मिश्रण को समझना

  • दूध और पानी का अनुपात a : b हो, तो मिश्रण के हर a + b भागों में a भाग दूध होता है।
  • पूरे मिश्रण में दूध का हिस्सा aa+b\frac{a}{a + b} होता है। इसे 100 से गुणा कीजिए, तो दूध का प्रतिशत आ जाता है। इसी को मिश्रण की सांद्रता (strength) कहते हैं।
  • किसी घटक की मात्रा लीटर में निकालनी हो, तो कुल मात्रा को उस घटक के हिस्से से गुणा कीजिए। जैसे 54 लीटर मिश्रण में दूध और पानी 5 : 4 में हों, तो दूध 30 लीटर और पानी 24 लीटर होगा।
  • 20% अम्ल वाले विलयन में हर 100 भागों में से 20 भाग अम्ल होता है। तो 45 लीटर विलयन में 9 लीटर अम्ल होगा।
  • मिश्रण में कुछ भी बदलने से पहले हर घटक कितने लीटर है, यह अलग-अलग लिख लीजिए।

पानी या एक घटक मिलाना

  • जो घटक मिलाया जाता है, केवल वही बदलता है। दूसरा घटक जितना था उतना ही रहता है, इसलिए पूरा हिसाब उसी स्थिर घटक से कीजिए।
  • मान लीजिए 42 लीटर मिश्रण में दूध और पानी 5 : 1 में हैं, तो दूध 35 लीटर और पानी 7 लीटर है। अनुपात 5 : 2 करना है, तो 35 लीटर दूध के साथ 14 लीटर पानी चाहिए। यानी 7 लीटर पानी और मिलाना होगा।
  • लक्ष्य प्रतिशत वाले प्रश्न भी ऐसे ही हल होते हैं। 30 लीटर मिश्रण में 20% अल्कोहल है, तो पानी 24 लीटर है। अल्कोहल 40% करना है, तो यही 24 लीटर पानी नए मिश्रण का 60% होगा। इसलिए नया मिश्रण 40 लीटर का होगा और 10 लीटर अल्कोहल मिलाना पड़ेगा।
  • नया प्रतिशत हमेशा नई कुल मात्रा पर निकालिए, पुरानी पर नहीं, क्योंकि कुछ भी मिलाते ही कुल मात्रा बढ़ जाती है।

निकालना, फिर मिलाना

  • मिश्रण का कुछ हिस्सा निकालें, तो उसके साथ दोनों घटक निकलते हैं, वह भी उसी अनुपात में जिसमें वे पूरे मिश्रण में हैं।
  • इसलिए पहले देखिए कि हर घटक कितना बचा। फिर नया द्रव जिस घटक का है, उसे केवल उसी घटक में जोड़िए।
  • 64 लीटर मिश्रण में दूध और पानी 5 : 3 में हैं, तो दूध 40 और पानी 24 लीटर है। इसमें से 16 लीटर निकाला, जो पूरे का एक-चौथाई है, तो दूध 30 और पानी 18 लीटर बचा। अब 12 लीटर पानी मिलाया, तो अनुपात 30 : 30 = 1 : 1 हो गया।
  • 16 लीटर मिश्रण निकालना और 16 लीटर पानी निकालना एक ही बात नहीं है।

दो या तीन मिश्रण मिलाना

  • हर बर्तन में हर घटक कितने लीटर है, यह निकाल लीजिए। फिर दूध को दूध से और पानी को पानी से जोड़िए।
  • दोनों अनुपातों के पद सीधे तभी जोड़िए, जब मात्राएँ भी बराबर हों और अनुपात के पदों का योग भी बराबर हो।
  • बर्तनों में मात्रा बराबर हो, तो हिस्से जोड़ दीजिए। जैसे 3 : 1 और 3 : 2 वाले मिश्रण बराबर मात्रा में मिलाए गए। दूध के हिस्से जोड़ें, तो 34+35=2720\frac{3}{4} + \frac{3}{5} = \frac{27}{20} आता है, और यह कुल 2 में से है। इसलिए दूध और पानी का अनुपात 27 : 13 हुआ।
  • ल.स. से भी यही मिलता है। अनुपात-योग 4 और 5 हैं, तो दोनों को 20 कर लीजिए। अनुपात 15 : 5 और 12 : 8 हो जाते हैं, और इन्हें जोड़ने पर 27 : 13 आता है।
  • मिश्रण p : q के अनुपात में मिलाए गए हों, तो पहले मिश्रण के हिस्से को p से और दूसरे के हिस्से को q से गुणा कीजिए। यानी हर मिश्रण को उसकी मात्रा के हिसाब से भार देना है।

स्थानांतरण और मिश्रधातु

  • द्रव एक बर्तन से दूसरे बर्तन में डाला जा रहा हो, तो हर बार डालने के बाद लिख लीजिए कि दोनों बर्तनों में कौन-सा घटक कितना है।
  • A में 30 लीटर दूध है और B में 10 लीटर पानी। A से 10 लीटर B में डाला, तो B में 10 लीटर दूध और 10 लीटर पानी हो गया। अब B से 5 लीटर वापस A में डाला, तो इन 5 लीटर में दूध और पानी 2.5-2.5 लीटर थे। तो A में 22.5 लीटर दूध और 2.5 लीटर पानी हो गया, यानी 9 : 1।
  • मिश्रधातु भी मिश्रण ही है, बस इसमें हिसाब भार से होता है। जैसे 12 किग्रा की एक मिश्रधातु में ताँबा और जस्ता 2 : 1 में हैं और 18 किग्रा की दूसरी में 1 : 2 में। दोनों को मिलाने पर ताँबा 8 + 6 = 14 किग्रा और जस्ता 4 + 12 = 16 किग्रा होता है, यानी 7 : 8।

मिश्रण का औसत मूल्य

  • मिश्रण का मूल्य = कुल लागत ÷ कुल मात्रा।
  • ₹38 प्रति किग्रा वाला 30 किग्रा माल और ₹54 प्रति किग्रा वाला 10 किग्रा माल मिलाया, तो मिश्रण का मूल्य (1,140 + 540) ÷ 40 = ₹42 प्रति किग्रा आता है।
  • मात्राएँ बराबर हों, तो मूल्यों का सीधा औसत ले सकते हैं।
  • दोनों किस्मों पर बराबर धनराशि खर्च हुई हो, तो पहले देखिए कि हर किस्म का कितना माल आया। जैसे ₹12 और ₹24 प्रति किग्रा वाले माल पर ₹480-₹480 खर्च हुए, तो 40 + 20 = 60 किग्रा माल ₹960 में आया। इसलिए मिश्रण का मूल्य ₹16 प्रति किग्रा हुआ, ₹18 नहीं। ₹18 तो बस मूल्यों का सीधा औसत है।
  • मुफ़्त पानी की कोई लागत नहीं होती। मात्रा में उसके लीटर जोड़िए, पर लागत में उसके लिए कुछ नहीं जुड़ेगा।

एलीगेशन का नियम

  • सस्ती किस्म का मूल्य c है और महँगी किस्म का d। माध्य मूल्य (mean price) m चाहिए, तो सस्ती : महँगी = (d − m) : (m − c) होगा। इसी को एलीगेशन (alligation) का नियम कहते हैं।
  • एलीगेशन क्रॉस में ऊपर दोनों मूल्य लिखिए और बीच में माध्य मूल्य। फिर तिरछे यानी क्रॉस में अंतर लीजिए।
  • ₹32 और ₹50 वाली किस्मों से ₹44 माध्य मूल्य वाला मिश्रण बनाना है, तो सस्ती : महँगी = (50 − 44) : (44 − 32) = 6 : 12 = 1 : 2।
  • एलीगेशन तभी लगता है, जब माध्य मूल्य दोनों मूल्यों के बीच हो।
  • एक किस्म की मात्रा पता हो, तो अनुपात को उसी हिसाब से बढ़ा लीजिए। अनुपात और माध्य मूल्य पता हों, तो जो मूल्य नहीं दिया गया, वह भी इसी नियम से निकल आता है।
  • जाँच के लिए दोनों को उसी अनुपात में फिर से मिलाकर औसत मूल्य निकालिए। यह माध्य मूल्य के बराबर आना चाहिए।

प्रतिशत और अनुपात पर एलीगेशन

  • प्रतिशत पर एलीगेशन ठीक मूल्यों की तरह लगता है। जैसे 12% और 42% अम्ल वाले विलयनों से 30% वाला विलयन बनाना है, तो (42 − 30) : (30 − 12) = 12 : 18 = 2 : 3।
  • पानी को 0% वाला विलयन मानिए और शुद्ध द्रव को 100% वाला।
  • अनुपात दिए हों, तो पहले हर मिश्रण में किसी एक घटक का हिस्सा निकालिए। जैसे 3 : 2 में दूध 35\frac{3}{5} है, 1 : 3 में 14\frac{1}{4} और लक्ष्य अनुपात 1 : 1 में 12\frac{1}{2}। तो अनुपात (12−14):(35−12)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) : \left(\frac{3}{5} - \frac{1}{2}\right) = 5 : 2 आता है।
  • अनुपात की संख्याओं पर सीधे एलीगेशन लगाना हमेशा गलत है।

मिश्रण के बाहर एलीगेशन

  • जहाँ भी दो समूहों का भारित औसत (weighted average) हो, वहाँ एलीगेशन लगाया जा सकता है।
  • ₹20,000 में से कुछ रकम 6% पर और बाकी 11% पर उधार दी गई, और साल भर में ₹1,600 ब्याज मिला। तो औसत दर 8% हुई, और दोनों हिस्से (11 − 8) : (8 − 6) = 3 : 2 में हैं। यानी ₹12,000 6% पर और ₹8,000 11% पर दिए गए।
  • माल के दो हिस्से अलग-अलग लाभ प्रतिशत पर बिके हों, तो भी ठीक इसी तरह एलीगेशन लगाइए।
  • चाल वाले प्रश्नों में एलीगेशन समय पर लगता है, दूरी पर नहीं।

तीन या अधिक किस्में

  • माध्य मूल्य से सस्ती हर किस्म को किसी ऐसी किस्म के साथ जोड़िए, जो माध्य मूल्य से महँगी हो। फिर हर जोड़ी पर अलग से एलीगेशन लगाइए।
  • ₹20, ₹28 और ₹40 वाली किस्में हैं और माध्य मूल्य ₹32 है। ₹20 और ₹40 की जोड़ी से 2 : 3 आता है और ₹28 और ₹40 की जोड़ी से 2 : 1। अब ₹40 वाली किस्म के दोनों हिस्से जोड़ दीजिए, 3 + 1 = 4। तीनों किस्मों का अनुपात 2 : 2 : 4 = 1 : 1 : 2 आता है।
  • ऐसे प्रश्नों में कई अनुपात सही हो सकते हैं। इसलिए विकल्पों वाले प्रश्न में हर विकल्प से माध्य मूल्य निकालकर जाँच लीजिए।
  • दो किस्में पहले से किसी तय अनुपात में हों, तो पहले उन दोनों को मिलाकर एक मूल्य निकाल लीजिए। फिर तीसरी किस्म के साथ एलीगेशन लगाइए।

लाभ के लिए मिश्रण, मुफ़्त पानी

  • विक्रय मूल्य (वि.मू.) दिया हो, तो पहले मिश्रण का क्रय मूल्य (क्र.मू.) निकालिए। क्र.मू. = वि.मू. × 100 ÷ (100 + लाभ%)। हानि हो, तो (100 + लाभ%) की जगह (100 − हानि%) से भाग दीजिए।
  • एलीगेशन हमेशा इसी क्रय मूल्य से लगाइए, विक्रय मूल्य से कभी नहीं।
  • जैसे मिश्रण को ₹52.80 के भाव से बेचने पर 10% लाभ हुआ, तो क्र.मू. ₹48 है।
  • पानी का मूल्य ₹0 मानिए। मिश्रण दूध के क्रय मूल्य पर बिके, तो पानी : दूध = लाभ% : 100। जैसे 15% लाभ हो, तो पानी : दूध = 3 : 20।
  • मिश्रण दूध के क्रय मूल्य से ज़्यादा पर बिके, तो पहले मिश्रण का क्रय मूल्य निकालिए। फिर ₹0 वाले पानी और दूध पर एलीगेशन लगाइए।

निकासी और प्रतिस्थापन का सूत्र

  • V लीटर शुद्ध द्रव में से x लीटर निकालकर उतना ही पानी मिलाया जाए और ऐसा n बार दोहराया जाए, तो बचा द्रव V(1−xV)nV\left(1 - \frac{x}{V}\right)^n लीटर होता है।
  • जैसे 50 लीटर द्रव में से हर बार 5 लीटर निकालकर पानी मिलाया गया और ऐसा तीन बार हुआ, तो बचा द्रव 50×(0.9)350 \times (0.9)^3 = 36.45 लीटर है।
  • बर्तन में पानी = V − बचा द्रव।
  • शुरू में द्रव शुद्ध न हो, तब भी यही गुणक लगता है। बस इसे उस घटक पर लगाइए जो घटता जा रहा है।
  • हर बार अलग मात्रा निकाली जाए, तो हर कदम का गुणक अलग होगा। V को पहले V−x1V\frac{V - x_1}{V} से गुणा कीजिए, फिर V−x2V\frac{V - x_2}{V} से, और इसी तरह आगे।
  • हर बार x लीटर सीधे घटाते जाना गलत है।

x, n और बदलने वाला भाग

  • अंत में द्रव का जितना हिस्सा बचा है, उसे (1−xV)n\left(1 - \frac{x}{V}\right)^n के बराबर रखिए।
  • जैसे दो बार के बाद 36% द्रव बचा, तो (1−xV)2=925\left(1 - \frac{x}{V}\right)^2 = \frac{9}{25} लिखिए। इससे xV=25\frac{x}{V} = \frac{2}{5} आता है।
  • n निकालना हो, तो गिनिए कि गुणक कितनी बार लगा है। जैसे (45)n=64125\left(\frac{4}{5}\right)^n = \frac{64}{125} हो, तो n = 3 है।
  • एक बार में मिश्रण का f भाग पानी से बदला जाए, तो पुराना हिस्सा × (1 − f) = नया हिस्सा। जैसे दूध 80% से 60% करना हो, तो 1−f=341 - f = \frac{3}{4}, यानी f=14f = \frac{1}{4}।
  • निकाले गए मिश्रण की जगह पानी नहीं, बल्कि दूसरा घटक मिलाया जाए, तो हिसाब उस घटक पर कीजिए जो केवल घटता है।

आम जाल

  • दो मिश्रणों के अनुपात के पद सीधे जोड़ देना, जबकि उनकी मात्राएँ या अनुपात-योग अलग हों।
  • कुछ मिलाने के बाद नया प्रतिशत पुरानी कुल मात्रा पर निकालना।
  • एलीगेशन में क्रय मूल्य की जगह विक्रय मूल्य रख देना।
  • बराबर धनराशि खर्च हुई हो, बराबर मात्रा नहीं, फिर भी मूल्यों का सीधा औसत ले लेना।
  • निकाली गई मात्रा को n बार घटाते जाना। सही तरीका है (1−xV)\left(1 - \frac{x}{V}\right) से n बार गुणा करना।
  • यह भूल जाना कि निकाले गए मिश्रण के साथ दोनों घटक निकलते हैं।
  • चाल वाले प्रश्न में एलीगेशन समय की जगह दूरी पर लगा देना।