हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से अभ्यास का तरीका

यहाँ 35 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। इनके प्रकार जान-बूझकर आगे-पीछे रखे गए हैं। हो सकता है कि लाभ के लिए चावल मिलाने वाले प्रश्न के ठीक बाद निकासी और प्रतिस्थापन (removal and replacement) वाला प्रश्न आ जाए।

इसलिए हर प्रश्न में सबसे पहले यह तय कीजिए कि वह किस प्रकार का है। इसके लिए ख़ुद से तीन सवाल पूछिए। कोई घटक स्थिर तो नहीं रहता? माध्य मूल्य (mean price) दिया है या नहीं? जितनी मात्रा निकाली गई, उतनी ही वापस डाली गई या नहीं? प्रकार पहचान लिया, तो विधि आम तौर पर एक या दो पंक्ति की ही होती है।

हर प्रश्न पहले ख़ुद कागज़ पर हल कीजिए, और घड़ी चालू रखिए। उत्तर उसके बाद देखिए। प्रश्न 36 से 45 सेकंड में हो जाए, तो समझिए कि आपकी गति टियर 1 वाली है। किसी प्रश्न में एक मिनट से ज़्यादा लग जाए, तो उसका तेज़ रास्ता खोजिए और अगले दिन वही प्रश्न दोबारा कीजिए। ऐसे तेज़ रास्ते "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाले खंड में दिए गए हैं।

प्रश्नों का बँटवारा कुछ ऐसा है। लगभग एक-तिहाई प्रश्न मिश्रण की मूल बातों के हैं, जैसे एक घटक मिलाना या निकालना, दो मिश्रणों को मिलाना, बर्तनों के बीच स्थानांतरण, मिश्रधातु और मिश्रण का औसत मूल्य। लगभग इतने ही प्रश्न एलीगेशन (alligation) के हैं। इनमें कहीं दो मूल्य मिलते हैं, कहीं दो सांद्रताएँ या दो अनुपात। कुछ में तीन किस्में हैं, कुछ में औसत तो है पर कोई मिश्रण नहीं, और कुछ लाभ के लिए मिश्रण वाले हैं। बाकी लगभग 30% प्रश्न निकासी और प्रतिस्थापन के हैं। हाल के CGL पेपरों में यह प्रकार अक्सर आया है।

कुछ प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। ऐसे प्रश्न में सामान्य प्रश्न से एक कदम ज़्यादा होता है, जैसे कोई तीसरी किस्म, या दूसरी बार डालना। टियर 1 के पेपर में भी यही बातें आती हैं, बस थोड़े आसान रूप में। इसलिए ये प्रश्न भी ज़रूर कीजिए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

₹33 प्रति किग्रा और ₹51 प्रति किग्रा वाली चावल की दो किस्मों को मिलाकर ₹39 प्रति किग्रा मूल्य का 84 किग्रा चावल तैयार किया जाता है। इसमें ₹51 प्रति किग्रा वाला चावल कितने किग्रा है?

उत्तर: यहाँ एलीगेशन क्रॉस लगाते हैं। सस्ता चावल : महँगा चावल = (51 − 39) : (39 − 33) = 12 : 6 = 2 : 1। मतलब ₹51 वाला चावल 3 में से 1 भाग है, तो वह 84 का $\frac{1}{3}$ = 28 किग्रा है। अंदाज़े से भी यह उत्तर ठीक लगता है। ₹39 तो ₹33 के बहुत पास है, इसलिए ज़्यादातर चावल सस्ता वाला ही होना चाहिए।

प्रश्न 2

एक टंकी में 160 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 32 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और यह प्रक्रिया कुल तीन बार की जाती है। टंकी में कितना दूध शेष है?

उत्तर: हर बार टंकी में उस समय जो भी है, उसका $\frac{32}{160} = \frac{1}{5}$ बाहर जाता है। तो हर बार दूध का $\frac{4}{5}$ बचता है। तीन बार के बाद दूध = 160 × $\left(\frac{4}{5}\right)^3$ = 160 × $\frac{64}{125}$ = 81.92 लीटर। जल्दबाज़ी में कई लोग तीनों बार 32 लीटर दूध घटाकर 160 − 96 = 64 लिख देते हैं, जो गलत है। दूसरी बार से जो द्रव निकलता है, उसमें कुछ पानी भी होता है।

प्रश्न 3

एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 6 : 1 है। इसमें 16 लीटर पानी मिलाने पर अनुपात 6 : 5 हो जाता है। मिश्रण में कितना दूध है?

उत्तर: पानी मिलाने से दूध नहीं बदलता, और दोनों अनुपातों में दूध 6 ही है। इसलिए पानी की सीधी तुलना कर सकते हैं। पानी 1 इकाई से 5 इकाई हुआ, यानी 4 इकाई = 16 लीटर, तो 1 इकाई = 4 लीटर। दूध 6 इकाई है, यानी 24 लीटर।

प्रश्न 4

₹37 प्रति किग्रा और ₹58 प्रति किग्रा वाली चीनी की दो किस्मों को मिलाया जाता है, और मिश्रण को ₹56.10 प्रति किग्रा पर बेचने से 10% लाभ होता है। दोनों किस्मों को किस अनुपात में मिलाया गया था?

उत्तर: पहले लाभ हटाना होगा। मिश्रण का क्रय मूल्य = 56.10 × $\frac{100}{110}$ = ₹51। अब क्रॉस लगाते हैं। (58 − 51) : (51 − 37) = 7 : 14 = 1 : 2, यानी सस्ती और महँगी चीनी 1 : 2 में मिलाई गई। एक बार मिलाकर भी देख लेते हैं। 37 + 2 × 58 = 153, और 153 ÷ 3 = 51।

प्रश्न 5

60 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 4 : 1 है। इसमें से 15 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और यह प्रक्रिया एक बार और की जाती है। अब दूध और पानी का अनुपात क्या है?

उत्तर: शुरू में दूध 48 लीटर है। हर बार वापस केवल पानी डलता है, इसलिए प्रतिस्थापन वाला सूत्र दूध पर लगेगा। हर बार दूध का $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ बचता है, तो दो बार के बाद दूध = 48 × $\frac{9}{16}$ = 27 लीटर। बर्तन में अब भी 60 लीटर है, तो पानी 33 लीटर है। दूध : पानी = 9 : 11।

प्रश्न 6

अल्कोहल और पानी के 5 : 2 अनुपात वाले 28 लीटर मिश्रण को अल्कोहल और पानी के 1 : 5 अनुपात वाले 12 लीटर मिश्रण के साथ मिलाया जाता है। नए मिश्रण में अल्कोहल कितने प्रतिशत है?

उत्तर: पहले मिश्रण से अल्कोहल 28 × $\frac{5}{7}$ = 20 लीटर आता है, और दूसरे से 12 × $\frac{1}{6}$ = 2 लीटर। कुल 40 लीटर में 22 लीटर अल्कोहल है, यानी 55%।

प्रश्न 7

23% अम्ल वाला विलयन प्राप्त करने के लिए 35% अम्ल वाले 60 लीटर विलयन में 15% अम्ल वाला कितने लीटर विलयन मिलाना होगा?

उत्तर: क्रॉस बनाते हैं, बीच में 23 और दोनों ओर 15 और 35। 15% वाला विलयन : 35% वाला विलयन = (35 − 23) : (23 − 15) = 12 : 8 = 3 : 2। 35% वाला विलयन 60 लीटर है, जो 2 भाग है। तो 1 भाग = 30 लीटर, और 15% अम्ल वाला विलयन 90 लीटर चाहिए। जाँच कर लेते हैं। 150 लीटर में अम्ल 13.5 + 21 = 34.5 लीटर है, जो 23% ही है।

प्रश्न 8

एक जार में दूध और पानी का 84 लीटर मिश्रण 9 : 5 के अनुपात में है। इसमें से 28 लीटर मिश्रण निकाल लिया जाता है और 7 लीटर पानी डाला जाता है। अब दूध और पानी का अनुपात क्या है?

उत्तर: मिश्रण निकालने से अनुपात नहीं बदलता। तो बचे 56 लीटर में भी दूध और पानी 9 : 5 में हैं, यानी दूध 36 लीटर और पानी 20 लीटर। अब 7 लीटर पानी और डाला गया। दूध : पानी = 36 : 27 = 4 : 3।

प्रश्न 9

एक बर्तन में 75 लीटर शुद्ध अम्ल है। इसमें से कुछ मात्रा निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और उतनी ही मात्रा के साथ यह प्रक्रिया एक बार और की जाती है। अब बर्तन में 48 लीटर अम्ल है। हर बार कितनी मात्रा निकाली गई थी?

उत्तर: बचा अम्ल शुरू वाले का $\frac{48}{75} = \frac{16}{25}$ है, और यह $\left(\frac{4}{5}\right)^2$ के बराबर है। मतलब हर बार $\frac{4}{5}$ बचा, तो हर बार 75 का $\frac{1}{5}$ = 15 लीटर निकाला गया। 15 लीटर निकालकर देखें, तो अम्ल 75 → 60 → 48 होता है, यानी उत्तर ठीक है।

प्रश्न 10

दूध का मूल्य ₹85 प्रति लीटर है। 36 लीटर दूध में कितना पानी मिलाया जाए कि मिश्रण को ₹81.60 प्रति लीटर पर बेचने से 20% लाभ हो?

उत्तर: पहले मिश्रण का क्रय मूल्य निकालते हैं। 81.60 ÷ 1.2 = ₹68 प्रति लीटर। पानी को एक मुफ़्त किस्म मान लीजिए, जिसका मूल्य ₹0 है। अब क्रॉस में बीच में ₹68 और दोनों ओर ₹85 और ₹0 रखते हैं। दूध : पानी = 68 : 17 = 4 : 1। तो 36 लीटर दूध में 9 लीटर पानी मिलाना होगा। अब हिसाब मिलाकर देखिए। दूध का क्रय मूल्य ₹3,060 है और 45 लीटर बेचने पर 45 × 81.60 = ₹3,672 मिलते हैं। लाभ ₹612 हुआ, जो 20% है।

प्रश्न 11

बर्तन P में दूध और पानी का ऐसा मिश्रण है जिसमें 40% पानी है, और बर्तन Q में दूध और पानी 5 : 4 के अनुपात में हैं। P से 10 लीटर और Q से 18 लीटर मिश्रण एक खाली बर्तन R में डाला जाता है। R में दूध और पानी का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ केवल दूध का हिसाब रखते हैं। P में 40% पानी है, तो दूध 60% है। P से दूध = 10 का 60% = 6 लीटर, और Q से 18 का $\frac{5}{9}$ = 10 लीटर। R के 28 लीटर में 16 लीटर दूध है, तो पानी 12 लीटर। अनुपात 4 : 3 है।

प्रश्न 12

एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 11 : 4 है। मिश्रण का कितना भाग निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाए कि अनुपात 11 : 7 हो जाए?

उत्तर: वापस पानी ही डलता है, तो दूध केवल घटता है। दूध अभी मिश्रण का $\frac{11}{15}$ है और इसे $\frac{11}{18}$ करना है। बचा भाग = $\frac{11}{18} \div \frac{11}{15} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$। तो मिश्रण का $\frac{1}{6}$ भाग निकालकर पानी मिलाना है। जाँच के लिए 15 लीटर मिश्रण मान लीजिए। 2.5 लीटर निकाला, तो दूध $\frac{55}{6}$ और पानी $\frac{20}{6}$ लीटर बचा। 2.5 लीटर पानी मिलाने पर पानी $\frac{35}{6}$ लीटर हो गया। अब दूध : पानी = 55 : 35 = 11 : 7।

प्रश्न 13

₹220 प्रति किग्रा वाली चाय को एक दूसरी चाय के साथ 3 : 2 के अनुपात में मिलाया जाता है, और मिश्रण का मूल्य ₹244 प्रति किग्रा है। दूसरी चाय का मूल्य कितना है?

उत्तर: मिश्रण ₹220 से ₹24 ऊपर है। दूसरी चाय मिश्रण का $\frac{2}{5}$ है, तो यह ₹24 दोनों चायों के पूरे अंतर का भी उतना ही हिस्सा है। पूरा अंतर = 24 ÷ $\frac{2}{5}$ = ₹60। दूसरी चाय = 220 + 60 = ₹280 प्रति किग्रा। उत्तर ठीक है या नहीं, यह भी देख लेते हैं। 3 × 220 + 2 × 280 = 1,220, और 1,220 ÷ 5 = 244।

प्रश्न 14

एक पीपे में तीन शरबतों A, B और C का मिश्रण है, जिसमें इनका अनुपात 2 : 5 : 3 है। इसमें से 40 लीटर मिश्रण निकाला जाता है, और फिर 8 लीटर शरबत A तथा 4 लीटर शरबत C डाला जाता है। अब पीपे में शरबत B की मात्रा, शरबत A से 28 लीटर अधिक है। आरंभ में पीपे में कितना शरबत था?

उत्तर: 8 लीटर A डालने से पहले B, A से 28 + 8 = 36 लीटर ज़्यादा था। C डालने से इस अंतर पर कोई असर नहीं पड़ता। बचे मिश्रण में B − A = 5 − 2 = 3 इकाई है, और यही 36 लीटर है। तो एक इकाई = 12 लीटर। बचा मिश्रण 10 इकाई, यानी 120 लीटर है। आरंभ में पीपे में 120 + 40 = 160 लीटर शरबत था।

प्रश्न 15

एक पीपे में 90 लीटर शुद्ध सेब का जूस है। इसमें से 9 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। यह प्रक्रिया एक बार और की जाती है। जूस और पानी का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर बार जूस का $\frac{9}{10}$ बचता है। दो बार के बाद जूस पीपे का $\frac{81}{100}$ रह जाता है, और पानी $\frac{19}{100}$ हो जाता है। जूस : पानी = 81 : 19।

प्रश्न 16

₹26, ₹30 और ₹38 प्रति किग्रा वाले गेहूँ को मिलाकर ₹33 प्रति किग्रा मूल्य का गेहूँ तैयार किया जाता है। इन्हें मिलाने का अनुपात निम्नलिखित में से कौन-सा हो सकता है: 1 : 2 : 3, 1 : 1 : 2 या 2 : 3 : 4?

उत्तर: पहले देखते हैं कि हर गेहूँ ₹33 से कितना कम या ज़्यादा है। तीनों के लिए यह −7, −3 और +5 है। कोई अनुपात तभी ठीक होगा, जब ऋण और धन वाले अंतर आपस में कट जाएँ। अब तीनों अनुपात जाँचते हैं।

• 1 : 2 : 3 से −7 − 6 + 15 = 2 आता है, तो यह नहीं।
• 1 : 1 : 2 से −7 − 3 + 10 = 0 आता है, तो यह ठीक है।
• 2 : 3 : 4 से −14 − 9 + 20 = −3 आता है, तो यह भी नहीं।

इसलिए अनुपात 1 : 1 : 2 है। मूल्य से भी देख लीजिए, 26 + 30 + 76 = 132, और 132 ÷ 4 = 33 आता है।

प्रश्न 17

दूध और पानी के 48 लीटर मिश्रण में 12.5% पानी है। इसमें कितना पानी मिलाया जाए कि नए मिश्रण में पानी 30% हो जाए?

उत्तर: पानी मिलाने पर दूध स्थिर रहता है। दूध = 48 का 87.5% = 42 लीटर। नए मिश्रण में पानी 30% है, तो दूध 70% होगा। नया कुल = 42 ÷ 0.7 = 60 लीटर। मतलब 12 लीटर पानी मिलाना है।

प्रश्न 18

एक जार में 30 लीटर शुद्ध जूस है। इसमें से 6 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। फिर 9 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। कितना जूस शेष है?

उत्तर: दोनों बार अलग-अलग मात्रा निकली है, इसलिए हर बार का बचा भाग अलग से गुणा करेंगे। पहली बार $\frac{24}{30}$ बचा और दूसरी बार $\frac{21}{30}$। जूस = 30 × $\frac{4}{5}$ × $\frac{7}{10}$ = 16.8 लीटर।

प्रश्न 19

₹36,000 की राशि दो भागों में उधार दी जाती है, एक भाग 8% और दूसरा 13% वार्षिक साधारण ब्याज की दर पर। 2 वर्ष बाद कुल ब्याज ₹6,840 है। 8% की दर पर कितनी राशि उधार दी गई थी?

उत्तर: एक वर्ष का ब्याज ₹3,420 हुआ, जो ₹36,000 का 9.5% है। अब क्रॉस में बीच में 9.5 और दोनों ओर 8 और 13 रखते हैं। 8% वाला भाग : 13% वाला भाग = 3.5 : 1.5 = 7 : 3। तो 8% वाला भाग = 36,000 का $\frac{7}{10}$ = ₹25,200। जाँच कर लेते हैं। 25,200 का 8% = 2,016, और बाकी राशि पर 13% से 1,404 मिलता है। 2,016 + 1,404 = 3,420 प्रति वर्ष, जो ठीक है।

प्रश्न 20

ताँबे और टिन के 7 : 3 अनुपात वाली 30 किग्रा मिश्रधातु को ताँबे और टिन के 2 : 1 अनुपात वाली एक अन्य 15 किग्रा मिश्रधातु के साथ पिघलाया जाता है। नई मिश्रधातु में ताँबे और टिन का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ताँबा = 30 × $\frac{7}{10}$ + 15 × $\frac{2}{3}$ = 21 + 10 = 31 किग्रा। बाकी टिन है, यानी 45 − 31 = 14 किग्रा। ताँबा : टिन = 31 : 14।

प्रश्न 21

140 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 3 : 4 है। इसमें से कितना मिश्रण निकालकर उतना ही शुद्ध दूध मिलाया जाए कि अनुपात 3 : 2 हो जाए?

उत्तर: यहाँ वापस दूध डलता है, तो पानी का हिसाब रखेंगे। पानी अभी मिश्रण का $\frac{4}{7}$ है और इसे $\frac{2}{5}$ करना है। बचा भाग = $\frac{2}{5} \div \frac{4}{7} = \frac{7}{10}$, तो 140 का $\frac{3}{10}$ = 42 लीटर मिश्रण बदलना होगा। एक बार संख्याओं से भी देख लेते हैं। शुरू में दूध 60 और पानी 80 लीटर है। 42 लीटर निकालने पर ये 42 और 56 रह जाते हैं। फिर 42 लीटर दूध मिलाने पर 84 : 56 = 3 : 2 हो जाता है।

प्रश्न 22

बर्तन A में दूध और पानी 5 : 2 के अनुपात में हैं तथा बर्तन B में 2 : 3 के अनुपात में। A और B को किस अनुपात में मिलाया जाए कि ऐसा मिश्रण बने जिसमें आधा दूध और आधा पानी हो?

उत्तर: A में दूध $\frac{5}{7}$ है, B में $\frac{2}{5}$, और लक्ष्य $\frac{1}{2}$ है। तीनों का हर 70 कर लेते हैं, तो ये 50, 28 और 35 हो जाते हैं। अब क्रॉस लगाइए। A को 35 − 28 = 7 मिलता है और B को 50 − 35 = 15, तो A : B = 7 : 15। देखिए, A के 7 लीटर में 5 लीटर दूध है और B के 15 लीटर में 6 लीटर। यानी 22 लीटर में 11 लीटर दूध, ठीक आधा।

प्रश्न 23

एक बर्तन में दूध और पानी 9 : 2 के अनुपात में हैं। इसमें से 15 लीटर दूध निकाला जाता है और 3 लीटर पानी मिलाया जाता है, जिससे अनुपात 3 : 1 हो जाता है। आरंभ में बर्तन में कितना मिश्रण था?

उत्तर: दूध 9x और पानी 2x मान लेते हैं। बदलाव के बाद (9x − 15) : (2x + 3) = 3 : 1, यानी 9x − 15 = 6x + 9। इससे 3x = 24 और x = 8 आता है। तो बर्तन में 11 × 8 = 88 लीटर मिश्रण था। x = 8 रखकर देखें, तो 72 − 15 = 57 और 16 + 3 = 19 आता है, और 57 : 19 = 3 : 1 है।

प्रश्न 24

एक डेयरी की टंकी में 128 लीटर शुद्ध दूध है। हर बार इसमें से 32 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है। ऐसी कितनी प्रक्रियाओं के बाद दूध पहली बार 50 लीटर से कम होगा?

उत्तर: हर बार दूध का $\frac{3}{4}$ बचता है। तो दूध 128 → 96 → 72 → 54 → 40.5 लीटर होता जाता है। तीन बार के बाद भी 54 लीटर बचा है, जो 50 से ज़्यादा है। इसलिए दूध पहली बार चौथी प्रक्रिया के बाद 50 लीटर से कम होता है। ऐसे प्रश्न में हर कदम पर $\frac{3}{4}$ से गुणा करते जाइए। यह किसी भी सूत्र से जल्दी हो जाता है।

प्रश्न 25

एक बस 6 घंटे में 312 किमी की दूरी तय करती है, कुछ दूरी 40 किमी/घंटा की चाल से और शेष 60 किमी/घंटा की चाल से। 60 किमी/घंटा की चाल से बस कितने किमी की दूरी तय करती है?

उत्तर: औसत चाल = 312 ÷ 6 = 52 किमी/घंटा। चाल प्रति घंटे में होती है, इसलिए क्रॉस से जो अनुपात मिलेगा, वह समयों का अनुपात होगा। 40 वाली चाल का समय : 60 वाली चाल का समय = (60 − 52) : (52 − 40) = 8 : 12 = 2 : 3। तो दोनों समय 2.4 घंटे और 3.6 घंटे हैं। 60 किमी/घंटा से तय दूरी = 3.6 × 60 = 216 किमी, और 40 किमी/घंटा से 96 किमी।

प्रश्न 26

एक पंसारी ₹62 प्रति किग्रा वाला 18 किग्रा चावल, ₹68 प्रति किग्रा वाला 12 किग्रा चावल और ₹74 प्रति किग्रा वाला 30 किग्रा चावल मिलाता है। 25% लाभ कमाने के लिए उसे मिश्रण को प्रति किग्रा किस मूल्य पर बेचना चाहिए?

उत्तर: ₹68 को आधार मान लेते हैं। ₹62 वाला चावल इससे 6 कम है और ₹74 वाला 6 ज़्यादा। तो 18 × (−6) + 30 × (+6) = −108 + 180 = 72। इसे 60 किग्रा पर बाँटें, तो +1.20 आता है। मतलब मिश्रण का क्रय मूल्य ₹69.20 प्रति किग्रा है। 25% लाभ के लिए विक्रय मूल्य = 69.20 × 1.25 = ₹86.50 प्रति किग्रा।

प्रश्न 27 [Tier 2]

30 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 2 : 1 है। इसमें से 6 लीटर मिश्रण निकालकर उसकी जगह ऐसा 6 लीटर मिश्रण मिलाया जाता है जिसमें दूध और पानी 1 : 2 के अनुपात में हैं। दूध और पानी का नया अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 30 में से 6 लीटर निकालने का मतलब है हर घटक का $\frac{1}{5}$ बाहर जाना। तो दूध 20 से 16 लीटर और पानी 10 से 8 लीटर रह जाता है। डाले गए 6 लीटर में 2 लीटर दूध और 4 लीटर पानी है। अब दूध 16 + 2 = 18 और पानी 8 + 4 = 12 लीटर है, यानी अनुपात 3 : 2। यहाँ घात वाला सूत्र नहीं चलता, क्योंकि वापस डाला गया द्रव शुद्ध पानी नहीं है।

प्रश्न 28

₹64 प्रति किग्रा और ₹80 प्रति किग्रा वाली दाल की दो किस्मों को मिलाया जाता है, और मिश्रण को ₹66.50 प्रति किग्रा पर बेचने से 5% हानि होती है। दोनों किस्मों को किस अनुपात में मिलाया गया था?

उत्तर: हानि हुई है, तो क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य × $\frac{100}{95}$ = 66.50 ÷ 0.95 = ₹70। अब क्रॉस लगाते हैं। (80 − 70) : (70 − 64) = 10 : 6 = 5 : 3, यानी सस्ती और महँगी दाल 5 : 3 में मिली। मिलान भी कर लेते हैं। सस्ती दाल के 5 किग्रा ₹320 के और महँगी के 3 किग्रा ₹240 के हैं। 320 + 240 = 560, और 560 ÷ 8 = 70।

प्रश्न 29

45 किग्रा की एक मिश्रधातु में ताँबा और जस्ता 7 : 2 के अनुपात में हैं। इसमें कितना जस्ता पिघलाकर मिलाया जाए कि अनुपात 5 : 3 हो जाए?

उत्तर: जस्ता मिलाने पर ताँबा स्थिर रहता है, और वह 35 किग्रा है। 5 : 3 के लिए जस्ता 35 का $\frac{3}{5}$ = 21 किग्रा होना चाहिए। अभी जस्ता 10 किग्रा है, तो 11 किग्रा जस्ता मिलाना है।

प्रश्न 30 [Tier 2]

एक बर्तन शुद्ध दूध से भरा है। इसमें से 8 लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाता है, और यह प्रक्रिया एक बार और की जाती है। अब दूध और पानी का अनुपात 16 : 9 है। बर्तन की धारिता कितनी है?

उत्तर: अब दूध बर्तन का $\frac{16}{25}$ है, जो $\left(\frac{4}{5}\right)^2$ है। मतलब हर बार $\frac{4}{5}$ बचा और बर्तन का $\frac{1}{5}$ निकला। यह $\frac{1}{5}$ हिस्सा 8 लीटर के बराबर है, तो बर्तन की धारिता 40 लीटर है। 40 लीटर लेकर देखें, तो दूध 40 → 32 → 25.6 होता है, और 25.6 : 14.4 = 16 : 9 है।

प्रश्न 31

₹260 प्रति किग्रा वाली 30 किग्रा चाय में ₹320 प्रति किग्रा वाली कितने किग्रा चाय मिलाई जाए कि मिश्रण का मूल्य ₹284 प्रति किग्रा हो?

उत्तर: क्रॉस लगाते हैं। ₹260 वाली चाय : ₹320 वाली चाय = (320 − 284) : (284 − 260) = 36 : 24 = 3 : 2। ₹260 वाली चाय 30 किग्रा है, जो 3 भाग है। तो 1 भाग = 10 किग्रा, और ₹320 वाली चाय 20 किग्रा मिलानी है।

प्रश्न 32

एक ग्वाला ₹48 प्रति लीटर की दर से 45 लीटर दूध खरीदता है, उसमें 9 लीटर पानी मिलाता है और पूरे मिश्रण को ₹46 प्रति लीटर की दर से बेचता है। उसका लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: क्रय मूल्य = 45 × 48 = ₹2,160। ग्वाला 54 लीटर ₹46 की दर से बेचता है, तो उसे ₹2,484 मिलते हैं। लाभ = ₹324, और 324 ÷ 2,160 = 15%। देखिए, ग्वाला खरीद वाले भाव से कम पर बेच रहा है, फिर भी उसे लाभ हो रहा है। ऐसा इसलिए, क्योंकि पानी मुफ़्त है।

प्रश्न 33

एक रेडिएटर में 16 लीटर कूलेंट है, जिसमें 40% एंटीफ़्रीज़ है। इसमें से कितना कूलेंट निकालकर उतना ही शुद्ध एंटीफ़्रीज़ मिलाया जाए कि उसमें 60% एंटीफ़्रीज़ हो जाए?

उत्तर: वापस शुद्ध एंटीफ़्रीज़ डलता है, इसलिए पानी का हिसाब रखेंगे। पानी अभी 60% है और इसे 40% करना है। बचा भाग = $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$, तो 16 का $\frac{1}{3}$ = $5\frac{1}{3}$ लीटर कूलेंट बदलना होगा। देखिए, पानी 9.6 लीटर से घटकर 6.4 लीटर रह जाता है, जो 16 का 40% है।

प्रश्न 34 [Tier 2]

चाय की तीन किस्मों को 2 : 3 : 5 के अनुपात में मिलाया जाता है। पहली दो किस्मों का मूल्य क्रमशः ₹150 और ₹170 प्रति किग्रा है, और मिश्रण का मूल्य ₹200 प्रति किग्रा है। तीसरी किस्म की चाय का प्रति किग्रा मूल्य कितना है?

उत्तर: 10 किग्रा मिश्रण मान लेते हैं, जिसका मूल्य ₹2,000 होगा। पहली दो चाय का मूल्य 2 × 150 + 3 × 170 = ₹810 है। तो तीसरी चाय के 5 किग्रा का मूल्य ₹1,190 है, यानी ₹238 प्रति किग्रा।

प्रश्न 35 [Tier 2]

जग A में 20 लीटर शुद्ध दूध है और जग B में 20 लीटर पानी। A से 5 लीटर B में डालकर अच्छी तरह मिलाया जाता है, फिर B से 5 लीटर वापस A में डाला जाता है, और अंत में A से 5 लीटर फिर से B में डाला जाता है। अंत में B में कितना दूध है?

उत्तर: हर कदम के बाद दोनों जगों का छोटा-सा हिसाब लिखते चलते हैं।

• A से B में डालने पर A में 15 लीटर दूध बचता है, और B में 5 लीटर दूध और 20 लीटर पानी हो जाता है।
• अब B से लिए गए 5 लीटर, B का $\frac{1}{5}$ हैं। तो वापस 1 लीटर दूध और 4 लीटर पानी जाता है। A में 16 लीटर दूध और 4 लीटर पानी हो जाता है, और B में 4 लीटर दूध और 16 लीटर पानी रहता है।
• आख़िर में A से लिए गए 5 लीटर, A का $\frac{1}{4}$ हैं। तो 4 लीटर दूध और 1 लीटर पानी B में जाता है।

अंत में B में 4 + 4 = 8 लीटर दूध है, और 17 लीटर पानी।