऐसा दो बार होता है। हर बार मिश्रण का $\frac{16}{80} = \frac{1}{5}$ बाहर जाता है।

• पहली बार के बाद दूध = 50 × $\frac{4}{5}$ = 40 लीटर, और पानी = 80 − 40 = 40 लीटर।
• दूसरी बार के बाद दूध = 40 × $\frac{4}{5}$ = 32 लीटर, और पानी = 48 लीटर।
• दूध : पानी = 32 : 48 = 2 : 3।

चाहें तो पहली प्रक्रिया कदम-दर-कदम करके जाँच लीजिए। निकाले गए 16 लीटर भी 5 : 3 में हैं, यानी उनमें 10 लीटर दूध और 6 लीटर पानी है। तो 40 लीटर दूध और 24 लीटर पानी बचा। 16 लीटर पानी मिलाने पर 40 : 40 हो गया, और उत्तर वही आया।

सांद्रता में। 60 लीटर विलयन में 45% अम्ल है। इसमें से 20 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और ऐसा दो बार होता है। हर बार $\frac{1}{3}$ बाहर जाता है, तो सांद्रता = 45% × $\frac{2}{3}$ × $\frac{2}{3}$ = 20%। अम्ल कितने लीटर है, यह जानने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

बर्तन का आकार। एक जार में अम्ल : पानी = 4 : 1 है। 10 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी मिलाने पर अनुपात 2 : 1 हो जाता है, और जार की धारिता निकालनी है। अम्ल का हिस्सा $\frac{4}{5}$ से घटकर $\frac{2}{3}$ हुआ। तो बचने वाली भिन्न $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{5}{6}$ है, यानी $\frac{1}{6}$ निकाला गया। 10 लीटर जार का $\frac{1}{6}$ है, तो जार में 60 लीटर आता है। जाँच कर लीजिए, अम्ल 48 लीटर से 40 लीटर हुआ और पानी 20 लीटर।

अनुपात बदलता क्यों है। केवल मिश्रण निकालने से अनुपात कभी नहीं बदलता। यह हम "मिश्रण की मूल बातें: अनुपात, सांद्रता और औसत मूल्य" वाले खंड में देख चुके हैं। अनुपात तो वापस डाले गए पानी से बदलता है। इसलिए हर प्रक्रिया को दो हिस्सों में देखिए। निकालते समय दोनों घटक एक ही अनुपात में घटते हैं, और पानी डालते समय केवल पानी बढ़ता है।

जब वापस पानी ही डाला जा रहा हो, तो $\left(1 - \frac{x}{V}\right)^n$ पानी पर कभी न लगाइए। पानी तो बढ़ता है, घटता नहीं।

दूध से या दूसरे मिश्रण से प्रतिस्थापन

दूसरे घटक से प्रतिस्थापन। कभी मिश्रण में से कुछ निकालकर उसकी जगह पानी नहीं, दूध भरा जाता है। तब पानी वापस नहीं डाला जाता, इसलिए एक ही भिन्न से पानी घटता है। मान लीजिए 45 लीटर के डिब्बे में दूध : पानी = 2 : 3 है। इसमें से 15 लीटर निकालकर उतना ही दूध मिलाया जाता है, और ऐसा दो बार होता है। शुरू में पानी 27 लीटर है। हर बार $\frac{15}{45} = \frac{1}{3}$ बाहर जाता है, तो पानी = 27 × $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ = 12 लीटर। दूध = 45 − 12 = 33 लीटर, यानी दूध : पानी = 11 : 4।

दूसरे मिश्रण से प्रतिस्थापन। अब दोनों घटक भीतर आते हैं, इसलिए किसी भी घटक पर घात वाला नियम सीधे नहीं लगता। यहाँ कदम-दर-कदम चलिए। पहले जो निकला उसे घटाइए, फिर जो आया उसे जोड़िए। मान लीजिए 36 लीटर मिश्रण में दूध : पानी = 3 : 1 है। इसमें से 12 लीटर निकालकर उसकी जगह 12 लीटर ऐसा मिश्रण डाला गया, जिसमें दूध : पानी = 1 : 3 है।

• शुरू में दूध 27 लीटर और पानी 9 लीटर है।
• निकाले गए 12 लीटर बर्तन का $\frac{1}{3}$ हैं, तो दूध 18 लीटर और पानी 6 लीटर बचता है।
• डाले गए 1 : 3 वाले 12 लीटर में 3 लीटर दूध और 9 लीटर पानी है।
• अब दूध 21 लीटर और पानी 15 लीटर है, यानी 7 : 5।

औसत की नज़र से। V लीटर के बर्तन में x लीटर का प्रतिस्थापन ऐसा ही है जैसे पुराने मिश्रण के (V − x) लीटर में नए मिश्रण के x लीटर मिलाना। इसलिए दूध का हिस्सा भारित औसत (weighted average) से भी निकल आता है। ऊपर वाले मिश्रण में दूध का हिस्सा $\frac{24 \times \frac{3}{4} + 12 \times \frac{1}{4}}{36} = \frac{21}{36}$ है, यानी वही 7 : 5।

[Tier 2] दूसरे विलयन से कई बार। मान लीजिए बर्तन में भरे विलयन की शुरू की सांद्रता $C_0$ है। हर बार V में से x लीटर निकालकर उसकी जगह सांद्रता s वाला विलयन डाला जाता है। तो n प्रक्रियाओं के बाद

$$C_n = s + \left(C_0 - s\right)\left(1 - \frac{x}{V}\right)^n$$

जैसे 40 लीटर विलयन में 60% अम्ल है। हर बार 10 लीटर निकालकर उसकी जगह 20% अम्ल वाला विलयन डाला गया, और ऐसा दो बार हुआ। तो $C_2 = 20 + 40 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 20 + 22.5 = 42.5$, यानी सांद्रता 42.5% है। कदम-दर-कदम देखें, तो अम्ल 24 लीटर से 18 + 2 = 20 लीटर (50%) हुआ, और फिर 15 + 2 = 17 लीटर (42.5%)।

वापस पानी डाला जाए, तो इसे s = 0 वाली स्थिति मानिए। s = 0 रखते ही यह सूत्र वही घात वाला सूत्र हो जाता है जो इस खंड में पहले आया था।

इस सूत्र के पीछे की बात सीधी है। बर्तन की सांद्रता और भीतर आने वाली सांद्रता में जो अंतर है, केवल वही हर बार उसी गुणक से घटता है। यहाँ अंतर 40 प्रतिशत अंक से शुरू हुआ, तो दो बार के बाद 40 × $\frac{9}{16}$ = 22.5 प्रतिशत अंक बचा।

भीतर कोई दूसरा मिश्रण आता हो, तो सांद्रता उस मिश्रण की सांद्रता की ओर बढ़ती जाती है, पर उस तक कभी नहीं पहुँचती, और न उसके पार जाती है। यहाँ सांद्रता 60% से 20% की ओर घट रही है। इसलिए 20% या उससे कम वाला कोई भी विकल्प सही हो ही नहीं सकता।

लक्ष्य अनुपात: कितना भाग बदलें

यहाँ प्रश्न में अंतिम अनुपात दिया होता है, और पूछा जाता है कि मिश्रण का कितना भाग निकालकर बदला जाए। मिश्रण का बदला गया भाग f मान लीजिए।

पानी से प्रतिस्थापन। पानी डालने पर दूध का हिस्सा (1 − f) से गुणा होता है। तो

$$1 - f = \frac{\text{दूध का लक्ष्य हिस्सा}}{\text{दूध का अभी का हिस्सा}}$$

मान लीजिए बर्तन दूध और पानी से भरा है, और अनुपात 7 : 3 है। मिश्रण का इतना भाग निकालकर उतना ही पानी मिलाना है कि दूध और पानी बराबर हो जाएँ। यानी दूध का हिस्सा $\frac{7}{10}$ से $\frac{1}{2}$ पर लाना है। तो $1 - f = \frac{1}{2} \div \frac{7}{10} = \frac{5}{7}$, और $f = \frac{2}{7}$। बर्तन 70 लीटर का हो, तो 20 लीटर बदलना होगा।

यहाँ कई छात्र बस यह देखते हैं कि दूध का हिस्सा कितना घटा, और $\frac{7}{10} - \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$ लिख देते हैं। यह उत्तर देखने में ठीक लगता है, पर गलत है, क्योंकि निकाले गए हर लीटर में केवल 70% दूध है।

दूसरे घटक से प्रतिस्थापन। दूध : पानी = 3 : 2 है, और इतना भाग दूध से बदलना है कि अनुपात 4 : 1 हो जाए। अब दूध भीतर आ रहा है, तो घटता पानी है। पानी का हिस्सा $\frac{2}{5}$ से $\frac{1}{5}$ पर लाना है, तो $1 - f = \frac{1}{2}$। मतलब मिश्रण का आधा भाग बदलना होगा।

दूसरे विलयन से प्रतिस्थापन। 45% अल्कोहल वाले विलयन का कुछ भाग 15% वाले विलयन से बदला गया, और अब विलयन में 25% अल्कोहल है। एक प्रतिस्थापन के बाद बर्तन में (1 − f) भाग पुराना विलयन होता है और f भाग डाला गया विलयन। इससे

$$f = \frac{C_0 - C_{\text{लक्ष्य}}}{C_0 - s} = \frac{45 - 25}{45 - 15} = \frac{2}{3}$$

यह एलीगेशन (alligation) के नियम का ही दूसरा रूप है। इसे "एलीगेशन का नियम और लाभ के लिए मिश्रण" वाले खंड में विस्तार से देखेंगे।

दो बार में लक्ष्य। शुद्ध दूध को दो बार में 64% दूध वाला मिश्रण बनाना है, और दोनों बार बराबर भाग पानी से बदलना है। तब $(1 - f)^2 = 0.64$, तो 1 − f = 0.8 और $f = \frac{1}{5}$। यानी हर बार 20% बदलना है।

लीटर में। लीटर चाहिए, तो f को बर्तन की मात्रा से गुणा कर दीजिए। "कितने लीटर निकालें" वाला प्रश्न भी यही है, बस उसमें एक कदम ज़्यादा है।

उत्तर मिल जाए, तो उसी को लेकर शुरू से हिसाब करके जाँच लीजिए। ऊपर $f = \frac{2}{7}$ आया था, और 70 लीटर वाले बर्तन में दूध 49 लीटर है। 49 × $\frac{5}{7}$ = 35 लीटर दूध बचा, और पानी भी 35 लीटर हुआ। यह जाँच दस सेकंड में हो जाती है, और "हिस्सों का अंतर" लेने वाली गलती हर बार पकड़ में आ जाती है।

अलग मात्राएँ, प्रतिशत कदम और रिसाव

हर बार अलग मात्रा। घात वाला सूत्र तभी लगता है जब हर बार एक ही भिन्न बाहर जाए। अगर हर बार अलग मात्रा निकाली जाए, तो हर कदम की अपनी भिन्न लीजिए। यह भिन्न उस समय बर्तन में भरी मात्रा से निकालिए। मान लीजिए टंकी में 100 लीटर शुद्ध दूध है। पहले 10 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया, फिर 20 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी, और फिर 25 लीटर निकालकर उतना ही पानी। बचने वाली भिन्नें $\frac{9}{10}$, $\frac{4}{5}$ और $\frac{3}{4}$ हैं। तो दूध = 100 × $\frac{9}{10}$ × $\frac{4}{5}$ × $\frac{3}{4}$ = 54 लीटर।

[Tier 2] निकाली और डाली गई मात्रा अलग। अब कुल मात्रा बदलती है, इसलिए दोनों घटकों का हिसाब लीटर में रखिए। जैसे डिब्बे में 60 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 12 लीटर निकाला गया और 18 लीटर पानी डाला गया। फिर 11 लीटर मिश्रण निकाला गया।

• पहले कदम के बाद दूध 48 लीटर, पानी 18 लीटर और कुल 66 लीटर है।
• 11 लीटर, 66 लीटर का $\frac{1}{6}$ है। तो 8 लीटर दूध और 3 लीटर पानी बाहर गया, और 40 लीटर दूध और 15 लीटर पानी बचा।
• दूध : पानी = 8 : 3।

प्रतिशत वाले कदम। शुद्ध दूध के डिब्बे का 20% निकालकर उतना ही पानी मिलाया गया। फिर मिश्रण का 25% निकालकर उतना ही पानी मिलाया गया। तो दूध = 100% × 0.8 × 0.75 = 60%। यहाँ 100 − 20 − 25 = 55% लिखना गलत है। प्रतिशत वाले कदम आपस में गुणा होते हैं, ठीक क्रमिक बट्टे की तरह।

रिसाव। शुद्ध दूध के एक डिब्बे से हर घंटे उसमें भरी सामग्री का $\frac{1}{10}$ रिस जाता है, और हर घंटे के अंत में उसे पानी से भर दिया जाता है। हर घंटे को एक निकासी-प्रतिस्थापन मानिए, जिसमें $\frac{x}{V} = \frac{1}{10}$ है। तो 2 घंटे बाद दूध $\left(\frac{9}{10}\right)^2$ रह जाता है, यानी डिब्बे का 81%।

ग्वाले वाले प्रश्न भी ऐसे ही होते हैं। ग्वाला रोज़ अपने दूध का पाँचवाँ भाग बेचता है और फिर डिब्बा पानी से भर देता है। यहाँ भी हर दिन एक निकासी-प्रतिस्थापन है, जिसमें दूध का $\frac{4}{5}$ बचता है।

मात्रा स्थिर है या नहीं। प्रश्न के शब्द ध्यान से पढ़िए। "निकालकर उतना ही … मिलाया" लिखा हो, तो मात्रा स्थिर है। "निकाला, और फिर 18 लीटर मिलाया" लिखा हो, तो स्थिर नहीं है। रिसाव के बाद बर्तन "ऊपर तक" भरा गया हो, तो मात्रा स्थिर है। अगर भरा न जाए, तो यह केवल निकासी है, और इससे अनुपात नहीं बदलता।

[SSC टिप] निकाली गई मात्राओं को जोड़ लेना बहुत आम गलती है। ऊपर वाली 100 लीटर की टंकी में 10 + 20 + 25 = 55 लीटर निकाले गए, पर दूध केवल 46 लीटर बाहर गया, क्योंकि बाद की निकासियों में कुछ पानी भी था।

दो बर्तनों के बीच आना-जाना

[Tier 2] इस पहेली में दो बर्तनों के बीच बराबर मात्राएँ इधर से उधर डाली जाती हैं। मान लीजिए बर्तन A में 30 लीटर दूध है और बर्तन B में 30 लीटर पानी। A से 6 लीटर दूध B में डालकर अच्छी तरह मिलाया गया। फिर B से 6 लीटर मिश्रण वापस A में डाला गया।

• पहली बार डालने के बाद A में 24 लीटर दूध है। B में 6 लीटर दूध और 30 लीटर पानी है, कुल 36 लीटर, और इसमें दूध का हिस्सा $\frac{1}{6}$ है।
• वापस डाले गए 6 लीटर में 1 लीटर दूध और 5 लीटर पानी है।
• अब A में 25 लीटर दूध और 5 लीटर पानी है, यानी 5 : 1। B में 5 लीटर दूध और 25 लीटर पानी है, यानी 1 : 5।

दोनों ओर बराबरी। अंत में दोनों बर्तनों में 30 लीटर ही होता है। इसलिए A में जितने लीटर पानी आया, A का उतने ही लीटर दूध B में रह गया। मतलब हमेशा A का पानी = B का दूध। यहाँ दोनों 5 लीटर हैं। बराबर मात्राएँ कितनी भी बार इधर-उधर डाली जाएँ, यह बात नहीं बदलती।

एक चक्कर का शॉर्टकट। A में शुरू में V लीटर दूध हो और B में V लीटर पानी। x लीटर A से B में डाला जाए और फिर x लीटर B से वापस A में, तो अंत में A में दूध : पानी = V : x होगा। यहाँ 30 : 6 = 5 : 1।

किसी भी प्रतिस्थापन वाले उत्तर की जल्दी जाँच। उत्तर निकालने के बाद ये बातें देख लीजिए।

• प्रतिस्थापन से दूध कभी शून्य नहीं होता। वह हर बार केवल एक भिन्न से घटता है।
• दो या अधिक प्रक्रियाओं के बाद बचा दूध सीधे घटाकर आए उत्तर (V − nx) से अधिक होता है, पर केवल एक प्रक्रिया के बाद जितना दूध बचता, उससे कम होता है।
• हर बार एक ही भिन्न निकली हो, तो अंतिम अनुपात के दोनों पदों का योग पूर्ण घात होता है।
• मात्रा स्थिर रही हो, तो दूध + पानी = बर्तन की मात्रा होना ही चाहिए।

सारे सूत्र एक जगह।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक बर्तन में 36 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 6 लीटर दूध निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। फिर 6 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। बर्तन में कितना दूध बचा है? (a) 24 लीटर (b) 30 लीटर (c) 25 लीटर (d) 27 लीटर

उत्तर: हर बार 36 लीटर में से 6 लीटर बाहर जाता है, यानी बर्तन में उस समय जितना दूध है, उसका $\frac{1}{6}$। तो दूध = 36 × $\frac{5}{6}$ × $\frac{5}{6}$ = 25 लीटर। कदम-दर-कदम देखें, तो पहली बार के बाद बर्तन में 30 लीटर दूध और 6 लीटर पानी था। दूसरी बार निकाले गए 6 लीटर 5 : 1 में थे, तो उनमें केवल 5 लीटर दूध था, और 25 लीटर दूध बचा। उत्तर (c) 25 लीटर है। जल्दबाज़ी में लोग 6 लीटर दो बार घटाकर 24 लीटर लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 2

एक डिब्बे में 32 लीटर शुद्ध जूस है। इसमें से 8 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और यह प्रक्रिया कुल तीन बार की जाती है। डिब्बे में कितना जूस बचा है? (a) 13.5 लीटर (b) 8 लीटर (c) 18 लीटर (d) 16 लीटर

उत्तर: हर बार $\frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ बाहर जाता है, तो जूस का $\frac{3}{4}$ बचता है। तीन बार के बाद जूस = 32 × $\left(\frac{3}{4}\right)^3$ = 32 × $\frac{27}{64}$ = (a) 13.5 लीटर।

प्रश्न 3

एक बर्तन में 49 लीटर शुद्ध अल्कोहल है। इसमें से 14 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और यह प्रक्रिया एक बार और की जाती है। अब बर्तन में अल्कोहल और पानी का अनुपात क्या है? (a) 3 : 4 (b) 25 : 24 (c) 24 : 25 (d) 5 : 2

उत्तर: हर बार $\frac{14}{49} = \frac{2}{7}$ बाहर जाता है और $\frac{5}{7}$ बचता है। दो बार के बाद अल्कोहल का हिस्सा $\left(\frac{5}{7}\right)^2 = \frac{25}{49}$ है। तो अल्कोहल : पानी = 25 : (49 − 25) = (b) 25 : 24। लीटर में देखें, तो 25 लीटर अल्कोहल और 24 लीटर पानी है।

प्रश्न 4

एक टंकी में 98 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से x लीटर दूध निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। फिर x लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। अब टंकी में 72 लीटर दूध है। x का मान क्या है? (a) 13 (b) 12 (c) 16 (d) 14

उत्तर: बचा दूध = 98 × $\left(1 - \frac{x}{98}\right)^2$ = 72, तो $\left(1 - \frac{x}{98}\right)^2 = \frac{72}{98} = \frac{36}{49}$। वर्गमूल लेने पर $1 - \frac{x}{98} = \frac{6}{7}$, यानी $\frac{x}{98} = \frac{1}{7}$ और x = 14। उत्तर (d) 14 है। जाँच कर लेते हैं, दूध 98 लीटर से 84 लीटर हुआ और फिर 72 लीटर।

प्रश्न 5

एक चोर शराब से भरे एक पीपे में से 10 लीटर शराब निकालकर उसकी जगह उतना ही पानी मिला देता है। वह ऐसा दो बार और करता है। अब पीपे में शराब और पानी का अनुपात 343 : 169 है। आरंभ में पीपे में कितनी शराब थी? (a) 70 लीटर (b) 80 लीटर (c) 90 लीटर (d) 120 लीटर

उत्तर: तीन प्रक्रियाएँ हुई हैं, तो घन ढूँढना है। 343 + 169 = 512 = $8^3$, और 343 = $7^3$। तो शराब का हिस्सा $\left(\frac{7}{8}\right)^3$ है, मतलब हर बार $\frac{7}{8}$ बचा और $\frac{1}{8}$ बाहर गया। 10 लीटर पीपे का $\frac{1}{8}$ है, तो पीपे में (b) 80 लीटर शराब थी। जाँच भी कर लेते हैं। पीपे के हर 512 भागों में 343 भाग शराब है और 512 − 343 = 169 भाग पानी, यानी वही दिया हुआ अनुपात।

प्रश्न 6

एक ड्रम में 90 लीटर शुद्ध जूस है। हर बार इसमें से 30 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। ऐसी कितनी प्रक्रियाओं के बाद ड्रम में जूस पहली बार 20 लीटर से कम होगा? (a) 3 (b) 5 (c) 4 (d) 2

उत्तर: हर बार $\frac{30}{90} = \frac{1}{3}$ बाहर जाता है, तो जूस हर बार $\frac{2}{3}$ से गुणा होता है। जूस 90 से 60, फिर 40, फिर $26\frac{2}{3}$ और फिर $17\frac{7}{9}$ लीटर होता है। तीसरी प्रक्रिया के बाद भी यह 20 से ऊपर है, और 20 से नीचे पहली बार चौथी के बाद जाता है। उत्तर (c) 4 है। हर बार 30 लीटर घटाते जाएँ, तो 3 प्रक्रियाओं के बाद ड्रम में जूस ख़त्म हो जाएगा। ऐसा कभी होता ही नहीं, इसलिए यह तरीका गलत है।

प्रश्न 7

105 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 6 : 1 है। इसमें से 35 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और यह प्रक्रिया एक बार और दोहराई जाती है। अब दूध और पानी का अनुपात क्या है? (a) 13 : 8 (b) 4 : 17 (c) 4 : 3 (d) 8 : 13

उत्तर: शुरू में दूध 90 लीटर है। हर बार मिश्रण का $\frac{35}{105} = \frac{1}{3}$ बाहर जाता है और वापस पानी आता है, इसलिए घात वाला नियम केवल दूध पर लगेगा। दूध = 90 × $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ = 90 × $\frac{4}{9}$ = 40 लीटर, और पानी = 105 − 40 = 65 लीटर। तो दूध : पानी = 40 : 65 = (d) 8 : 13।

प्रश्न 8

30 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 7 : 3 है। इसमें से 10 लीटर मिश्रण निकालकर उसकी जगह 10 लीटर शुद्ध दूध मिलाया जाता है। दूध और पानी का नया अनुपात क्या है? (a) 31 : 9 (b) 3 : 1 (c) 4 : 1 (d) 7 : 3

उत्तर: दूध 21 लीटर है और पानी 9 लीटर। निकाले गए 10 लीटर बर्तन का $\frac{1}{3}$ हैं, तो उनमें 7 लीटर दूध और 3 लीटर पानी है, और 14 लीटर दूध और 6 लीटर पानी बचा। 10 लीटर दूध मिलाने पर 24 : 6 = (c) 4 : 1 हो गया। इसे और जल्दी भी कर सकते हैं। भीतर पानी नहीं डाला गया, तो घटने वाला घटक पानी है। पानी = 9 × $\frac{2}{3}$ = 6 लीटर, और दूध = 30 − 6 = 24 लीटर।

प्रश्न 9

एक बर्तन में 72 लीटर मिश्रण है, जिसमें दूध और पानी का अनुपात 5 : 1 है। इसमें से 18 लीटर मिश्रण निकालकर उसकी जगह 18 लीटर ऐसा मिश्रण मिलाया जाता है जिसमें दूध और पानी 1 : 2 के अनुपात में हैं। अब बर्तन में दूध और पानी का अनुपात क्या है? (a) 17 : 7 (b) 11 : 4 (c) 2 : 1 (d) 5 : 2

उत्तर: शुरू में दूध 60 लीटर और पानी 12 लीटर है। 18 लीटर बर्तन का $\frac{1}{4}$ है, तो निकालने के बाद 45 लीटर दूध और 9 लीटर पानी बचा। डाले गए 18 लीटर में 6 लीटर दूध और 12 लीटर पानी है। अब दूध = 51 लीटर और पानी = 21 लीटर, यानी (a) 17 : 7।

प्रश्न 10

[Tier 2] 50 लीटर के एक विलयन में 80% अल्कोहल है। इसमें से 10 लीटर निकालकर उसकी जगह 30% अल्कोहल वाला 10 लीटर विलयन मिलाया जाता है, और यह प्रक्रिया एक बार और की जाती है। अंतिम विलयन की सांद्रता क्या है? (a) 70% (b) 51.2% (c) 60% (d) 62%

उत्तर: शुरू में अल्कोहल 40 लीटर है। पहली बार $\frac{1}{5}$ निकालने पर 32 लीटर बचा, और डाले गए 10 लीटर से 3 लीटर अल्कोहल आया। तो अल्कोहल 35 लीटर हो गया, यानी 70%। दूसरी बार 35 का $\frac{1}{5}$ निकला, तो 28 लीटर बचा, और 3 लीटर फिर आया। अब 50 में से 31 लीटर अल्कोहल है, यानी (d) 62%। सूत्र से भी यही आता है, 30 + (80 − 30) × $\left(\frac{4}{5}\right)^2$ = 30 + 32 = 62। डाले गए विलयन को सादा पानी मान लें, तो 51.2% आता है, जो गलत है।

प्रश्न 11

एक बर्तन दूध और पानी के मिश्रण से भरा है, जिसमें दूध और पानी का अनुपात 7 : 5 है। मिश्रण का कितना भाग निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाए कि बर्तन में दूध और पानी बराबर मात्रा में हों? (a) $\frac{1}{12}$ (b) $\frac{1}{7}$ (c) $\frac{1}{6}$ (d) $\frac{2}{7}$

उत्तर: दूध का हिस्सा $\frac{7}{12}$ से $\frac{1}{2}$ पर लाना है। भाग f को पानी से बदलें, तो दूध का हिस्सा (1 − f) से गुणा होता है। तो $1 - f = \frac{1}{2} \div \frac{7}{12} = \frac{6}{7}$, और f = (b) $\frac{1}{7}$। 84 लीटर का बर्तन लेकर जाँच लेते हैं। उसमें दूध 49 लीटर है, और 12 लीटर निकालने पर दूध 49 × $\frac{6}{7}$ = 42 लीटर रह जाता है, जो ठीक आधा है। केवल हिस्से घटाकर, यानी $\frac{7}{12} - \frac{1}{2}$ करके, $\frac{1}{12}$ लिखना गलत है, क्योंकि निकाले गए मिश्रण में कुछ पानी भी है।

प्रश्न 12

एक विलयन में अम्ल और पानी का अनुपात 2 : 3 है। विलयन का कितना भाग निकालकर उतना ही शुद्ध अम्ल मिलाया जाए कि अम्ल और पानी का अनुपात 3 : 2 हो जाए? (a) $\frac{1}{3}$ (b) $\frac{1}{5}$ (c) $\frac{2}{5}$ (d) $\frac{1}{2}$

उत्तर: यहाँ अम्ल भीतर डाला जा रहा है, तो घटने वाला घटक पानी है। पानी का हिस्सा $\frac{3}{5}$ से $\frac{2}{5}$ पर लाना है। तो $1 - f = \frac{2}{5} \div \frac{3}{5} = \frac{2}{3}$, और f = (a) $\frac{1}{3}$। 15 लीटर लेकर जाँच लेते हैं। उसमें 6 लीटर अम्ल और 9 लीटर पानी है। 5 लीटर निकालने पर 2 लीटर अम्ल और 3 लीटर पानी बाहर गया, और 5 लीटर अम्ल मिलाने पर 9 लीटर अम्ल और 6 लीटर पानी हो गया, यानी 3 : 2।

प्रश्न 13

70% चीनी वाले विलयन के कुछ भाग को 30% चीनी वाले विलयन की उतनी ही मात्रा से बदल दिया जाता है। नए विलयन में 46% चीनी है। मूल विलयन का कितना भाग बदला गया था? (a) $\frac{2}{5}$ (b) $\frac{2}{3}$ (c) $\frac{3}{5}$ (d) $\frac{3}{4}$

उत्तर: मान लेते हैं कि भाग f बदला गया। तो नए विलयन में (1 − f) भाग 70% वाला विलयन है और f भाग 30% वाला। 70(1 − f) + 30f = 46, तो 40f = 24 और f = (c) $\frac{3}{5}$। जाँच के लिए 5 लीटर विलयन लेते हैं। 70% वाला 2 लीटर और 30% वाला 3 लीटर है, तो चीनी 1.4 + 0.9 = 2.3 लीटर है, जो 5 लीटर का 46% है।

प्रश्न 14

90 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 5 : 1 है। इसमें से कितने लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाए कि दूध और पानी का अनुपात 2 : 1 हो जाए? (a) 15 लीटर (b) 30 लीटर (c) 20 लीटर (d) 18 लीटर

उत्तर: दूध का हिस्सा $\frac{5}{6}$ से $\frac{2}{3}$ पर लाना है। तो $1 - f = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{4}{5}$, और $f = \frac{1}{5}$। 90 का $\frac{1}{5}$ = (d) 18 लीटर। दूध 75 लीटर से 60 लीटर हो जाता है और पानी 30 लीटर, तो अनुपात सच में 2 : 1 है।

प्रश्न 15

शुद्ध दूध से भरे एक डिब्बे में से कुछ दूध निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। फिर मिश्रण की उतनी ही मात्रा निकालकर दोबारा उतना ही पानी मिलाया जाता है। अब डिब्बे में 36% पानी है। हर बार डिब्बे में भरी सामग्री का कितना प्रतिशत बदला गया था? (a) 18% (b) 20% (c) 16% (d) 36%

उत्तर: 36% पानी है, तो 64% दूध है। मान लेते हैं कि हर बार p भाग बदला गया। दोनों बार बराबर मात्रा बदली गई, तो दूध का हिस्सा दो बार (1 − p) से गुणा हुआ। $(1 - p)^2 = 0.64$, तो 1 − p = 0.8 और p = (b) 20%। 100 से शुरू करें, तो दूध 80 और फिर 64 होता है।

प्रश्न 16

एक टंकी में 48 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 8 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। फिर 12 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और अंत में 16 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। कितना दूध बचा है? (a) 12 लीटर (b) 18 लीटर (c) 20 लीटर (d) 24 लीटर

उत्तर: मात्राएँ अलग-अलग हैं, तो हर कदम की अपनी भिन्न लेंगे। हर बार टंकी में 48 लीटर ही रहता है, तो भिन्नें $\frac{8}{48} = \frac{1}{6}$, $\frac{12}{48} = \frac{1}{4}$ और $\frac{16}{48} = \frac{1}{3}$ हैं। बचा दूध = 48 × $\frac{5}{6}$ × $\frac{3}{4}$ × $\frac{2}{3}$ = (c) 20 लीटर।

प्रश्न 17

[Tier 2] एक जार में 40 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 8 लीटर निकाला जाता है और 12 लीटर पानी डाला जाता है। फिर 11 लीटर मिश्रण निकाला जाता है और 8 लीटर शुद्ध दूध डाला जाता है। अब जार में दूध और पानी का अनुपात क्या है? (a) 32 : 9 (b) 8 : 3 (c) 3 : 1 (d) 24 : 17

उत्तर: यहाँ निकाली और डाली गई मात्राएँ बराबर नहीं हैं, तो लीटर में हिसाब करेंगे। पहले कदम के बाद दूध 32 लीटर, पानी 12 लीटर और कुल 44 लीटर है। निकाले गए 11 लीटर, 44 लीटर का $\frac{1}{4}$ हैं, तो 8 लीटर दूध और 3 लीटर पानी बाहर गया और 24 लीटर दूध और 9 लीटर पानी बचा। 8 लीटर दूध मिलाने पर 32 लीटर दूध और 9 लीटर पानी हो गया, यानी (a) 32 : 9।

प्रश्न 18

एक ग्वाले के पास शुद्ध दूध से भरा एक डिब्बा है। वह प्रतिदिन डिब्बे में भरी सामग्री का $\frac{1}{5}$ भाग बेच देता है और डिब्बे को फिर से पानी से भर देता है। चौथे दिन के अंत में डिब्बे में कितने प्रतिशत दूध है? (a) 20% (b) 59.04% (c) 40.96% (d) 51.2%

उत्तर: हर दिन एक निकासी-प्रतिस्थापन है, जिसमें दूध का $\frac{4}{5}$ बचता है। चार दिन बाद दूध का हिस्सा $\left(\frac{4}{5}\right)^4 = \frac{256}{625}$ है, यानी (c) 40.96%। 59.04% वाला विकल्प पानी का है, दूध का नहीं।

प्रश्न 19

एक बर्तन 40% अम्ल वाले विलयन से भरा है। इसमें से 25% विलयन निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। फिर नए विलयन का 20% निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। अंतिम विलयन की सांद्रता क्या है? (a) 22% (b) 24% (c) 18% (d) 26%

उत्तर: हर कदम पर अम्ल का एक भाग बचता है, पहले 75% और फिर 80%। तो सांद्रता = 40% × 0.75 × 0.8 = (b) 24%।

प्रश्न 20

[Tier 2] जार A में 36 लीटर दूध है और जार B में 36 लीटर पानी। A से 9 लीटर दूध B में डालकर अच्छी तरह मिलाया जाता है। फिर B से 9 लीटर मिश्रण वापस A में डाला जाता है। अब जार B में कितना दूध है? (a) 9 लीटर (b) 1.8 लीटर (c) 6.75 लीटर (d) 7.2 लीटर

उत्तर: पहली बार डालने के बाद B में 9 लीटर दूध और 36 लीटर पानी है, कुल 45 लीटर। इसमें दूध का हिस्सा $\frac{1}{5}$ है, तो वापस भेजे गए 9 लीटर में 1.8 लीटर दूध और 7.2 लीटर पानी है। B में बचा दूध = 9 − 1.8 = (d) 7.2 लीटर। A को भी ठीक 7.2 लीटर पानी मिला, यानी यहाँ भी A का पानी = B का दूध। 1.8 लीटर तो वह दूध है जो वापस A में चला गया, इसलिए वह विकल्प गलत है।

प्रश्न 21

एक जार में दूध और पानी 5 : 1 के अनुपात में हैं। 12 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी मिलाने पर अनुपात 5 : 3 हो जाता है। आरंभ में जार में कितने लीटर दूध था? (a) 48 लीटर (b) 40 लीटर (c) 30 लीटर (d) 36 लीटर

उत्तर: दूध का हिस्सा $\frac{5}{6}$ से $\frac{5}{8}$ पर आया, तो बचने वाली भिन्न $\frac{5}{8} \div \frac{5}{6} = \frac{3}{4}$ है। मतलब $\frac{1}{4}$ बदला गया, और 12 लीटर जार का $\frac{1}{4}$ है, तो जार 48 लीटर का है। शुरू का दूध = $\frac{5}{6}$ × 48 = (b) 40 लीटर। जाँच कर लेते हैं, दूध 40 लीटर से 30 लीटर हुआ और पानी 18 लीटर, यानी 5 : 3। 48 लीटर तो जार का आकार है, दूध नहीं, इसलिए वह विकल्प गलत है।

प्रश्न 22

एक बर्तन में दूध और पानी का मिश्रण 3 : 2 के अनुपात में है। 15 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही शुद्ध दूध मिलाने पर अनुपात 2 : 1 हो जाता है। बर्तन की धारिता कितनी है? (a) 90 लीटर (b) 75 लीटर (c) 60 लीटर (d) 45 लीटर

उत्तर: दूध भीतर डाला गया, तो घटने वाला घटक पानी है। पानी का हिस्सा $\frac{2}{5}$ से $\frac{1}{3}$ पर आया, तो बचने वाली भिन्न $\frac{1}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{5}{6}$ है, यानी $\frac{1}{6}$ बदला गया। 15 लीटर बर्तन का $\frac{1}{6}$ है, तो धारिता (a) 90 लीटर है। 90 लीटर लेकर देखें, तो उसमें 54 लीटर दूध और 36 लीटर पानी था, 15 लीटर निकालने पर 45 लीटर और 30 लीटर बचे, और 15 लीटर दूध मिलाने पर 60 : 30 = 2 : 1 हो गया।